Нахождение максимума и минимума функции онлайн: Интервалы возрастания и убывания функции онлайн

5.8. Экстремум функции многих переменных

Рассмотрим вопрос анализа «в статике» с использованием положений линейной алгебры и дифференциального исчисления, а также условий, которые позволяют идентифицировать точки оптимума. Такие условия используются для проверки выбранных точек и дают возможность выяснить, являются ли точки точками минимума, максимума или седловыми точками.

Определение. Экстремумом функции двух переменных называется её максимальное или минимальное значение на заданном множестве изменения переменных.

Экстремумы и методы их нахождения имеют широкое применение в экономических исследованиях, при выборе наилучших вариантов инвестиций, производственных программ, вложения денег в покупки и т. п.

Определение. Значение функции F(M) в точке М0 называется Максимумом (минимумом), если оно является набольшим (наименьшим) по сравнению с ее значениями во всех достаточно близких точках:

.

Пример 53. На рис. 37 представлен график функции двух переменных, точка М0(5, 8), в которой достигается максимум функции, окрестность точки М0(5, 8), максимальное значение функции F(X, Y), равное F(5, 8); на рис. 38 – график функции точка  М0(4, 9), в которой достигается минимум функции, окрестность точки М0(4, 9), минимальное значение функции F(4, 9).

Из определения экстремума функции видно, что понятие экстремума является локальным. Другими словами, можно сказать, что приведенное определение экстремума является определением локального экстремума, функция может иметь несколько локальных максимумов или минимумов. Ясно, что при нахождении лучшего решения следует ориентироваться на наибольший из локальных максимумов, если ищется наибольшее значение функции, и на наименьший из локальных минимумов, если ищется наименьшее значение функции.

Определение. Наибольшая величина из локальных максимумов называется Глобальным максимумом, наименьший из локальных минимумов – Глобальным минимумом.

Задача нахождения локальных экстремумов, а тем более глобальных, для функции нескольких переменных является достаточно трудной, в общем случае для произвольного числа переменных практически неразрешимой. Для выпуклых функций разработаны специальные методы нахождения экстремумов.

Замечание. Любой локальный экстремум выпуклой функции является глобальным.

Определение. Функция многих переменных может иметь максимум или минимум (экстремум) только в точках, лежащих внутри области определения функции, в которых все ее частные производные первого порядка равны нулю или не существуют. Такие точки называются

Критическими.

Замечание. Это необходимые условия экстремума, но недостаточные, они могут выполняться и в точках, где нет экстремума.

Это определение дает схему нахождения экстремальных точек. Составляется система уравнений относительно переменных Х и У:

Решение системы представляет собой пары (х0, у0), (х1, у1) и т. д., которые называются точками «подозрительными» на экстремум, т. е., если функция имеет экстремумы, то они могут достигаться только в этих точках. Для определения, достигается ли в каждой из найденных точек максимальное (минимальное) значение или в рассматриваемой точке нет экстремума, требуется проведение дополнительных исследований.

Пример 54. Найти экстремум функции Z = X2 + (Y – 1)2.

Найдя частные производные и приравняв их к нулю, получаем систему уравнений:

Решение этой системы очевидно: Х = 0, у = 1. Поскольку Z  0 при всех Х, у, то ясно, что найденная точка (0, 1) есть точка минимума.

Пример 55. Определить, имеет ли функция Z = X3 + Y3 экстремумы.

Решение. Найдем частные производные и приравняем их к нулю:

Точка (0, 0) является «подозрительной». Однако экстремума функция в этой точке не имеет, так как в любой окрестности этой точки она принимает значения разных знаков, а в самой точке (0, 0) значение функции равно нулю.

Рассмотрим Достаточные условия экстремума для функции двух переменных.

Пусть функция z = f(x, y) непрерывна со своими частными производными первого и второго порядка в некоторой окрестности точки

М(х0, у0). Пусть в этой точке выполнены необходимые условия экстремума:

В этой точке пусть вычислены частные производные второго порядка.

Введем обозначения:

Тогда Достаточные условия максимума и минимума имеют вид:

1)  если D>0, то в точке М функция F(X, Y) имеет экстремум, а именно, Максимум при A<0 и Минимум при A>0;

2)  если D<0, то в точке М функция F(X, Y) экстремума не имеет;

3)  если D = 0, то требуются дополнительные исследования.

