Таким образом, для натурального показателя степень представляет собой укороченную запись умножения одинаковых множителей. В данном случае чтобы найти значение степени, следует перемножить число, которое является основанием, само на себя указанное количество раз.
Пример 1
Рассмотрим возведение числа 3 в степень 5. Согласно приведенному выше базовому определению:
35 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243
Для операций возведения во вторую и третью степень имеются устоявшиеся названия: возведение в квадрат и куб, соответственно. Таким образом, выражение «32» может быть прочитано как «три во второй степени» или «три в квадрате», оба варианта будут верными.
Значение степенных выражений с дробным основанием и натуральным показателем находится по той же схеме. В то же время, в соответствии с правилом умножения дробей, операция возведения дроби в степень может быть разбита на два действия, когда числитель и знаменатель возводятся в соответствующую показателю степень по отдельности.
Операция возведения в натуральную степень имеет определенные особенности при работе с отрицательными числами. Рассмотрим следующий пример:
Пример 3
Найдем значения степенных выражений (-5)3 и (-5)4. Для этого, согласно базовому определению, необходимо умножить основание само на себя 3 и 4 раза соответственно:
(-5)3 = (-5) × (-5) × (-5) = -125
(-5)4 =(-5) × (-5) × (-5) × (-5) = 625
Из приведенного примера можно видеть, что в первом случае полученный результат является отрицательным числом, а во втором – положительным. Это связано с правилом перемножения отрицательных чисел. Следствием из него является то, что если показатель степени отрицательного числа представляет собой четное число, результат будет положительным, если нечетное – отрицательным. Таким образом, степень с отрицательным основанием и четным показателем будет равна степени с таким же показателем и основанием, равным по модулю, но противоположным по знаку.
{n}=\underbrace{a \times a \times \ldots \times a}_{\text {п множсителей }}\]вне зависимости от значения основания, число в степени 1 равно самому себе.
На практике возможны и более сложные случаи, когда требуется найти значение степенного выражения, в котором показатель не является натуральным числом. Ниже будут рассмотрены ситуации, когда показатель степени представляет собой целое, дробное, рациональное или иррациональное число.
Вычисление степеней с целым показателем
Все операции по возведению в целую степень можно разделить на три группы: когда показатель является целым положительным (натуральным) числом, когда он равен нулю, и когда он является отрицательным числом.
Случай с натуральным показателем был рассмотрен ранее, поэтому мы не будем к нему возвращаться.
В случае, когда показатель равен нулю, для любого не равного нулю основания значение степени будет равно единице. Если же и основание, и показатель степени равны нулю значение выражения будет не определено. {1 / 2}}=\frac{1}{\sqrt{49}}=\frac{1}{7}\]
Также необходимо рассмотреть случай, когда основанием степени является ноль, а показателем – дробное число. Как и в случае с целыми показателями, подобные выражения имеют смысл лишь в том случае, когда показатель больше нуля. В противном случае выражение будет не определено.
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
Контрольная
| от 300 ₽ |
Реферат
| от 500 ₽ |
Курсовая
| от 1 000 ₽ |
Нахождение степеней с иррациональным показателем
Иногда возникает необходимость нахождения значения степени, показатель которой представляет собой иррациональное число. Проблема заключается в том, что найти точное значение подобного выражения невозможно. Однако для решения любой практической задачи, как правило, достаточно нахождения значения степенного выражения с определенной степенью точности. В этом случае иррациональный показатель округляется до требуемого десятичного знака, после чего вычисление осуществляется согласно правилам, принятым для дробного показателя. {1,4142} \approx 2,66512\]
Можно видеть, что полученные значения различаются во втором знаке после запятой, при этом второе значение является более точным.
В большинстве случаев вычисление степеней с иррациональными показателями является сложной задачей, для решения которой используется вычислительная техника.
Исследовательская работа «Алгебраические уравнения высших степеней» • Наука и образование ONLINE
Главная Работы на конкурс Предметное образование Физико-математические дисциплины Исследовательская работа «Алгебраические уравнения высших степеней»
Автор: Гаврилова Диана Михайловна
Место работы/учебы (аффилиация): МБОУ Средняя общеобразовательная школа №69 с углубленным изучением отдельных предметов г. Ижевска, 9 класс
Научный руководитель: Коновалова Ольга Викторовна
Решение алгебраических уравнений высших степеней с одним неизвестным представляет собой одну из труднейших и древнейших математических задач. Интерес к ним достаточно велик, так как эти уравнения тесно связаны с поиском корней уравнений, не рассматриваемых школьной программой по математике. В этом году мне, как ученице 9 класса, предстоит написать основной государственный экзамен по математике, где во второй части встречаются уравнения высших степеней. Я думаю, что данная тема актуальна тем, что она может пригодиться как ученикам 9, так и 11 классов.
Гипотеза: не существует универсальный способ решения для всех видов уравнений высших степеней.
Цель моего исследования: подробно изучить алгебраические уравнения высших степеней и выявить наиболее интересные и практичные способы решения.
Объект моего исследования: уравнения высших степеней
Для достижения цели исследования я поставила перед собой следующие задачи:
- Изучить исторические сведения об уравнениях высших степеней;
- Рассмотреть различные способы решения данных уравнений;
- Научиться решать алгебраические уравнения высших степеней;
- Составить алгоритмы решения данных уравнений.
Выводы:
- Занимаясь изучением своей темы, я узнала много интересного об алгебраических уравнениях высших степеней, изучила их историю, рассмотрела методы решения.
- Исследую разные методы решения уравнений, я узнала их признаки и особенности. Я выполнила поставленные мною задачи. Во-первых, я изучила исторические сведения об уравнениях высших степеней. Во-вторых, рассмотрела различные способы решения данных уравнений. В-третьих, научилась решать алгебраические уравнения высших степеней. И, в-четвертых, составила алгоритмы решения данных уравнений. Больше всего мне понравилось решать уравнения с помощью схемы Горнера.
- И главное, я выполнила цель работы — подробно изучила алгебраические уравнения высших степеней и выявила наиболее интересные и практичные способы решения. Я рассмотрела много способов решения уравнений высших степеней, но для себя выявила только несколько. Т.к некоторые из решений мне были не понятны. Например, решение с помощью метода Феррари я не смогла выполнить, потому что этот материал пока сложен мне для понимания.
- Рассмотренные мною методы имеют свои особенности и могут подойти не для всех видов уравнений высших степеней, т.е. выдвинутая гипотеза полностью доказана.
- Я считаю, что теорема Виета — достаточно простой способ решения, но требующий много времени и вычислений. Формула Кардано — слишком громоздкая, поэтому на практике используется редко. А теорема Безу и схема Горнера — наиболее практичные и экономичные методы решения, которые смогут помочь на ОГЭ и ЕГЭ.
Загрузка…
Проект «Алгебра в экономике (бизнес планирование)»
В экономической науке широко используется методы анализа, синтеза, индукции, научного абстрагирования, а также математический инструментарий. Гипотеза: Математические законы и понятия, которыми мы владеем, используются ли в экономике. Цель работы: По…
Посмотреть работу