Рациональные неравенства примеры с решением: Рациональные неравенства — теория и формулы, подготовка к ЕГЭ по математике

Содержание

Решение рациональных неравенств. — Республикалық білім порталы

— Bilimger · 22 мая, 2022

Алматы қаласы Алмалы ауданы

КММ «№34 гимназиясының»

математика пәнінің мұғалімі

СындаркуловаГазизаБауыржановна

Решение рациональных неравенств.

Раздел:	Глава4.8.4A Неравенства
ФИО педагога	Сындаркулова Г.Б.
Дата:	11.04.2022г.
Класс: 8	Количество присутствующих:		Количество отсутствующих:
Тема урока	Рациональное неравенство. Метод интервалов
Цели обучения в соответствии с учебной программой		8.2.2.9-решать рациональные неравенства;
Цели урока	Учащиеся изучат понятие рационального неравенства с одной переменной; сформируют представление об алгоритме решения рациональных неравенств; научатся применять метод интервалов к решению рациональных неравенств

Ход урока

Этапы

Действия педагога

Действия учени

Оценивание

Ресурсы

Начало урока

3 мин

1. Организационный момент. Создание положительного эмоционального настроя.

— Здравствуйте, ребята! Садитесь. Древняя китайская мудрость гласит: «Я слышу – я забываю, я вижу – я запоминаю, я делаю – я понимаю». И сегодня я вас призываю следовать этой мудрости.

«Я слышу – я вижу – я делаю»

положительный настрой урока

Устный комментарий

презентация

Целеполагание:

-Как вы думаете, называются неравенства №3 и №4?

— Сформулируйте тему урока.

— Чем будем заниматься на уроке?

Данные неравенства называются рациональными.

Решение рациональных неравенств.

Учиться решать рациональные неравенства.

Середина урока

1.Определение рационального неравенства с одной неизвестной.

Рациональное неравенство – это неравенство с переменными, обе части которого есть рациональные выражения.

Рациональное неравенство будем называть целым, если обе его части – целые рациональные выражения.

Дробно рациональное неравенство – это рациональное неравенство, хотя бы одна часть которого – дробное выражение.

2. Примеры рациональных неравенств.

3. Что значит решить неравенство?

4. Какие методы решения целых рациональных неравенств вы уже изучили?

5. Обоснование равносильности неравенств>0 и А(х)*В(х)>0

6. Вывод.

Алгоритм решения рациональных неравенств.

а) А(х)В(х)>0

б) (

>00

•

Посмотри видео https://www. youtube.com/watch?v=QadYDGSo3nIрешение неравенств

Приводят свои примеры на каждый случай.

Учащиеся отвечают на вопрос.

Учащиеся отвечаю

Решают пример

Индивидуальная работа.Выполнение разноуровневых заданий

Уровень А

Уровень В.

Самостоятельно выполняют задание

Наблюдение

ФО

езентация

Коллективная работа.Выполнить упр.№ 19.15 (9,11) из учебника изд-ва «Мектеп»,

Выполняют задание в тетрадях и на доске под контролем учителя и сильных учащихся.

ФО

Конец урока

5 мин

7. Рефлексия. В трех углах кабинета закреплены 3 листа бумаги разных цветов.

Зеленый лист: Я все понял, могу объяснить другим.

Синий лист: Я все понял, но еще допускаю ошибки.

Красный лист: Я еще недостаточно хорошо понимаю тему урока, мне нужна помощь.

Оценивают свою деятельность на уроке

Устный комментарий учителя

Домашнее задание.Выучить алгоритм решения рациональных неравенств. Выполнить из учебника: № 19.15 (10, 12), 19.18 (1)

Записывают домашнее задание

Приложение:

№ 19.15.

Ответ: x€[- 4;- 3)Մ(- 1;1].

9 класс. Алгебра. Рациональные неравенства и их системы.

— Линейные и квадратные неравенства.

Комментарии преподавателя

На этом уроке мы будем повторять неравенства. Мы вспомним, что такое линейное и квадратное неравенство, частное и общее решение, символическая запись. А также вспомним специфику решения неравенств – три правила равносильных преобразований. И решим несколько примеров на линейные неравенства.

