Радиус окружности формула через длину: Формула длины окружности — ответ на Uchi.ru

Что такое радиус окружности круга. Площадь круга

Что такое радиус окружности круга. Площадь круга

Данный урок посвящён изучению окружности и круга. Также учитель научит отличать замкнутые и незамкнутые линии. Вы познакомитесь с основными свойствами окружности: центром, радиусом и диаметром. Выучите их определения. Научитесь определять радиус, если известен диаметр, и наоборот.

Если заполнить пространство внутри окружности, например начертить окружность с помощью циркуля на бумаге или картоне и вырезать, то получим круг (рис. 10).

Рис. 10. Круг

Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью.

Условие: Витя Верхоглядкин начертил в своей окружности (рис. 11) 11 диаметров. А когда пересчитал радиусы, получил 21. Правильно ли он сосчитал?

Рис. 11. Иллюстрация к задаче

Решение: радиусов должно быть в два раза больше, чем диаметров, поэтому:

Витя сосчитал неправильно.

Список литературы

  1. Математика. 3 класс. Учеб. для общеобразоват. учреждений с прил. на электрон. носителе. В 2 ч. Ч. 1 / [М.И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова и др.] — 2-е изд. — М.: Просвещение, 2012. — 112 с.: ил. — (Школа России).
  2. Рудницкая В.Н., Юдачёва Т.В. Математика, 3 класс. — М.: ВЕНТАНА-ГРАФ.
  3. Петерсон Л.Г. Математика, 3 класс. — М.: Ювента.
  1. Mypresentation.ru ().
  2. Sernam.ru ().
  3. School-assistant.ru ().

Домашнее задание

1. Математика. 3 класс. Учеб. для общеобразоват. учреждений с прил. на электрон. носителе. В 2 ч. Ч. 1 / [М.И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова и др.] — 2-е изд. — М.: Просвещение, 2012., ст. 94 № 1, ст. 95 № 3.

2. Разгадайте загадку.

Мы живём с братишкой дружно,

Нам так весело вдвоём,

Мы на лист поставим кружку (рис. 12),

Обведём карандашом.

Получилось то, что нужно —

Называется …

3. Необходимо определить диаметр окружности, если известно, что радиус равен 5 м.

4. * С помощью циркуля начертите две окружности с радиусами: а) 2 см и 5 см; б) 10 мм и 15 мм.

Радиус круга – это расстояние от центра круга до любой точки, которая лежит на внешней окружности круга. Простейший способ найти радиус – разделить диаметр пополам. Если диаметр не известен, но даны значения других величин, таких как длина окружности (C = 2 π (r)

1 По длине окружности

  1. 1 Запишите формулу для вычисления длины окружности. Формула: C = 2 π (r)
    • Число π 2 Для этого разделите обе части формулы на 2 π 3 В формулу подставьте значение длины окружности. Оно должно быть дано в задаче. Значение длины окружности подставляется вместо переменной C 4 Округлите результат. Рассчитайте величину радиуса, используя клавишу π ответ. Если у вас нет калькулятора или на нем нет такой клавиши, рассчитайте вручную, приняв π

      2 По площади круга

      1. 1 Запишите формулу для вычисления площади круга. Формула: A = π (r 2)
      2. 2 В формуле изолируйте радиус.
        • Сначала разделите обе части формулы на π 3 В формулу подставьте значение площади. Оно должно быть дано в задаче. Значение площади подставляется вместо переменной S 4 Разделите площадь на π 5 Извлеките квадратный корень. Для этого понадобится калькулятор, потому что в результате получится десятичная дробь. Так вы вычислите радиус круга.
          • Например, r = 6 , 69 = 2 , 59

            3 По диаметру

            1. 1 Найдите диаметр круга. Как правило, диаметр дан в задаче; в противном случае просто измерьте его. Диаметр – это отрезок, который соединяет две точки, лежащие на окружности, и проходит через центр окружности (круга). Диаметр делит круг на две равные части.
              • Например, дан круг диаметром 4 см.
            2. 2 Разделите диаметр на 2. Радиус круга равен половине его диаметра.

Окружность — геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Данная точка (O) называется центром окружности .
Радиус окружности — это отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности. Все радиусы имеют одну и ту же длину (по определению).
Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром . Центр окружности является серединой любого диаметра.
Любые две точки окружности делят ее на две части. Каждая из этих частей называется

дугой окружности . Дуга называется полуокружностью , если отрезок, соединяющий её концы, является диаметром.
Длина единичной полуокружности обозначается через π .
Сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360º .
Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом .
Круговой сектор — часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга. Дуга, которая ограничивает сектор, называется дугой сектора .
Две окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими .
Две окружности, пересекающиеся под прямым углом, называются ортогональными .

Взаимное расположение прямой и окружности

  1. Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности (d), то прямая и окружность имеют две общие точки. В этом случае прямая называется
    секущей
    по отношению к окружности.
  2. Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку. Такая прямая называется касательной к окружности , а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности .
  3. Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности, то прямая и окружность не имеют общих точек
  4. .

Центральные и вписанные углы

Центральный угол — это угол с вершиной в центре окружности.
Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

Теорема о вписанном угле

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

  • Следствие 1.
    Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

  • Следствие 2.
    Вписанный угол, опирающийся на полуокружность — прямой.

Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд.

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Основные формулы

  • Длина окружности:
C = 2∙π∙R
  • Длина дуги окружности:
R = С/(2∙π) = D/2
  • Диаметр:
D = C/π = 2∙R
  • Длина дуги окружности:
l = (π∙R) / 180∙α ,
где α — градусная мера длины дуги окружности)
  • Площадь круга:
S = π∙R 2
  • Площадь кругового сектора:
S = ((π∙R 2) / 360)∙α

Уравнение окружности

  • В прямоугольной системе координат уравнение окружности радиуса r с центром в точке C (x о;y о) имеет вид:
(x — x о) 2 + (y — y о) 2 = r 2
  • Уравнение окружности радиуса r с центром в начале координат имеет вид:
x 2 + y 2 = r 2

Окружностью называется ряд равноудалённых точек от одной точки, которая, в свою очередь, является центром этой окружности. Окружность имеет также свой радиус, равный расстоянию этих точек от центра.

Отношение длины, какой либо окружности к её диаметру, для всех окружностей одинаково. Это отношение есть число, являющееся математической константой, которое обозначается греческой буквой π .

Определение длины окружности

Произвести расчёт окружности можно по следующей формуле:

L = π D = 2 π r

r — радиус окружности

D — диаметр окружности

L — длина окружности

π — 3.14

Задача:

Вычислить длину окружности , имеющей радиус 10 сантиметров.

Решение:

Формула для вычисления дины окружности имеет вид:

L = π D = 2 π r

где L – длина окружности, π – 3,14 , r – радиус окружности, D – диаметр окружности.

Таким образом, длина окружности, имеющей радиус 10 сантиметров равна:

L = 2 × 3,14 × 10 = 62,8 сантиметра

Окружность представляет собой геометрическую фигуру, являющуюся совокупностью всех точек на плоскости, удаленных от заданной точки, которая называется ее центром, на некоторое расстояние, не равное нулю и именуемое радиусом. Определять ее длину с различной степенью точности ученые умели уже в глубокой древности: историки науки считают, что первая формула для вычисления длины окружности была составлена примерно в 1900 году до нашей эры в древнем Вавилоне.

С такими геометрическими фигурами, как окружности, мы сталкиваемся ежедневно и повсеместно. Именно ее форму имеет внешняя поверхность колес, которыми оснащаются различные транспортные средства. Эта деталь, несмотря на свою внешнюю простоту и незатейливость, считаются одним из величайших изобретений человечества, причем интересно, что аборигены Австралии и американские индейцы вплоть до прихода европейцев совершенно не имели понятия о том, что это такое.

По всей вероятности, самые первые колеса представляли собой отрезки бревен, которые насаживались на ось. Постепенно конструкция колеса совершенствовалась, их конструкция становилась все более и более сложной, а для их изготовления требовалось использовать массу различных инструментов. Сначала появились колеса, состоящие из деревянного обода и спиц, а затем, для того, чтобы уменьшить износ их внешней поверхности, ее стали обивать металлическими полосами. Для того чтобы определить длины этих элементов, и требуется использовать формулу расчета длины окружности (хотя на практике, вероятнее всего, мастера это делали «на глаз» или просто опоясывая колесо полосой и отрезая требуемый ее участок).

Следует заметить, что колесо используется отнюдь не только в транспортных средствах. Например, его форму имеет гончарный круг, а также элементы шестеренок зубчатых передач, широко применяемых в технике. Издавна колеса использовались в конструкциях водяных мельниц (самые древние из известных ученым сооружений такого рода строились в Месопотамии), а также прялок, применявшихся для изготовления нитей из шерсти животных и растительных волокон.

Окружности нередко можно встретить и в строительстве. Их форму имеют достаточно широко распространенные круглые окна, очень характерные для романского архитектурного стиля. Изготовление этих конструкций – дело весьма непростое и требует высокого мастерства, а также наличия специального инструмента. Одной из разновидностей круглых окон являются иллюминаторы, устанавливаемые в морских и воздушных судах.

Таким образом, решать задачу определения длины окружности часто приходится инженерам-конструкторам, разрабатывающим различные машины, механизмы и агрегаты, а также архитекторам и проектировщикам. Поскольку число π , необходимое для этого, является бесконечным, то с абсолютной точностью определить этот параметр не представляется возможным, и поэтому при вычислениях учитывается та ее степень, которая в том или ином конкретном случае является необходимой и достаточной.

Окружность — замкнутая кривая, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра. Эта фигура является плоской. Поэтому решение задачи, вопрос которой состоит в том, как найти длину окружности, является достаточно простым. Все имеющиеся способы, мы рассмотрим в сегодняшней статье.

Описания фигуры

Кроме достаточно простого описательного определения существуют еще три математических характеристики окружности, которые уже сами по себе содержат ответ на вопрос, как найти длину окружности:

  • Состоит из точек A и B и всех других, из которых AB можно увидеть под прямым углом. Диаметр данной фигуры равен длине рассматриваемого отрезка.
  • Включает исключительно такие точки X, что отношение AX/BX неизменно и не равно единице. Если это условие не соблюдается, то это не окружность.
  • Состоит из точек, для каждой из которых выполняется следующее равенство: сумма квадратов расстояний до двух других — это заданная величина, которая всегда больше половине длины отрезка между ними.

Терминология

Не у всех в школе был хороший учитель математики. Поэтому ответ на вопрос, как найти длину окружности, осложняется еще и тем, что не все знают основные геометрические понятия. Радиус — отрезок, который соединяет центр фигуры с точкой на кривой. Особым случаем в тригонометрии является единичная окружность. Хорда — отрезок, который соединяет две точки кривой. Например, под это определение подпадает уже рассмотренный AB. Диаметр — это хорда, проходящая через центр. Число π равно длине единичной полуокружности.

Основные формулы

Из определений непосредственно следуют геометрические формулы, которые позволяют рассчитать основные характеристики окружности:

  1. Длина равна произведению числа π и диаметра. Формулу обычно записывают следующим образом: C = π*D.
  2. Радиус равен половине диаметра. Его также можно рассчитать, вычислив частное от деления длины окружности на удвоенное число π. Формула выглядит так: R = C/(2* π) = D/2.
  3. Диаметр равен частному от деления длины окружности на π или удвоенному радиусу. Формула является достаточно простой и выглядит так: D = C/π = 2*R.
  4. Площадь круга равна произведению числа π и квадрата радиуса. Аналогично в этой формуле можно использовать диаметр. В этом случае площадь будет равна частному от деления произведения числа π и квадрата диаметра на четыре. Формулу можно записать следующим образом: S = π*R 2 = π*D 2 /4.

Как найти длину окружности по диаметру

Для простоты объяснения обозначим буквами необходимые для расчета характеристики фигуры. Пусть C — это искомая длина, D — ее диаметр, а число π приблизительно равно 3,14. Если у нас есть всего одна известная величина, то задачу можно считать решенной. Зачем это нужно в жизни? Предположим мы решили обнести круглый бассейн забором. Как вычислить необходимое количество столбиков? И тут на помощь приходит умение, как вычислить длину окружности. Формула выглядит следующим образом: C = π D. В нашем примере диаметр определяется на основе радиуса бассейна и необходимого расстояния до забора. Например, предположим, что наш домашний искусственный водоем составляет 20 метров в ширину, а столбики мы собираемся ставить на десятиметровом расстоянии от него. Диаметр получившейся окружности равен 20 + 10*2 = 40 м. Длина — 3,14*40 = 125,6 метров. Нам понадобятся 25 столбиков, если промежуток между ними будет около 5 м.

Длина через радиус

Как всегда, начнем с присвоения характеристикам окружности букв. На самом деле они являются универсальными, поэтому математикам из разных стран вовсе не обязательно знать язык друг друга. Предположим, что C — это длина окружности, r — ее радиус, а π приблизительно равно 3,14. Формула выглядит в этом случае следующим образом: C = 2*π*r. Очевидно, что это абсолютно правильное равенство. Как мы уже разобрались диаметр окружности равен ее удвоенному радиусу, поэтому эта формула так и выглядит. В жизни этот способ тоже может часто пригодиться. Например, мы печем торт в специальной раздвижной форме. Чтобы он не испачкался, нам нужна декоративная обертка. Но как вырезать круг нужного размера. Здесь на помощь и приходит математика. Те, кто знают, как узнать длину окружности, сразу скажут, что нужно умножить число π на удвоенный радиус формы. Если ее радиус равен 25 см, то длина будет составлять 157 сантиметров.

Примеры задач

Мы уже рассмотрели несколько практических случаев полученных знаний о том, как узнать длину окружности. Но зачастую нас заботят не они, а реальные математические задачи, которые содержатся в учебнике. Ведь за них учитель выставляет баллы! Поэтому давайте рассмотрим задачу повышенной сложности. Предположим, что длина окружности составляет 26 см. Как найти радиус такой фигуры?

Решение примера

Для начала запишем, что нам дано: C = 26 см, π = 3,14. Также вспомним формулу: C = 2* π*R. Из нее можно извлечь радиус окружности. Таким образом, R= C/2/π. Теперь приступим к непосредственному расчету. Сначала делим длину на два. Получаем 13. Теперь нужно разделить на значение числа π: 13/3,14 = 4,14 см. Важно не забыть записать ответ правильно, то есть с единицами измерения, иначе теряется весь практический смысл подобных задач. К тому же за подобную невнимательность можно получить оценку на один балл ниже. И как бы досадно ни было, придется мириться с таким положением вещей.

Не так страшен зверь, как его малюют

Вот мы и разобрались с такой непростой на первый взгляд задачей. Как оказалось, нужно просто понимать значение терминов и запомнить несколько легких формул. Математика — это не так страшно, нужно только приложить немного усилий. Так что геометрия ждет вас!

Формула, примеры и многое другое —

Если вы хотите получить высший балл по математическим разделам SAT или ACT, вам нужно кое-что знать о кругах.

Хотя вопросы по кругам не составляют большую часть вопросов SAT или ACT по математике, вы должны ожидать, что в тесте вы увидите их небольшое количество. Когда вы стремитесь к 99-му процентилю, каждый вопрос имеет значение. Таким образом, вы должны быть знакомы с тем, как вычислять площадь, длину окружности, радиус, диаметр, градусы, дуги и точки окружности.

В этом руководстве вы найдете всю необходимую информацию о кружках, чтобы вы могли ответить на все вопросы, связанные с кружками, с которыми вы столкнетесь в день экзамена.

Что такое круг?

Хотя это может показаться очевидным, очень важно, чтобы вы точно знали, что такое круг, прежде чем сдавать SAT или ACT.

Под окружностью понимаются определенные точки на плоскости, равноудаленные от одной точки, называемой центром окружности.

Этот набор точек образует замкнутую круглую двухмерную форму, которую мы называем кругом.

Ключевые термины

Есть несколько терминов, которые вам необходимо знать об окружностях, прежде чем вы начнете измерять их или использовать любые другие формулы окружности:

  • Окружность (c): расстояние вокруг окружности
  • Дуга: изогнутая часть окружности, лежащей между двумя заданными точками
  • Диаметр (d): длина отрезка, обозначающего наибольшее расстояние между двумя точками на окружности
  • Радиус (r): длина отрезка, соединяющего центр окружности с заданной точкой на окружности (половина диаметра)
  • Пи (π): число Пи, приблизительно эквивалентное 3,1415926, представляет собой отношение длины окружности к ее диаметру. на разделах SAT и ACT по математике.

    Измерение окружности

    Круги можно измерять в двух разных единицах измерения: радианах и градусах.

    Радиан — это единица измерения угла. Когда дуга окружности имеет ту же длину, что и радиус той же окружности, угол этой дуги эквивалентен одному радиану.

    Хотя вам нужно будет узнать о радианах для геометрии и других математических занятий, вы не будете часто использовать это измерение на SAT или ACT.

    На стандартизированных тестах вы в основном будете полагаться на степени.

    Окружность 360 градусов. Чтобы измерить часть круга, вам нужно будет увидеть, как эта часть вписывается в отведенные 360 градусов.

    Например, если вы пытаетесь измерить угол дуги для одной половины круга, вы должны взять 360 градусов и разделить его пополам, чтобы получить 180 градусов. Точно так же, если бы вы пытались измерить угол дуги для четверти окружности, вы бы взяли 360 градусов и разделили их на 4, чтобы получить 9. 0 градусов.

    Помните, что полный круг всегда равен 360 градусам, и вы сможете легко измерить дуги.

    Ключевые формулы

    Теперь, когда вы знаете ключевые термины, а также различные способы измерения окружности, вы сможете понять важные формулы окружности, которые вам необходимо знать для SAT и ACT.

    Хотя эти ключевые формулы будут предоставлены вам, я рекомендую вам запомнить их, чтобы вам не пришлось тратить свое ограниченное время на пролистывание справочного раздела во время теста.

    Площадь

    Если вас попросят найти площадь круга, используйте следующую формулу:

    • a=πr 2

    Дуга

    При измерении длины дуги окружности вы будете нужно взять градус дуги и разделить его на 360 (общее количество градусов в окружности). Затем вам нужно умножить это число на число Пи и диаметр круга. Вы можете использовать приведенную ниже формулу:

    • c дуга = πd (градус дуги/360)

    Вам также нужно знать, что количество радиан дуги в окружности равно 2π

    Окружность

    Чтобы найти длину окружности, вы можете использовать одну из следующих двух формул:

    • c=2πr
    • c=πd

    Диаметр

    При вычислении диаметра окружности помните, что это диаметр окружности. представляет собой максимально длинный отрезок линии между двумя заданными точками на окружности. Вы можете рассчитать диаметр по следующей формуле:

    • d=2r

    Уравнение окружности

    Уравнение окружности рассчитывается по этой формуле:

    • (x-h) 2 + (y-k) 2 = r 2

    В этой формуле (h,k) — это координаты центра окружности.

    Примеры вопросов

    Вот пример вопроса, с которым вы можете столкнуться на SAT (взято из пробного теста Совета колледжей):

    Найдите минутку и попробуйте решить этот вопрос самостоятельно.

    Готово?

    Если вы выбрали вариант «А», вы правы!

    Поскольку в этом вопросе указаны координаты центра круга (0,4), уравнение для круга будет (x-0) 2 + (y-4) 2 = r 2

    Используя эту формулу и формулу расстояния с учетом конечной точки (4/3, 5), вы получите r 2 = 25/9 .

    Это сделало бы вариант «А» единственно возможным вариантом ответа.

    Вот еще один пример вопроса:

    Найдите время, чтобы ответить на этот вопрос, и посмотрите на ответ ниже, когда будете готовы.

    Вы должны были выбрать вариант «А» для этого вопроса.

    Вот почему (согласно совету колледжей): Круг имеет дугу 360 градусов. В показанном круге O — центр круга, а угол AOC — центральный угол круга. Из рисунка видно, что два диаметра, образующие угол AOC, перпендикулярны, поэтому угол AOC равен 9.0 градусов. Этот центральный угол пересекает меньшую дугу AC, что означает, что меньшая дуга AC имеет 90 градусов дуги. Поскольку длина окружности всего круга равна 36, длина малой дуги AC равна 90/360 x 36=9.

    Если вы пропустили один (или оба) из этих вопросов, вам не о чем беспокоиться. С правильными ресурсами вы можете улучшить свои знания об кругах и других математических концепциях, которые появятся на SAT и ACT.

    Вы можете узнать больше о кругах и различных формах, с которыми вы столкнетесь в математических разделах SAT и ACT, когда будете проходить подготовительные курсы через Prep Expert. На наших подготовительных курсах вы можете узнать советы и рекомендации по запоминанию формул, а также стратегии решения других математических вопросов, которые вы встретите в день экзамена.

    Узнайте больше о Prep Expert или запишитесь на один из наших курсов подготовки к SAT или ACT сегодня, когда вы посетите наш веб-сайт.

    Длина окружности π (пи) Формула

    Формула

    Сводка

    Эта формула вычисляет длину окружности через константу (пи) и радиус окружности.

    Переменная Описание
    Длина окружности
    Геометрическая постоянная (пи), где
    Радиус окружности

    Примечание: Этот веб-сайт использует константу (тау) вместо (пи) в качестве константы окружности по умолчанию. Подстановку можно использовать для перевода между двумя константами.

    Использование

    Длина окружности определяется константой (пи), умноженной на удвоенный радиус окружности. Например, чтобы найти длину окружности с радиусом длины, используйте формулу:

    Чтобы найти числовой ответ, подставьте значение вместо константы и оцените умножение.

    Длина окружности с радиусом равна единицам.

    Примеры

    Пример 1

    В этом примере показано, как найти длину окружности с радиусом, используя формулу длины окружности.

    шагов

    1. Настройте формулу и подставьте радиус вместо переменной .

    2. Подставить в выражение.

    3. Оценить умножение.

    4. Длина окружности с радиусом равна единицам или приблизительно единицам.

    Пример 2

    В этом примере показано, как найти длину окружности с радиусом, используя формулу длины окружности.

    шагов

    1. Настройте формулу и подставьте радиус вместо переменной .

    2. Подставить в выражение.

    3. Оценить умножение.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *