Пустое множество подмножеством является подмножеством любого множества: Множества — Теория — Универсальное и пустое множества

«Докажите, что пустое множество является подмножеством любого множества.» — Яндекс Кью

Математика и математики

Популярное

Сообщества

Мне кажется, мне нужна подсказка. Я пытался доказать методом от противного, но у меня ничего не вышло.

Феликс Дзержинский

Математика и математики

18 февраля  ·

731

ОтветитьУточнить

Лучший

Надежда Шихова

Математика

8,5 K

Редактор, автор и переводчик книг по математике  · 18 февр  ·

problemaday

От противного — отличный прием.

Предположим противное — что существует множество А, для которого пустое множество не является подмножеством.

Это значит, что в пустом множестве имеется элемент, не принадлежащий А. Противоречие, ведь в пустом множестве нет ни одного элемента.

Значит, такого множества А не существует, и пустое множество является подмножеством любого множества

Алексей Простаков

21 августа

Я не очень это понимаю. Вот конкретный пример. Пусть имеется множество М={1}. Если пустое множество является… Читать дальше

Комментировать ответ…Комментировать…

Михаил Мулюков

Математика

127

Математик-теоретик, занимаюсь исследованиями в области дифференциальных уравнений с запазд…  · 19 февр

Коллеги уже дали замечательные ответы, но я предложу ещё один вариант. Утверждение, которое Вы хотите доказать эквивалентно следующему: «если некоторый элемент принадлежит пустому множеству, то он принадлежит любому множеству». Утверждение типа «если А, то Б» называется импликацией.

В математической логике импликация ложна в одном единственном случае: если утверждение А… Читать далее

Виктор Семенов

22 февраля

А кто Вам позволил так сужать условие? У Вас же получилось «доказательство в себе»: Вы переформулировали условие… Читать дальше

Комментировать ответ…Комментировать…

Владимир Горбацевич

Математика

1,7 K

математика нестандартный психоанализ  · 18 февр

Зачем от противного??? Проще прямо:условие подмножества»любой элемент пустого множества принадлежит заданному» выполнено! Все!!!

Комментировать ответ…Комментировать…

Владимир Марченко

Математика

336

Православный христианин. Преподаватель математики.  · 19 февр

Пусть дано множество. Что Вы хотите доказать? — Утверждение о том, что любой элемент пустого множества является элементом данного.

Пусть это не так. Напишите, что это значит. Это верно? — Очевидно, нет (понятно почему?). Значит, верно исходное утверждение.

Подробно — в ответе Надежды Шиховой.

Комментировать ответ…Комментировать…

Юрий Куклин

Математика

27

Математик, интересуюсь вопросами истории, философии, лингвистики  · 18 февр

Математика стремится избегать так называемых «абсолютных» вопросов. Надо прежде всего уточнить все термины, употреблённые в этом вопросе — пустое множество, «любое» множество, подмножество, доказательство, наконец. Обычно пустое множество вводится по определению или по условию, что оно — подмножество любого множества данной теории, и это никакого доказательства не требует

Комментировать ответ…Комментировать…

Maxim Vyalkov

Математика

1,3 K

Интересующие темы: история математики, история христианства, библеистика.   · 19 февр

Именно подсказки дать могу. Но не решить задачу за вас. Это задача на «творческое» доказательство. Обычно, в справочниках исходное положение постулируется аксиоматически, но можно попытаться его доказать. 1. Копать в сторону аксиом теории множества: аксиомы пустого множества, аксиомы булеана, аксиомы регулярности, аксиомы пары. Аксиому выбора лучше не трогать… Читать далее

Михаил Мулюков

19 февраля

У меня бы крыша поехала, если бы я всё это прочитал, когда знакомился с теорией множеств. Возможно, автор вопроса… Читать дальше

Комментировать ответ…Комментировать…

Александр

Математика

173

Закончил физфак Новосибирского университета. Занимался теор. физикой и преподаванием…  · 18 февр

Для ответа на этот вопрос нужно сообщить набор аксиом, в рамках которых нужно отвечать.

Комментировать ответ…Комментировать…

Александр Баранов

24

Наблюдаю за наблюдающими. Образование: школа и т.п. … Изучал теор. и мат. физика )),…  · 28 февр

Подмножество зарегистрированных на Кью всех пользователей = А Подмножество экспертов Кью = K: (тогда при появлении вложения — появляется двойственность)  Вар 1). Подмножество остальных  пользователей Кью = Z равно (A + K) ,  но Z по отношению к подмножеству K во множестве A  — «с точки зрения характеристик» множества К к Z — пустое. Получаем А сопоставимо с К. Такого… Читать далее

Комментировать ответ…Комментировать…

Вы знаете ответ на этот вопрос?

Поделитесь своим опытом и знаниями

Войти и ответить на вопрос

О сообществе

Математика и математики

Сообщество практикующих математиков разного уровня. Оригинальные решения, нетворкинг и общение. Не отвечаем на школьные задачки!

