Простое и составное число: Выделите простые и составные числа: 25, 37, 111, 123, 238, 345?

6 класс. Математика. Разложение числа на множители — Разложение числа на множители

Комментарии преподавателя

Опре­де­ле­ния:

Про­стым на­зы­ва­ют число, ко­то­рое имеет ровно два раз­лич­ных де­ли­те­ля.

Со­став­ным на­зы­ва­ют число, ко­то­рое имеет более двух де­ли­те­лей.

Раз­ло­жить на­ту­раль­ное число на мно­жи­те­ли – зна­чит пред­ста­вить его в виде про­из­ве­де­ния на­ту­раль­ных чисел.

Раз­ло­жить на­ту­раль­ное число на про­стые мно­жи­те­ли – зна­чит пред­ста­вить его в виде про­из­ве­де­ния про­стых чисел.

За­ме­ча­ния:

• В раз­ло­же­нии про­сто­го числа один из мно­жи­те­лей равен еди­ни­це, а дру­гой – са­мо­му этому числу.
• Го­во­рить о раз­ло­же­нии еди­ни­цы на мно­жи­те­ли не имеет смыс­ла.
• Со­став­ное число можно раз­ло­жить на мно­жи­те­ли, каж­дый из ко­то­рых от­ли­чен от 1.

	Раз­ло­жим число 150 на мно­жи­те­ли. На­при­мер, 150 – это 15 умно­жить на 10. 15 – это со­став­ное число. Его можно раз­ло­жить на про­стые мно­жи­те­ли 5 и 3. 10 – это со­став­ное число. Его можно раз­ло­жить на про­стые мно­жи­те­ли 5 и 2. За­пи­сав вме­сто 15 и 10 их раз­ло­же­ния на про­стые мно­жи­те­ли, мы по­лу­чи­ли раз­ло­же­ние числа 150.
	Число 150 можно по-дру­го­му раз­ло­жить на мно­жи­те­ли. На­при­мер, 150 – это про­из­ве­де­ние чисел 5 и 30. 5 – число про­стое. 30 – это число со­став­ное. Его можно пред­ста­вить как про­из­ве­де­ние 10 и 3. 10 – число со­став­ное. Его можно раз­ло­жить на про­стые мно­жи­те­ли 5 и 2. Мы по­лу­чи­ли раз­ло­же­ние числа 150 на про­стые мно­жи­те­ли дру­гим спо­со­бом.
	За­ме­тим, что пер­вое и вто­рое раз­ло­же­ние оди­на­ко­вы. Они от­ли­ча­ют­ся толь­ко по­ряд­ком сле­до­ва­ния мно­жи­те­лей. При­ня­то за­пи­сы­вать мно­жи­те­ли в по­ряд­ке воз­рас­та­ния.
Вся­кое со­став­ное число можно раз­ло­жить на про­стые мно­жи­те­ли един­ствен­ным об­ра­зом с точ­но­стью до по­ряд­ка мно­жи­те­лей.

При раз­ло­же­нии боль­ших чисел на про­стые мно­жи­те­ли ис­поль­зу­ют за­пись в стол­бик:

	Наи­мень­шее про­стое число, на ко­то­рое де­лит­ся 216 – это 2. Раз­де­лим 216 на 2. По­лу­чим 108.
	По­лу­чен­ное число 108 де­лит­ся на 2. Вы­пол­ним де­ле­ние. По­лу­чим в ре­зуль­та­те 54.
	Со­глас­но при­зна­ку де­ли­мо­сти на 2 число 54 де­лит­ся на 2. Вы­пол­нив де­ле­ние, по­лу­чим 27.
	Число 27 за­кан­чи­ва­ет­ся на нечет­ную цифру 7 . Оно Не де­лит­ся на 2. Сле­ду­ю­щее про­стое число – это 3. Раз­де­лим 27 на 3. По­лу­чим 9. Наи­мень­шее про­стое Число, на ко­то­рое де­лит­ся 9, – это 3. Три – само яв­ля­ет­ся про­стым чис­лом, оно де­лит­ся на себя и на еди­ни­цу. Раз­де­лим 3 на себя. В итоге мы по­лу­чи­ли 1.

• Число де­лит­ся лишь на те про­стые числа, ко­то­рые вхо­дят в со­став его раз­ло­же­ния.
• Число де­лит­ся лишь на те со­став­ные числа, раз­ло­же­ние ко­то­рых на про­стые мно­жи­те­ли пол­но­стью в нем со­дер­жит­ся.

Рас­смот­рим при­ме­ры:

	4900 де­лит­ся на про­стые числа 2, 5 и 7. (они вхо­дят в раз­ло­же­ние числа 4900), но не де­лит­ся, на­при­мер, на 13.
1.                     2.                   .	11 550 75. Это так, по­то­му что раз­ло­же­ние числа 75 пол­но­стью со­дер­жит­ся в раз­ло­же­нии числа 11550. В ре­зуль­та­те де­ле­ния будет про­из­ве­де­ние мно­жи­те­лей 2, 7 и 11.   11550 не де­лит­ся на 4 по­то­му, что в раз­ло­же­нии че­ты­рех есть лиш­няя двой­ка.

	Раз­ло­же­ние числа b пол­но­стью со­дер­жит­ся в раз­ло­же­нии числа a.
	Ре­зуль­тат де­ле­ния a на b – это про­из­ве­де­ние остав­ших­ся в раз­ло­же­нии числа a трех чисел. Итак, ответ: 30.

источник конспекта — http://interneturok.ru/ru/school/matematika/6-klass/delimost-chisel/razlozhenie-chisla-na-mnozhiteli

источник видео — http://www.youtube.com/watch?v=_qNLLx9r3Q8

источник видео — http://www.youtube.com/watch?v=_p1q9NlMN9U

источник видео — http://www.youtube.com/watch?v=0qyAVdH-iaY

источник видео — http://www.youtube.com/watch?v=s-7EErDv7Eo

источник презентации — http://prezentacii.com/matematike/5900-razlozhenie-na-prostye-mnozhiteli.html

источник теста — http://testedu.ru/test/matematika/6-klass/prostyie-i-sostavnyie-chisla-razlozhenie-na-prostyie-mnozhiteli.html

ПРОСТОЕ ЧИСЛО . Энциклопедический словарь юного математика

Натуральные числа, отличные от единицы, подразделяют на простые и составные. Простым называется такое натуральное число, делителями которого являются только оно само и единица. Остальные числа называются составными. Евклид определял простые числа так: «Простое число есть измеряемое только единицей, составное число есть измеряемое некоторым числом». Примеры простых чисел: 2, 5, 37, 1987. Числа же 4, 6, 162, 2553 составные. Число 1 не относят ни к простым, ни к составным. Простых чисел, так же как и составных, бесконечно много.

Каждое составное натуральное число можно разложить на простые множители. Например: 4 = 2·2, 6 = 2·3, 162 = 2·3·3·3·3, 2553 = 3·23·37. Можно сказать, что простые числа представляют собой как бы элементарные кирпичики, из которых строятся остальные числа.

«Основная теорема арифметики» утверждает, что любые два разложения данного натурального числа на простые множители одинаковы, если не обращать внимание на порядок следования сомножителей.

Для того чтобы доказать, что данное натуральное число N простое, достаточно установить, что оно не делится ни на одно из чисел от 2 до √N. Если же N делится на одно из таких чисел, то N составное.

Более удобный способ «отсеивания» составных чисел основан на следующем наблюдении. Если выписать подряд последовательные натуральные числа, то, зачеркивая каждое второе число из следующих за числом 2, мы отсеем все числа, кратные числу 2; зачеркивая каждое третье число из следующих за числом 3, мы отсеем все числа, кратные 3, и, вообще, какое бы натуральное число k мы ни взяли, зачеркивая каждое k-е число из стоящих за k, мы отсеем все числа, кратные k. Поэтому если нам нужно отыскать все простые числа, не превосходящие данного числа N, то выпишем подряд все числа от 2 до N. Отметим число 2 как первое простое. Затем по способу «отсеивания» отбросим все числа, кратные 2; первое невычеркнутое число — это следующее простое число 3. Отбросим все числа, кратные 3; первое невычеркнутое число — это следующее простое число 5 и т.д. Будем продолжать этот процесс до тех пор, пока не доберемся до простого числа, которое больше

√N. Все оставшиеся невычеркнутыми числа будут простыми.

Такой способ отыскания простых чисел был известен еще греческому математику Эратосфену, жившему в III в. до н.э. Во времена Эратосфена писали на восковых дощечках, а вместо того чтобы числа вычеркивать, дощечку в нужном месте прокалывали. Отсюда и название способа — «решето Эратосфена».

В разные времена математики искали формулу, которая при различных значениях входящих в нее переменных давала бы простые числа. Так, Л. Эйлер указал многочлен n² — n + 41, значения которого при n = 0,1,2,…,40 — простые числа. Однако легко доказать, что нет многочлена от одной переменной, который при всех целых ее значениях принимает простые значения. П. Ферма высказал предположение, что все числа вида  простые (при k = 0,1,2,3,4 это числа 3, 5, 17, 257, 65537). Однако Л. Эйлер опроверг это предположение, доказав, что при

k = 5 число  составное. Все же известны формулы, принимающие при всех целых значениях переменных простые значения. Так, советский математик Ю. В. Матиясевич доказал, что существует многочлен от нескольких переменных, который принимает все простые значения по одному разу, причем все положительные его значения — простые числа.

Издавна математиков интересовал вопрос о распределении простых чисел в натуральном ряду.

Рассуждение Евклида, доказывающее бесконечность числа простых чисел в натуральном ряду (см. Евклида алгоритм), применимо и для доказательства бесконечности числа простых чисел некоторого специального вида, например простых чисел вида 4n — 1. Чуть видоизменяя это рассуждение, можно получить доказательство бесконечности количества простых чисел вида 4n + 1, 6n + 1 и некоторых других.

В 1837 г. немецкому математику Л. Дирихле удалось доказать, что в любой арифметической прогрессии, первый член и разность которой взаимно просты, есть бесконечно много простых чисел. В доказательстве Дирихле были использованы новые для теории чисел методы (функции комплексного переменного, ряды), открывшие совершенно новые пути для ее развития.

О простых числах более сложного вида известно мало. Так, до сих пор неизвестно, конечно или бесконечно число простых чисел вида n² + 1 или же простых чисел вида 2ⁿ — 1 (эти последние называются простыми числами Мерсенна). Наибольшее из известных простых чисел является простым числом Мерсенна и равно 2¹³²⁰⁴⁹-1.

Вопрос о том, как часто простые числа встречаются в натуральном ряду и как они распределены среди натуральных чисел, оказался очень сложным. Изучение таблиц простых чисел показывает, что в натуральном ряду есть участки, где простые числа располагаются гуще. Есть даже числа, которые находятся совсем близко друг от друга, как, например, 2 и 3, 3 и 5, 191 и 193, 2711 и 2713. Такие пары чисел называются близнецами. До сих пор неизвестно, конечно или бесконечно число пар близнецов. Но есть и сколь угодно длинные отрезки натурального ряда, в которых нет ни одного простого числа. Например, среди последовательных чисел k! + 2, k! + 3, …, k! + k нет ни одного простого.

Важными характеристиками расположения простых чисел в натуральном ряду служат величины: π(n) — число простых чисел, не превосходящих n, и отношение π(n)/n — средняя плотность простых чисел среди первых n натуральных. Изучение таблиц простых чисел показало, что, двигаясь по натуральному ряду, мы будем встречать простые числа в среднем все реже. Эйлер обосновал это наблюдение, доказав, что

.

Отсюда, в частности, следует, что простые числа в среднем располагаются реже, чем члены какой угодно арифметической прогрессии. Можно доказать, что простые числа располагаются все же гуще квадратов натуральных чисел.

Но все эти результаты очень мало говорят о самом числе π(n). Математикам хотелось получить для π(n) какую-нибудь достаточно простую приближенную формулу. Первая гипотеза о величине π(n) была сделана независимо французским математиком А. Лежандром и К. Гауссом около 1800 г. Она заключалась в том, что π(n) ≈ n/ln n. Однако доказать это утверждение удалось лишь 100 лет спустя.

Большой вклад в разработку этого доказательства внес П. Л. Чебышев, а окончательный результат был получен в 1896 г. французским математиком Ж. Адамаром и бельгийским математиком Ш. Валле-Пуссеном. Кроме того, в 1852 г. Чебышев доказал предположение французского математика Ж. Бертрана о том, что для любого натурального числа n между числами n и 2n всегда есть простое число.

Нахождение простой факторизации составного числа

Результаты обучения

• Нахождение простой факторизации числа с использованием метода факторного дерева
• Найти простую факторизацию числа с помощью лестничного метода

В предыдущем разделе мы нашли делители числа. Простые числа имеют только два делителя: число [латекс]1[/латекс] и само простое число. Составные числа имеют более двух делителей, и каждое составное число можно записать как уникальное произведение простых чисел. Это называется простой факторизацией числа. Когда мы записываем простую факторизацию числа, мы переписываем число как произведение простых чисел. Нахождение простой факторизации составного числа поможет вам позже в этом курсе.

Простая факторизация

Простая факторизация числа — это произведение простых чисел, равное числу.

При работе с этим разделом вы можете обратиться к следующему списку простых чисел, меньших [latex]50[/latex].

[латекс]2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47[/латекс]

Совет : Знание первых пяти простых чисел пригодится при сокращении дробей.

Факторизация простых чисел с использованием метода факторного дерева

Один из способов найти разложение числа на простые множители — составить дерево факторов. Начнем с того, что запишем число, а затем запишем его как произведение двух множителей. Мы записываем факторы под числом и соединяем их с числом небольшим отрезком линии — «ветвью» дерева факторов.

Если множитель простой, мы обводим его кружком (как почку на дереве) и больше не факторизуем эту «ветвь». Если множитель не является простым, мы повторяем этот процесс, записывая его как произведение двух множителей и добавляя новые ветви к дереву.

Продолжаем, пока все ветки не закончатся штрихом. Когда факторное дерево завершено, обведенные простые числа дают нам простую факторизацию.

Например, давайте найдем простую факторизацию [latex]36[/latex]. Мы можем начать с любой пары факторов, такой как [латекс]3[/латекс] и [латекс]12[/латекс]. Мы пишем [латекс]3[/латекс] и [латекс]12[/латекс] ниже [латекс]36[/латекс] с ответвлениями, соединяющими их.

Множитель [латекс]3[/латекс] является простым, поэтому мы его обводим. Множитель [latex]12[/latex] составной, поэтому нам нужно найти его множители. Давайте используем [латекс]3[/латекс] и [латекс]4[/латекс]. Запишем эти множители на дереве под [latex]12[/latex].

Множитель [латекс]3[/латекс] является простым, поэтому мы его обводим. Множитель [латекс]4[/латекс] является составным и делится на [латекс]2\cdot 2[/латекс]. Мы записываем эти факторы под [латекс]4[/латекс]. Поскольку [latex]2[/latex] — простое число, мы обводим оба [latex]2\text{s}[/latex].

Факторизация простых чисел является произведением простых чисел, обведенных кружком. Обычно мы записываем простую факторизацию в порядке от наименьшего к наибольшему.

[латекс]2\cdot 2\cdot 3\cdot 3[/латекс]

9{2}\end{array}[/latex]

Обратите внимание, что мы могли бы начать наше дерево факторов с любой пары факторов [latex]36[/latex]. Мы выбрали [латекс]12[/латекс] и [латекс]3[/латекс], но тот же результат был бы таким же, если бы мы начали с [латекс]2[/латекс] и [латекс]18,4[ /латекс] и [латекс]9,\текст{или}6\текст{и}6[/латекс].

Найдите простую факторизацию составного числа, используя метод дерева

1. Найдите любую пару множителей данного числа и используйте эти числа для создания двух ветвей.
2. Если множитель простой, эта ветвь завершена. Обведите штрих.
3. Если множитель не является простым, запишите его как произведение пары множителей и продолжите процесс.
4. Запишите составное число как произведение всех обведенных простых чисел.

example

Найдите простую факторизацию [latex]48[/latex], используя метод факторного дерева.

Решение:

The branches under 4 use the factor pair 2 and 2. Both of these two’s are circled to show that they are prime and that branch is complete. The branches under 6 use the factor pair 2 and 3. Both of these numbers are circled to show that they are prime and that branch is complete. The prime factorization of the number 48 is made up of all of the circled numbers from the factor tree which is 2, 2, 2, 2, and 3. The prime factorization can be written as 2 times 2 times 2 times 2 times 3 or using exponents for repeated multiplication of 2 it can be written as 2 to the fourth power times 3.»>

Мы можем начать наше дерево, используя любую пару факторов [латекс]48[/латекс]. Давайте использовать [латекс]2\текст{ и }24[/латекс]. Мы обводим [латекс]2[/латекс], потому что это простое число, и эта ветвь завершена.
Теперь мы разложим [латекс]24[/латекс]. Давайте использовать [латекс]4\текст{ и }6[/латекс].
Ни один из множителей не является простым, поэтому мы также не обводим кружком. Мы множим [латекс]4[/латекс], используя [латекс]2\текст{ и }2[/латекс]. Мы факторизуем [латекс]6\текст{, используя }2\текст{ и }3[/латекс]. Мы обводим [latex]2\text{s и }3[/latex], поскольку они простые. Теперь все ветви заканчиваются штрихом. 9{4}\cdot 3[/латекс]

Проверьте это самостоятельно, перемножив все коэффициенты. Результат должен быть [латекс]48[/латекс].

 

попробуйте

В следующем видео показано, как найти простую факторизацию числа [latex]60[/latex] с помощью метода факторного дерева.

пример

Найдите простую факторизацию [latex]84[/latex], используя метод факторного дерева.

Показать раствор

 

попробуй

Лестничный метод — еще один способ нахождения простых множителей составного числа. Он приводит к тому же результату, что и метод факторного дерева. Некоторые люди предпочитают метод лестницы методу дерева факторов, и наоборот.

Чтобы начать строить «лестницу», разделите заданное число на его наименьший простой множитель. Например, чтобы начать лестницу для [латекс]36[/латекс], мы делим [латекс]36[/латекс] на [латекс]2[/латекс], наименьший простой множитель [латекс]36[/латекс] .

Чтобы добавить к лестнице «ступеньку», мы продолжаем делить на одно и то же простое число, пока оно не перестанет делиться равномерно.

Затем делим на следующее простое число; поэтому мы делим [латекс]9[/латекс] на [латекс]3[/латекс].

Продолжаем делить лестницу таким образом, пока частное не станет простым. Поскольку частное [latex]3[/latex] простое, мы остановимся здесь.

Вы понимаете, почему лестничный метод иногда называют делением с накоплением?
Факторизация простых чисел — это произведение всех простых чисел на сторонах и на вершине лестницы. {2}\end{массив}[/ латекс]

Обратите внимание, что результат такой же, как и при использовании метода факторного дерева.

Найдите разложение составного числа на простые множители с помощью лестничного метода

1. Разделите число на наименьшее простое число.
2. Продолжайте делить на это простое число до тех пор, пока оно не перестанет делиться равномерно.
3. Деление на следующее простое число до тех пор, пока оно не перестанет делиться равномерно.
4. Продолжайте, пока частное не станет простым.
5. Запишите составное число как произведение всех простых чисел на сторонах и на вершине лестницы.

example

Найдите простую факторизацию числа [latex]120[/latex], используя метод лестницы.

Показать раствор

 

попробуйте

 

пример

Найдите простую факторизацию [латекс]48[/латекс], используя метод лестницы.

Показать раствор

 

попробуйте

В следующем видеоролике мы покажем, как использовать метод лестницы для нахождения простой факторизации двух чисел.

