Рациональные иррациональные числа натуральные: Действительные числа, рациональные числа и иррациональные числа

Действительные числа, рациональные числа и иррациональные числа

В ходе изучения математики мы сталкивались с различными числами.

Натуральные числа

Числа, используемые при счете называются натуральными числами. Например, $1,2,3$ и т.д. Натуральные числа образуют множество натуральных чисел, которое обозначают $N$ .Данное обозначение исходит от латинского слова naturalis- естественный.

Противоположные числа

Определение 1

Если два числа отличаются только знаками, их называют в математике противоположными числами.

Например, числа $5$ и $-5$ противоположные числа, т.к. отличаются только знаками.

Замечание 1

Для любого числа есть противоположное число, и притом только одно.

Готовые работы на аналогичную тему

Замечание 2

Число нуль противоположно самому себе.

Целые числа

Определение 2

Целыми числами называют натуральные, противоположные им числа и нуль.

Множество целых чисел включает в себя множество натуральных и противоположных им.

Обозначают целые числа $Z.$

Дробные числа

Числа вида $\frac{m}{n}$ называют дробями или дробными числами. Так же дробные числа можно записывать десятичной форме записи, т.е. в виде десятичных дробей.

Например:$\ \frac{3}{5}$ , $0,08$ и Т.Д.

Так же, как и целые, дробные числа могут быть как положительными, так и отрицательными.

Рациональные числа

Определение 3

Рациональными числами называется множество чисел, содержащее в себе множество целых и дробных чисел.

Любое рациональное число, как целое, так и дробное можно представить в виде дроби $\frac{a}{b}$, где $a$- целое число, а $b$- натуральное.

Таким образом, одно и то же рациональное число можно записать разными способами.

Например,

Отсюда видно, что любое рациональное число может быт представлено в виде конечной десятичной дроби или бесконечной десятичной периодической дроби.2=6$.Корнями этого уравнения будут числа $\surd 6$ и -$\surd 6$. Данные числа не будут являться рациональными.

Так же при нахождении диагонали квадрата со стороной $3$ мы применив теорему Пифагора получим, что диагональ будет равна $\surd 18$. Это число также не является рациональным.

Такие числа называются иррациональными.

Итак, иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь.

Одно из часто встречающихся иррациональных чисел- это число $\pi $

При выполнении арифметических действий с иррациональными числами получаемый результат может оказаться и рациональным, так и иррациональным числом.

Докажем это на примере нахождения произведения иррациональным чисел. Найдем:

1. $\ \sqrt{6}\cdot \sqrt{6}$

2. $\ \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}$

Решениею

1. $\ \sqrt{6}\cdot \sqrt{6} = 6$

2. $\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{6}$

На этом примере видно, что результат может оказаться как рациональным, так и иррациональным числом.

Если в арифметических действиях участвуют рациональное и иррациональные числа одновременно, то в результате получится иррациональное число ( кроме, конечно, умножения на $0$).

Действительные числа

Множеством действительных чисел называется множество содержащее множество рациональных и иррациональных чисел.

Обозначается множество действительных чисел $R$. Символически множество действительных чисел можно обозначить $(-?;+?).$

Мы говорили ранее о том, что иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь, а любое рациональное число может быт представлено в виде конечной десятичной дроби или бесконечной десятичной периодической дроби, поэтому действительным числом будет являться любая конечная и бесконечная десятичная дробь.

При выполнении алгебраических действий будут выполняться следующие правила

1. при умножении и делении положительных чисел полученное число будет положительным
2. при умножении и делении отрицательных чисел полученное число будет положительным
3. при умножении и делении отрицательного и положительного чисел полученное число будет отрицательным

Также действительные числа можно сравнивать друг с другом.

Действительные числа, рациональные числа и иррациональные числа

В ходе изучения математики мы сталкивались с различными числами.

Натуральные числа

Числа, используемые при счете называются натуральными числами. Например, $1,2,3$ и т.д. Натуральные числа образуют множество натуральных чисел, которое обозначают $N$ .Данное обозначение исходит от латинского слова naturalis- естественный.

Противоположные числа

Определение 1

Если два числа отличаются только знаками, их называют в математике противоположными числами.

Например, числа $5$ и $-5$ противоположные числа, т.к. отличаются только знаками.

Замечание 1

Для любого числа есть противоположное число, и притом только одно.

Замечание 2

Число нуль противоположно самому себе.

Целые числа

Определение 2

Целыми числами называют натуральные, противоположные им числа и нуль.

Множество целых чисел включает в себя множество натуральных и противоположных им.

Обозначают целые числа $Z.$

Дробные числа

Числа вида $\frac{m}{n}$ называют дробями или дробными числами. Так же дробные числа можно записывать десятичной форме записи, т.е. в виде десятичных дробей.

Например:$\ \frac{3}{5}$ , $0,08$ и Т.Д.

Так же, как и целые, дробные числа могут быть как положительными, так и отрицательными.

Рациональные числа

Определение 3

Рациональными числами называется множество чисел, содержащее в себе множество целых и дробных чисел.

Любое рациональное число, как целое, так и дробное можно представить в виде дроби $\frac{a}{b}$, где $a$- целое число, а $b$- натуральное.

Таким образом, одно и то же рациональное число можно записать разными способами.

Например,

Отсюда видно, что любое рациональное число может быт представлено в виде конечной десятичной дроби или бесконечной десятичной периодической дроби.2=6$.Корнями этого уравнения будут числа $\surd 6$ и -$\surd 6$. Данные числа не будут являться рациональными.

Так же при нахождении диагонали квадрата со стороной $3$ мы применив теорему Пифагора получим, что диагональ будет равна $\surd 18$. Это число также не является рациональным.

Такие числа называются иррациональными.

Итак, иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь.

Одно из часто встречающихся иррациональных чисел- это число $\pi $

При выполнении арифметических действий с иррациональными числами получаемый результат может оказаться и рациональным, так и иррациональным числом.

Докажем это на примере нахождения произведения иррациональным чисел. Найдем:

1. $\ \sqrt{6}\cdot \sqrt{6}$

2. $\ \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}$

Решениею

1. $\ \sqrt{6}\cdot \sqrt{6} = 6$

2. $\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{6}$

На этом примере видно, что результат может оказаться как рациональным, так и иррациональным числом.

Если в арифметических действиях участвуют рациональное и иррациональные числа одновременно, то в результате получится иррациональное число ( кроме, конечно, умножения на $0$).

Действительные числа

Множеством действительных чисел называется множество содержащее множество рациональных и иррациональных чисел.

Обозначается множество действительных чисел $R$. Символически множество действительных чисел можно обозначить $(-?;+?).$

Мы говорили ранее о том, что иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь, а любое рациональное число может быт представлено в виде конечной десятичной дроби или бесконечной десятичной периодической дроби, поэтому действительным числом будет являться любая конечная и бесконечная десятичная дробь.

При выполнении алгебраических действий будут выполняться следующие правила

1. при умножении и делении положительных чисел полученное число будет положительным
2. при умножении и делении отрицательных чисел полученное число будет положительным
3. при умножении и делении отрицательного и положительного чисел полученное число будет отрицательным

Также действительные числа можно сравнивать друг с другом.

Действительные числа, рациональные числа и иррациональные числа

В ходе изучения математики мы сталкивались с различными числами.

Натуральные числа

Числа, используемые при счете называются натуральными числами. Например, $1,2,3$ и т.д. Натуральные числа образуют множество натуральных чисел, которое обозначают $N$ .Данное обозначение исходит от латинского слова naturalis- естественный.

Противоположные числа

Определение 1

Если два числа отличаются только знаками, их называют в математике противоположными числами.

Например, числа $5$ и $-5$ противоположные числа, т.к. отличаются только знаками.

Замечание 1

Для любого числа есть противоположное число, и притом только одно.

Помощь со студенческой работой на тему

Действительные числа, рациональные числа и иррациональные числа

Замечание 2

Число нуль противоположно самому себе.

Целые числа

Определение 2

Целыми числами называют натуральные, противоположные им числа и нуль.

Множество целых чисел включает в себя множество натуральных и противоположных им.

Обозначают целые числа $Z.$

Дробные числа

Числа вида $\frac{m}{n}$ называют дробями или дробными числами. Так же дробные числа можно записывать десятичной форме записи, т.е. в виде десятичных дробей.

Например:$\ \frac{3}{5}$ , $0,08$ и Т.Д.

Так же, как и целые, дробные числа могут быть как положительными, так и отрицательными.

Рациональные числа

Определение 3

Рациональными числами называется множество чисел, содержащее в себе множество целых и дробных чисел.

Любое рациональное число, как целое, так и дробное можно представить в виде дроби $\frac{a}{b}$, где $a$- целое число, а $b$- натуральное.

Таким образом, одно и то же рациональное число можно записать разными способами.

Например,

Отсюда видно, что любое рациональное число может быт представлено в виде конечной десятичной дроби или бесконечной десятичной периодической дроби.2=6$.Корнями этого уравнения будут числа $\surd 6$ и -$\surd 6$. Данные числа не будут являться рациональными.

Так же при нахождении диагонали квадрата со стороной $3$ мы применив теорему Пифагора получим, что диагональ будет равна $\surd 18$. Это число также не является рациональным.

Такие числа называются иррациональными.

Итак, иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь.

Одно из часто встречающихся иррациональных чисел- это число $\pi $

При выполнении арифметических действий с иррациональными числами получаемый результат может оказаться и рациональным, так и иррациональным числом.

Докажем это на примере нахождения произведения иррациональным чисел. Найдем:

1. $\ \sqrt{6}\cdot \sqrt{6}$

2. $\ \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}$

Решениею

1. $\ \sqrt{6}\cdot \sqrt{6} = 6$

2. $\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{6}$

На этом примере видно, что результат может оказаться как рациональным, так и иррациональным числом.

Если в арифметических действиях участвуют рациональное и иррациональные числа одновременно, то в результате получится иррациональное число ( кроме, конечно, умножения на $0$).

Действительные числа

Множеством действительных чисел называется множество содержащее множество рациональных и иррациональных чисел.

Обозначается множество действительных чисел $R$. Символически множество действительных чисел можно обозначить $(-?;+?).$

Мы говорили ранее о том, что иррациональным числом называют бесконечную десятичную непериодическую дробь, а любое рациональное число может быт представлено в виде конечной десятичной дроби или бесконечной десятичной периодической дроби, поэтому действительным числом будет являться любая конечная и бесконечная десятичная дробь.

При выполнении алгебраических действий будут выполняться следующие правила

1. при умножении и делении положительных чисел полученное число будет положительным
2. при умножении и делении отрицательных чисел полученное число будет положительным
3. при умножении и делении отрицательного и положительного чисел полученное число будет отрицательным

Также действительные числа можно сравнивать друг с другом.

Какие числа называются Рациональными? Примеры и Определение

Определение рациональных чисел

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде положительной или отрицательной обыкновенной дроби или числа ноль. Если число можно получить делением двух целых чисел, то это число рациональное.

Рациональные числа — это те, которые можно представить в виде

где числитель m — целое число, а знаменатель n — натуральное число.

Рациональные числа – это все натуральные, целые числа, обыкновенные дроби, бесконечные периодические дроби и конечные десятичные дроби.

Множество рациональных чисел принято обозначать латинской буквой Q.

Примеры рациональных чисел:

• десятичная дробь 1,15 — это 115/100;
• десятичная дробь 0,5 — это 1/2;
• целое число 0 — это 0/1;
• целое число 6 — это 6/1;
• целое число 1 — это 1/1;
• бесконечная периодическая дробь 0,33333… — это 1/3;
• смешанное число — это 25/10;
• отрицательная десятичная дробь -3,16 — это -316/100.

 

Свойства рациональных чисел

У рациональных чисел есть определенные законы и ряд свойств — рассмотрим каждый их них. Пусть а, b и c — любые рациональные числа.

Основные свойства действий с рациональными числами Переместительное свойство сложения: a + b = b + a. Сочетательное свойство сложения: (a + b) +c = a + (b + c). Сложение рационального числа и нейтрального элемента (нуля) не изменяет это число: a + 0 = a. У каждого рационального числа есть противоположное число, а их сумма всегда равна нулю: a + (-a) = 0. Переместительное свойство умножения: ab = ba. Сочетательное свойство умножения: (a * b) * c = a * (b * c). Произведение рационального числа и едины не изменяет это число: a * 1 = a. У каждого отличного от нуля рационального числа есть обратное число. Их произведение равно единице: a * a−1 = 1. Распределительное свойство умножения относительно сложения: a * (b + c) = a * b + a * c.

Кроме основных перечисленных есть еще ряд свойств:

 

1. Правило умножения рациональных чисел с разными знаками: (-a) * b = -ab. Такая фраза поможет запомнить: «плюс на минус есть минус, и минус на плюс есть минус».


2. Правило умножения отрицательных рациональных чисел: (−a) * (−b) = ab. Запомнить поможет фраза: «минус на минус есть плюс».


3. Правило умножении произвольного рационального числа на нуль: a * 0 = 0 или 0 * a = 0. Докажем это свойство.

   Мы знаем, что 0 = d + (-d) для любого рационального d, значит a * 0 = a * (d + (-d)).

   Распределительный закон позволяет переписать выражение:

   a * d + a * (−d), а так как a * (−d) = -ad, то a * d + a * (-d) = a * d + (-ad).

   Так получилась сумма двух противоположных чисел, которая в результате дает нуль, что доказывает равенство a * 0 = 0.

Мы перечислили только свойства сложения и умножения. На множестве рациональных чисел вычитание и деление можно записать, как обратные к сложению и умножению. То есть, разность (a — b) можно записать, как сумму a + (-b), а частное a/b равно произведению a * b−1, при b ≠ 0.

Определение иррационального числа

Иррациональное число — это действительное число, которое невозможно выразить в форме деления двух целых чисел, то есть в рациональной дроби

Оно может быть выражено в форме бесконечной непериодической десятичной дроби.

Бесконечная периодическая десятичная дробь — это такая дробь, десятичные знаки которой повторяются в виде группы цифр или одного и того же числа.

Примеры:

• π = 3,1415926…
• √2 = 1,41421356…
• e = 2,71828182…
• √8 = 2.828427…
• -√11= -3.31662…

Обозначение множества иррациональных чисел: латинская буква I.

Действительные или вещественные числа — это все рациональные и иррациональные числа: положительные, отрицательные и нуль.

Свойства иррациональных чисел:

• результат суммы иррационального числа и рационального равен иррациональному числу;
• результат умножения иррационального числа на любое рациональное число (≠ 0) равен иррациональному числу;
• результат вычитания двух иррациональных чисел равен иррациональному числу или рациональному;
• результат суммы или произведения двух иррациональных чисел равен рациональному или иррациональному, например: √2 * √8 = √16 = 4).

Различие между целыми, натуральными и рациональными числами

Натуральные числа — это числа, которые мы используем, чтобы посчитать что-то конкретное, осязаемое: один банан, две тетрадки, десять стульев.

А вот, что точно не является натуральным числом:

• Нуль — целое число, которое при сложении или вычитании с любыми числами в результате даст то же число. Умножение на ноль дает ноль.
• Отрицательные числа: -1, -2, -3, -4.
• Дроби: 1/2, 3/4, 5/6.

Целые числа — это натуральные числа, противоположные им и нуль.

Если два числа отличаются друг от друга знаком — их называют противоположными: +2 и -2, +7 и -7. Знак «плюс» обычно не пишут, и если перед числом нет никакого знака, значит оно положительное. Числа, перед которыми стоит знак «минус», называют отрицательными.

Какие числа называются рациональными мы уже знаем из первой части статьи. Повторим еще раз.

Рациональные числа — это конечные дроби и бесконечные периодические дроби.

Например:

Любое рациональное число можно представить в виде дроби, у которой числитель принадлежит целым числам, а знаменатель — натуральным. Поэтому во множество рациональных чисел входит множество целых и натуральных чисел.

Но не все числа можно назвать рациональными. Например, бесконечные непериодические дроби не принадлежат множеству рациональных чисел. Так √3 или 𝜋 (число пи) нельзя назвать рациональными числами.

Рациональные числа Иррациональные числа Повторение Числа 1

Рациональные числа. Иррациональные числа.

Повторение Числа 1, 2, 3 … — натуральные числа Натуральные числа – числа, используемые для счета. Наименьшее натуральное число равно 1. Сумма и произведение натуральных чисел произведение есть число натуральное N

Повторение Множество целых чисел = натуральные числа + противоположные им числа и нуль Z -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5

Повторение Дробные числа

Q

Множество рациональных чисел = целые и дробные числа Q Целые Дробные МНОЖЕСТВО рациональных чисел

Иррациональные числа •

Множество рациональных + множество иррациональных чисел = множеству действительных чисел R= Рациональные Иррациональные МНОЖЕСТВО действительных чисел 8

Укажите, рациональное или иррациональное это число? 432 -3, 2 0, 1010010001… 5, 13113111… 1, 2333… -2, 121121112… -10, 353535… Рациональные Иррациональные -3, 2 ; 1, 2333… ; 432 ; 5, 13113111… -10, 353535… 0, 1010010001… -2, 121121112…

Действительные числа Рациональные числа Целые числа Иррациональные числа Дробные числа Бесконечные непериодические дроби Отрицательные числа Обыкновенные дроби Нуль Десятичные дроби Положительные числа Конечные Бесконечные периодические

Задание. Замените данные рациональные числа десятичными дробями.

Сравним числа 2, 36366… и 2, 37011… совпадают в разряде сотых у первой дроби число единиц меньше, чем у второй, поэтому 2, 36366…

Сравните числа: 3, 0049 3, 10004 -12, 93 > 0, 007 74 1, 2424 1, (24) • •

ТЕСТ: +согласен, -несогласен 1. 2. 3. 4. Всякое целое число является натуральным Всякое натуральное число является рациональным Число -7 является рациональным Сумма двух натуральных чисел всегда есть число натуральное 5. Разность двух натуральных чисел есть число натуральное 6. Действительное число не может быть натуральным 7. Всякое иррациональное число является действительным

Проверим: 1 2 3 4 5 6 7 ___ + + + __ ___ +

Рациональные числа, зачем нужны рациональные числа, в чем их особенность

Рациональным числом называют число, которое можно записать в виде отношения mn, где m — целое число, a n — натуральное число. Чтобы понимать значение рационального числа, необходимо знать, что такое натуральные числа, целые числа, дроби (правильные \(\frac{2}{3}\), неправильные \(\frac{3}{2}\), бесконечные периодические 0,(4) и смешанные \(4 \frac{2}{3}\),). Натуральные числа представляют собой числа, которые мы используем при счете (1, 2, 3…). В свою очередь целые числа – это натуральные числа, а также противоположные им и ноль (1, 2, 0, -1, -2…). Дробью называется число, записанное в виде отношения mn (\(\frac{2}{3}\)), где m – целое, а n – натуральное число. Понятие дроби берет свое начало еще с древних времен, когда людям в торговых делах и бытовых нуждах требовалось определить часть какого-либо целого.

