Радиус сходимости интервал сходимости степенного ряда: Интервал сходимости степенного ряда

15. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Определение, формулы для вычисления.

Из теоремы Абеля (см. б. 14) следует, что существует такое число R > 0, что при I х| < R ряд сходится, а при I х| > R — расходится.

Число R получило название радиуса сходимости, а интервал (-R; R) — интервала сходимости степенного ряда. На концах интервала сходимости, т.е. при х = -R и x = R, ряд может как сходиться, так и расходиться.

Замечание. Если R = +∞, то интервал сходимости – вся числовая прямая (вся ось Ох). Если R = 0, то степенной ряд сходится лишь в точке х=0.

Нахождение интервала сходимости по признаку Доламбера

Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов:

, в котором все коэффициенты Сn, по крайнем мере, начиная с некоторого номера n, отличны от нуля.

По признаку Доламбера ряд сходится, если

будет меньше 1, т. е.

Если этот предел существует, то он и является радиусом сходимости ряда, т.е.

Интервал сходимости (-R;R).

Замечание. При исследовании сходимости на концах интервала сходимости для получающегося ряда с положительными членами применять признак Даламбера не имеет смысла, так как в этом случае всегда будем получать ,с нерешенным вопросом о сходимости ряда; в этом случае рекомендуется рассматривать другие признаки сходимости (например, признак сравнения, необходимый признак и т.д.).

16. Разложение функции в степенной ряд

(дальше про ряд Тейлора и Маклорена – б. 17)

17. Ряды Тейлора и Маклорена. Достаточное условие разложения функции в степенной ряд

Ряд вида называется рядом Тейлора для функции f(x) в точке a.

Рядом Тейлора функции f(x) называется ряд, коэффициенты которого определяются по формулам:

, т.

Е. ряд

Ряд Телора со степенями х (а/х0=0) называют рядом Маклорена

Теорема. Для того чтобы ряд Маклорена сходился к функции f(x), необходимо и достаточно, чтобы при п -> ∞ остаток ряда стремился к 0, т.е. для всех значений х из интервала сходимости ряда.

Если функция f(x) разложима в ряд Маклорена, то это разложение единственное.

Разложение в ряд Маклорена некоторых функций

1. y =e^x

2. у =sin(х)

3. у = cos(х)

Рассматривая аналогично:

4. у = (1 + х)^m, где m — любое действительное число.

18. Разложение элементарных функций в степенной ряд

19.

Использование степенных рядов для приближенных вычислений

Степенные ряды имеют самые разнообразные приложения.

С помощью степ. рядов вычисляют с заданной степенью точности:

Для нахождения с заданной точностью используют следствие из теоремы Лейбница: Погрешность при приближенном вычислении суммы сходящегося ряда, удовлетворяющего условия признака Лейбница*, по абсолютной величине не превышает абсолютной величины первого отброшенного члена. |C_n| ⩽ U_n+1

*Признак Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и предел n-ого члена, при n-> , равен нулю, то ряд сходящийся, а его сумма по абсолютной величине не превосходит первого члена ряда.

20. Тригонометрический ряд: определение, основные свойства.

На ряду с системами степеней в элементарной математике хорошо изучены системы тригонометрических функций (2) cos x, sin x, cos 2x, sin 2x и т.д.

Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида + nx + sin nx), где an, bn, x

∈ R.

Ряд такого вида – тригонометрический ряд.

Идея принадлежит Жану Батисту Фурье

f(x) = + ( cos x + sin x) + ( cos 2x + sin 2x) + … + ( cos nx + sin nx) + … = + nx + sin nx)

Свойства тригонометрического ряда

1. Все ф-ии тригонометрической системы явл периодическими с периодом 2 , следовательно, если ряд сход. на отрезке (-π; π), то он сход на всей числовой прямой

Тригонометрическая система функций ортогональна на отрезке [−π; π].

21. Ряд Фурье. Теорема Дирихле.

Если функция f(x) заданная и непрерывная на отрезке (-π; π) разлагается в тригонометрический ряд, то коэффициенты разложения определяются единственным образом

Эти коэффициенты называются коэффициентами Фурье

Таким образом тригонометрический ряд – ряд Фурье.

22. Ряды Фурье для четных и нечетных функций.

Из определения четной и нечетной ф-ии следует:

Если f(x) – четное, то =

Если f(x) – нечетное то

Итак, если f(x) – четная, то ряд содержит только cos

(ТАМ ГДЕ К – это n)

Если f(x) – нечетная, то ряд содержит только sin

23. Ряд Фурье для функции с произвольным периодом

Пусть f(x) – периодическая ф-ия с периодом 2L (2L≠2π), тогда разложение ряда Фурье имеет вид:

Коэффициенты:

24. Разложение в ряд Фурье непериодической функции

Пусть ф-ия f(x) задана на отрезке [0; L], дополняем определение этой функции на отрезке [-L; L] (сохраняя кусочную монотонность), при этом можно разложить данную ф-ию в ряд Фурье:

Если f(x)= f(-x), то четным образом (cos)

Если f(-x)= — f(x), то нечетным образом (sin)

Итак, если f(x) – четная, то ряд содержит только cos

Если f(x) – нечетная, то ряд содержит только sin

25. Понятие двойного интеграла и его геометрическая интерпретация.

Функция z = f (х, у) называется интегрируемой на множестве D, если существует конечный предел I интегральной суммы этой функции на D при условии d -> 0.

Само значение предела I называется двойным интегралом функции z = f ( x , у) на множестве D. Обозначается двойной интеграл следующим образом:

Геометрический смысл двойного интеграла

Если функция f(x;y) непрерывна и неотрицательна в области D, то двойной интеграл представляет собой объем прямого цилиндрического тела (цилиндроида), построенного на области D как на основании и ограниченного сверху поверхностью z = f(x, у). Если f(х, у)

=1 для всех (х, у)∈D, то I численно равен площади области D.

О бласть D, вырезаемая цилиндрическим брусом на плоскости Оху, называется основанием цилиндра, а цилиндрическая поверхность — его боковой поверхностью.

Теорема. Если функция z = f(х , у) непрерывна на элементарном множестве D, то

Интеграл, стоящий в правой части формулы, называется повторным интегралом и обычно записывается в виде

центр сходимости и радиус сходимости степенного ряда — Мегаобучалка

Рассмотрим ряд, членами которого являются степенные функции от аргумента x:

Такой ряд называется степенным. В этом ряде действительные числа называются коэффициентами степенного ряда, величина x₀ –произвольно заданное действительное число, одно и то же для всех членов ряда, x — аргумент нашего функционального ряда. Величины и x₀ полностью задают степенной ряд. ьКраткая запись ряда: . В случае x₀ = 0 имеем ряд . Заметим, что при помощи преобразования x-x₀ = y можно свести задачу изучения ряда к изучению более простого ряда (в дальнейшем вместо y пишем x).

Для степенного ряда имеет место теорема Абеля:

Если степенной ряд сходится в некоторой точке x₀, отличной от нуля (x₀ ¹ 0), то он сходится, причем абсолютно, и в любой точке x, удовлетворяющей условию . Докажем это.

Так как ряд сходится, то его общий член стремится к нулю при стремлении номера n к бесконечности. Следовательно, члены этого ряда ограничены как члены сходящейся (к нулю) последовательности . Это означает, что существует такое положительное число M >0, что для всех номеров n выполняются неравенства: . Тогда берем произвольное x ( )ирассмотрим ряд: = = . Оценим абсолютную сходимость этого ряда : — сходится, ибо это геометрическая прогрессия со знаменателем .

Следствие. Если ряд расходится при x₀, то он расходится и при любом x, .

Область сходимости степенного ряда .

Из теоремы Абеля и следствия из нее вытекает, что если степенной ряд имеет отличные от нуля точки сходимости x₀и точки расходимости x₁, то всякая точка сходимости лежит к началу координат не дальше, чем точка расходимости. При этом получается, что точки сходимости степенного ряда заполняют некоторый промежуток на числовой оси x с центром в начале координат. Этот промежуток можно характеризовать числом R таким, что в точках x, ряд сходится (причем абсолютно), а в точках x , — ряд расходится. В точках x=-R и x=R ряд может как сходиться, так и расходиться. Существование R можно объяснить так:

 

в точке x^*, лежащей между x₀и x₁, будет либо сходимость, либо расходимость; так и перебираем точки отрезка [x₀,x₁], пока не исчерпаем весь этот отрезок.

Определение. Число R называется радиусом сходимости степенного ряда , если для всякого ряд сходится, а для всякого ряд расходится. Интервал (-R, R) называют интервалом сходимости, начало координат – центр интервала сходимости.

Разъяснение:

Для ряда центром интервала сходимости будет точка x₀ . Число R будет радиусом сходимости, если для ряд сходится, а для ряд расходится. Интервал сходимости этого ряда: —R+x₀ < x <R+x₀ . На концах интервала сходимости x=-R+x₀и x= R+x₀ ряд может либо сходиться, либо расходиться.

Для отыскания радиуса сходимости , характеризующего область сходимости степенного ряда, можно поступать с рядом, как с числовым – применять к нему признаки Даламбера, Коши и другие.

Пусть, например, существует предел . Тогда находим ; ; . Если q=0, то вся действительная ось x является областью сходимости. Если q= ¥, то ряд сходится только в точке x=0, а на всей оси x он расходится. Если же не существует (но, допустим, существует самая правая предельная точка (точка сгущения) числовой последовательности , то обозначив эту правую точку через находим, что заведомо ряд будет сходиться, если , т.е. если

Аналогично поступаем при применении признака Даламбера. Пусть существует . Тогда

Сходимость ряда на концах x=-R и x=R исследуется отдельно.

45. Аналитические свойства суммы степенных рядов:

1. Степенной ряд равномерно (правильно) сходится на любом замкнутом интервале [-b, b], находящемся внутри интервала сходимости (-R, R). Действительно, берем любое x₀, лежащее между b и R: . Тогда для любого ряд мажорируется числовым рядом , который сходится. Следовательно, и наш степенной ряд сходится равномерно по признаку Вейерштрасса.

2. Степенной ряд, составленный из производных имеет тот же радиус сходимости R, что и исходный ряд . Это свойство легко доказывается в случае существования предела . Тогда что и требовалось.

Отсюда в частности следует, что все степенные ряды, получаемые почленным дифференцированием исходного ряда, имеют один и тот же радиус сходимости. Все эти ряды будут сходиться правильно на замкнутом отрезке, лежащем внутри интервала сходимости.

3. Сумма степенного ряда непрерывна в каждой точке x₀интервала (-R, R) (ибо он сходится равномерно на отрезке [-x₀, x₀]). Рассмотрим пример ряда: =S(x). Функция S(x) разрывна только при x=1, но вне интервала сходимости она не является суммой ряда.

4. Степенные ряды можно почленно интегрировать в интервале сходимости (-R, R). Пусть a и b – точки, лежащие внутри (-R, R). Тогда будем иметь:

5. Степенные ряды можно почленно дифференцировать в любой точке интервала сходимости, причем будем иметь:

Радиус схождения и т. д.

Радиус схождения и т. д.

Частичные суммы увеличиваются, потому что все предполагалось положительным.

---

Если, с другой стороны, ряд удовлетворяет — для некоторого q >1 — условию

тогда ряд будет расходиться; он уйдет «в бесконечность».

Нарисуйте картинку, подобную той, что была на предыдущей странице, чтобы убедиться, что так оно и будет!

---

На самом деле, мы можем немного обобщить идею этих двух результатов, чтобы получить классический критерий соотношения для серий. Здесь мы больше не настаиваем на том, что все это

положительный и мы сравниваем только предел отношений абсолютных значений до 1:

Проверка соотношения

Если , затем серия сходится. Если , затем серия расходится. Тест считается неокончательным, если предел равен 1! (Это не будет нас сильно беспокоить, когда мы будем рассматривать степенные ряды!)

---

Пример.

Пришло время использовать это для силовых серий. Рассмотрим серию

Мы хотим выяснить, при каких значениях х ряд сходится. Если рассматривать этот степенной ряд как ряд вида

затем , и так далее. Общий термин будет иметь вид

(Подключите, чтобы убедиться, что эта формула работает!) Следовательно, отношения задаются формулой

С

мы получаем

Что дальше? Вы помните вопрос, на который мы пытаемся ответить? При каких значениях х сходится степенной ряд! Теперь тест отношения говорит нам, что ряд будет сходиться до тех пор, пока | х |<1. Это также говорит нам, что ряд будет расходиться для | х |>1. Это дает нам довольно полную картину происходящего:

Самый большой интервал ( это всегда интервал!), где сходится степенной ряд, называется интервалом сходимости степенного ряда. Интервал сходимости всегда находится в центре степенного ряда. Половину длины интервала сходимости принято называть

радиусом сходимости степенного ряда. В нашем примере центр степенного ряда равен 0, интервал сходимости — это интервал от -1 до 1 (обратите внимание на неясность по поводу концов интервала), его длина равна 2, поэтому радиус сходимости равен 1 .

---

Другой пример.

Рассмотрим степенной ряд

• Шаг 1. Найдите общий член степенного ряда. В нашем случае

  сделает работу за . Так как мы будем принимать предел, поскольку n стремится к бесконечности, нечетные «5» в начале не имеют значения!

• Шаг 2. Вычислить коэффициенты . Не забывайте об абсолютных значениях!

• Шаг 3. Вычислить предел коэффициентов. Так как в нашем случае

  для всех х .

• Шаг 4. Примените тест соотношения. Поскольку 0<1 (в данном примере предел не зависит от значения x ), ряд сходится для всех x .

  Таким образом, интервал сходимости есть интервал . Говорят, что радиус сходимости в этом случае равен .

---

Еще один пример.

Рассмотрим степенной ряд

• Шаг 1. Найдите общий член степенного ряда. Это не так просто, как в последних примерах! Показатель степени ( x + 2) каждый раз увеличивается на 2. имеют степень двойки. Попробуем переписать абсолютные значения первые члены медленно: | А ₀ | = 2 ^{0 .} | х + 2| ^{1 ​​} , | А ₁ | = 2 ^{1 ​​.} | х + 2| ^{(2 . 1 + 1)} , | А ₂ | = 2 ^{2 .} | х + 2| ^{(2 . 2 + 1)} , | А ₃ | = 2 ^{3 .} | х + 2| ^{(2 . 3 + 1)} и так далее. Таким образом общий термин определяется

  | А _n | = 2 ^н. | х + 2| ^{(2 . н + 1)} .

• Шаг 2. Вычислить коэффициенты .

• Шаг 3. Вычислить предел коэффициентов. Так как в данном случае коэффициенты не зависят от n , то делать нечего!

• Шаг 4. Примените тест отношения. Ряд будет сходиться, когда отношение на шаге 3 меньше 1 (расходиться, когда отношение больше 1):

  Бинго! Радиус сходимости в этом случае равен . Интервал сходимости – это интервал от до .

---

Попробуйте сами

Найдите радиусы сходимости следующих степенных рядов:

Нажмите на проблему, чтобы увидеть ответ. Нажмите здесь, чтобы продолжить.

---

Гельмут Кнауст

Copyright 1999-2023 MathMedics, LLC. Все права защищены.
Связаться с нами
Математика Медикс, ООО. — П.О. Box 12395 — Эль-Пасо, Техас 79913 — США
пользователя онлайн за последний час

Power Series: Радиус и интервал сходимости

Примечания PDF
Более сложные задачи

Найдите радиус и интервал сходимости этих степенных рядов.

1. ∑ _n=1 ^∞ x ⁿ /√n

Ответ

1. Радиус сходимости равен 1, интервал сходимости равен [-1,1).

Решение

1. Применить тест отношения lim _{n → ∞} |(xn+1/√(n+1))/(x ⁿ /√n)| = lim _{n → ∞} |x|⋅√(n/(n+1)) = |x| По критерию отношений ряд сходится для |x| < 1, то есть -1 < x < 1. Радиус сходимости равен 1. На левом конце ряд принимает вид ∑ _n=1 ^∞ (-1) ⁿ /√n. Это сходится с помощью теста чередующихся рядов. В правой конечной точке ряд принимает вид ∑ _n=1 ^∞ 1/√n. Это p-ряд с p = 1/2, поэтому он расходится. Интервал сходимости равен [-1,1).

 

2. ∑ _n=1 ^∞ (x-1)n/(n 5 ⁿ )

Ответ

1. Радиус сходимости равен 5, интервал сходимости равен [ 6).

Решение

1. Примените тест соотношения lim _{n → ∞} |((x-1) ⁿ⁺¹ /((n+1)5 ⁿ⁺¹ ) / ((x-1) ⁿ /(n 5 ⁿ )| = lim _{n → ∞} |(x-1) ⁿ⁺¹ /(x-1) ⁿ |⋅(n/(n+1))⋅(5 ⁿ /5 ⁿ⁺¹ ) = |x-1|/5 По критерию отношений ряд сходится при |x-1|/5 < 1, то есть при -5 < x-1 < 5 или -4 < x < 6. радиус сходимости равен 5. В левой конечной точке ряд принимает вид ∑ _n=1 ^∞ (-5) ⁿ /(n 5 ⁿ ) = ∑ _n=1 ^∞ (-1) ⁿ /n сходится по тесту чередующихся рядов. В правой конечной точке ряд принимает вид расходящийся. Интервал сходимости [-4, 6).

 

3. ∑ _n=2 ^∞ (-1) ⁿ x ⁿ /(2 ⁿ ln(n))

интервал сходимости (-2,2].

Решение

1. Примените тест соотношения lim _{n → ∞} |((-1) ⁿ⁺¹ x ⁿ⁺¹ )/(2 ⁿ⁺¹ ln(n+1)) / ( (-1) ⁿ x ⁿ )/2nln(n))| = lim _{n → ∞} |-(xn+1/xn)|⋅(2n/2n+1)⋅(ln(n)/ln(n+1)) = |-x|/2, где limn → ∞ ln(n)/ln(n+1) = 1 получается путем применения правила Лопиталя к lim _{x → ∞} ln(x)/ln(x+1) По критерию отношений ряд сходится для |- x|/2 < 1, то есть при -2 < x < 2. Радиус сходимости равен 2. На левом конце ряд принимает вид ∑ _n=2 ^∞ (-1) ⁿ (-2) ⁿ /(2 ⁿ ln(n))= ∑ _n=2 ^{∞ 2 n} ln(n))) = ∑ _n=2 ^∞ 1/ln(n) Теперь ln(n) < n, поэтому 1/ln(n) > 1/n и ряд расходится при сравнении с гармоническим рядом. На правом конце ряд принимает вид ∑n=2∞(-1)n2n/(2nln(n)) = ∑ _n=2 ^∞ (-1) ⁿ /ln(n), сходящийся по Испытание чередующейся серии. Интервал сходимости равен (-2,2].

 

4. ∑ _n=1 ^∞ (3x + 1) ⁿ /n ²

/3, 0].

Решение

1. Примените тест отношения lim _{n → ∞} |((3x+1) ⁿ⁺¹ /(n+1) ² ) / ((3x+1) ⁿ /n ² )|= lim _{n → ∞} |(3x+1) ⁿ⁺¹ /(3x+1) ⁿ |⋅(n ² /(n+1) ² )= | 3x+1| По критерию отношений ряд сходится при |3x+1| < 1, то есть -1 < 3x+1 < 1, поэтому -2 < 3x < 0, что дает -2/3 < x < 0. Радиус сходимости равен 1/3. В левой конечной точке ряд становится ∑ _n=1 ^∞ (-1) ⁿ /n ² сходится с помощью теста чередующихся рядов. В правой конечной точке ряд становится ∑ _n=1 ^∞ 1 ⁿ /n ² сходящимся, являясь p-рядом с p = 2. Интервал сходимости равен [-2/3, 0 ].

 

5. ∑ _n=1 ^∞ x ⁿ /n ⁿ

Ответ

Решение

1.