Тема: Рациональные неравенства и их системы. Линейные и квадратные неравенства (повторение)

Урок: Основные понятия, решение линейных неравенств

Рациональные неравенства – основные понятия и решения квадратных и линейных неравенств (9 класс)

Линейное и квадратное неравенство, повторение, урок 1, основные понятия решения линейных неравенств

Неравенство с одной переменной имеет вид: f(x) > 0, вместо (> 0) может быть (≥ 0), (< 0), (≤ 0).

Для определенности будем записывать неравенство в виде f(x) > 0.

x – переменная,

f – функция, выражение, зависящее от х.

В зависимости от f различают разные типы неравенств. Если f – линейная функция, то это линейное неравенство. Если f – квадратичная функция, то это квадратное неравенство.

Итак, линейное неравенство имеет вид ax+b>0, предполагается, что a≠0.

Квадратное неравенство имеет вид .

Значение x, при котором неравенство обращается в верное числовое неравенство, является частным решением неравенства. Решить неравенство – найти все решения неравенства. Множество всех решений неравенства называется общим решением неравенства, или просто решением неравенства.

Рассмотрим пример:

1) Решить неравенство 2x – 5 > 9.

Это линейное неравенство, найдем его решение и обсудим основные понятия.

2x – 5 > 9 <=> 2x > 14 (5 перенесли в левую часть с противоположным знаком), далее разделили все на 2 и получили x > 7. Изобразим множество решений на оси

Это положительно направленный луч. Записывается множество решений либо в виде неравенства x > 7, либо в виде интервала (7; ∞). А что является частным решением этого неравенства? Например, x = 10 – это частное решение этого неравенства, x = 12 – это тоже частное решение этого неравенства.

Частных решений много, но наша цель – найти все решения. А решений, как правило, бесчисленное множество.

Рассмотрим пример 2:

2) Решить неравенство 4a – 11 > a + 13.

Решим его: а перенесем в одну сторону, 11 перенесем в другую сторону, получим 3a < 24, и в результате после деления обеих частей на 3 получим a < 8.

4a – 11 > a + 13 <=> 3a > 24 <=> a > 8.

Ответ либо записывается в виде неравенства a > 8, либо а (8; +∞), 8 не включается.

При решении неравенства есть важное отличие его от уравнений, которое состоит в том, что любое решение уравнения можно проверить просто подстановкой в исходное уравнение. В неравенствах такой возможности нет, здесь бесчисленное множество решений подставить в исходное неравенство не представляется возможным. Поэтому есть важное понятие, вот эти стрелочки <=> — это знак эквивалентных, или равносильных, преобразований. Преобразование называются равносильными, или эквивалентными, если они не искажают множества решений. О важности эквивалентных (равносильных) преобразований можно узнать, рассмотрев следующий пример.

3) Решить неравенство ≤ 1.

Решение будем искать среди x ≠ 0, потому что x стоит в знаменателе.

Если x ≠ 0, то обе части неравенства можно умножить наx: , основное свойство дроби позволяет сократить в левой части , и в результате получим ≥ 1.

Однако неравенство решено неверно. Почему? Возьмем =-1, которое не входит в найденный промежуток, подставив его в исходное неравенство, получим -1 ≤ 1, т.е. это еще одно частное решение исходного неравенства: -1.

Что же мы сделали? Мы обе части неравенства ≤ 1 умножили на , не зная знака этого выражения, ведь может принимать как положительные значения, так и отрицательные.

Таким образом, мы подтвердили важность эквивалентных, равносильных преобразований. Вспомним, что это за равносильные, эквивалентные преобразования, и продемонстрируем их на конкретном примере.

Решить неравенство 2 – 2 >4.

1. Любой член неравенства можно перенести в другую сторону с противоположным знаком, равносильность, эквивалентность не нарушится.

2 – 2 > 4 <=> -2 > 4 – 2 <=> -2 > 2

Эквивалентность не нарушилась, о чем мы говорим вот таким знаком <=>.

2. Второе правило нам говорит, что обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, при этом знак неравенства изменится на противоположный.

3. И еще одно правило: обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, и знак неравенства не изменится.

Теперь исходное неравенство имеет вид: -2x > 2. Давайте обе части неравенства разделим на (-2):

-2 >2 <=> <-1. Знак неравенства изменится, т.к. мы делим на (-2) и пользуемся соответствующим правилом.

Мы пользовались равносильными, эквивалентными преобразованиями и получили правильный ответ: < -1.

Источник видео: http://www.youtube.com/watch?v=sVF1mn9HSfs

Источник конспекта: http://interneturok. ru/ru/school/algebra/9-klass/sistemy-racionalnyh-neravenstv/osnovnye-ponyatiya-reshenie-lineynyh-neravenstv?konspekt&chapter_id=22

Пример 1 = (x + 2)/(x – 3)

f(x) < 0

(x + 2)/(x – 3) < 0

Приравнивая числитель и знаменатель равны нулю, получаем

х + 2 = 0, х – 3 = 0

х = -2 и х = 3 (критические числа)

Критические числа делят числовую прямую на три отрезка.

Со стола, возможные значения x:

-2 < x < 3

Записав это как интервальной записи, получаем

(-2, 3)

Итак, искомое решение is -2 < x < 3

Пример 2 :

(x + 3)/(2 – x) < 0

Решение :

Пусть f(x) = (x + 3)/(2 – x)

f(x) < 0

(x + 3)/(2 – x) < 0

Приравнивая числитель и знаменатель равны нулю, получаем

х + 3 = 0, 2 – х = 0

х = -3 и х = 2 (критические числа)

Критические числа делят числовую прямую на три отрезка.

Со стола, возможные значения x:

x < -3 или x > 2

Записав это как интервальной записи, получаем

(-∞, -3) u (2, ∞)

Итак, искомое решение x < -3 или x > 2

Пример 3 :

(x — 1)/(x + 3) ≥ -1

Решение :

Пусть f(x) = (x — 1)/(x + 3)

f(x) ≥ -1

(x — 1)/(x + 3) ≥ -1

Добавьте 1 к обоим стороны, получаем

(x — 1)/(x + 3) + 1 ≥ -1 + 1

общее кратное, получаем

[(x – 1) + (x + 3)]/(x + 3) ≥ 0

(x – 1 + x + 3)/(x + 3) ≥ 0

( 2x + 2)/(x + 3) ≥ 0

Приравнивая числитель и знаменатель равны нулю, получаем

2х+2 = 0, х + 3 = 0

х = -1 и х = -3 (критические числа)

Из таблицы, возможные значения x:

x < -3 или x ≥ -1

Записав это как интервальной записи, получаем

(-∞, -3) u [-1, ∞)

Итак, искомое решение x < -3 или x ≥ -1

) < 1

Вычесть 1 из обоих стороны, получаем

(x + 2)/(2x — 3) — 1 < 1 – 1

(x + 2)/(2x — 3) — 1 < 0

Принимая наименьшее общее кратное, получаем

[(x + 2) + (-2x + 3)]/(2x — 3) < 0

(x + 2 — 2x + 3)/(2x — 3) < 0

-(x — 5)/(2x — 3) < 0

Сделать коэффициент x положителен, поэтому мы должны умножать на -1 через уравнение,

(x — 5)/(2x — 3) > 0

Приравнивая числитель и знаменатель к нулю, получаем

х — 5 = 0, 2x — 3 = 0

x = 5 и x = 3/2 (критические числа)

Со стола, возможные значения x:

x < 3/2 или x > 5

Записав это как интервальной записи, получаем

(-∞, 3/2) u (5, ∞)

Итак, искомое решение x < 3/2 или x > 5

x) > 4

Вычесть 4 из обоих стороны, получаем

(5 – 2х)/(1 – х) – 4 > 4 – 4

(5 – 2х)/(1 – х) – 4 > 0

Взять хотя бы общее кратное, получаем

[(5 – 2x) – 4(1 – x)]/(1 – x) > 0

(5 – 2x – 4 + 4x)/(1 – x) > 0

(2x + 1)/(1 — x) > 0

Приравнивая числитель и знаменатель к нулю, получаем

2х+1 = 0, 1 — х = 0

х = -1/2 и х = 1 (критические числа)

Из таблицы, возможные значения x:

-1/2 < x < 1

Записав это как обозначение интервала, мы получаем

(-1/2, 1)

Итак, требуемый решение: -1/2 < x < 1.

Помимо материалов, приведенных выше, если вам нужны какие-либо другие материалы по математике, воспользуйтесь нашим пользовательским поиском Google здесь.

Пожалуйста, отправьте ваш отзыв на [email protected]

Мы всегда ценим ваши отзывы.

Объяснение урока: Рациональные неравенства | Nagwa

В этом объяснителе мы научимся решать рациональные неравенства.

Напомним определение рациональной функции.

Определение: рациональная функция

Рациональная функция 𝑓 — это функция, формула которой является рациональным выражением, то есть частное двух полиномиальных функций. Так, 𝑓(𝑥)=𝑃(𝑥)𝑄(𝑥), с полиномами 𝑃(𝑥) и 𝑄(𝑥).

Поскольку и 𝑃, и 𝑄 являются полиномами, мы можем использовать методы связанные с полиномами при работе с рациональными функциями.

Предположим, что нам дано неравенство, например 𝑥+3𝑥−8𝑥−3≥2.

Как и в случае с полиномиальными неравенствами, когда порядок больше единицы, полезно рассматривать происходящее графически. Хотя это не так будем решать неравенство. Вот график:

Включены (i) вертикальная асимптота 𝑥=3 и (ii) горизонтальная строка 𝑦=2.

Решением 𝑓(𝑥)>2 является просто набор значений 𝑥 которому соответствует точка (𝑥,𝑓(𝑥)) на графике, строго над чертой 𝑦=2. Решения 𝑓(𝑥)=2 есть 𝑥-координаты точек на этой прямой.

Судя по графику, линия 𝑦=2 соответствует графику в точках (−2,2) и (1,2), что дает интервал [−2,1]={𝑥∣−2≤𝑥≤1} как часть решения.

А затем справа у нас есть часть кривой для 𝑥>3, асимптота. Для всех этих значений по-прежнему верно, что 𝑓(𝑥)≥2. Этот добавляет интервал ]3,∞[. Итак, мы можем прочитать решение задачи 𝑓(𝑥)≥2 как объединение интервалов: [−2,1]∪]3,∞[.

Как найти решение, не прибегая к графу? Мы следуем шагам ниже.

Преобразовать вопрос в сравнение с 0.
Итак, вместо 𝑥+3𝑥−8𝑥−3≥2 мы вычтем 2 из любого стороны, чтобы получить эквивалентное неравенство: 𝑥+3𝑥−8𝑥−3−2≥0 или 𝑥+𝑥−2𝑥−3≥0. 
Решения здесь такие же, как решения исходной задачи.
Если возможно, разложите рациональную функцию, чтобы идентифицировать нули числитель и нули знаменателя (которые дают расположение вертикальных асимптоты).
Это дает нам (𝑥−1)(𝑥+2)𝑥−3≥0.
Итак, мы видим, что вертикальная асимптота действительно находится на 𝑥=3. Этот рациональная функция равна нулю, когда 𝑥=−2 и 𝑥=1.
Перечислите нули числителя и знаменателя в порядке возрастания и рассмотрим интервалы между ними, включая −∞ слева и ∞ вправо.
Создайте таблицу, как показано ниже, где 𝑔(𝑥)=(𝑥−1)(𝑥+2)𝑥−3 как выше, и мы случайным образом выбираем точку в этом интервале.
Список будет −∞,−2,1,3,∞. Таблица, которая решает 𝑔(𝑥)>0, равна
Interval 𝑥 𝑔(𝑥) Sign
]−∞,−2[ −3 −23 −
]−2,1[ 0 23 +
]1,3[ 2 −4 −
]3,∞[ 4 18 +

The table определяет, что (𝑥−1)(𝑥+2)𝑥−3>0𝑥∈]−2,1[∪]3,∞[. точно при
Если неравенство не является строгим (как в данном случае), дописать нули 𝑔(𝑥).
Здесь это 𝑥=−2 и 𝑥=1, так что (𝑥−1)(𝑥+2)𝑥−3≥0𝑥∈[−2,1]∪]3,∞[.preciselywhen

Interval	𝑥	𝑔(𝑥)	Sign
]−∞,−2[	−3	−23	−
]−2,1[	0	23	+
]1,3[	2	−4	−
]3,∞[	4	18	+

Мы нашли такое же решение, как показано на графике ранее. Если бы мы хотели выразить множество решений с помощью неравенств, это 𝑥+3𝑥−8𝑥−3≥2−2≤𝑥≤1𝑥>3.ifandonlyifor Итого:

Решение рационального неравенства, такого как 𝑃(𝑥)/𝑄(𝑥) ≤ 𝐴

Если неравенство 𝑃(𝑥)𝑄(𝑥)≤𝐴 с 𝐴≠0, заменить на 𝑃(𝑥)𝑄(𝑥)−𝐴≤0 вместо.
Перепишем рациональную функцию в виде 𝑃(𝑥)𝑄(𝑥)=0 и факторизуем как 𝑃(𝑥), так и 𝑄(𝑥).
Мы можем удалить постоянные множители из 𝑃 и 𝑄, будучи осторожно менять знак неравенства, если мы делим отрицательную константу.
Обратите внимание на нули 𝑃(𝑥), которые также являются решениями 𝑃(𝑥)𝑄(𝑥)=0.
Перечислите нули двух многочленов в порядке возрастания.
Используя −∞ и ∞, поместите множество открытых интервалы, созданные в таблице, как показано. Выберите тестовые значения в каждом таком интервале, чтобы определить знак 𝑃(𝑥)𝑄(𝑥) там.
Если неравенство не строгое, добавить нули в качестве границ некоторых интервалов к завершить решение.

Пример 1. Решение неравенств рациональных функций

Каковы все значения 𝑥, для которых верно, что 𝑥+3𝑥−1≥3?

Ответ

Во-первых, нам нужно переписать это неравенство, используя 0 вместо показанных 3. Мы трансформируем, упрощаем и факторизуем: 𝑥+3𝑥−1≥3𝑥+3𝑥−1−3≥0−2𝑥+6𝑥−1≥0−2(𝑥−3)𝑥−1≥0.

Поскольку множитель −2 можно разделить, мы делаем это, стараясь переключить неравенство с ≥ на ≤. Наше неравенство имеет те же решения, что и: 𝑥−3𝑥−1≤0.

Отметим, что 𝑥−3𝑥−1=0𝑥=3.when

Нули числителя и знаменателя, взятые вместе, равны 3 и 1. Составление из них интервалов, взятых с ±∞, дает нам ]−∞,1[]1,3[]3,∞[ в этой последовательности.

Мы создаем таблицу, чтобы решить, где 𝑥 -3𝑥 -10:

Интервал	𝑥	𝑥 -3𝑥 -1	Знак
]] − называют
] –ist.	+
]1,3[	2	−1	−
]3,∞[	4	13	+

We find that 𝑥−3𝑥−10𝑥∈]1,3[.когда и заключить 𝑥−3𝑥−1≤0𝑥∈]1,3].когда

Другими словами, условие на 𝑥 равно 1𝑥≤3.

Ниже приведен еще один пример.

Пример 2. Решение неравенств рациональных функций

Решите неравенство 𝑥−1(𝑥+1)(𝑥−3)≤13.

Ответ

Преобразуем в форму 𝑃(𝑥)𝑄(𝑥)≤0, соответствующим образом факторизованную, последовательностью эквивалентностей: 𝑥−1(𝑥+1)(𝑥−3)≤13𝑥−1(𝑥+1)(𝑥−3)−13≤0−𝑥+5𝑥3(𝑥+1)(𝑥−3)≤0−𝑥( 𝑥−5)3(𝑥+1)(𝑥−3)≤0−1𝑥(𝑥−5)(𝑥+1)(𝑥−3)≥0.затем деля на

Это дает нам новую рациональную функцию 𝑓( 𝑥)=𝑥(𝑥−5)(𝑥+1)(𝑥−3), и отметим прежде всего, что 𝑓(𝑥)=𝑥(𝑥−5)(𝑥+1)(𝑥−3)=0𝑥=0,5.когда

Чтобы решить, где 𝑓(𝑥)>0, мы используем список нулей обоих числитель и знаменатель.

Рациональные неравенства примеры с решением: Рациональные неравенства — теория и формулы, подготовка к ЕГЭ по математике

Решение рациональных неравенств. — Республикалық білім порталы

Читайте также:

9 класс. Алгебра. Рациональные неравенства и их системы.

Объяснение урока: Рациональные неравенства | Nagwa

Определение: рациональная функция

Решение рационального неравенства, такого как 𝑃(𝑥)/𝑄(𝑥) ≤ 𝐴

Пример 1. Решение неравенств рациональных функций

Ответ

Пример 2. Решение неравенств рациональных функций

Ответ

Добавить комментарий Отменить ответ