 

История рациональных чисел началась с возникновением финансово-кредитных отношений между людьми. Чтобы в численном виде представить задолженность человека, нужно было записывать числа, противоположные натуральным. Так появились отрицательные числа (-3, -167). А для того, чтобы записывать часть целого (например, возвращение долга частями), стали использовать дроби. Именно поэтому математикам необходимо было как-то объединить такие характерные числа, дать им общее название. Так появились рациональные числа (от латинского ratio – «отношение»).

 

Для усвоения материала приведем пример задания на определение рациональных чисел из ряда чисел.

 

Задача. Даны числа: -34, 480, 0,11, \(\frac{1}{2}\), 8. Какие из них рациональные?

 

Решение.

Рассмотрим отдельно каждое из заданных чисел:

• Число -34 – целое число;
• Число 480 – натуральное число;
• Число 0,11 =  \(\frac{11}{100} \) – десятичная дробь;
• Число  \(\frac{1}{2}\) — правильная дробь;
• Число 8 – натуральное число.

Каждое из заданных чисел можно представить в виде дроби с целым и натуральным знаменателем. Значит, все 5 чисел являются рациональными числами.

Ответ: все числа являются рациональными.

 

Чтобы хорошо понимать специфику рациональных чисел, нужно усвоить два правила:

• Сумма рациональных чисел является рациональным числом.
• Произведение рациональных чисел является рациональным числом.

Теория в математике очень важна. Умение отличать натуральные числа от целых, рациональные от иррациональных поможет Вам не запутаться и не ошибиться в практике. Удачи!

Mathway | Популярные задачи

1	Найти точное значение	sin(30)
2	Найти точное значение	sin(45)
3	Найти точное значение	sin(30 град. )
4	Найти точное значение	sin(60 град. )
5	Найти точное значение	tan(30 град. )
6	Найти точное значение	arcsin(-1)
7	Найти точное значение	sin(pi/6)
8	Найти точное значение	cos(pi/4)
9	Найти точное значение	sin(45 град. )
10	Найти точное значение	sin(pi/3)
11	Найти точное значение	arctan(-1)
12	Найти точное значение	cos(45 град. )
13	Найти точное значение	cos(30 град. )
14	Найти точное значение	tan(60)
15	Найти точное значение	csc(45 град. )
16	Найти точное значение	tan(60 град. )
17	Найти точное значение	sec(30 град. )
18	Найти точное значение	cos(60 град. )
19	Найти точное значение	cos(150)
20	Найти точное значение	sin(60)
21	Найти точное значение	cos(pi/2)
22	Найти точное значение	tan(45 град. )
23	Найти точное значение	arctan(- квадратный корень 3)
24	Найти точное значение	csc(60 град. )
25	Найти точное значение	sec(45 град. )
26	Найти точное значение	csc(30 град. )
27	Найти точное значение	sin(0)
28	Найти точное значение	sin(120)
29	Найти точное значение	cos(90)
30	Преобразовать из радианов в градусы	pi/3
31	Найти точное значение	tan(30)
32	Преобразовать из градусов в радианы	45
33	Найти точное значение	cos(45)
34	Упростить	sin(theta)^2+cos(theta)^2
35	Преобразовать из радианов в градусы	pi/6
36	Найти точное значение	cot(30 град. )
37	Найти точное значение	arccos(-1)
38	Найти точное значение	arctan(0)
39	Найти точное значение	cot(60 град. )
40	Преобразовать из градусов в радианы	30
41	Преобразовать из радианов в градусы	(2pi)/3
42	Найти точное значение	sin((5pi)/3)
43	Найти точное значение	sin((3pi)/4)
44	Найти точное значение	tan(pi/2)
45	Найти точное значение	sin(300)
46	Найти точное значение	cos(30)
47	Найти точное значение	cos(60)
48	Найти точное значение	cos(0)
49	Найти точное значение	cos(135)
50	Найти точное значение	cos((5pi)/3)
51	Найти точное значение	cos(210)
52	Найти точное значение	sec(60 град. )
53	Найти точное значение	sin(300 град. )
54	Преобразовать из градусов в радианы	135
55	Преобразовать из градусов в радианы	150
56	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/6
57	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/3
58	Преобразовать из градусов в радианы	89 град.
59	Преобразовать из градусов в радианы	60
60	Найти точное значение	sin(135 град. )
61	Найти точное значение	sin(150)
62	Найти точное значение	sin(240 град. )
63	Найти точное значение	cot(45 град. )
64	Преобразовать из радианов в градусы	(5pi)/4
65	Найти точное значение	sin(225)
66	Найти точное значение	sin(240)
67	Найти точное значение	cos(150 град. )
68	Найти точное значение	tan(45)
69	Вычислить	sin(30 град. )
70	Найти точное значение	sec(0)
71	Найти точное значение	cos((5pi)/6)
72	Найти точное значение	csc(30)
73	Найти точное значение	arcsin(( квадратный корень 2)/2)
74	Найти точное значение	tan((5pi)/3)
75	Найти точное значение	tan(0)
76	Вычислить	sin(60 град. )
77	Найти точное значение	arctan(-( квадратный корень 3)/3)
78	Преобразовать из радианов в градусы	(3pi)/4
79	Найти точное значение	sin((7pi)/4)
80	Найти точное значение	arcsin(-1/2)
81	Найти точное значение	sin((4pi)/3)
82	Найти точное значение	csc(45)
83	Упростить	arctan( квадратный корень 3)
84	Найти точное значение	sin(135)
85	Найти точное значение	sin(105)
86	Найти точное значение	sin(150 град. )
87	Найти точное значение	sin((2pi)/3)
88	Найти точное значение	tan((2pi)/3)
89	Преобразовать из радианов в градусы	pi/4
90	Найти точное значение	sin(pi/2)
91	Найти точное значение	sec(45)
92	Найти точное значение	cos((5pi)/4)
93	Найти точное значение	cos((7pi)/6)
94	Найти точное значение	arcsin(0)
95	Найти точное значение	sin(120 град. )
96	Найти точное значение	tan((7pi)/6)
97	Найти точное значение	cos(270)
98	Найти точное значение	sin((7pi)/6)
99	Найти точное значение	arcsin(-( квадратный корень 2)/2)
100	Преобразовать из градусов в радианы	88 град.

Классификация чисел [Видео и практические вопросы]

Почему мы классифицируем числа? Почему мы даем им имена, например, целые, иррациональные или отрицательные числа? По той же причине, по которой мы все классифицируем, мы хотим убедиться, что каждый понимает, какие конкретные числа называются и что они означают. В конце концов, есть разница между 25, -32 и 4⁶.

В этом видео о Mometrix мы предоставляем обзор чисел и их классификацию.

Цифры — наш способ поддерживать порядок.Считаем, сколько денег у нас есть. Измеряем расстояние. Мы используем процентов для обозначения продажи. Числа являются неотъемлемой частью нашего повседневного существования, будь то целые числа, рациональных чисел, или первый тип чисел, на которые мы собираемся взглянуть, действительные числа.

Действительные числа

Действительное число — это любое значение непрерывной величины, которое может представлять расстояние на числовой прямой. По сути, это любое число, которое вы можете придумать. Пятьдесят (50) — действительное число.Один миллиард (1 000 000 000) — очень большое действительное число. Действительные числа включают три классификации чисел, о которых мы поговорим чуть позже. Целые числа, рациональные числа и иррациональные числа — все это действительные числа.

Мнимые числа

Мнимые числа не являются действительными числами. Это комплексные числа, которые записываются как действительное число, умноженное на мнимую единицу (\ (i \)). Например, \ (\ sqrt {-1} \) вычисляется как мнимое число «\ (i \)» и \ (\ sqrt {-25} = 5i \).Хотя мнимые числа не являются «действительными числами», они имеют ценность. Электрики используют мнимые числа при работе с токами и напряжением. Мнимые числа также используются в сложных вычислительных вычислениях. Поэтому то, что эти числа называются «воображаемыми», не означает, что они бесполезны.

Целые числа

Целые числа — это числа, которыми мы считаем. 1, 2, 3, 4 и 5 — все целые числа. Таковы -17 и 0. Целые числа не имеют дробей и десятичных знаков.

Все целые числа называются целыми .Целые числа могут быть положительными или отрицательными целыми числами.

Рациональные и иррациональные числа

Все целые и целые числа являются частью большой группы, называемой рациональных чисел . В эту группу также входят дроби и десятичные знаки. Это означает, что \ (\ frac {3} {5} \) и 7.25 — рациональные числа. Рациональные числа также могут быть положительными или отрицательными.

Рациональные числа имеют противоположности, которые называются иррациональными числами . Эти числа нельзя записать в виде простой дроби.Пи (\ (\ pi \)) — самое известное иррациональное число. У нас есть близкое приближение к тому, как вычислить Пи, но это всего лишь близкое приближение. Пи известен тем, что продолжается вечно. Вот почему это иррациональное число. Вы не можете легко записать это дробью.

Натуральные и отрицательные числа

Натуральные числа — это те, которые являются положительными целыми числами, хотя есть некоторые споры относительно того, начинаются ли натуральные числа с 0 или 1. Отрицательные числа — это именно то, что вам нужно.Это числа ниже 0.

Четные и нечетные числа

Есть также несколько других классификаций чисел. Числа делятся на четные и нечетные. Если вы можете разделить число на 2, это число будет четным. Итак, 24, 36 и 74 — все четные числа, потому что если вы разделите их на 2, вы получите 12, 18 и 37. Четные числа всегда заканчиваются на 0, 2, 4, 6 или 8.

Нечетные числа могут не делить на 2 и оставлять целое число. Любое нечетное число, разделенное на 2, даст дробь.Итак, 17 ÷ 2 = 8,5, а 23 ÷ 2 = 11,5. Все нечетные числа оканчиваются на 1, 3, 5, 7 или 9.

Дроби

Числители и знаменатели образуют дроби, состоящие из двух целых чисел. Число вверху — числитель; число внизу — знаменатель. Числитель , верхнее число, показывает, сколько деталей у нас есть. Знаменатель , нижнее число, показывает, сколько частей составляет целое.

Допустим, у вас есть 6 яблок, и 3 из них съедены.Количество оставшихся у вас яблок будет отображаться как \ (\ frac {3} {6} \).

Затем вы разделите 3, верхнее число, на 6, нижнее число, чтобы определить процент оставшихся яблок. В этом случае цифра составляет 50%.

Итак, вот наш взгляд на числа и их классификацию. От целых чисел до иррациональных чисел нам нужно знать, как называть числа, чтобы знать, что они означают.

Надеюсь, этот обзор был вам полезен!

7.1: Рациональные и иррациональные числа

Поздравляем! Вы прочитали первые шесть глав этой книги! Пришло время подвести итоги того, что вы уже сделали в этом курсе, и подумать о том, что вас ждет впереди.Вы научились складывать, вычитать, умножать и делить целые числа, дроби, целые числа и десятичные дроби. Вы познакомились с языком и символами алгебры, а также упростили и оценили алгебраические выражения. Вы решили много разных типов приложений. Вы заложили хорошую прочную основу, необходимую для достижения успеха в алгебре.

В этой главе мы убедимся, что ваши навыки твердо закреплены. Мы еще раз взглянем на типы чисел, с которыми мы работали во всех предыдущих главах.Мы будем работать со свойствами чисел, которые помогут вам улучшить ваше чувство числа. И мы попрактикуемся в их использовании, как при решении уравнений и выполнении других процедур в алгебре.

Мы уже описали числа как счетные числа, целые числа и целые числа. Вы помните, в чем разница между этими типами чисел?

Рациональные числа

Какой тип чисел вы получите, если начнете со всех целых чисел, а затем включите все дроби? Числа, которые у вас получились бы, составили набор рациональных чисел.Рациональное число — это число, которое можно записать как отношение двух целых чисел.

Определение: рациональные числа

Рациональное число — это число, которое можно записать в форме \ (\ dfrac {p} {q} \), где p и q — целые числа, а q 0.

Все дроби, как положительные, так и отрицательные, являются рациональными числами. Несколько примеров:

\ [\ dfrac {4} {5}, — \ dfrac {7} {8}, \ dfrac {13} {4}, \; и\; — \ dfrac {20} {3} \]

Каждый числитель и каждый знаменатель — целое число.

Нам нужно посмотреть на все числа, которые мы использовали до сих пор, и убедиться, что они рациональны. Определение рациональных чисел говорит нам, что все дроби рациональны. Теперь мы посмотрим на счетные числа, целые числа, целые числа и десятичные дроби, чтобы убедиться, что они рациональны.

Целые числа являются рациональными числами? Чтобы решить, является ли целое число рациональным числом, мы пытаемся записать его как отношение двух целых чисел. Легкий способ сделать это — записать дробь со знаминателем один.

\ [3 = \ dfrac {3} {1} \ quad -8 = \ dfrac {-8} {1} \ quad 0 = \ dfrac {0} {1} \]

Поскольку любое целое число можно записать как отношение двух целых чисел, все целые числа являются рациональными числами. Помните, что все счетные числа и все целые числа также являются целыми числами, а значит, они тоже рациональны.

А как насчет десятичных знаков? Они рациональны? Давайте посмотрим на несколько, чтобы увидеть, можем ли мы записать каждое из них как отношение двух целых чисел. Мы уже видели, что целые числа — это рациональные числа.Целое число -8 можно записать как десятичное -8,0. Итак, очевидно, что некоторые десятичные дроби рациональны.

Подумайте о десятичной системе счисления 7.3. Можем ли мы записать это как отношение двух целых чисел? Поскольку 7.3 означает \ (7 \ dfrac {3} {10} \), мы можем записать это как неправильную дробь, \ (7 \ dfrac {3} {10} \). Итак, 7,3 — это соотношение целых чисел 73 и 10. Это рациональное число.

В общем, любое десятичное число, которое заканчивается рядом цифр (например, 7,3 или -1,2684), является рациональным числом. Мы можем использовать обратное (или мультипликативное обратное) значение разряда последней цифры в качестве знаменателя при записи десятичной дроби как дроби.

Пример \ (\ PageIndex {1} \):

Запишите каждое как отношение двух целых чисел: (a) −15 (b) 6,81 (c) \ (- 3 \ dfrac {6} {7} \).

Решение

(а) −15

Запишите целое число в виде дроби со знаминателем 1.

$$ \ dfrac {-15} {1} $$

(б) 6,81

Запишите десятичную дробь как смешанное число.	$$ 6 \ dfrac {81} {100} $$
Затем преобразуйте его в неправильную дробь.	$$ \ dfrac {681} {100} $$

(c) \ (- 3 \ dfrac {6} {7} \)

Преобразует смешанное число в неправильную дробь.

$$ — \ dfrac {27} {7} $$

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \):

Запишите каждое как отношение двух целых чисел: (a) −24 (b) 3,57.

Ответить на

\ (\ frac {-24} {1} \)

Ответ b

\ (\ frac {357} {100} \)

Упражнение \ (\ PageIndex {2} \):

Запишите каждое как отношение двух целых чисел: (a) −19 (b) 8.41.

Ответить на

\ (\ frac {-19} {1} \)

Ответ b

\ (\ frac {841} {100} \)

Давайте посмотрим на десятичную форму рациональных чисел. Мы видели, что каждое целое число является рациональным числом, поскольку a = \ (\ dfrac {a} {1} \) для любого целого числа, a. Мы также можем преобразовать любое целое число в десятичное, добавив десятичную точку и ноль.

\ [\ begin {split} Integer \ qquad & -2, \ quad -1, \ quad 0, \ quad 1, \; \; 2, \; 3 \\ Десятичный \ qquad & -2.0, -1.0, 0.0, 1.0, 2.0, 3.0 \ end {split} \]

Эти десятичные числа останавливаются.

Мы также видели, что каждая дробь является рациональным числом. Посмотрите на десятичную форму только что рассмотренных дробей.

\ [\ begin {split} Коэффициент \; из\; Целые числа \ qquad \ dfrac {4} {5}, \ quad — \ dfrac {7} {8}, \ quad \ dfrac {13} {4}, \; & — \ dfrac {20} {3} \\ Decimal \; формы \ qquad 0.8, -0.875, 3.25, & -6.666 \ ldots \\ & -6. \ overline {66} \ end {split} \]

Эти десятичные дроби либо останавливаются, либо повторяются.

Что вам говорят эти примеры? Каждое рациональное число может быть записано как в виде отношения целых чисел, так и в виде десятичной дроби, которая либо останавливается, либо повторяется. В таблице ниже показаны числа, которые мы рассматривали, выраженные как отношение целых чисел и десятичной дроби.

Рациональные числа
	Фракции	Целые числа
Номер	$$ \ dfrac {4} {5}, — \ dfrac {7} {8}, \ dfrac {13} {4}, \ dfrac {-20} {3} $$	$$ — 2, -1, 0, 1, 2, 3 $$
Коэффициент целого числа	$$ \ dfrac {4} {5}, \ dfrac {-7} {8}, \ dfrac {13} {4}, \ dfrac {-20} {3} $$	$$ \ dfrac {-2} {1}, \ dfrac {-1} {1}, \ dfrac {0} {1}, \ dfrac {1} {1}, \ dfrac {2} {1}, \ dfrac {3} {1} $$
Десятичное число	$$ 0.8, -0,875, 3,25, -6. \ Overline {6} $$	$$ — 2,0, -1,0, 0,0, 1,0, 2,0, 3,0 $$

Иррациональные числа

Есть ли десятичные дроби, которые не останавливаются и не повторяются? да. Число \ (\ пи \) (греческая буква пи, произносится как «пирог»), которое очень важно при описании кругов, имеет десятичную форму, которая не останавливается и не повторяется.

\ [\ pi = 3,141592654 \ ldots \ ldots \]

Точно так же десятичные представления квадратных корней из целых чисел, которые не являются точными квадратами, никогда не прекращаются и никогда не повторяются.Например,

\ [\ sqrt {5} = 2.236067978 \ ldots \ ldots \]

Десятичная дробь, которая не останавливается и не повторяется, не может быть записана как отношение целых чисел. Мы называем такой номер иррациональным числом .

Определение: Иррациональное число

Иррациональное число — это число, которое нельзя записать как отношение двух целых чисел. Его десятичная форма не останавливается и не повторяется.

Давайте резюмируем метод, который мы можем использовать, чтобы определить, является ли число рациональным или иррациональным.

Если десятичная форма числа

• останавливается или повторяется, число рациональное.
• не останавливается и не повторяется, цифра иррациональна.

Пример \ (\ PageIndex {2} \):

Определите каждое из следующего как рациональное или иррациональное: (a) 0,58 \ (\ overline {3} \) (b) 0,475 (c) 3,605551275…

Решение

(а) 0,58 \ (\ overline {3} \)

Полоса над цифрой 3 означает, что она повторяется.Следовательно, 0,583 — это повторяющееся десятичное число, а значит, является рациональным числом.

(б) 0,475

Эта десятичная дробь заканчивается после 5, так что это рациональное число.

(в) 3.605551275…

Многоточие (…) означает, что это число не останавливается. Нет повторяющегося рисунка цифр. Поскольку число не останавливается и не повторяется, это нерационально.

Упражнение \ (\ PageIndex {3} \):

Определите каждое из следующего как рациональное или иррациональное: (a) 0.29 (б) 0,81 \ (\ overline {6} \) (в) 2,515115111…

Ответить на

рациональное

Ответ b

рациональное

Ответ c

иррациональный

Упражнение \ (\ PageIndex {4} \):

Определите каждое из следующего как рациональное или иррациональное: (a) 0,2 \ (\ overline {3} \) (b) 0,125 (c) 0,418302…

Ответить на

рациональное

Ответ b

рациональное

Ответ c

иррациональный

Давайте теперь подумаем о квадратных корнях.Квадратные корни из полных квадратов всегда целые числа, поэтому они рациональны. Но десятичные формы квадратных корней чисел, которые не являются точными квадратами, никогда не останавливаются и никогда не повторяются, поэтому эти квадратные корни иррациональны.

Пример \ (\ PageIndex {3} \):

Определите каждое из следующего как рациональное или иррациональное: (a) 36 (b) 44

Решение

(a) Число 36 — полный квадрат, так как 6 ² = 36. Итак, \ (\ sqrt {36} \) = 6. Следовательно, \ (\ sqrt {36} \) рационально.

(b) Помните, что 6 ² = 36 и 7 ² = 49, поэтому 44 не является полным квадратом. Это означает, что \ (\ sqrt {44} \) иррационально.

Упражнение \ (\ PageIndex {5} \):

Определите каждое из следующего как рациональное или иррациональное: (a) \ (\ sqrt {81} \) (b) \ (\ sqrt {17} \)

Ответить на

рациональное

Ответ b

иррациональный

Упражнение \ (\ PageIndex {6} \):

Определите каждое из следующего как рациональное или иррациональное: (a) \ (\ sqrt {116} \) (b) \ (\ sqrt {121} \)

Ответить на

иррациональный

Ответ b

рациональное

Квадратный корень из двух — настоящее иррациональное число

В статье на прошлой неделе «Кантор победил Галилея в битве бесконечных чисел», отмечалось:

«… квадратный корень из двух не является рациональным.(1/2) — это, как вы знаете, квадратный корень из двух . Это утверждение заслуживает некоторого доказательства; давайте спросим у Пифагора и Евклида их экспертное мнение.

Быстрый просмотр различных типов номеров

Эта статья почти всегда имеет дело с положительными числами, поскольку проблема «квадратного корня из двух» впервые возникла при нахождении длины линий в геометрии. Это также расширило бы статью, чтобы многократно включать:

«… когда оба целых числа положительны или когда оба целых числа отрицательны.”

Натуральные и целые числа

Натуральные числа часто определяются как положительные целые числа. В предыдущей статье мы также использовали ноль как натуральное число. Натуральные числа иногда называют «счетными числами».

Целые числа, конечно, включают отрицательные числа. Иногда их называют «целыми» числами, потому что они являются дробями , а не . Целые числа просто расширяют набор натуральных чисел, включая набор, образованный умножением каждого натурального числа на « -1 ».

Рациональные числа

Числа Rational — это дроби, полученные путем деления одного целого числа на другое. Исключаем «деление на ноль». Обычно операция деления определяется как операция, обратная умножению. Для чисел «a», «b» и «c» мы говорим «a = b / c» тогда и только тогда, когда «b = a * c». Мы исключаем случаи, когда «c» равно нулю, потому что для любого «a», умноженного на ноль, «a» равно нулю.

Рациональные числа включают целые числа; например 2 = 6/3. В любом случае, когда «i = j / k» и {i, j.k} — целые числа, мы говорим, что «k» является «множителем» «j»,

Для рациональных чисел может потребоваться ограниченное количество ненулевых цифр после десятичной дроби. Примеры включают «2 = 2,0 = 6/3» и «2,5 = 2,50 = 5/2».

Для рациональных чисел может потребоваться бесконечная серия цифр после десятичной дроби. Один из примеров: «3,333… = 10/3».

Бесконечная серия может быть повторяющейся последовательностью разных цифр, а не одной цифрой. Один из примеров: «1,717171… = 170/99».

Для любого рационального числа «r» существует бесконечное множество пар целых чисел {(i [k], j [k])} таких, что «r = i [k] / j [k].Например, «1,717171… = 170/99 = 1700/990 = 17000/9900 =…». Существует только одна уникальная пара (i [1], j [1]), в которой нет общего множителя , который может делить как i [1], так и j [1]. В этом случае соотношение или дробь выражается в его наименьшем значении «». ”

Иррациональные числа

Иррациональные числа могут быть выражены как отношение двух целых чисел , а не .

Наука декодирования. По одной статье за ​​раз.

Рациональные и иррациональные числа | Алгебраические выражения

1.3 Рациональные и иррациональные числа (EMA4)

Рациональное число

Рациональное число (\ (\ mathbb {Q} \)) — это любое число, которое можно записать как:

\ [\ frac {a} {b} \]

, где \ (a \) и \ (b \) — целые числа, а \ (b \ ne 0 \).

Все следующие числа являются рациональными числами:

\ [\ frac {10} {1} \; ; \; \ frac {21} {7} \; ; \; \ frac {-1} {- 3} \; ; \; \ frac {10} {20} \; ; \; \ frac {-3} {6} \]

Мы видим, что все числители и все знаменатели целые.

Это означает, что все целые числа являются рациональными числами, поскольку их можно записать со знаменателем \ (\ text {1} \).

Иррациональные числа

Иррациональные числа (\ (\ mathbb {Q} ‘\)) — это числа, которые нельзя записать в виде дроби с числителем и знаменателем в виде целых чисел.

Примеры иррациональных чисел:

\ [\ sqrt {2} \; ; \; \ sqrt {3} \; ; \; \ sqrt [3] {4} \; ; \; \Пи \; ; \; \ frac {1 + \ sqrt {5}} {2} \]

Это не рациональные числа, потому что числитель или знаменатель не является целым числом.

Десятичные числа (EMA5)

Все целые числа и дроби с целыми числителями и ненулевыми целыми знаменателями являются рациональными числами. Помните, что когда знаменатель дроби равен нулю, дробь не определена.

Вы можете записать любое рациональное число в виде десятичного числа, но не все десятичные числа являются рациональными числами. Эти типы десятичных чисел являются рациональными числами:

• Десятичные числа, которые заканчиваются (или заканчиваются).Например, дробь \ (\ frac {4} {10} \) может быть записана как \ (\ text {0,4} \).

• Десятичные числа, состоящие из одной повторяющейся цифры. Например, дробь \ (\ frac {1} {3} \) может быть записана как \ (\ text {0,} \ dot {3} \) или \ (\ text {0,} \ overline {3} \). Обозначения точки и полосы эквивалентны, и оба представляют собой повторяющиеся символы \ (\ text {3} \), то есть \ (\ text {0,} \ dot {3} = \ text {0,} \ overline {3} = \ text {0,333 …} \).

• Десятичные числа, повторяющиеся из нескольких цифр.Например, дробь \ (\ frac {2} {11} \) также может быть записана как \ (\ text {0,} \ overline {18} \). Полоса представляет собой повторяющийся узор из \ (\ text {1} \) и \ (\ text {8} \), то есть \ (\ text {0,} \ overline {18} = \ text {0 , 181818 …} \).

Вы можете увидеть точку вместо запятой, используемой для обозначения десятичного числа. Таким образом, число \ (\ text {0,4} \) также можно записать как 0,4

Обозначение: Вы можете использовать точку или черту над повторяющимися цифрами, чтобы указать, что десятичная дробь является повторяющейся десятичной.Если полоса охватывает более одной цифры, то все числа под полосой повторяются.

Если вас просят определить, является ли число рациональным или иррациональным, сначала запишите число в десятичной форме. Если число заканчивается, то это рационально. Если так будет продолжаться вечно, ищите повторяющийся набор цифр. Если нет повторяющегося рисунка, то цифра иррациональна.

Когда вы записываете иррациональные числа в десятичной форме, вы можете продолжать записывать их для многих-многих десятичных знаков.Однако это неудобно и часто необходимо округлять.

Округление иррационального числа делает его рациональным числом, которое приближается к иррациональному числу.

Рабочий пример 1: Рациональные и иррациональные числа

Какие из следующих чисел не являются рациональными?

1. \ (\ pi = \ text {3,14159265358979323846264338327950288419716939937510 …} \)

2. \ (\ text {1,4} \)

3. \ (\ text {1,618033989…} \)

4. \ (\ text {100} \)

5. \ (\ text {1,7373737373 …} \)

6. \ (\ text {0,} \ overline {02} \)

1. Иррациональная, десятичная дробь не оканчивается и не повторяется.

2. Рациональное, десятичное завершение.

3. Иррациональная, десятичная дробь не оканчивается и не повторяется.

4. Рационально, все числа рациональны.

5. Рациональная десятичная дробь имеет повторяющийся образец.

6. Рациональная десятичная дробь имеет повторяющийся образец.

Преобразование завершающих десятичных знаков в рациональные числа (EMA6)

Десятичное число состоит из целой и дробной части. Например, \ (\ text {10,589} \) имеет целую часть \ (\ text {10} \) и дробную часть \ (\ text {0,589} \), потому что \ (10 ​​+ \ text {0,589} = \ текст {10,589} \).

Каждая цифра после десятичной точки представляет собой дробь со знаменателем в возрастающей степени \ (\ text {10} \).

Например:

• \ (\ text {0,1} \) равно \ (\ frac {1} {\ text {10}} \)

• \ (\ text {0,01} \) равно \ (\ frac {1} {\ text {100}} \)

• \ (\ text {0,001} \) равно \ (\ frac {1} {\ text {1 000}} \)

Это означает, что

\ begin {align *} \ text {10,589} & = 10 + \ frac {5} {10} + \ frac {8} {100} + \ frac {9} {\ text {1 000}} \\ & = \ frac {\ text {10 000}} {\ text {1 000}} + \ frac {\ text {500}} {\ text {1 000}} + \ frac {80} {\ text {1 000 }} + \ frac {9} {\ text {1 000}} \\ & = \ frac {\ text {10 589}} {\ text {1 000}} \ end {выровнять *}

В следующих двух видеороликах объясняется, как преобразовать десятичные дроби в рациональные числа.

Часть 1

Видео: 2DBJ

Часть 2

Видео: 2DBK

Преобразование повторяющихся десятичных знаков в рациональные числа (EMA7)

Когда десятичная дробь является повторяющейся десятичной дробью, требуется немного больше работы, чтобы записать дробную часть десятичного числа в виде дроби.

Рабочий пример 2: Преобразование десятичных чисел в дроби

Запишите \ (\ text {0,} \ dot {3} \) в форме \ (\ frac {a} {b} \) (где \ (a \) и \ (b \) — целые числа).

Определите уравнение

\ [\ text {Let} x = \ text {0,33333 …} \]

Умножить на \ (\ text {10} \) с обеих сторон

\ [10x = \ текст {3,33333 …} \]

Вычтем первое уравнение из второго.

\ [9x = 3 \]

Упростить

\ [x = \ frac {3} {9} = \ frac {1} {3} \]

Рабочий пример 3: Преобразование десятичных чисел в дроби

Запишите \ (\ text {5,} \ dot {4} \ dot {3} \ dot {2} \) в виде рациональной дроби.

Определите уравнение

\ [x = \ текст {5,432432432 …} \]

Умножить на \ (\ text {1 000} \) с обеих сторон

\ [\ text {1 000} x = \ text {5 432,432432432 …} \]

Вычтем первое уравнение из второго.

\ [\ text {999} x = \ text {5 427} \]

Упростить

\ [x = \ frac {\ text {5 427}} {\ text {999}} = \ frac {\ text {201}} {\ text {37}} = \ text {5} \ frac {\ text { 16}} {\ text {37}} \]

В первом примере десятичное число умножалось на \ (\ text {10} \), а во втором примере десятичное число умножалось на \ (\ text {1 000} \).Это потому, что в первом примере повторялась только одна цифра (т.е. \ (\ text {3} \)), а во втором — три повторяющиеся цифры (т.е. \ (\ text {432} \)).

В общем, если у вас повторяется одна цифра, умножьте ее на \ (\ text {10} \). Если у вас повторяются две цифры, умножьте их на \ (\ text {100} \). Если у вас повторяются три цифры, умножьте их на \ (\ text {1 000} \) и так далее.

Не все десятичные числа можно записать как рациональные числа. Почему? Иррациональные десятичные числа, например \ (\ sqrt {2} = \ text {1,4142135…} \) нельзя записать с целым числителем и знаменателем, потому что они не имеют шаблона повторяющихся цифр и не завершаются.

Siyavula Practice дает вам доступ к неограниченному количеству вопросов с ответами, которые помогут вам в обучении. Тренируйтесь где угодно, когда угодно и на любом устройстве!

Зарегистрируйтесь, чтобы попрактиковаться сейчас

Упражнение 1.1

Какое место на диаграмме занимает число \ (- \ frac {12} {3} \)?

Сначала упростим дробь: \ (- \ frac {12} {3} = -4 \)

\ (- \ text {4} \) является целым числом, поэтому оно попадает в набор \ (\ mathbb {Z} \).

В следующем списке два ложных утверждения и одно истинное утверждение. Какое из утверждений соответствует действительности ?

1. Каждое целое число — натуральное число.
2. Каждое натуральное число — это целое число.
3. В целых числах нет десятичных знаков.

Внимательно рассмотрите каждый вариант:

1. Есть целые числа, которые не попадают в натуральные числа (все отрицательные числа), поэтому это неверно.
2. Натуральные числа: \ (\ left \ {1; 2; 3; \ ldots \ right \} \), а целые числа — \ (\ left \ {0; 1; 2; 3; \ ldots \ right \} \ ) (круг \ (\ mathbb {N} \) находится внутри \ (\ mathbb {N} _ {0} \)), поэтому, если число является натуральным числом, оно должно быть целым числом. Это правда.
3. Целые числа \ (\ left \ {0; 1; 2; 3; \ ldots \ right \} \) увеличиваются только с шагом 1, поэтому в целых числах не может быть никаких десятичных чисел, что делает это ложным.

Итак, верно только (ii).

Какое место на диаграмме занимает число \ (- \ frac {1} {2} \)?

\ (- \ frac {1} {2} \) находится в своей простейшей форме, поэтому его нет в \ (\ mathbb {N} \), \ (\ mathbb {N} _0 \) или \ (\ mathbb {Z} \).Он находится в пространстве между прямоугольником и \ (\ mathbb {Z} \).

В следующем списке два ложных утверждения и одно истинное утверждение. Какое из утверждений соответствует действительности ?

1. Каждое целое число — натуральное число.
2. Каждое целое число является целым.
3. В целых числах нет десятичных знаков.

Внимательно рассмотрите каждый вариант:

1. Есть целые числа, которые не попадают в натуральные числа (все отрицательные числа), поэтому это неверно.
2. Целые числа \ (\ left \ {\ ldots; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; \ ldots \ right \} \), а целые числа — \ (\ left \ {0 ; 1; 2; 3; \ ldots \ right \} \) (круг \ (\ mathbb {Z} \) находится внутри \ (\ mathbb {N} _ {0} \)), поэтому, если число является целым это должно быть целое число. Это правда.
3. Целые числа \ (\ left \ {0; 1; 2; 3; 4; \ ldots \ right \} \) увеличиваются только с шагом 1, поэтому в целых числах не может быть никаких десятичных чисел, что делает это ложным .

Итак, верно только (ii).

\ (- \ sqrt {3} \)

\ (- \ sqrt {3} \) не имеет знака минус под квадратным корнем (минус находится вне корня) и не делится на ноль, поэтому он действительный.

\ (\ dfrac {0} {\ sqrt {2}} \)

\ (\ dfrac {0} {\ sqrt {2}} \) не имеет знака минус под квадратным корнем (минус находится за пределами корня) и не делится на ноль, поэтому он действительный.

\ (\ sqrt {-9} \)

\ (\ sqrt {-9} \) имеет знак минус под квадратным корнем, поэтому он не является действительным.

\ (\ dfrac {- \ sqrt {7}} {0} \)

\ (\ dfrac {- \ sqrt {7}} {0} \) имеет деление на ноль, поэтому не определено.

\ (- \ sqrt {-16} \)

\ (- \ sqrt {-16} \) имеет отрицательное число под квадратным корнем, поэтому оно не является действительным.

\ (\ sqrt {2} \)

\ (\ sqrt {2} \) не имеет минуса под квадратным корнем (минус находится вне корня), не делится на ноль, поэтому он действительный.

\ (- \ frac {1} {3} \) рационально. Доля целых чисел — это рациональное число.

\ (\ text {0,651268962154862.7 \) является рациональным, целым, целым и натуральным числом. Его можно записать как целое число.

\ (\ пи + 3 \)

\ (\ pi \) иррационально. \ (\ text {3} \) рационально (это целое число). Любое рациональное число, добавленное к любому иррациональному числу, иррационально.

Следовательно, \ (\ pi + 3 \) иррационально.

\ (\ пи + \ текст {0,858408346} \)

\ (\ pi \) иррационально.\ (\ text {0,858408346} \) является рациональным (это конечная десятичная дробь). Любое рациональное число, добавленное к любому иррациональному числу, иррационально.

Следовательно, \ (\ pi + \ text {0,858408346} \) иррационально.

\ (\ frac {5} {6} \) рационально.

Поскольку \ (a \) — целое число, \ (\ frac {a} {3} \) рационально.

Поскольку \ (b \) — целое число, \ (\ frac {-2} {b} \) рационально.

Обратите внимание, что \ (b \) не может быть \ (\ text {0} \), так как это делает дробь неопределенной.

Поскольку \ (c \) иррационально, \ (\ frac {1} {c} \) иррационально.

\ (\ frac {a} {14} = \ frac {1} {14} \) рационально.

\ (\ frac {a} {14} = \ frac {-10} {14} \) рационально.

\ (\ frac {a} {14} = \ frac {\ sqrt {2}} {14} \) иррационально.

\ (\ frac {a} {14} = \ frac {\ text {2,1}} {14} \) рационально.

Проверить, какое из чисел входит в набор \ (\ left \ {1; 2; 3; 4; \ ldots \ right \} \). Следовательно, \ (\ text {7} \) и \ (\ text {11} \) — натуральные числа.

Помните, что рациональные числа можно записать как \ (\ frac {a} {b} \), где \ (a \) и \ (b \) — целые числа. Также помните, что рациональные числа включают завершающие десятичные числа. Следовательно, \ (- \ sqrt {8} \;; \; \ text {3,3231089 …} \;; \; 3+ \ sqrt {2} \;; \; \ pi \) все иррациональны.

Любое число, являющееся квадратным корнем из отрицательного числа, не является действительным.Следовательно, нереально только \ (\ sqrt {-1} \).

Помните, что рациональные числа можно записать как \ (\ frac {a} {b} \), где \ (a \) и \ (b \) — целые числа. Также помните, что рациональные числа включают завершающие десятичные числа. Следовательно, \ (- 3 \;; \; 0 \;; \; -8 \ frac {4} {5} \;; \; \ frac {22} {7} \; \; 7 \;; \; \ text {1,} \ overline {34} \; \; 9 \ frac {7} {10} \;; \; 11 \) — все рациональные числа.

Проверьте, какое из чисел входит в набор \ (\ left \ {\ ldots; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; \ ldots \ right \} \).Следовательно, \ (- 3 \;; \; 7 \;; \; 11 \) — целые числа.

Любая дробь, разделенная на \ (\ text {0} \), не определена. Следовательно, только \ (\ frac {14} {0} \) не определено.

\ (\ текст {2,121314 …} \)

• Номер не заканчивается (это показано \ (\ ldots \)). Также отсутствует указание на повторяющийся узор цифр, поскольку ни на одном из чисел нет точки или полосы. Следующие три цифры могут быть любыми числами.

  Обратите внимание, что, хотя кажется, что в цифрах есть шаблон, мы не знаем, продолжается ли этот шаблон.

• Иррационально, нет повторяющегося рисунка.

\ (\ текст {1,242244246 …} \)

• Номер не заканчивается (это показано \ (\ ldots \)). Также отсутствует указание на повторяющийся узор цифр, поскольку ни на одном из чисел нет точки или полосы. Следующие три цифры могут быть любыми числами.

  Обратите внимание, что, хотя кажется, что в цифрах есть шаблон, мы не знаем, продолжается ли этот шаблон.

• Иррационально, нет повторяющегося рисунка.

\ (\ текст {3,324354 …} \)

• Номер не заканчивается (это показано \ (\ ldots \)). Также отсутствует указание на повторяющийся узор цифр, поскольку ни на одном из чисел нет точки или полосы. Следующие три цифры могут быть любыми числами.

  Обратите внимание, что, хотя кажется, что в цифрах есть шаблон, мы не знаем, продолжается ли этот шаблон.

• Иррационально, нет повторяющегося рисунка.

\ (\ текст {3,3243} \ dot {5} \ dot {4} \)

\ (\ text {0,1} = \ frac {1} {10} \)

\ begin {align *} \ text {0,12} & = \ frac {1} {10} + \ frac {2} {100} \\ & = \ frac {10} {100} + \ frac {2} {100} \\ & = \ frac {12} {100} \\ & = \ frac {3} {25} \ end {выровнять *}

\ begin {align *} \ text {0,58} & = \ frac {5} {10} + \ frac {8} {100} \\ & = \ frac {50} {100} + \ frac {8} {100} \\ & = \ frac {58} {100} \\ & = \ frac {29} {50} \ end {выровнять *}

\ begin {align *} \ text {0,2589} & = \ frac {2} {10} + \ frac {5} {100} + \ frac {8} {\ text {1 000}} + \ frac {9} {\ text { 10 000}} \\ & = \ frac {\ text {2 000}} {\ text {10 000}} + \ frac {500} {\ text {10 000}} + \ frac {80} {\ text {10 000}} + \ гидроразрыв {9} {\ text {10 000}} \\ & = \ frac {\ text {2 589}} {\ text {10 000}} \ end {выровнять *}

Мы видим, что повторяется только цифра \ (\ text {1} \), поэтому мы можем записать это как \ (\ text {0,} \ dot {1} \).

\ (\ text {0,1212121212 …} \)

Существует повторяющийся шаблон \ (\ text {12} \), поэтому мы можем записать это число как: \ (\ text {0,} \ overline {12} \)

\ (\ text {0,123123123123 …} \)

Существует повторяющийся образец \ (\ text {123} \), поэтому мы можем записать это число как: \ (\ text {0,} \ overline {123} \)

\ (\ text {0,11414541454145 …} \)

Шаблон 4145 повторяется, поэтому мы можем записать это число как: \ (\ text {0,11} \ overline {4145} \).7 \ текст {00}} & = \ текст {2} \ текст {остаток} \ текст {4} \\ \ frac {\ text {7}} {\ text {33}} & = \ text {0,} \ text {2 121} \ ldots \\ & = \ текст {0,} \ точка {\ текст {2}} \ точка {\ текст {1}} \ end {выровнять *}

\ begin {align *} \ frac {2} {3} & = 2 \ left (\ frac {1} {3} \ right) \\ & = 2 (\ text {0,333333 …}) \\ & = \ текст {0,666666 …} \\ & = \ текст {0,} \ точка {6} \ end {выровнять *}

\ begin {align *} 1 \ frac {3} {11} & = 1 + 3 \ left (\ frac {1} {11} \ right) \\ & = 1 + 3 (\ text {0,0

…}) \\ & = 1 + \ текст {0,27272727 …} \\ & = \ текст {1,} \ overline {27} \ end {выровнять *}

\ begin {align *} 4 \ frac {5} {6} & = 4 + 5 \ left (\ frac {1} {6} \ right) \\ & = 4+ 5 (\ text {0,1666666 …}) \\ & = 4 + \ текст {0,833333 …} \\ & = \ текст {4,8} \ точка {3} \ end {выровнять *}

\ begin {align *} 2 \ frac {1} {9} & = 2 + \ text {0,1111111 …} \\ & = \ текст {2,} \ точка {1} \ end {выровнять *}

\ begin {align *} х & = \ текст {0,55555…} \ text {и} \\ 10x & = \ text {5,55555 …} \\ 10x — x & = (\ text {5,55555 …}) — (\ text {0,55555 …}) \\ \ text {9} x & = \ text {5} \\ \ поэтому x & = \ frac {5} {9} \ end {выровнять *}

\ begin {align *} 10x & = \ text {6,3333 …} \ text {и} \\ 100x & = \ текст {63,3333 …} \\ 100x — 10x & = (\ text {63,3333 …}) — (\ text {6,3333 …}) \\ \ text {99} x & = \ text {57} \\ \ поэтому x & = \ frac {57} {90} \ end {выровнять *}

\ (\ текст {0,} \ точка {4} \)

\ begin {align *} х & = \ текст {0,4444…} \ text {и} \\ \ text {10} x & = \ text {4,4444 …} \\ 10x — x & = (\ text {4,4444 …}) — (\ text {0,4444 …}) \\ \ text {9} x & = \ text {4} \\ \ поэтому x & = \ frac {\ text {4}} {\ text {9}} \ end {выровнять *}

\ (\ text {5,} \ overline {31} \)

\ begin {align *} х & = \ текст {5,313131 …} \ текст {и} \\ 100x & = \ text {531,313131 …} \\ 100x — x & = (\ text {531,313131…}) — (\ text {5,313131 …}) \\ \ text {99} x & = \ text {526} \\ \ поэтому x & = \ frac {526} {99} \ end {выровнять *}

\ (\ text {4,} \ overline {\ text {93}} \)

\ begin {align *} х & = \ текст {4,939393 …} \ текст {и} \\ 100x & = \ text {493,939393 …} \\ 100x — x & = (\ text {493,939393 …}) — (\ text {4,939393 …}) \\ \ text {99} x & = \ text {489} \\ \ поэтому x & = \ frac {\ text {163}} {\ text {33}} \ end {выровнять *}

\ (\ text {3,} \ overline {\ text {93}} \)

\ begin {align *} х & = \ текст {3,939393…} \ text {и} \\ 100x & = \ text {393,939393 …} \\ 100x — x & = (\ text {393,939393 …}) — (\ text {3,939393 …}) \\ \ text {99} x & = \ text {390} \\ \ поэтому x & = \ frac {\ text {130}} {\ text {33}} \ end {выровнять *}

Классификация действительных чисел — ChiliMath

Схема «стопки воронок» ниже поможет нам легко классифицировать любые заданные действительные числа. Но сначала нам нужно описать, какие элементы входят в каждую группу чисел.Каждая группа или набор чисел представлены воронкой.

---

Описание каждого набора действительных чисел

Натуральные числа (также известные как счетные числа) — это числа, которые мы используем для счета. Он начинается с 1, затем с 2, затем с 3 и так далее.

Целые числа — это небольшая «модернизация» натуральных чисел, потому что мы просто добавляем элемент с нулем к текущему набору натуральных чисел. Думайте о целых числах как о натуральных числах вместе с нулем.

целых чисел включает в себя все целые числа вместе с «отрицательными» натуральными числами.

Рациональные числа — это числа, которые можно выразить как отношение целых чисел. Это означает, что если мы можем записать данное число в виде дроби, где числитель и знаменатель являются целыми числами; тогда это рациональное число.

Условно мы можем записать рациональное число как:

Внимание: знаменатель не может равняться нулю.

Рациональные числа могут также отображаться в десятичной форме . Если десятичное число завершается или повторяется, то его можно записать как дробь с целым числителем и знаменателем. Таким образом, это тоже рационально.

Иррациональные числа — это все числа, которые при записи в десятичной форме не повторяются и не заканчиваются.

Действительные числа включают как рациональные, так и иррациональные числа. Помните, что под набором рациональных чисел у нас есть подкатегории или подмножества целых чисел, целых чисел и натуральных чисел.

---

Классификация примеров действительных чисел

Пример 1 : Натуральное число также является целым числом.

Набор целых чисел включает в себя ноль и все натуральные числа. Это верное заявление.

---

Пример 2 : Целое число всегда является целым числом.

Набор целых чисел состоит из числа ноль, натуральных чисел и «минусов» натуральных чисел. Это означает, что некоторые целые числа являются целыми числами, но не все.

Например, — 2 — целое, а не целое число. Это утверждение неверно.

---

Пример 3 : Каждое рациональное число также является целым.

Слово «каждый» означает «все». Можете ли вы придумать рациональное число, не являющееся целым? Достаточно одного контрпримера, чтобы показать, что это утверждение ложно.

Дробь \ Large {1 \ over 2} является примером рационального числа, которое НЕ является целым. Итак, это утверждение неверно.

---

Пример 4 : Каждое целое число является рациональным числом.

Это верно, потому что каждое целое число можно записать как дробь со знаминателем 1.

---

Пример 5 : Каждое натуральное число является целым, целым и рациональным числом.

Рассматривая приведенные выше описания, можно сказать, что натуральные числа находятся в наборах целых чисел, целых чисел и рациональных чисел. Это делает его истинным заявлением.

Мы также можем использовать приведенную выше схему воронок, чтобы ответить на этот вопрос. Если мы наливаем воду в «воронку натуральных чисел», вода также должна течь через все воронки под ней.Таким образом, проходя по воронкам целых чисел, целых чисел и рациональных чисел.

---

Пример 6 : Каждое целое число является натуральным, целым и рациональным числом.

Используя ту же аналогию с «воронкой»; если мы нальем немного жидкости в воронку целых чисел, она должна пройти через воронки целых и рациональных чисел, пока спускается вниз. Поскольку воронка натуральных чисел находится над набором целых чисел, с которого мы начали, мы не можем включить эту воронку в группу.

Это ложное утверждение, поскольку целые числа принадлежат множеству целых и рациональных чисел, но не множеству натуральных чисел.

---

Пример 7 : Классифицируйте число ноль, 0.

Определенно не натуральное число, но целое, целое, рациональное и действительное число. Может быть неочевидно, что ноль также является рациональным числом. Однако запись его в виде дроби с ненулевым знаменателем ясно показывает, что это действительно рациональное число.

---

Пример 8 : Классифицируйте число 5.

Это натуральное или счетное число, целое число и целое число. Поскольку мы можем записать его в виде дроби со знаминателем 1, то есть \ Large {5 \ over 1}.

Это также делает его рациональным числом. И конечно, это реальная цифра.

---

Пример 9 : Классифицируйте число 0,25.

Данное десятичное число завершается, и поэтому мы можем записать его в виде дроби, которая является характеристикой рационального числа.Это число также является действительным числом.

\ Large {0,25 = {{25} \ over {100}} = {1 \ over 4}}

---

Пример 10 : Классифицируйте число {\ rm {2}} {1 \ over 5}.

Мы можем переписать эту смешанную дробь как неправильную дробь, чтобы было ясно, что у нас есть отношение двух целых чисел.

\ Large {{\ rm {2}} {1 \ over 5} = {{11} \ over 5}}

Это действительное и рациональное число.

---

Пример 11 : Классифицируйте число {\ rm {5.241879132…}}.

Десятичное число не является завершающим и неповторяющимся, что делает это число иррациональным. Конечно, любое иррациональное число также является действительным числом.

---

Пример 12 : Классифицируйте число 1.7777….

Поскольку десятичная дробь повторяется, получается рациональное число. Любое рациональное число также является действительным числом.

---

Пример 13 : Классифицируйте число \ sqrt 2.

Это иррациональное число, потому что, записанное в десятичной форме, оно не завершается и не повторяется.Это тоже реальное число.

---

Пример 14 : Классификация числа — \ sqrt {16}.

Во-первых, нам нужно упростить это радикальное выражение, которое дает нам — \ sqrt {16} = — \, 4. Число — \, 4 — целое, рациональное и действительное число.

---

Пример 15 : Классифицируйте номер — 8.123123….

Десятичное число не является окончательным, однако число 123 после десятичной точки продолжает повторяться.Мы можем переписать десятичное число с «полосой» поверх повторяющихся чисел.

Это делает его рациональным числом. Не забывайте, что это тоже реальное число.

---

Практика с рабочими листами

Классификация чисел — MathsTips.com

Ниже приведены классификации чисел.

1. Натуральные числа:

1. Каждое из 1,2,3,4,… .. и т. Д. Является натуральным числом.
2. Наименьшее натуральное число — 1, наибольшее натуральное число не может быть получено.
3. Последовательные натуральные числа отличаются на 1.
4. Позвольте быть любое натуральное число, тогда натуральные числа, которые идут сразу после, и т. Д.

2. Четные натуральные числа:

Система натуральных чисел, которые делятся на 2 или кратны 2, называется набором четных чисел.

E = (2,4,6,8,10,12 …… ..)

Есть бесконечные четные числа.

3. Нечетные натуральные числа:

Система натуральных чисел, которые не делятся на 2, называется набором нечетных чисел.

O = (1,3,5,7,9 ………)

Есть бесконечное количество нечетных чисел.

Соединяя нечетные и четные числа, мы получаем натуральные числа.

4. Целые числа:

1. 0,1, 2,3,4, …… и т. Д. — целые числа.
2. Наименьшее целое число равно нулю, тогда как наибольшее целое число получить невозможно.
3. Целые числа, идущие подряд, отличаются на 1.
4. За исключением нуля, каждое целое число является натуральным числом, поэтому:
   1. Каждое четное натуральное число является четным целым числом
   2. Каждое нечетное натуральное число является нечетным целым числом.

5. Простые числа:

1. Целые числа больше 1, которые делятся только на единицу и только на себя.
2. Все остальные простые числа, кроме 2, нечетные. P = 2,3,5,7,11,13, ………. пр.

6. Составные числа:

Составное число — это целое число (больше 1), которое не является простым.

Составные числа C = (4,6,8,9 …… .. и т. Д.)

7. Целые числа:

1. Целые числа состоят из натуральных чисел, нуля и отрицательных натуральных чисел.Таким образом, Z или I = …………………, -4, -3, -2, -1, 0, 1,2,3,4 …………….
2. Есть бесконечные целые числа в положительную сторону и бесконечные целые числа в отрицательную сторону.
3. Положительные целые числа — это натуральные числа.

Использование целых чисел

Целые числа используются для математического выражения наших повседневных ситуаций.

1. Если прибыль представлена ​​целыми положительными числами, тогда потери — отрицательными целыми числами.
2. Если высота над уровнем моря задается целыми положительными числами, то глубины ниже уровня моря задаются отрицательными целыми числами.
3. Если рост цены представлен целыми положительными числами, то падение цены — отрицательными целыми числами и так далее.

8. Рациональные числа:

Любое число, которое может быть выражено в форме, где a и b оба являются целыми числами, а, является рациональным числом.

1. — рациональное число, так как 2, 5 — целые числа, а 5 не равно нулю.
2. и т. Д. Не являются рациональными числами, поскольку эти числа не могут быть выражены как.

Итак, мы можем сказать, что рациональные числа содержат все целые числа и все дроби (включая десятичные).Существует бесконечное количество рациональных чисел.

1. Каждое целое число является рациональным числом, но обратное неверно. Тот же результат верен для натуральных чисел, целых чисел, дробей и т. Д.

9. Иррациональные числа:

Тогда числа, которые не являются рациональными, называются иррациональными числами.

Каждое из и т.д. — это иррациональное число.

Число не является ни рациональным, ни иррациональным, если.

10. Реальные числа:

Каждое число, которое является рациональным или иррациональным, называется действительным числом.

1. Каждое натуральное число является действительным числом.
2. Каждое целое число является действительным числом.
3. Каждое целое число является действительным числом.
4. Каждое рациональное число является действительным числом.
5. Каждое иррациональное число является действительным числом и т. Д.

Абсолютное значение числа:

Абсолютным значением целого числа является его числовое значение независимо от его знака.

Абсолютное значение

Абсолютное значение

Следовательно, если представляет собой целое число, его абсолютное значение представлено и всегда неотрицательно

Помните:

1. , когда положительный или нулевой
2. , когда отрицательно.

Иррациональные числа

Иррациональные числа — это числа, которые нельзя записать в виде общей дроби двух целых чисел. Это часть набора действительных чисел наряду с рациональными числами. Его также можно определить как набор действительных чисел, которые не являются рациональными числами.

Когда иррациональное число раскрывается в десятичной форме, это бесконечное десятичное число, которое не повторяется. Обратите внимание, что повторяющееся десятичное число без конца является рациональным, а не иррациональным числом.

Примеры

Ниже приведены некоторые из наиболее известных иррациональных чисел:

π	=	3,14159 …
e	=	2,71828 …
	=	1,41421 …

Независимо от количества десятичных разрядов, до которых мы вычисляем эти значения, всегда будет следующая цифра после нее, отсюда и термин «бесконечный десятичный».

Свойства иррациональных чисел

Как подмножество действительных чисел, иррациональные числа обладают теми же свойствами, что и действительные числа. Ниже приведены некоторые из свойств иррациональных чисел по отношению к их рациональным аналогам.

• Сумма иррационального числа и рационального числа иррациональна.
• Произведение иррационального числа и рационального числа иррационально, пока рациональное число не равно 0.
• Два иррациональных числа могут иметь или не иметь наименьшее общее кратное.
• Иррациональные числа не закрываются при сложении, вычитании, умножении и делении. Это контрастирует с рациональными числами, которые закрыты при всех этих операциях.

Что касается последнего пункта маркера, свойства закрытия, это означает, что операции, включающие только набор иррациональных чисел, могут приводить к числам, которые являются членами разных наборов, таких как рациональные числа:

Сложение и вычитание

Сложение и вычитание иррациональных чисел может привести к получению иррационального числа или рационального числа.Всякий раз, когда операции между двумя иррациональными числами могут привести к получению числа, которое не является иррациональным, оно не закрывается при этой операции.

Примеры

Дополнение:

(рациональный)

Вычитание:

(рациональный)

Умножение и деление

Иррациональные числа также не замыкаются при умножении и делении. В обоих случаях иррациональные числа, подвергающиеся этим операциям, могут привести к рациональному числу.

Примеры

Умножение:

(рациональный)

Отдел:

(рациональный)

Знаете ли вы ??

Иррациональных чисел больше, чем рациональных. Несмотря на то, что существует бесконечное количество чисел обоих типов, мы все же знаем, что иррациональных чисел больше, чем рациональных. Один из способов подумать об этом состоит в том, что даже в относительно небольшом наборе натуральных чисел квадратный корень из всех натуральных чисел, которые не являются точными квадратами (1, 4, 9, 16 и т.

No related posts.