Пример 56. Исследовать на экстремум функцию: Z = F(X, Y) = X3 + Y3 – 3

Xy.

Решение. Составим систему уравнений:

Её решением являются пары (0, 0) и (1, 1), т. е. на экстремум надо проверить точки М0(0, 0) и М1(1, 1). Частные производные второго порядка имеют вид:

Вычислим D в точках М0 и  М1 :  < 0, значит экстремума в этой точке нет; > 0, при этом А = 6 > 0 и, следовательно, в точке М1 – минимум.

Пример 57. Исследовать на экстремум функцию

Решение. Ищем критические точки:

Находим М0(1, 0) и М1(-1, 0). Эти точки принадлежат области определения исследуемой функции: - < X < +, 0  Y < + (которая представляет половину плоскости ХОу, лежащую выше оси Ох, включая и ось Ох), но они расположены не внутри этой области, а на её границе У = 0.

Поэтому точки М0 и М1 Не являются критическими. Частные производные по Х и по У существуют во всей области определения функции U. Поэтому данная функция, как не имеющая критических точек, не имеет экстремума.

Пример 58. Исследовать на экстремум функцию

Решение. Ищем критические точки:

Решая систему, найдем единственную критическую точку функции М(1; 1).

Далее, чтобы установить, будет ли экстремум в точке М, вычисляем

Здесь оказалось, что D = 0. Чтобы установить, имеет ли экстремум функция V В критической точке М, исследуем знак её приращения

 вблизи точки М.

Пусть М1 лежит на биссектрисе У = х. Тогда  Если М1 будет ниже М, т. е. если УМ1 < 1, то < 0, а если М1 будет выше М, т. е. если УМ1 > 1, то> 0. Здесь оказалось, что вблизи точки

М разность Не сохраняет знака, вследствие чего в точке М нет экстремума.

Замечание. Для функций с числом переменных больше двух достаточные условия экстремума имеют сложный вид и требуют глубоких знаний по математическому анализу

Пример 59. Исследовать на экстремум функцию

Решение. Ищем критические точки:

Эти частные производные не обращаются в нуль ни при каких значениях X, Y, Z; они не существуют (обращаются в бесконечность) в точке М(0, 0, 0). Эта точка лежит внутри области определения функции W, которая представляет совокупность всех точек (X, Y, Z) пространства. Поэтому М(0, 0, 0) критическая точка.

Исследуя знак разности Вблизи точки М, убеждаемся, что при любых отличных от нуля значениях

Х, Y, Z она сохраняет положительный знак. Поэтому М есть точка минимума,

Вопросы к главе 5

1.  Дайте определение функции многих переменных.

2.  Приведите примеры функций многих переменных, используемых в экономике.

3.  Что называется графиком функции двух переменных? Приведите примеры.

4.  Сформулируйте определение множества (линии) уровня функции двух переменных. Может ли множество уровня функции двух переменных не быть линией?

5.  Опишите взаимосвязь между градиентом функции двух переменных и ее линией уровня.

6.  Перечислите основные свойства градиента функции.

7.  Дайте определение возрастающей (убывающей) функции многих переменных.

8.  В каком случае функция является вогнутой?

9.  Всегда ли локальный экстремум выпуклой функции является глобальным?

10.  Дайте определение экстремума функции двух переменных.

11.  Сформулируйте достаточные условия максимума и минимума функции двух переменных.

< Предыдущая		Следующая >

Сообщество Экспонента

• вопрос
• 14. 2 (вольт — частотная корректировка) 3. Добавить вентиляторную…
  • ПЧ
  • Скалярное управление
  • АД

  14.12.2022

  • Отвеченный вопрос
  • 13.12.2022

  Другое, Математика и статистика, Цифровая обработка сигналов

  Здравствуйте. Подскажите пожалуйста как (и можно ли вообще) решить систему квадратных уравнений. eqn1=(x-y)/(A0-x-y)/(m0-x-2*y)==K1; eqn2=y/(x-y)/(m0-x-2*y)==K2; То есть выразить переменные x и y чер…

  Здравствуйте. Подскажите пожалуйста как (и можно ли вообще) решить систему квадратных уравнений. eqn1=(x-y)/(A0-x-y)/(m0-x-2*y)==K1; eqn2=y/(x-y)/(m0-x-2*y)==K2; То есть выразить переменные x и y чер…

  5 Ответов

  • Публикация
  • 07.12.2022

  Электропривод и силовая электроника

  Наша команда представила решение для электроэнергетической отрасли на базе КПМ РИТМ. В очередной раз мы провели демонстрацию работы стенда с терминалами РЗиА (ВАЖНО! — мы не занимаемся рекламой сипротеков, на их месте может быть любой терминал, в том числе и В. ..