Пустое множество | это… Что такое Пустое множество?

Обозначение пустого множества

Пусто́е мно́жество (в математике) — множество, не содержащее ни одного элемента. Из аксиомы объёмности следует, что есть только одно множество, обладающее таким свойством. Пустое множество является своим (тривиальным) подмножеством, но не является своим элементом.

Пустое множество является конечным множеством и имеет наименьшую мощность среди всех множеств. Пустое множество — единственное множество, для которого класс множеств, равномощных ему, состоит из единственного элемента (самого́ пустого множества). Также, пустое множество — единственное множество, имеющее ровно 1 подмножество (само себя), и единственное множество, равномощное любому своему подмножеству.

Пустое множество тривиальным образом является разрешимым (а значит, перечислимым и арифметическим), транзитивным (англ. ) и вполне упорядоченным множеством (для любого отношения порядка). Пустое множество является наименьшим порядковым числом и наименьшим кардинальным числом. В топологии, пустое множество является одновременно замкнутым и открытым множеством.

-цепочка, начинающаяся с произвольного множества, каждый последующий член которой является элементом предыдущего, всегда через конечное число шагов завершается пустым множеством (см. аксиому регулярности). Таким образом, пустое множество является «строительным кирпичиком», из которого строятся все остальные множества.

В некоторых формулировках теории множеств существование пустого множества постулируется (см. аксиому пустого множества), в других — доказывается.

Содержание 1 Обозначения пустого множества 2 Свойства пустого множества 3 См. также 4 Ссылки

Обозначения пустого множества

Обычно пустое множество обозначают одним из следующих символов: , и .

Реже пустое множество обозначают одним из следующих символов: и .

В Юникоде имеется специальный символ «пустое множество» (U+2205,∅).

Символы и введены в употребление группой Бурбаки (в частности, Андре Вейлем) в 1939 году.

Символ идентичен букве Ø в Датско-норвежском алфавите^[1].

Свойства пустого множества

• Ни одно множество не является элементом пустого множества. Иначе говоря, и, в частности, .
• Пустое множество является подмножеством любого множества. Иначе говоря, и, в частности, .
• Объединение пустого множества с любым множеством равно последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, и, в частности, .
• Пересечение пустого множества с любым множеством равно пустому множеству. Иначе говоря, и, в частности, .
• Исключение пустого множества из любого множества равно последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, и, в частности, .
• Исключение любого множества из пустого множества равно пустому множеству. Иначе говоря, и, в частности, .
• Симметрическая разность пустого множества с любым множеством равна последнему [указанному множеству]. Иначе говоря, и, в частности,
• Декартово произведение пустого множества на любое множество равно пустому множеству. Иначе говоря, и, в частности, .
• Пустое множество — транзитивно. Иначе говоря, , где .
• Пустое множество — ординал. Иначе говоря, , где .
• Мощность пустого множества равна нулю. Иначе говоря, .
• Мера пустого множества равна нулю. Иначе говоря,

См. также

• Аксиома пустого множества

• Аксиоматика теории множеств

Ссылки

1. ↑ Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic  (англ.). — История появления символов теории множеств и логики. Архивировано из первоисточника 22 августа 2011. Проверено 28 сентября 2010.

элементарная теория множеств. Является ли пустое множество подмножеством самого себя?

спросил 9 лет, 9 месяцев назад

Изменено 1 год, 11 месяцев назад

Просмотрено 62к раз

$\begingroup$

Извините, но я не думаю, что могу знать, так как это определение. Скажи пожалуйста. Я не думаю, что $0=\emptyset\,$, поскольку я различаю пустой набор и значение $0$. Все ли множества, даже пустые, имеют бесконечную пустоту, например. все ли множества, включая пустое множество, содержат бесконечно много пустых множеств?

• теория элементарных множеств
• логика
• определение

$\endgroup$

10

$\begingroup$

Имеется только один пустой набор. Это подмножество каждого множества, включая самого себя. Каждый набор включает его только один раз как подмножество, а не бесконечное количество раз.

$\endgroup$

10

$\begingroup$

Пусть $A$ и $B$ — множества. Если каждый элемент $a\in A$ также является элементом $B$, то $A\subseteq B$.

Переверните это, и вы получите

Если $A\not\subseteq B$, то существует такой элемент $x\in A$, что $x\notin B$.

Если $A$ — пустое множество, то в $A$ нет $x$, поэтому, в частности, в $A$ нет $x$, не принадлежащих $B$. Таким образом, $A\not\subseteq B$ не может быть истинным. Кроме того, обратите внимание, что мы не использовали никаких свойств $B$ в предыдущей строке, так что это применимо к каждому набору $B$, включая $B=\emptyset$.

(С более широкой точки зрения вы можете думать о пустом множестве как о множестве, для которого $x\in\emptyset\импульс P$ истинен для каждого оператора $P$. Например, каждый $x$ в пустом множестве оранжевый; кроме того, каждый $x$ в пустом множестве не является оранжевым. Ни в одном из этих утверждений нет противоречия, поскольку нет $x$, которые могли бы дать контрпримеры.)

$\endgroup$

$\begingroup$

Пустое множество является подмножеством пустого множества, поскольку каждый элемент пустого множества является элементом пустого множества. Но $0$ не находится в пустом множестве.

$A \subseteq B$, когда $x\in A \подразумевает x\in B$. Поскольку $x\in A \iff x\in A$, мы видим, что $A \subseteq A$ всегда истинно, когда $A$ является множеством.

Значение — это значение, а не набор, иногда $0$ определяется как пустой набор, но тогда $0$ — это пустой набор, а не число.

Это происходит, например, в теории категорий, поскольку вас интересуют только абстрактные множества, а все множества одинаковой мощности в некотором смысле одинаковы, вы просто называете конечные множества их мощностью.

$\endgroup$

$\begingroup$

Любой набор является подмножеством самого себя. Пусть $$A=\{x\,\vert\,\varphi(x)\}.$$ Как $$\varphi(x)\подразумевает \varphi(x),$$ у нас есть $$A\subseteq A.$$

$\endgroup$

$\begingroup$

Поскольку рефлексивность $\subseteq$, для всех $A$ множество $A \subseteq A$ истинно. Для $A = \emptyset$ у нас есть $\emptyset \subseteq \emptyset$, поэтому пустое множество является подмножеством самого себя.

$\endgroup$

$\begingroup$

Пересечение двух множеств является подмножеством каждого из исходных множеств. Таким образом, если $\phi$ — пустое множество, а A — любое множество, то $\phi\cap A $ — это $\phi$, что означает, что $\phi$ — это подмножество A (которое является любым множеством), а $\phi$ — это подмножество $\phi$, из которого следует, что пустое множество является подмножеством самого себя.

$\endgroup$

$\begingroup$

По определению подмножества этот вопрос означает: Является ли каждый элемент пустого множества членом пустого множества? Ответ должен быть положительным, так как пустое множество не содержит элементов.

$\endgroup$

$\begingroup$

Пустое подмножество может быть выбрано из любого множества, включая само пустое множество, с использованием критериев выбора, которые не могут быть удовлетворены, т. е. выбор таких элементов $x$, что $x\neq x$.

См. мое официальное доказательство (в формате DC Proof) по адресу: http://dcproof.com/ExistenseOfNullSet.htm

Существует только один пустой набор. Если $\phi_1$ и $\phi_2$ — пустые множества, то $\ \phi_1 = \phi_2$.

См. мое формальное доказательство (в формате DC Proof) по адресу: http://dcproof.com/UniquenessOfNullSet.htm

---

Редактировать : Для любого набора $X$ мы можем выбрать пустое подмножество $S$, такое что:

$\forall a:[a\in S\iff a\in X\land a\neq a]$

или

$\forall a:[a\in S\iff a\in X\land a\ нотин X]$

$\endgroup$

1

элементарная теория множеств — Является ли $\{\emptyset\}$ подмножеством $\{\{\emptyset\}\}$?

спросил 9 лет, 3 месяца назад

Изменено 9 лет, 3 месяца назад

Просмотрено 13 тысяч раз

$\begingroup$

$\{\emptyset\}$ — множество, содержащее пустое множество. Является ли $\{\emptyset\}$ подмножеством $\{\{\emptyset\}\}$?

Моя гипотеза утвердительная, если посмотреть на форму «надмножества $\{\{\emptyset\}\}$», которое содержит «подмножество $\{\emptyset\}$».

• элементарная теория множеств

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Проще просто заменить все на переменные, тогда и понятнее.

Установите $a=\varnothing, b=\{\varnothing\}=\{a\}$ и $c=\{\{\varnothing\}\}=\{\{a\}\}=\ {б\}$.

Теперь вопрос в том, $\{a\}\subseteq\{b\}$. Но так как $a\neq b$, легко увидеть, что ответ отрицательный.

$\endgroup$

8

$\begingroup$

Нет, $\emptyset \in \{\emptyset\}$, но $\emptyset \notin \{\{\emptyset\}\}$.

$\endgroup$

14

$\begingroup$

Для таких абстрактных вопросов важно придерживаться определений задействованных понятий.

По определению , $A$ является подмножеством $B$, если каждый элемент, содержащийся в $A$, также содержится в $B$.

Теперь посмотрим на $A = \{\emptyset\}$ и $B = \{\{\emptyset\}\}$. $A$ имеет ровно один элемент, а именно $\emptyset$. Это не элемент $B$, поскольку единственным элементом $B$ являются $\{\emptyset\}$ и $\emptyset \neq \{\emptyset\}$ (см. ниже). Таким образом, $A$ не является подмножеством $B$.

Почему $\emptyset \neq \{\emptyset\}$? По определению два множества равны, если они содержат одни и те же элементы. Однако $\emptyset$ — это пустое множество без какого-либо элемента, а $\{\emptyset\}$ — это $1$-элементное множество с элементом $\emptyset$.