Простейшие уравнения линейные: Решение линейных уравнений, примеры, тесты. Особые случаи

Простейшие линейные дифференциальные уравнения

9.1Линейное и нелинейное: кто матери-теории более ценен?

Все счастливые семьи похожи друг на друга, каждая несчастливая семья несчастлива по-своему. Л. Н. Толстой, «Анна Каренина».

В предыдущей главе мы выяснили, что все неособые точки похожи друг на друга: подходящей заменой координат векторное поле в окрестности любой неособой точки превращается в постоянное поле. Однако особые точки бывают особыми по-своему. Нашей целью теперь является изучение особых точек.

Вообще говоря, изучение особых точек произвольных векторных полей — сложная задача. Однако, великая наука матанализ учит нас: сложное нелинейное становится простым и линейным, если посмотреть на него в микроскоп. Поэтому изучение линейного — первый шаг на пути к познанию нелинейного.

Если мы хотим понять, как ведёт себя функция одной переменной вблизи некоторой точки, мы вычислим производную функции в этой точке, приблизим график функции графиком касательной (линейной частью) и скажем, что её поведение близко к поведению её линейной части.

Скажем, если производная положительна, линейная часть возрастает, а значит и сама функция возрастает.

Аналогичный подход работает и в дифференциальных уравнениях.

9.1.1Мотивирующий пример: изучение постоянного решения одномерного уравнения

Рассмотрим уравнение

˙x=f(t,x),x∈R1,f(t,0)≡0(9.1)

Иными словами, это произвольное неавтономное уравнение на прямой, обладающее одним характерным свойством: правая часть обнуляется при x=0 и произвольном t.

Рассмотрим функцию x=φ(t;x0), задающую решение уравнения (9.1) с начальным условием x(t0)=φ(t0;x0)=x0. Очевидно, φ(t;0)≡0: тождественно нулевая функция является единственным решением с нулевым начальным условием. (Если бы уравнение было автономным, мы бы сказали, что 0 является особой точкой; в данном случае уравнение неавтономное и такой термин мы использовать не можем, хотя это и близкий сюжет.)

Пусть теперь нам интересно, как ведут себя решения с начальными условиями, близкими к нулевому.

Например, они могут приближаться к нулевому решению, могут убегать от него, а могут попеременно делать то одно, то другое. Это не праздный интерес: на практике мы никогда не можем установить или определить начальное условие с абсолютной точностью. Всегда есть какие-то погрешности, и нам важно понимать, как эти погрешности повлияют на выводы, которые мы сделаем из нашей модели. Например, если мы выясним, что траектории, стартующие близко к нулю, со временем уходят далеко от нулевого решения, это будет означать, что само нулевое решение не имеет «предсказательной силы» на длительных промежутках времени.

Рис. 9.1: Различное поведение решений, близких к нулевому

Итак, нас интересует поведение решения с начальным условием x(t0)=x0 при x0 близком к нулю. Будем считать, что на интересующем нас промежутке времени решение убежит от нуля не слишком сильно. В этом случае можно считать, что

f(t,x)≈f′x(t,0)x.(9.2)

Это следует из определения частной производной функции f по переменной x и того факта, что f(t,0)=0 для всех t. (Мы просто зафиксировали t и стали смотреть на функцию f(t,x) как на функцию только от аргумента x, приблизив её график соответствующей касательной.)

Пользуясь этим соотношением, заменим в уравнении (9.1) правую часть на f′x(t,0)x. Поскольку правая часть меняется «не слишком сильно» вблизи прямой x=0, разумно ожидать, что и решения, проходящие близко к нулю, от этого «не слишком сильно» изменятся. Однако, чтобы всё-таки помнить о том, что перед нами новое уравнение, связанные с исходным лишь приближёнными равенствами, заменим обозначение для неизвестной функции: вместо x будем писать y. Имеем:

˙y=f′x(t,0)y.(9.3)

Получившееся уравнение гораздо проще исходного и его можно решить явно: это уравнение с разделяющимися переменными. Действительно, функция f′x(t,0) зависит только от t и мы мгновенно получаем: dydt=f′x(t,0)ydyy=f′x(t,0)dt∫yy0dξξ=∫tt0f′x(τ,0)dτln(y/y0)=∫tt0f′x(τ,0)dτy=y0exp∫tt0f′x(τ,0)dτ(9.4)(9.5)(9.6)(9.7)(9.8) Получающееся решение y(t) является приближением к решению исходного уравнения. Например, оно показывает, что если производная f′x положительна и отделена от нуля, то есть f′x(t,0)>c>0 при всех t, то любое решение, близкое к нулевому, убегает от нулевого, как говорят, с экспоненциальной скоростью (y(t)>ecty0). Даже если y0 очень мал, такое решение со временем окажется далеко от нулевого.

Уравнение (9.3) является не просто уравнением с разделяющимися переменными. Оно является линейным уравнением — и, как говорят, линеаризацией

уравнения (9.1) вблизи решения x≡0.

9.1.2Более строгое обоснование возможности линеаризации

Этот параграф можно смело пропустить и сразу перейти к следующему разделу. Он содержит более аккуратное обоснование связи между уравнениями (9.1) и (9.3). Для дальнейшего нам пока это не понадобится.

Зафиксируем какое-нибудь t1>t0. Нас интересует отображение, которое ставит в соответствие точке x0 точку φ(t1;x0). Точнее, нас интересует, как эта функция ведёт себя при x0 близких к нулю.

В одномерном случае ответ на вопрос «как ведёт себя функция в точке» даётся производной этой функцией в данной точке. Её-то мы и хотим найти.

Будем действовать смело и решительно. Пусть

y(t)=∂φ(t;x0)∂x0∣∣∣x0=0

Вопрос 1. Чему равно y(t0)?

Ответим на более сложный вопрос: что вы можете сказать про знак y(t1)? Очевидно, y(t1)>0, поскольку φ(t1;x0) является возрастающей по x0. Действительно, если предположить, что существуют точки x20>x10 такие, что φ(t1;x20)<φ(t1;x10), по теореме о промежуточном значении найдётся такая точка t∗∈(t0,t1), что φ(t∗;x20)=φ(t∗,x10) (см. рис. 9.2). А это бы противоречило теореме существования и единственности решения дифференциального уравнения.

Рис. 9.2: Так не бывает: интегральные кривые не умеют пересекаться

Найдём уравнение на производную y по t (получим так называемое уравнение в вариациях в его простейшей форме):

˙y=ddt∂φ(t;x0)∂x0∣∣∣x0=0=(∂∂x0dφ(t;x0)dt)∣∣ ∣∣x0=0=(∂∂x0f(φ(t;x0),t))∣∣∣x0=0=(∂f∂x)∣∣∣x=0∂φ(t;x0)∂x0∣∣∣x0=0=f′x(0,t)y(t)

Обоснованность смены порядка дифференцирования мы сейчас обсуждать не будем (хотя вообще это надо сделать). Записанное уравнение называется уравнением в вариациях по начальному условию

.

Получается, что уравнение на производную по начальному условию имеет вид

˙y=a(t)y

Как мы узнаем чуть ниже, это пример простейшего линейного уравнения.

9.2Понятие линейного дифференциального уравнения

Бывают линейные дифференциальные операторы. Это такая штука, которая действует на функциях, содержит какие-то там производные и ко всему прочему линейная. Вместо того, чтобы давать строгое определение, приведём несколько примеров.

Пример 1. Пусть φ:R→R — некоторая дифференцируемая функция.

• (Dφ)(t)=ddtφ(t) — простейший линейный дифференциальный оператор (это просто оператор дифференцирования, он линеен, поскольку дифференцирование линейно: производная сумма равна сумме производных, константу можно выносить за знак дифференцирования). Можно написать, что D=ddt.
• (Dφ)(t)=ddtφ(t)−a(t)φ(t) — также линейный дифференциальный оператор. Можно написать, что D=ddt−a, подразумевая, что a — это оператор умножения на функцию a.
• (Sφ)(t)=ddtφ(t)+a(t) не является линейным оператором. (Почему?)
• (Hφ)(t)=ddtφ(t)+φ2(t) также не является линейным оператором. (Почему?)

Пусть теперь φ:R→Rn — некоторая дифференцируемая вектор-функция

Тогда (Dφ)(t)=dφ(t)dt−Aφ(t) — линейный дифференциальный оператор (здесь A — некоторый фиксированный линейный оператор A:Rn→Rn).

Определение 1.Однородное линейное дифференциальное уравнение — это уравнение вида

Dx=0,(9.9)

где D — некоторый линейный дифференциальный оператор.

Неоднородное линейное дифференциальное уравнение — это уравнение вида

Dx=b(t).(9.10)

Как подсказывает нам мотивирующий пример, чтобы исследовать линеаризацию решения надо исследовать линейные дифференциальные уравнения.

Этим мы и займёмся.

9.2.1Простейшие свойства линейных уравнений

Для начала сформулируем две простые теоремы о линейных уравнениях. Вообще-то это теоремы из линейной алгебры: они не используют ничего, кроме линейности.

Теорема 1. Множество всех решений автономного линейного дифференциального уравнения — линейное пространство.

Доказательство. Нам нужно доказать, что 1) сумма решений является решением; 2) умноженное решение на число — тоже решение. Пусть x и y — решения, λ — константа. Тогда D(x+y)=Dx+Dy=0+0=0. То есть сумма решений является решением. Аналогично с константой: D(λx)=λDx=0.∎

Теорема 2. Множество всех решений неавтономного линейного дифференциального уравнения — аффинное пространство — то есть линейное, сдвинутое на фиксированный вектор.

Более точно: для любого дифференциального уравнения (9.10) найдётся такое частное решение x∗(t), что любое другое решение этого уравнения представляется в виде x∗(t)+x0(t), где x0(t) — некоторое решение соответствующего однородного уравнения (9. 9). (По правде говоря, в качестве частного решения можно взять любое решение неоднородного уравнения.)

Доказательство. Пусть x1(t) — фиксированное решение, x2(t) какое-то другое решение. Пусть x0=x2−x1. Тогда D(x0)=D(x2−x1)=D(x2)−D(x1)=b−b=0. Таким образом, x0 — решение однородного уравнения, и любое решение x2 представляется в виде суммы x1 и какого-то решения однородного уравнения x0.

Наоборот, если x0 — решение однородного уравнения, то прибавляя его к решению x1 неоднородного уравнения получим какое-то другое решение неоднородного уравнения. ∎

9.2.2Как решать неоднородные уравнения: метод вариации постоянных

Сейчас мы будем делать то, что нельзя: менять постоянные.

Пусть x(t)∈R. Рассмотрим уравнение

˙x−a(t)x=b(t)

Это уравнение называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка в размерности 1 с переменными коэффициентами («первого порядка» потому что участвует только первая производная).

Как его решить? Решим сперва соответствующее однородное уравнение

˙x−a(t)x=0

Его решение, как мы уже сказали, такое:

x0(t)=Ce∫tt0a(s)ds

Скажем теперь, что C — не константа, а функция от времени. И подставим функцию

x(t)=C(t)e∫tt0a(s)ds

в исходное уравнение.

Получается:

˙Ce∫tt0a(s)ds+Ca(t)e∫tt0a(s)ds=a(t)Ce∫tt0a(s)ds+b(t)

Два слагаемых магическим образом сокращаются, и получается уже простое уравнение на C:

˙C=b(t)e−∫tt0a(s)ds

решая его, имеем:

C(t)=∫tt0b(h)e−∫hh0a(s)dsdh+C0

Вопрос 2. Что будет, если попытаться применить метод вариации постоянных к нелинейному уравнению — например, ˙x=x2+t?

---

← Предыдущая глава Следующая глава →

Линейные уравнения с параметрами и уравнения, приводимые к линейным

• org/Person»> Мартынюк Татьяна Владимировна, преподаватель математики

Разделы: Математика

---

I введение

Тема “Решение и исследование уравнений с параметрами” присутствует в материалах Единого государственного экзамена. Не все выпускники справляются с задачей, которую в школе “не проходили”. Данная тема является одной из самых трудных в курсе алгебры. Задачи с параметрами рассматривают в школьном курсе пока крайне редко, бессистемно, поэтому при решении таких задач у учеников обычно возникают затруднения. Совершенно очевидно, что к “встрече” с такими задачами надо специально готовиться.

Данные задачи играют значительную роль в формировании логического мышления и математической культуры школьников, позволяют проверить первоначальные навыки исследовательской деятельности. Учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, успешно справляются с другими задачами.

Известны различные типы уравнений и неравенств с параметрами: дробно-рациональные, иррациональные, тригонометрические, показательные, логарифмические, степенные. Чаще всего они сводятся к следующим четырём основным видам:

1. линейные уравнения с параметром,
2. линейные неравенства с параметром,
3. квадратичные уравнения с параметром,
4. квадратичные неравенства с параметром.

Рассмотрим уравнение

Пусть, тогда уравнение примет вид

Решим его:

 

Пусть , тогда уравнение примет вид , решением которого является любое действительное значение .

Пусть , тогда уравнение примет вид . Решив его, получим, что . В этом случае уравнение не имеет решения.

Следовательно, сам факт существования решения зависит от значения параметра .

Определение. Исследовать и решить уравнение с параметром это значит :

— найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решение;

— найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, т. е. для неизвестного и параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.

II  Простейшие линейные уравнения с параметром

1.

Ответ:

при корней нет,

при

2.

Ответ:

при корней нет,

при

3.

Ответ:

при корней нет,

при .

4.

Ответ:

при корней нет,

при .

5.

Ответ:

при

при

6.

Ответ:

при

при

7.

Ответ:

при

при

8.

Ответ:

при

при

9.

Ответ:

если , то корней нет

если ,

если

10.

1)

2.

3.

Ответ:

при , корней нет

если ,

при

Таким образом, при решении линейных уравнений с параметром сначала его нужно привести к виду, удобному для исследования (стандартный канонический вид линейного уравнения с параметром), выполнив ряд преобразований, потом следует определить контрольные значения параметра, т.е. те значения, при которых коэффициент при обращается в ноль. Эти значения разбивают множество значений параметра на несколько множеств, которые необходимо исследовать.

III Линейные уравнения с параметром, имеющие стандартный канонический вид

– стандартный канонический вид линейного уравнения с параметром

Примеры:

1)

Ответ:

если

если

2)

Ответ:

при

при

при

3)

Ответ:

при

при

при

IV. Уравнения, приводимые к линейным уравнениям с параметром

Схема решения уравнений, приводимых к линейным :

1. Указать и исключить все значения параметра и переменной, при которых уравнение теряет смысл
2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель, не равный нулю
3. Привести уравнение-следствие к виду и решить его
4. Исключить значения параметра, когда найденный корень принимает значения, при которых уравнение теряет смысл
5. Записать ответ

1. Примеры решений уравнений, содержащих параметр в знаменателе:

1)

Умножим уравнение на :

Ответ:

при

при

при

2)

Умножим уравнение на :

Ответ:

при

при

при

2. Примеры решений уравнений, содержащих и параметр и переменную в знаменателе

Умножим уравнение на :

Исключим те a, при которых :

Ответ:

при

при

при

21.05.2016

Карточки для подготовки к ЕГЭ на базовом уровне. Задание №7 «Простейшие уравнения.

Линейные, квадратные, кубические, рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические»

Вариант 1 7. Простейшие уравнения. Линейные, квадратные, кубические, рациональные,

иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические.

1. Найдите ко­рень уравнения:  Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, ука­жи­те мень­ший из них.

2. Решите урав­не­ние . В от­ве­те на­пи­ши­те наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный корень.

3. Найдите ко­рень урав­не­ния 

4. Найдите ко­рень урав­не­ния 3^{x − 5} = 81.

5. Найдите корень уравнения: 

6. Найдите ко­рень уравнения:  В от­ве­те за­пи­ши­те наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный корень.

7. Найдите ко­рень урав­не­ния .

8. Найдите ко­рень урав­не­ния .

9. Найдите корень уравнения: 

10. Найдите корень уравнения .

Вариант 2 7. Простейшие уравнения. Линейные, квадратные, кубические, рациональные,

иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические.

1. Решите уравнение: . Если урав­не­ние имеет боль­ше од­но­го корня, в ответ ука­жи­те боль­ший их них.

2. Найдите ко­рень уравнения:  В от­ве­те за­пи­ши­те наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный корень.

3. Найдите ко­рень урав­не­ния 

4. Найдите корень уравнения: 

5. Решите уравнение .

6. Найдите ко­рень урав­не­ния 

7. Решите урав­не­ние . В от­ве­те на­пи­ши­те наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный корень.

8. Решите урав­не­ние . В от­ве­те на­пи­ши­те наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный корень.

9. Найдите ко­рень урав­не­ния .

10. Найдите корень уравнения .

Вариант 3 7. Простейшие уравнения. Линейные, квадратные, кубические, рациональные,

иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические.

1. Найдите корень уравнения .

2. Решите уравнение .

3. Решите урав­не­ние  Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, в от­ве­те ука­жи­те мень­ший из них.

4. Найдите корень уравнения .

 

5. Найдите корень уравнения: 

6. Решите уравнение .

7. Решите уравнение .

8. Решите урав­не­ние  Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, в от­ве­те ука­жи­те боль­ший из них.

9. Найдите ко­рень уравнения: .

10. Найдите ко­рень урав­не­ния 

Вариант 4 7. Простейшие уравнения. Линейные, квадратные, кубические, рациональные,

иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические.

1. Найдите корень уравнения 

2. Найдите ко­рень уравнения: 

3. Решите урав­не­ние 

4. Найдите ко­рень урав­не­ния 

5. Найдите ко­рень урав­не­ния .

6. Решите уравнение . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

7. Найдите корень уравнения .

8. Найдите ко­рень уравнения:  Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, ука­жи­те мень­ший из них.

9. Найдите корень уравнения .

10. Найдите корень уравнения 

Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

Вариант 5 7. Простейшие уравнения. Линейные, квадратные, кубические, рациональные,

иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические.

1. Найдите ко­рень урав­не­ния .

2. Найдите ко­рень урав­не­ния 

3. Найдите ко­рень уравнения .

4. Найдите корень уравнения .

5. Найдите корни уравнения:  В ответ за­пи­ши­те наибольший от­ри­ца­тель­ный корень.

6.Найдите корень уравнения:  Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.

7. Найдите ко­рень урав­не­ния .

8. Найдите ко­рень урав­не­ния 

9. Найдите корень уравнения 

10.  Найдите корень уравнения .

Вариант 6 7. Простейшие уравнения. Линейные, квадратные, кубические, рациональные,

иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические.

1. Найдите корень уравнения .

2. Найдите решение уравнения: 

3. Найдите корень уравнения: 

4. Решите урав­не­ние 

5. Найдите ко­рень уравнения 

6. Решите урав­не­ние . В от­ве­те на­пи­ши­те наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный корень.

7. Найдите корень уравнения 

8. Решите урав­не­ние  Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, в от­ве­те ука­жи­те мень­ший из них.

9. Решите уравнение 

10. Найдите ко­рень урав­не­ния 

Вариант 7 7. Простейшие уравнения. Линейные, квадратные, кубические, рациональные,

иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические.

1. Решите урав­не­ние  Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, в от­ве­те ука­жи­те мень­ший из них.

2. Решите уравнение .

3.Найдите решение уравнения: 

4. Найдите корень уравнения .

 

5. Найдите корень уравнения: .

6. Найдите корни уравнения:  В ответ за­пи­ши­те наибольший от­ри­ца­тель­ный корень.

7. Найдите ко­рень уравнения:  В от­ве­те за­пи­ши­те наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный корень.

8. Найдите ко­рень урав­не­ния .

9. Решите урав­не­ние  Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, в от­ве­те ука­жи­те боль­ший из них.

10. Найдите ко­рень урав­не­ния .

Вариант 8 7. Простейшие уравнения. Линейные, квадратные, кубические, рациональные,

иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические.

1. Решите уравнение .

2. Найдите ко­рень уравнения:  В от­ве­те за­пи­ши­те наи­боль­ший от­ри­ца­тель­ный корень.

3. Решите урав­не­ние . Если урав­не­ние имеет более од­но­го корня, в от­ве­те за­пи­ши­те боль­ший из корней.

4. Найдите корень уравнения 

5. Решите уравнение .

6. Найдите корень уравнения .

7. Найдите корень уравнения 

8. Найдите корень уравнения: .

9. Решите уравнение .

10. Найдите ко­рень урав­не­ния .

Вариант 9 7. Простейшие уравнения. Линейные, квадратные, кубические, рациональные,

иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические.

1. Найдите корень уравнения 

2. Найдите корень уравнения .

3. Найдите корень уравнения .

4. Найдите корень уравнения 

5. Найдите ко­рень урав­не­ния .

6. Решите урав­не­ние . В от­ве­те на­пи­ши­те наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный корень.

7. Найдите корень уравнения .

8. Решите урав­не­ние . В от­ве­те на­пи­ши­те наи­мень­ший по­ло­жи­тель­ный корень.

9. Найдите ко­рень уравнения .

10. Найдите ко­рень урав­не­ния .

Вариант 10 7. Простейшие уравнения. Линейные, квадратные, кубические, рациональные,

иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические.

1. Решите уравнение .

2. Найдите корень уравнения .

3. Найдите корень уравнения 

4. Найдите ко­рень урав­не­ния .

5. Найдите корень уравнения .

6. Найдите ко­рень уравнения:  В от­ве­те запишите наи­боль­ший отрицательный корень.

7. Решите уравнение .

8. Найдите корень уравнения 

9. Найдите ко­рень урав­не­ния .

10. Найдите корень уравнения 

7. Простейшие уравнения. Линейные, квадратные, кубические, рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические.
Вариант 1 8 -2 6 9 -9 -1 -11 -2 -20 -5	Вариант 2 5 -0,25 1 -20 0,4 7 -2 1 23 9,5	Вариант 3 87 -1 -5 -1 5 10 -6 5 8 3	Вариант 4 4,5 8 -17 -4 -2 10 -1 8 -4 2	Вариант 5 0,2 -3 3,75 87 -4 -3 -6 -3 2 -5
Вариант 6 -12 0,5 3 -17 0,2 1 8 -9 3 3	Вариант 7 -1 -185 4 125,5 -1,25 -4 -1 1 3 -6	Вариант 8 -4 -1 2 3 -2 3 3 -5 -2,5 6	Вариант 9 -4 12,5 -124 7 3 0,25 5 1 1 0,2	Вариант 10 -6 -32,5 4 -6 5 -0,5 -2 3 9 7

Решение простых линейных уравнений

Алгебраические уравнения переводятся с полных английских предложений. Эти уравнения можно решить. На самом деле, чтобы успешно решить задачу со словами, нужно написать и решить уравнение.

Посмотрите на эти два определения в следующих разделах и сравните примеры, чтобы убедиться, что вы понимаете разницу между выражением и уравнением.

Определение алгебраического выражения

Алгебраическое выражение — это набор констант, переменных, символов операций и символов группировки, как показано в примере 1.

Пример 1: 4( x — 3) + 6

Определение алгебраического уравнения

Алгебраическое уравнение — это утверждение о равенстве двух алгебраических выражений, как показано в примере 2.

Пример 2: 4( х — 3) + 6 = 14 + 2 х

Самый простой способ отличить математическую задачу от уравнения — заметить знак равенства.

В примере 3 вы берете алгебраическое выражение из примера 1 и упрощаете его, чтобы просмотреть процесс упрощения. Алгебраическое выражение упрощается за счет использования дистрибутивного свойства и объединения подобных терминов.

Пример 3: Упростите следующее выражение: 4( x − 3) + 6

Вот как можно упростить это выражение:

1. Удалите скобки, используя свойство распределения.

4 х + −12 + 6

2. Соедините одинаковые термины.

Упрощенное выражение: 4 x + −6.

Примечание : Эта проблема не решается для x . Это связано с тем, что исходная задача представляет собой выражение, а не уравнение, и, следовательно, не может быть решена.

Чтобы решить уравнение, выполните следующие действия:

1. Упростите обе части уравнения, используя свойство дистрибутивности и комбинируя одинаковые члены, если это возможно.

2. Переместите все члены с переменными в одну часть уравнения, используя свойство сложения уравнений, а затем упростите.

3. Переместите константы в другую часть уравнения, используя свойство сложения уравнений, и упростите.

4. Разделить на коэффициент, используя свойство умножения уравнений.

В примере 4 вы решаете уравнение, приведенное в примере 2, используя четыре предыдущих шага, чтобы найти решение уравнения.

Пример 4: Решите следующее уравнение: 4( x — 3) + 6 = 14 + 2 x

Используйте четыре шага для решения линейного уравнения следующим образом:

• 1.

Распространяйте и комбинируйте одинаковые термины.

• 2а.

Переместите все члены с переменными в левую часть уравнения.

В этом примере добавьте −2x к каждой стороне уравнения.

Свойство сложения уравнений гласит, что если к обеим частям уравнения добавить один и тот же член, уравнение останется верным утверждением. Свойство сложения уравнений также верно для вычитания одного и того же члена из обеих частей уравнения.

• 2б.

Поместите одинаковые термины рядом друг с другом и упростите.

Примечание: Вычитание 6 заменено добавлением -6, потому что коммутативное свойство сложения работает, только если все операции являются сложением.

• 3.

Перенесите константы в правую часть уравнения и упростите.

Примечание: Для перемещения константы использовалась обратная операция.

• 4.

Разделить на коэффициент и упростить.

Решение х = 10.

Пример 5: Решите следующее уравнение: 12 + 2(3 х — 7) = 5 х — 4

Используйте четыре шага для решения линейного уравнения следующим образом:

• 1а.

Распространяйте и комбинируйте одинаковые термины.

• 1б.

Поместите одинаковые термины рядом друг с другом и упростите.

• 2а.

Переместите переменные в левую часть уравнения.

В этом примере добавьте −5 x в каждую часть уравнения.

• 2б.

Поместите одинаковые термины рядом друг с другом и упростите.

Примечание: Все вычитания заменяются добавлением отрицательного числа.

• 3.

Перенесите константы в правую часть уравнения и упростите.

Примечание: Для перемещения константы использовалась обратная операция.

• 4.

Поскольку коэффициент равен 1, шаг 4 не требуется.

Решение: x = −2.

Пример 5: Решите следующее уравнение: 6 — 3(2 — x ) = -5 x + 40

Используйте четыре шага для решения линейного уравнения следующим образом:

• 1.

Распространяйте и комбинируйте одинаковые термины.

Вы не забыли раздать отрицательную тройку?

• 2а.

Переместите переменные в левую часть уравнения.

В этом примере добавьте 5 x к каждой части уравнения.

• 2б.

Поместите одинаковые термины рядом друг с другом.

• 2с.

Упростите, объединив похожие термины.

• 3.

В данном примере этот шаг необязателен, так как все константы находятся в правой части уравнения.

• 4.

Разделить на коэффициент и упростить.

Решение х = 5.

Помните: Четыре шага решения уравнений нужно выполнять по порядку, но не все шаги необходимы в каждой задаче.

Решение линейных уравнений. Часть I

Это «Решение линейных уравнений: часть I», раздел 2.3 из книги «Начальная алгебра» (v. 1.0). Для получения подробной информации об этом (включая лицензирование) нажмите здесь.

Для получения дополнительной информации об источнике этой книги или о том, почему она доступна бесплатно, посетите домашнюю страницу проекта. Там вы можете просматривать или скачивать дополнительные книги. Чтобы загрузить ZIP-файл с этой книгой для использования в автономном режиме, просто нажмите здесь.

Помогла ли вам эта книга? Рассмотрите возможность передачи:

Помощь Creative Commons

Creative Commons поддерживает свободную культуру от музыки до образования. Их лицензии помогли сделать эту книгу доступной для вас.

Помогите государственной школе

DonorsChoose.org помогает таким людям, как вы, помогать учителям финансировать их классные проекты, от художественных принадлежностей до книг и калькуляторов.

2.3 Решение линейных уравнений: часть I

Цели обучения

1. Определение линейных уравнений с одной переменной и проверка их решений.
2. Используйте свойства равенства для решения основных линейных уравнений.
3. Используйте несколько шагов для решения линейных уравнений, изолируя переменную.
4. Решите линейные уравнения, где коэффициенты представляют собой дроби или десятичные дроби.

Линейные уравнения с одной переменной и их решения

Обучение решению различных алгебраических уравнений является одной из основных целей изучения алгебры. В этом разделе представлены основные методы, используемые для решения линейных уравнений с одной переменной.

Утверждение уравнения, указывающее, что два алгебраических выражения равны. это утверждение, указывающее, что два алгебраических выражения равны. Линейное уравнение с одной переменнойУравнение, которое можно записать в общем виде ax+b=0, где a и b — действительные числа, а a≠0., x — уравнение, которое можно записать в общем виде ax+b=0, где a и b — действительные числа, а ≠0. Вот несколько примеров линейных уравнений, все из которых решаются в этом разделе:

РешениеЛюбое значение, которое может заменить переменную в уравнении для получения истинного утверждения. к линейному уравнению — это любое значение, которое может заменить переменную для получения истинного утверждения. Переменная в линейном уравнении 2x+3=13 равна x , а решение x=5. Чтобы убедиться в этом, подставьте значение 5 вместо x и убедитесь, что вы получаете верное утверждение.

В качестве альтернативы, когда уравнение равно константе, мы можем проверить решение, подставив значение переменной и показав, что результат равен этой константе. В этом смысле мы говорим, что решения удовлетворяют уравнению. После замены переменной решением и упрощения оно дает истинное утверждение.0002 Пример 1: Является ли x=3 решением уравнения −2x−3=−9?

Ответ: Да, это решение, потому что x=3 удовлетворяет уравнению.

 

Пример 2: Является ли a=−12 решением уравнения −10a+5=25?

Ответ: Нет, это не решение, потому что a=−12 не удовлетворяет уравнению.

 

Напомним, что при вычислении выражений рекомендуется сначала заменять все переменные скобками, а затем подставлять соответствующие значения. Используя круглые скобки, мы избегаем некоторых распространенных ошибок при работе с порядком операций.

 

Пример 3: Является ли y=−3 решением уравнения 2y−5=−y−14?

Решение:

Ответ: Да, это решение, потому что y=−3 дает истинное утверждение.

 

Попробуйте! Является ли x=−3 решением уравнения −2x+5=−1?

Ответ: Нет

Решение для видео

(нажмите, чтобы посмотреть видео)

Решение основных линейных уравнений

Мы начнем с определения эквивалентных уравненийУравнения с одним и тем же набором решений. как уравнения с одним и тем же набором решений. Рассмотрим следующие два линейных уравнения и проверьте, является ли их решение x=7.

Здесь мы видим, что два линейных уравнения 3x−5=16 и 3x=21 эквивалентны, поскольку они имеют один и тот же набор решений, а именно {7}. Цель состоит в том, чтобы разработать систематический процесс поиска эквивалентных уравнений до тех пор, пока переменная не будет изолирована:

Для этого используйте свойства равенства. Свойства, которые позволяют нам получать эквивалентные уравнения путем сложения, вычитания, умножения и деления обеих частей уравнения. ненулевыми действительными числами.. Даны алгебраические выражения A и B , где c — действительное число, мы имеем следующее:

Примечание

Умножения или деления обеих частей уравнения на 0 тщательно избегают. Деление на 0 не определено, а умножение обеих сторон на 0 приводит к уравнению 0 = 0.

Подводя итог, равенство сохраняется, и вы получаете эквивалентное уравнение, если вы сложите, вычтете, умножите или разделите обе части уравнения любым ненулевым действительным числом. Техника решения линейных уравнений предполагает применение этих свойств для того, чтобы изолировать переменную на одной стороне уравнения. Если линейное уравнение имеет постоянный член, то мы добавляем или вычитаем его из обеих частей уравнения, чтобы получить эквивалентное уравнение, в котором переменный член изолирован.

 

Пример 4: Решите: x+3=−5.

Решение: Чтобы изолировать переменную x с левой стороны, вычтите 3 с обеих сторон.

Ответ: Решение x=−8. Чтобы убедиться, что это так, подставьте -8 в исходное уравнение и упростите, чтобы убедиться, что оно удовлетворяется: x+3=-8+3=-5 ✓.

 

В предыдущем примере после вычитания 3 с обеих сторон вы получите x+0=−8. По свойству аддитивной идентичности действительных чисел это эквивалентно x = -8. Этот шаг часто опускается при представлении решения.

Если переменный член уравнения (включая коэффициент) изолирован, то примените свойство равенства умножения или деления, чтобы получить эквивалентное уравнение с изолированной переменной . Другими словами, наша цель — получить эквивалентное уравнение с x или 1 x изолированы с одной стороны от знака равенства.

 

Пример 5: Решите: −5x=−35.

Решение: Коэффициент x равен -5, поэтому разделите обе части на -5.

Ответ: Решение x=7. Выполните проверку мысленно, подставив 7 вместо x в исходное уравнение.

 

В предыдущем примере после деления обеих сторон на −5 остается x с коэффициентом 1, поскольку −5−5=1. На самом деле, когда мы говорим «изолировать переменную», мы имеем в виду изменение коэффициента переменной до 1, потому что 1x=7 эквивалентно x=7. Этот шаг часто опускается в учебных примерах, даже если его упущение иногда приводит к путанице.

Еще одним важным свойством является симметричное свойство. Позволяет найти переменную по обе стороны от знака равенства, поскольку 5=x эквивалентно x=5.: для любых алгебраических выражений A и B ,

уравнение 2=x эквивалентно x=2. Неважно, на какой стороне мы изолируем переменную.

 

Пример 6: Решите: 2=5+x.

Решение: Изолируйте переменную x , вычитая 5 из обеих частей уравнения.

Ответ: Решение равно −3, и проверка решения показывает, что 2 = 5 − 3.

 

Попробуйте! Решите: 6=x−4.

Ответ: x=10

Решение видео

(нажмите, чтобы посмотреть видео)

Выделение переменной в два этапа

Решение линейного уравнения вида ax+b=c требует двух шагов. Во-первых, используйте соответствующее свойство равенства сложения или вычитания, чтобы изолировать переменный термин. Затем изолируйте переменную, используя свойство равенства умножения или деления. Проверка решений в следующих примерах предоставляется читателю.

 

Пример 7: Решите: 2x−5=15.

Решение:

Ответ: Решение 10.

 

Пример 8: Решите: −3x−2=9.

Решение:

Ответ: Решение равно −113.

 

Пример 9: Решите: 6−5y=−14.

Решение: Если перед термином не стоит знак, он считается положительным. Другими словами, думайте об этом как +6−5y=−14. Начните с вычитания 6 с обеих сторон знака равенства.

Ответ: Решение 4.

 

Пример 10: Решите: 3x+12=23.

Решение:

Ответ: Решение 118.

 

Пример 11: Решите: 3−y=1.

Решение:

Напомним, что -y эквивалентно -1y; разделите обе части уравнения на −1.

В качестве альтернативы умножьте обе части -y=-2 на -1 и получите тот же результат:

Ответ: Решение 2.

 

Таким образом, чтобы сохранить эквивалентные уравнения, мы должны выполнить одну и ту же операцию с обеих сторон уравнения. Сначала примените свойство равенства сложения или вычитания, чтобы изолировать переменный член, а затем примените свойство равенства умножения или деления, чтобы изолировать переменную на одной стороне уравнения.

 

Попробуйте! Решите: −7x+6=27.

Ответ: x=−3

Решение видео

(нажмите, чтобы посмотреть видео)

Умножение на обратное число

Чтобы решить уравнение типа 34x=1, мы можем изолировать переменную, разделив обе части на коэффициент. Например,

Слева от знака равенства дробь сокращается. В правой части имеем сложную дробь и умножаем на обратную величину коэффициента. Вы можете сэкономить шаг, распознав это, и начать с умножения обеих частей уравнения на обратную величину коэффициента.

Напомним, что произведение обратных величин равно 1, в данном случае 43⋅34=1, оставляя переменную изолированной.

 

Пример 12: Решите: 53x+2=−8.

Решение: Выделите переменный член, используя свойство сложения равенства, а затем умножьте обе части уравнения на величину, обратную коэффициенту 53.

Ответ: Решение равно −6.

 

Пример 13: Решите: −45x−5=15.

Решение:

Обратная величина от -45 равна -54, потому что (-54)(-45)=+2020=1. Следовательно, чтобы выделить переменную x , умножьте обе стороны на −54.

Ответ: Решение равно −25.

 

Попробуйте! Решите: 23x−9=−4.

Ответ: x=152

Решение видео

(нажмите, чтобы посмотреть видео)

Ключевые выводы

• Линейные уравнения с одной переменной можно записать в виде ax+b=0, где a и b — действительные числа, а a≠0.
• «Решить линейное уравнение» означает найти числовое значение, которое может заменить переменную и дать верное утверждение.
• Свойства равенства предоставляют инструменты для выделения переменной и решения уравнений.
• Чтобы решить линейное уравнение, сначала изолируйте переменный член , добавив противоположный постоянный член к обеим частям уравнения. Затем изолируйте переменную , разделив обе части уравнения на ее коэффициент.
• Выделив переменный член с дробным коэффициентом, решите его путем умножения обеих частей на обратную величину коэффициента.

Упражнения по теме

Часть A: Решения линейных уравнений

Является ли данное значение решением линейного уравнения?

1. х-6=20; х=26

2. у+7=-6; у=-13

3. -х+5=17; x=12

4. −2y=44; у=11

5. 4х=-24; х=-6

6. 5х-1=34; х=-7

7. -2а-7=-7; а=0

8. -13х-4=-5; х=-3

9. -12х+23=-14; х=116

10. −8x−33=3x; х=3

11. 3у-5=-2у-15; у=-2

12,3(2x+1)=-4x-3; х=-12

13. 12у-13=13у+16; y=3

14. −43y+19=−23y−19; y=13

Часть B: Решение основных линейных уравнений

Решить.

15. x+3=13

16. y−4=22

17. −6+x=12

18. 9+y=−4

19. x−12=13

3

3

3 20. x+23=−15

21. x+212=313

22. −37+x=−37

23. 4x=−44

24. −9x=63

25. −y =13

26. −x=−10

27. −9x=0

28. −3a=−33

29. 27=18y

30. 14=−7x

, 3= 31.

32. −1.2y=3.72

33. 13x=−12

34. −t12=14

35. −73x=12

36.

38. −58y=−52

Часть C. Решение линейных уравнений

Решить.

39. 5x+7=32

40. 4x−3=21

41. 3a−7=23

42. 12y+1=1

43. 21x−7=0

44. −3y+2=−13

45. −5x+9=8

46. 22x−55=−22

47. 4,5x−2,3=6,7

48. 1,4−3,2x=3

49. 9,6−1,4y=−10,28

50. 4,2y−3,71=8,89

51. 3−2y=−7−11

52,00042 24

53. −10=2x−5

54. 24=6−12y

55. 56x−12=23

56. 12x+13=25

9002 57. 4a−230 58. 35x−12=110

59. −45y+13=115

60. −916x+43=43

61. −x+5=14

62. −y−7=−12

63. 75−a=200

64. 15=5−x

65. −8=4−2x

66. 33−x=33

67. 18=6−y

68. −12=−2x+3

69. −3=3,36−1,2a

70. 0=−3,1a+32,55

71. 14=−38+10x

72. 70=50−12y

Переведите следующие предложения в линейные уравнения и затем решите.

73. Сумма 2 x и 5 равна 15.

74. Сумма −3 x и 7 равно 14.

75. Разность 5 x и 6 равна 4.

76. Двенадцать раз x равно 36.

77. 3 n Число 900 разделить на 8 равно 5.

78. Шесть вычесть из числа, умноженного на два, x равно 12.

79. Четыре прибавить к трем числам n равно 25.

80. Три четверти число x равно 9.

81. Отрицательные две трети умножить на число x равно 20.

82. Половина числа x плюс 3 равно 10.

Найдите линейное уравнение вида ax+b=0 с данным решением, где a и b — целые числа. ( Ответы могут отличаться. )

83. x=2

84. x=−3

85. x=−12

86. x=23 Top03

3 90

87. Сколько шагов нужно, чтобы решить любое уравнение вида ax+b=c? Объяснять.

88. Вместо деления на 6, если 6x=12, не могли бы вы умножить на обратную величину 6? Всегда ли это работает?

Ответы

1: Да

3: №

5: Да

7: Да

9: Да

11: Да

13: Да

15: 100003

17: 18

19: 5/6

21: 5/6

23: −11

25: −13

27: 0

29: 3/2

3:3 −3

35: −3/14

37: −3/2

39: 5

41: 10

43: 1/3

45: 1/5

47: 2

49: 14.2

51: 7

53 : -5/2

55: 7/5

57: 1/8

59: 1/3

61: -9

63: -125

63: -125

61 -3 9000 2 9000

69: 5,3

71: 1/16

73: 2x+5=15; х=5

75: 5х-6=4; х=2

77: n8=5; n=40

79: 3n+4=25; п=7

81: -23х=20; х=-30

83: x−2=0

85: 2x+1=0

Решение линейных уравнений | Начальная алгебра

Результаты обучения

• Использование свойства сложения равенства
  • Решение алгебраических уравнений с использованием свойства сложения равенства
  • Решение одношаговых уравнений, содержащих абсолютные значения, с добавлением
• Использовать свойство умножения равенства
  • Решите алгебраические уравнения, используя свойство умножения равенства
  • Решение одношаговых уравнений, содержащих абсолютные значения, с умножением

Решите алгебраическое уравнение, используя свойство сложения равенства

Во-первых, давайте определимся с некоторыми важными терминами:

• переменные: переменные — это символы, обозначающие неизвестную величину, они часто обозначаются буквами, например x , y или z .
• коэффициент:  Иногда переменная умножается на число. Это число называется коэффициентом переменной. Например, коэффициент 3 92[/латекс].

  Уравнение, состоящее из коэффициентов, переменных, термов и выражений.

  Использование свойства сложения равенства

  Важным свойством уравнений является то, что вы можете добавить одну и ту же величину к обеим частям уравнения и при этом сохранить эквивалентное уравнение. Иногда люди называют это поддержанием баланса уравнения. Если вы думаете об уравнении как о весах, то количества на каждой стороне уравнения равны или уравновешены.

  Давайте рассмотрим простое числовое уравнение, [латекс]3+7=10[/латекс], чтобы исследовать идею уравнения как сбалансированного.

  Выражения по обе стороны от знака равенства равны, поэтому вы можете добавить одно и то же значение к каждой стороне и сохранить равенство. Посмотрим, что произойдет, если к каждой стороне добавить по 5.

  [латекс]3+7+5=10+5[/латекс]

  Поскольку каждое выражение равно 15, вы можете видеть, что добавление 5 к каждой стороне исходного уравнения дает верное уравнение. Уравнение по-прежнему «сбалансировано».

  С другой стороны, давайте посмотрим, что произойдет, если вы прибавите 5 только к одной части уравнения.

  [латекс]\begin{array}{r}3+7=10\\3+7+5=10\\15\neq 10\end{массив}[/latex]

  Добавление 5 только к одной стороне уравнения привело к уравнению, которое является ложным. Уравнение больше не является «уравновешенным» и больше не является истинным уравнением!

  Аддитивное свойство равенства

  Для всех действительных чисел a , b и c : Если [latex]a=b[/latex], то [latex]a+c=b+c[/ латекс].

  Если два выражения равны друг другу, и вы добавляете одно и то же значение к обеим частям уравнения, уравнение останется равным.

  Решите алгебраические уравнения, используя свойство сложения равенства

  При решении уравнения вы найдете значение переменной, которая делает уравнение верным. Чтобы решить уравнение, вы изолируете переменную . Изолировать переменную означает переписать эквивалентное уравнение, в котором переменная находится на одной стороне уравнения, а все остальное — на другой стороне уравнения.

  Если уравнение включает сложение или вычитание, используйте обратную операцию, чтобы «отменить» операцию, чтобы изолировать переменную. Для сложения и вычитания ваша цель состоит в том, чтобы изменить любое добавляемое или вычитаемое значение на 0, аддитивную идентичность.

  В следующей симуляции вы можете отрегулировать величину, прибавляемую или вычитаемую к каждой части уравнения, чтобы увидеть, насколько важно выполнять одну и ту же операцию с обеих сторон уравнения при решении.

  Всегда полезно проверить свой ответ, независимо от того, запрашивается он у вас или нет.

  В следующем видеоролике представлены два примера использования свойства сложения равенства, когда в уравнении есть отрицательные целые числа.

  Подумай об этом

  Можете ли вы определить что бы вы сделали по-другому, если бы вас попросили решить подобные уравнения?

  а) Решите [латекс]{12. 5}+{ t }= {-7.5}[/латекс].

  Чем этот пример отличается от предыдущих? Используйте поле ниже, чтобы записать несколько мыслей о том, как бы вы решили это уравнение с десятичными дробями.

  Показать решение

  б) Решите [латекс]\фракция{1}{4} + у = 3[/латекс]. Чем этот пример отличается от предыдущих? Используйте поле ниже, чтобы записать несколько мыслей о том, как бы вы решили это уравнение с дробью.

  Показать решение

  В следующем видео показаны два примера использования свойства сложения равенства с десятичными числами.

  В следующем видео показано, как использовать свойство сложения равенства для решения уравнений с дробями.

  Приведенные выше примеры иногда называют одношаговыми уравнениями , потому что для их решения требуется только один шаг. В этих примерах вы либо добавили, либо вычли константу из обеих частей уравнения, чтобы изолировать переменную и решить уравнение.

  Для любого уравнения вы можете проверить свое решение, подставив значение переменной в исходное уравнение. Другими словами, вы оцениваете исходное уравнение, используя свое решение. Если вы получите истинное утверждение, то ваше решение верно.

  Написание и решение алгебраических уравнений — важная часть математики. Уравнения можно использовать для описания экономических, культурных, физических и биологических процессов. Они помогают деловым людям принимать решения, а врачам и ученым находить способы лечить и помогать людям. Без математических уравнений у нас не было бы физической инфраструктуры, которая ежедневно используется для транспорта и чистой воды.

  Уравнения могут помочь вам смоделировать ситуации и решить проблемы, в которых величины неизвестны (например, как долго Джоан должна ждать, прежде чем она поедет домой). Простейшим типом алгебраического уравнения является линейное уравнение, имеющее только одну переменную.

  Когда вы выполняете шаги по решению уравнения, вы пытаетесь изолировать переменную. Переменная — это величина, которую мы еще не знаем. У вас есть решение, когда вы получаете уравнение x = некоторое значение.

  Решение одношаговых уравнений, содержащих абсолютные значения, с добавлением

  Абсолютное значение числа или выражения описывает его расстояние от 0 на числовой прямой. Поскольку абсолютное значение выражает только расстояние, а не направление числа на числовой прямой, оно всегда выражается как положительное число или 0,9.0003

  Например, [латекс]-4[/латекс] и 4 имеют абсолютное значение 4, поскольку каждое из них является 4 единицами от 0 на числовой прямой, хотя они расположены в противоположных направлениях от 0 на числовой прямой.

  При решении абсолютного значения уравнений и неравенств необходимо учитывать как поведение абсолютного значения, так и свойства равенства и неравенства.

  Поскольку и положительные, и отрицательные значения имеют положительное абсолютное значение, решение уравнений абсолютного значения означает поиск решения как для положительных, так и для отрицательных значений.

  Давайте сначала рассмотрим очень простой пример.

  [латекс] \displaystyle \left| x \right|=5[/latex]

  Это уравнение читается как «абсолютное значение x равно пяти». Решением является значение(я), отстоящее на пять единиц от 0 на числовой прямой.

  Вы можете сразу подумать о 5; это одно из решений уравнения. Обратите внимание, что [латекс]-5[/латекс] также является решением, потому что [латекс]-5[/латекс] находится в 5 единицах от 0 в противоположном направлении. Итак, решение этого уравнения [латекс] \displaystyle \left| x \right|=5[/latex] равно [latex]x = −5[/latex] или [latex]x = 5[/latex].

  Решение уравнений вида [латекс]|x|=a[/латекс]

  Для любого положительного числа a решение [латекс]\влево|х\вправо|=а[/латекс] равно

  [latex]x=a[/latex] или [latex]x=−a[/latex]

  x может быть одиночной переменной или любым алгебраическим выражением.

  Таким же образом можно решить и более сложную задачу об абсолютном значении.

  Решите алгебраические уравнения, используя свойство умножения равенства

  Точно так же, как вы можете добавить или вычесть одну и ту же точную величину в обеих частях уравнения, вы также можете умножить обе части уравнения на одну и ту же величину, чтобы написать эквивалентное уравнение. Давайте для начала рассмотрим числовое уравнение [latex]5\cdot3=15[/latex]. Если вы умножите обе части этого уравнения на 2, вы все равно получите верное уравнение.

  [латекс]\begin{array}{r}5\cdot 3=15\,\,\,\,\,\,\, \\ 5\cdot3\cdot2=15\cdot2 \\ 30=30\ ,\,\,\,\,\,\,\end{array}[/latex]

  Эта характеристика уравнений обобщается в свойство умножения на равенство .

  Свойство равенства умножения

  Для всех действительных чисел a , b и c : Если a = b , тогда }[/latex] (или ab = ac ).

  Если два выражения равны друг другу и вы умножаете обе части на одно и то же число, полученные выражения также будут эквивалентны.

  Если уравнение включает умножение или деление, вы можете «отменить» эти операции, используя обратную операцию, чтобы изолировать переменную. Когда операция умножения или деления, ваша цель состоит в том, чтобы изменить коэффициент на 1, мультипликативное тождество.

  Вы также можете умножить коэффициент на обратный мультипликатив (обратный), чтобы изменить коэффициент на 1.

  В следующем примере мы решим одношаговое уравнение, используя свойство умножения равенства. Вы увидите, что переменная является частью дроби в данном уравнении, и использование свойства равенства умножения позволяет нам удалить переменную из дроби. Помните, что дроби подразумевают деление, поэтому вы можете думать об этом как о переменной 9.

  No related posts.