  На прошлой неделе прошел международный форум «Электрические сети», который объединил десятки ведущих представителей профессионального сообщества электроэнергетики, а также задал вектор развития для внедрения новых прорывных технологий.

  • Электропривод
  • электроэнергетика

  07.12.2022

  • Публикация
  • 07.12.2022

  Робототехника и беспилотники

  В докладе будет рассказано о применении алгоритмов обучения с подкреплением к различным задачам: от простых игровых задач до задачи навигации мобильного робота. Также будут представлены результаты сравнения различных алгоритмов в задачах избежания столкновения…

  Приглашаем на вебинар «Обучение с подкреплением: от игр к реальным задачам», который пройдет 13 декабря в 10:00.

  В настоящее время технологии обучения с подкреплением активно применяются во многих сферах: от ритейла до автономных транспортных средств. Может быть лучше: основной сложностью этого подхода является отсутствие размеченных данных, и, к сожалению, нет формализованного подхода как данные могут быть размечены для этой задачи. Другая сложность — это формализация функции вознаграждения. От удачного ее выбора зависит конечный успех настройки алгоритма управления.

  • MATLAB
  • Simulink
  • САУ
  • МОП
  • Модельно ориентированное проектирование
  • Искусственный интеллект

  07.12.2022

  • вопрос
  • 07.12.2022

  Системы связи, Цифровая обработка сигналов, ПЛИС и СнК, Другое

  Здравствуйте! У меня вопрос по поводу дифференциальной квадратурной фазовой модуляции (DQPSK), которая применяется в стандарте связи TETRA.  Мне необходимо построить сигнал с данной модуляцией и…

  Здравствуйте! У меня вопрос по поводу дифференциальной квадратурной фазовой модуляции (DQPSK), которая применяется в стандарте связи TETRA.  Мне необходимо построить сигнал с данной модуляцией и…

  13 Ответов

  • вопрос
  • 07. 12.2022

  Изображения и видео, Математика и статистика, Автоматизация испытаний, Другое

  Добрый день, мне нужно выполнить в матлаб вычитание постоянного наклона для изображения, полученного атомно-силовым микроскопом. Изображение представляет собой квадратную матрицу. Для этого требуется…

  Добрый день, мне нужно выполнить в матлаб вычитание постоянного наклона для изображения, полученного атомно-силовым микроскопом. Изображение представляет собой квадратную матрицу. Для этого требуется…

  6 Ответов

  • вопрос
  • 06.12.2022

  Математика и статистика, Системы управления, Изображения и видео, Робототехника и беспилотники, Глубокое и машинное обучение(ИИ)

  Коллеги, добрый день.     Как правильно орудоватьть fprintf, чтобы получить лог-файл следующего вида дата tab событие дата tab событие ….   Я прорбую вот так: fid1=fopen(fullfile(app….

  Коллеги, добрый день.     Как правильно орудоватьть fprintf, чтобы получить лог-файл следующего вида дата tab событие дата tab событие ….   Я прорбую вот так: fid1=fopen(fullfile(app….

  1 Ответ

  • вопрос
  • 05.12.2022

  Системы управления, Изображения и видео, Робототехника и беспилотники, Глубокое и машинное обучение(ИИ), Другое

  Дорогой, hub/exponenta/   подсткажите, пожалуйста, есть ли какая-нибудь разница при запуске в среде Апп дизайнера и откомпелировангого проекта? В среде Апп дизайнера файл создается с помощью функ…

  Дорогой, hub/exponenta/   подсткажите, пожалуйста, есть ли какая-нибудь разница при запуске в среде Апп дизайнера и откомпелировангого проекта? В среде Апп дизайнера файл создается с помощью функ…

  • вопрос
  • 05.12.2022

  Системы управления, Робототехника и беспилотники, Математика и статистика, Верификация и валидация, Встраиваемые системы, Автоматизация испытаний, Изображения и видео, Цифровая обработка сигналов, Другое

  Здравствуйте, никак не пойму как нужно соединить блоки, чтобы построить систему. Пожалуйста помогите, спасибо. Задание. Моделирование работы магазина.Требуется промоделировать работу небольшого магази…

  Здравствуйте, никак не пойму как нужно соединить блоки, чтобы построить систему. Пожалуйста помогите, спасибо. Задание. Моделирование работы магазина.Требуется промоделировать работу небольшого магази…

  • вопрос
  • 04.12.2022

  Другое

  У вас на сайте была переведенная на русский документация MATLAB? Не могу найти.

  У вас на сайте была переведенная на русский документация MATLAB? Не могу найти.

  4 Ответа

  Как найти минимальные и максимальные точки на графике Для чайников, 3-е издание

  Графический калькулятор TI-84 Plus CE Для чайников, 3-е издание

  Обзорная книга Купить на Amazon

  Поиск максимальной или минимальной точки на графике с помощью калькулятора TI-84 Plus имеет множество полезных приложений. Например, точка максимума на графике функции прибыли говорит вам не только о максимальной прибыли ( y -координата), но и сколько изделий ( x -координата) должна произвести компания, чтобы получить эту прибыль. Чтобы найти минимальное или максимальное значение функции, выполните следующие действия:

  1. График функции в окне просмотра, содержащем минимальное и/или максимальное значение функции.

  2. Нажмите [2nd][TRACE] для входа в меню расчета.

  3. Нажмите [3], чтобы найти минимум, или нажмите [4], чтобы найти максимум.

  4. При необходимости несколько раз нажимайте клавиши со стрелками вверх и вниз, пока соответствующая функция не появится на границе в верхней части экрана.

  5. Установите левую границу минимальной или максимальной точки.

     Для этого с помощью клавиш со стрелками влево и вправо поместите курсор на график немного левее положения точки минимума или максимума, а затем нажмите [ENTER]. На экране появится индикатор A Left Bound (пунктирная линия с треугольным индикатором, показанным на первом экране).

  6. Установите правую границу для нуля.

     Для этого с помощью клавиш со стрелками влево и вправо поместите курсор на график немного правее положения минимальной или максимальной точки, а затем нажмите [ENTER]. На экране появится индикатор Right Bound (крайняя правая пунктирная линия с треугольным индикатором на втором экране).

  7. Сообщите калькулятору, где, по вашему предположению, находится минимальное или максимальное значение.

     Для этого с помощью клавиш со стрелками влево и вправо поместите курсор на графике как можно ближе к местоположению точки минимума или максимума, а затем нажмите [ENTER]. Координаты минимальной или максимальной точки отображаются в рамке внизу экрана (как показано на третьем экране).

  Эта статья из книги:

  • TI-84 Plus CE Graphing Calculator For Dummies, 3-е издание,

  Об авторе книги:

  Джефф МакКалла — учитель математики в Епископальной школе Святой Марии в Мемфисе, Теннесси. Он стал соучредителем группы суперпользователей TI-Nspire и получил Президентскую премию за выдающиеся достижения в области преподавания естественных наук и математики.

  К.К. Эдвардс — преподаватель, который провел множество семинаров по использованию калькуляторов TI.

  Эту статью можно найти в категории:

  • Графические калькуляторы,

  Графический калькулятор от Mathlab: Руководство пользователя

  Поиск
  

  ВВЕДЕНИЕ
  Pro Features против бесплатной версии
  Часто задаваемые вопросы, часто задаваемые вопросы

  1.1 Навигация
  1.2 Элементы UI
  1,3 Клавиатура
  1.4 Вход, Enter, Delete, Clear и Und Ond Ond Ond Ond Ond Ond Ond Ond
  1,5. 1.6 Редактирование выражений/уравнений
  1.7 Использование последнего ответа
  1.8 Написание комментариев
  1.9 Команды очистки, копирования и вставки
  1. 10 Перестановка строк

  2.1 Общие
  2.2 Калькулятор
  2.3 График

  3.1 Константы
  3.2 Функции
  3.3 Как сохранить результаты расчета/графики в библиотеку

  4.1 2D График
  4.2 3D График
  4.3 Увеличение граф
  4.4. Радианная шкала
  4.7 Фиксированная шкала
  4.8 Шкала по оси R
  4.9 Логарифмическая шкала
  4.10 Отслеживание значений и наклонов графиков
  4.11 Особые точки: корни и критические точки
  4.12 Пересечения графиков
  4.13 Установите домен
  4.14 Покажите все — корни, критические точки и пересечения
  4.15. 5.8 Таблица сохранения и загрузки
  5.9 Таблица тригонометрических функций в градусах

  6.1 Десятичные дроби
  6.2 Дроби
  6.3 Проценты
  6.4 Экспоненциальная запись
  6.5 Инженерная запись
  6,6 Номера округления
  6.7 целочисленные и дробные части
  6.8 Орден операций
  6.9 Наименее распространенные множественные
  6.10 Наибольший распространенный делитель
  6. 11 Modulo
  6.12 Двоирный, восьмидесятый, десятичный, гексади -номера
  6.13.
  6.15 Преобразование полярных координат в прямоугольные
  

  7.1 Арифметические операции
  7.2 Экспоненты
  7.3 Абсолютные значения
  7.4 Переменные
  7.5 Вычисление выражений
  7.6 Многочлены
  7.7 Корни
  7,8 Логарифмы

  8.1 Линейное уравнение
  8.2 Уравнение абсолютного значения
  8,3 квадратичное уравнение
  8,4 Кубическое уравнение
  8,5 Уравнение полинома
  8.6 9.2 Линейное неравенство
  9.3 Абсолютное неравенство
  9.4 Квадратное неравенство
  9.5 Полиномиальное неравенство
  9.6 Рациональное неравенство
  9,7 Составные неравенства
  9,8 Неравенства с константами
  

  10.1 Линейные уравнения
  10,2 Системы линейных уравнений
  10,3 Графические неравенства
  10.4 для графических функций?
  11.3 Настройка области применения
  11.4 Линейная функция
  11.5 Функция абсолютного значения
  11. 6 Квадратичная функция
  11,7 Полиномиальная функция
  11,8 рациональная функция
  11,9 Радикальная функция
  11.10 Логарифмическая функция
  11.11 Экспоненциальная функция
  11,12 Знак
  11,13 Многократный график
  11.14 Функция
  

  9 0002 12.1.1.14. 12.4 Матричные и векторные формы
  12.5 Переменная матрица в систему линейных уравнений
  12.6 Решение систем линейных уравнений с использованием матричных уравнений

  13.1 Degrees and Radians
  13.2 Trigonometric Function Keys
  13.3 Trigonometric Values ​​of Special Angles
  13.4 Trigonometric Values ​​of 15° and Its Multiples
  13.6 Graphing Trigonometric Function
  13.7 Graphing Hyperbolic Function
  13.8 Graphing Inverse Function
  

  14.1 Conic Sections
  14.2 Параметрические уравнения
  14.3 Полярные графики
  14.4 Трехмерные графики
  

  15.1 Правый предел
  15.2 Левый предел
  15.3 Предел функции
  15.4 Предел полиномиальной функции
  15. 5 Предел рациональной функции
  15.6 Предел радикальной функции
  15.7 Предел функции абсолютного значения
  15.8 Предел тригонометрической функции
  15.9 Предел экспоненциальной и логарифмической функций
  15.10 Предел a Кусочная функция
  15.11 Пределы на бесконечности
  15.12 Неопределенные формы
  15.13 Предел гиперболической функции

  16.1 Ключ первой производной
  16.2 Ключ второй производной
  16.3 Ключи третьей и более высоких производных
  16.4 Правила дифференциации
  16.5 Производные полиномиальные функции
  16.6 Производные рациональные функции
  16.7 Производные тригонометрические, логарифмические и экспоненциальные функции
  16,8 Подробнее на дериваве. функции df (f не через x)
  17.4 Частные производные
  17.5 Частные производные высших порядков
  17.6 Суммарные производные

  18.1 Неопределенные интегралы
  18.2 Определенные интегралы

  19.1 Обозначение суммирования
  19.2 Обозначение продукта
  19,3 Минимальный и максимум
  19,4 Фактор, NCR и NPR
  19,5 Меры центральной тенденции
  19,6 Мешки с переменностью
  19,7.

  No related posts.