5.3, Простые и составные числа, Число и смысл числа

Пятый класс‎ > ‎ 5.3. Простые и составные числа, число и смысл числа Сол № 5.3 Категории чертежей % Студент будет а) определить и описать характеристики простых и составных чисел; и б) идентифицировать и описать характеристики четных и нечетных чисел.   Номер и номер Смысл 14% Расчет и оценка 26% Измерение и Геометрия 24% Вероятность, Статистика, закономерности, функции и алгебра 36% Предыдущие знания Предыдущий/родственный SOL Словарь Слова и определения Оценка(и)   Родственный SOL 1. 2 – пропуск счета на 2 с до 100 2.4c — распознавать нечетные и четные числа 3.5 – факты умножения 4.5a – общие кратные и множители                         5.3 Словарные карточки VDOE Простое число —  А натуральное число ровно с двумя делителями; один и сам Факторы – Число, которое умножается на другое номер для поиска товара Составное число – Любое натуральное число, содержащее более двух факторы Натуральное число —   подсчет чисел (1, 2, 3, …) Простая факторизация —  Нахождение множителей числа, которые все простые Продукт – Ответ в умножении Четный – Любое число, оканчивающееся на 0, 2, 4, 6 или 8; делится на два Нечетный – Любое число, оканчивающееся на 1, 3, 5, 7 или 9 5. 3 испытание       Ресурсы Книги Технология Уроки Торговые книги   Вы можете рассчитывать на Монстры (Ричард Эван Шварц)   Эвен Стивен и Одд Тодд   Среди шансов и Эвены     Учебники   Преподавание математики, ориентированной на учащихся (Джон Ван де Валле)   Записная книжка Дины Зике (от Дины Зике)   Большая книга по математике Дины Зике (автор Дина Зике)   Brain Pop — Простые числа Математика Рабочие листы   SMARTBoard Мероприятия (см. файлы ниже) Четные и нечетные числа Факторы, простые и составные числа Обзор номеров Факторы, простые и составные   Учебные пособия VA Ресурсы Министерства энергетики США   5.3 Учебное пособие       Сито Эратосфена Партнеры и остатки Простые и составные числа               Прочее                                                                                                 ПОНИМАНИЕ СТАНДАРТА ОСНОВНЫЕ ПОНИМАНИЯ ОСНОВНЫЕ ЗНАНИЯ И НАВЫКИ   · Простое число – это натуральное число, имеющее ровно два различных делителя: единицу и число сам. · Составное число натуральное число, имеющее более двух различных делителей. · Число 1 ни простым, ни составным, потому что у него есть только один фактор — он сам. · Лучшее Факторизация числа — это представление числа в виде произведения его основных факторов. Например, простая факторизация числа 18 равна 2 ´ 3 ´ 3.  · Первичная факторизация концепции могут быть разработаны с использованием факторных деревьев. · Грунт или композит числа могут быть представлены прямоугольными моделями или прямоугольными массивами на сетчатая бумага. Простое число может быть представлено только одним прямоугольным массивом (например, 7 может быть представлено как 7 ´ 1 и 1 x 7). Составное число может всегда быть представлен более чем двумя прямоугольными массивами (например, 9 может быть представлено 9 х 1, 1 х 9 или 3 х 3). · Правила делимости являются полезными инструментами для определения простых и составных чисел. · Студенты должны использовать манипуляции (например, блоки с основанием 10, кубики, плитки, доска сотен и т. д.) для исследовать и классифицировать числа в группы нечетных или четных.   · Студенты должны использовать правила деления чисел на группы четных и нечетных. Правила могут включать: — Нечетное число составляет , а не . иметь множитель 2 или не делится на 2. — Сумма двух четных числа четные. – Сумма двух нечетных числа четные. — Сумма четного числа а нечетное есть нечетное. – Четные числа имеют четное число или ноль в разряде единиц. – Нечетные числа имеют нечетное число в разряде единиц. — четное число имеет 2 как множитель или делится на 2.   Всем учащимся ·  Понимать и использовать уникальные характеристики определенных наборов чисел, в том числе простых, составные, четные и нечетные числа. No related posts. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт