Радиус сходимости степенного ряда онлайн: Интервал сходимости степенного ряда

32. Интервал и радиус сходимости

Рассмотрим функцию . Ее областью определения является множество тех значений x, при которых ряд сходится. Область определения такой функции называется интервалом сходимости.  Если интервал сходимости представляется в виде  , где R > 0, то величина R называется радиусом сходимости. Сходимость ряда в конечных точках интервала проверяется отдельно.  Радиус сходимости можно вычислить, воспользовавшись радикальным признаком Коши, по формуле

или на основе признака Даламбера:

пример:

Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда  .

Решение.

Сделаем замену: u = x + 3. Тогда ряд принимает вид  . Вычислим радиус сходимости:

      

Соответственно, интервал сходимости равен (− ∞; ∞). 

33. Свойства степенных рядов

Степенной ряд (1.2) представляет собой функцию  , определенную в интервале сходимости  , т.

е.

. Свойство1. Функция   является непрерывной на любом отрезке  , принадлежащем интервалу сходимости Свойство 2. Функция   дифференцируема на интервале  , и ее производная   может быть найдена почленным дифференцированием ряда (1.2), т. е.

,для всех  .

Свойство 3. Неопределенный интеграл от функции   для всех   может быть получен почленным интегрированием ряда (1.2), т. е.

для всех  .

34 Ряды Тейлора и Маклорена.

Теорема

если в интервале   функция   имеет производные любого порядка и все они по абсолютной величине ограничены одним и тем же числом, т. е.  , то ряд Тейлора этой функции сходится к   для любого х из этого интервала , т. е. имеет место равенство

.

Для выяснения выполнения этого равенства на концах интервала сходимости требуются отдельные исследования.

Следует отметить, что если функция разлагается в степенной ряд, то этот ряд является рядом Тейлора (Маклорена) этой функции, причем это разложение единственно.

35. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена

1.  . Для этой функции  ,   . По формуле (3.2) составим ряд Маклорена данной функции:

. (3.3) Найдем радиус сходимости ряда (3.3) по формуле (1.3):

.Следовательно, ряд (3.3) сходится при любом значении  .Все производные функции   на любом отрезке   ограничены, т. е

 . Поэтому, согласно теореме 3.1, имеет место разложение

.

36. Приближенные вычисления значений функций с помощью степенных рядов

Для вычисления приближенного значения функции f (x) в ее разложении в степенной ряд сохраняют первые n членов (n – конечная величина), а остальные члены отбрасывают. Для оценки погрешности полученного приближенного значения необходимо оценить сумму отброшенных членов. Если данный ряд знакопостоянный, то ряд, составленный из отброшенных членов, сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Если данный ряд знакочередующийся и его члены удовлетворяют признаку Лейбница, то используется оценка  , где 

u_n+1   – первый из отброшенных членов ряда. Для вычисления логарифмов эффективна формула

.

Ряд в квадратных скобках сходится тем быстрее, чем больше t.

Пример 1. Оценить погрешность приближенного равенства

,  .

37) Этот небольшой урок позволит не только освоить типовую задачу, которая довольно часто встречается на практике, но и закрепить материалы статьи Разложение функций в степенные ряды. Нам потребуется таблица разложений функций в степенные ряды, которую можно раздобыть на странице Математические формулы и таблицы. Кроме того, читатель должен понимать геометрический смысл определенного интеграла и обладать элементарными навыками интегрирования.

На уроке Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры? речь шла о том, что определенный интеграл – это площадь. Но в некоторых случаях интеграл является очень трудным или неберущимся, поэтому соответствующую площадь в большинстве случаев можно вычислить только приближенно.

Например: вычислить определенный интеграл  . Такой интеграл является неберущимся, но геометрически всё хорошо:

Мы видим, что подынтегральная функция  непрерывна на отрезке  , а значит, площадь существует, и определенный интеграл   численно равен заштрихованной площади. Беда только в том, что данную площадь можно вычислить лишь приближенно с определенной точностью. На основании вышеизложенных фактов и  появилась типовая задача курса высшей математики.

Пример 1

Вычислить приближенно определенный интеграл, предварительно разложив подынтегральную функцию в ряд Маклорена, с точностью до 0,001

Решение: Идея метода состоит в том, чтобы заменить подынтегральную функцию соответствующим степенным рядом.

Поэтому на первом этапе нужно разложить подынтегральную функцию в ряд Маклорена. Эту распространенную на практике задачу мы очень подробно рассмотрели на урокеРазложение функций в степенные ряды. Кстати, рекомендую всем прочитать, поскольку некоторые вещи, о которых пойдет вещь, могут показаться малопонятными.

Используем табличное разложение: В данном случае 

Обратите внимание, как я записал ряд. Специфика рассматриваемого задания требуетзаписывать только несколько первых членов ряда. Мы не пишем общий член ряда  , он здесь ни к чему.

Чем больше членов ряда мы рассматриваем – тем лучше будет точность

. Сколько слагаемых рассматривать? Из практики могу сказать, что в большинстве случаев для достижения точности 0,001 достаточно записать первые 4 члена ряда. Иногда требуется меньше. А иногда больше. Когда больше – это несчастный случай, так как, скорее всего, придется переписывать заново задание.

Следует также отметить, что точность до трёх знаков после запятой самая популярная. Также в ходу и другая точность вычислений, обычно 0,01 или 0,0001.

Теперь второй этап решения: Сначала меняем подынтегральную функцию на полученный степенной ряд:

Почему это вообще можно сделать? Данный факт пояснялся на уроке Разложение функций в степенные ряды – график бесконечного многочлена   в точности совпадает с графиков функции  ! Причем, в данном случае утверждение справедливо для любого значения «икс», а не только для отрезка интегрования  .

На следующем шаге максимально упрощаем каждое слагаемое:

Лучше это сделать сразу, чтобы на следующем шаге не путаться с лишними вычислениями.

После упрощений почленно интегрируем всю начинку:

Интегралы здесь простейшие, на этом я не останавливаюсь.

На завершающем этапе вспоминаем школьную формулу Ньютона-Лейбница  . Для тех, кто не смог устоять перед Ньютоном и Лейбницем, есть урок Определенные интегралы. Примеры решений.

Техника вычислений стандартна: сначала подставляем в каждое слагаемое 0,3, а затем ноль. Для вычислений используем калькулятор:

Заметьте, что для решения хватило первых трёх членов ряда, поскольку уже третий член  меньше требуемой точности 0,001. Данный член ряда обычно не приплюсовывают к результату, именно поэтому для окончательного расчёта выбраны только первые два числа:  .

Ответ:  , с точностью до 0,001

Что это получилось за число с геометрической точки зрения?    – это приблизительная площадь заштрихованной фигуры (см. рисунок выше).

Отметим еще один факт:   – каждый следующий член ряда по модулю (без учёта знака) меньше, чем предыдущий. Почему члены ряда неизбежно убывают по модулю? Потому-что полученное нами разложение в ряд сходится к функции  на отрезке интегрирования  .

24.7. Степенные ряды с комплексной переменной

Рассмотрим две комплексные переменные величиныИ, где

— действительные переменные,- мнимая единица. Если каж

Дому значению переменнойИз некоторого множества соответствует единственное значение переменной, то говорят, что w есть функция от:

ЗдесьИ- действительные функции отЗадание одной

Функции от одной комплексной переменной означает задание двух действительных функций от двух действительных переменных.

Комплексным функциональным рядом называется ряд

(24.32)

Члены которого являются функциями комплексной переменной.

Значения z, при которых ряд (24.32) сходится, называются точками сходимости. Множество всех точек сходимости называется областью сходимости этого ряда. Для каждого числа z из области сходимости

Где. — частная сумма ряда (24.32), а- его сумма.

Ряд (24.32) сходится, если сходится ряд из модулей его членов.

Степенным рядом с комплексными членами называется ряд вида

(24.33)

Где- комплексная переменная,- данное комплексное число, коэффициенты- данные комплексные числа.

В частном случае, приПолучаем комплексный степенной ряд, располо-

Жейный по степеням

(24.34)

Для каждогостепенного ряда (24.33) существует круг радиусаС центром в точке, внутри которого данный ряд сходится, а вне его расхо

Дится (т. е. при|. Этот круг называется кругом сходимости. Его радиус

Называется радиусом сходимости степенного ряда (, если степенной ряд сходится во всей плоскости,, если он сходится лишь в центре круга, в точке). Во всех точках внутри круга сходимости степенной ряд абсолютно сходится.

При отыскании радиуса сходимости степенного ряда могут применяться признаки сходимости Д’Аламбера и Коши. В частности, радиус сходимости степенного ряда (24.33) можно вычислить по формуле

(24.35)

Показательная и тригонометрические функции комплексной переменной определяются формулами

(24.36)

(24.37)

(24.38)

Ряды в правых частях формул (24.36) — (24.38) сходятся при всех комплексных

Связь между этими функциями устанавливают формулы Эйлера:

(24.39)

Отметим, что

(24.40)

(24.41)

Где

Вторая из формул (24.40) означает, что функцияИмеет период, Формула (24.41) представляет комплексное числоВ показательной форме (-модуль,- аргумент).

Пример 24.25. Найти область сходимости рядаи его сумму.

Составим ряд из модулей членов данного ряда:

Полученный ряд является рядом с действительными членами, он представляет собой геометрический ряд. Следовательно, этот ряд сходится, когда, т. е. в круге радиусаС центром в начале координат. Таким образом, данный ряд также сходится в круге, который и является его областью сходимости.

Так как частная сумма ряда выражается формулой

ИПриТо сумма ряда

Итак, получено следующее разложение:

Пример 24.26. Найти область сходимости ряда Рассмотрим ряд, составленный из модулей членов данного ряда

Этот ряд является геометрическим. Так как, то ряд сходится при

Т. е. при, или при

Итак, областью сходимости является множество точек, лежащих вне круга радиусаС центром в начале координат.

Пример 24.27. Найти радиус сходимости степенного ряда

Поскольку, то

Итак, радиус сходимости данного ряда

Пример 24.28. Найти область сходимости ряда ПосколькуТо

Данный ряд сходится на всей комплексной плоскости.

Пример 24.29. Найти сумму

Используя третью го формул (24.39), получаем, поэтому

Суммируя геометрические прогрессии, находим

Разделив почленно первую дробь на, вторую на, получим

Итак,

Пример 24.30. С помощью разложения) получить следующие:

Первое разложение получено в пример 24. 25. Подставив в него выражение Найдем

Преобразуем левую часть данного равенства:

Следовательно,

Откуда

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Дифференциальным уравнением называется уравнение относительно неизвестной функции и ее производных различных порядков. Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение.

Если искомая функция зависит от одной переменной, то соответствующее дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Если искомая функция зависит от нескольких переменных, то соответствующее дифференциальное уравнения называется уравнением с частными производными. В главах 25 и 27 рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения.

Обыкновенное дифференциальное уравнение п-го порядка в общем визе можно записать так:

Где- независимая переменная;- искомая функция переменной ее производные;- заданная функция своих аргументов.

Отметим, что функция F может не содержать некоторых своих аргументов, но непременно должна зависеть от(когца речь идет об уравнении и-го порядка).

Если данное уравнение разрешимо относительно производной п-го порядка, его можно представить в виде

ФункцияОпределенная и непрерывно дифференцируемая п раз в ин

ТервалеНазывается решением дифференциального уравнения в этом ин

Тервале, если она обращает данное уравнение в тождество, т. е.

Для всех

График решения дифференциального уравнения п-то порядка называется интегральной линией (или интегральной кривой).

Термин «дифференциальное уравнение» принадлежит Лейбницу (1676, опубликовано в 1684 г.). Начало исследований по дифференциальным уравнениям восходит ко временам Лейбница, Ньютона, в работах которых исследовались первые задачи, приводящие к таким уравнениям. Лейбниц, Ньютон, братья Я. и И. Бернулли разрабатывали методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. В качестве универсального способа использовались разложения интегралов дифференциальных уравнений в степенные ряды. Некоторые классы уравнений были приведены к к уравнению с разделяющимися переменными.

Возникновение теории дифференциальных уравнений в частных производных было связано с расширением в XVIII в. области приложений математического анали — ) за. Оно стимул ировалось теми задачами естествознания, механики, физики, в которых появилась необходимость в функциях нескольких переменных.

Первые примеры интегрирования уравнений с частными производными даны в работах Эйлера (1734). Теорию уравнений с частными производными интенсивно развивали Эйлер, Д’Аламбер, Д. Бернулли,. Новые иаеи в этой области в конце XVIII в. предложены в сочинениях Лагранжа, Лапласа, Монжа.

В 1807 г. Фурье вывел уравнение теплопроводности и для его решения разработал метод разделения переменных, названный его именем. Решением задач, возникавших в теории теплопроводности занимались многие математики, в том числе Гаусс, Пуассон, Грин, М. В. Остроградский и др.

Глава 25

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию этой переменной и ее производную. Если- функция независимой переменнойТо в общем

Виде уравнение записывается так:

Если это уравнение разрешимо относительноТо

ОткудаИли в более общем виде

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция , обращающая уравнение в тождество. В случае, если эта функция задана в неявном виде, решение называют интегралом. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция, где— произвольная постоянная, — обращающая данное

Уравнение в тождество.

Общее решение, заданное в неявном виде, называется общим

Интегралом этого уравнения.

Геометрически общее решение (и общий интеграл) представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости, зависящее от одного параметра С.

Частным решением уравнения называется решение, полученное из общего решения при фиксированном значении, где- число. Аналогично определяется частный интеграл

Задача Коши. Найти решениеДифференциального уравнения первого

Порядка, удовлетворяющее начальному условиюПриДругими словами, найти интегральную кривую этого уравнения, проходящую через точку

< Предыдущая		Следующая >

Калькулятор радиуса сходимости | Лучшие шаги полного решения

Калькулятор радиуса сходимости

f(x) =

Как пользоваться этим калькулятором

Решение

Вернуться к калькулятору

Заполните поля ввода для расчета решения.

Хотите неограниченный доступ к калькуляторам, ответам и шагам решения? 9n}}$$

Где c _n — коэффициент, который зависит от n , а ряд — функция x , члены которой меняются с n ^th членом серия.

Теперь давайте углубимся в то, что означает сходимость в контексте степенного ряда. Когда мы добавляем бесконечное число членов, как мы это делаем со степенным рядом, сумма этих членов будет либо конечным числом, либо бесконечной.

Когда сумма этих членов конечна, считается, что она сходится абсолютно. Если сумма этих членов бесконечна, считается, что она расходится. когда мы решить радиус сходимости , мы находим значение R в |x — a| < R такое, что ряд сходится .

Зачем мы изучаем радиус сходимости?

По сравнению с людьми компьютеры действительно хороши в определенных типах вычислений, но с трудом выполняют другие виды вычислений. Например, кажущаяся простой кнопка e ^x , обычно встречающаяся на ручных калькуляторах, — это кнопка, которую компьютер калькулятора не может легко и точно решить напрямую.

Узнав, как найти радиус сходимости, мы можем запрограммировать неспособный иначе компьютер косвенно найти значение e ^x с помощью степенного ряда.

Если мы вычисляем e ^x с большим показателем степени, компьютеру калькулятора приходится много раз умножать большие, беспорядочные числа на большие, беспорядочные числа. Из-за того, как компьютеры хранят числа с плавающей запятой и создают ошибку округления, этот процесс может занять у компьютера очень много времени и может дать неточный ответ.

К счастью, степенной ряд f(x) = ^{x n} ⁄ _n! представляет собой выражение e ^x при выполнении для многих терминов. Если мы проверим радиус сходимости этого степенного ряда, то обнаружим, что он равен r = ∞, а интервал сходимости равен ∞ < x < ∞. Это отличная новость, потому что это означает, что степенной ряд будет сходиться везде и может быть использован для e ^x со всеми возможными входными данными x значений.

Запрограммировав эту процедуру на компьютер, мы даем ему возможность быстро и точно найти значение e ^x с любым значением x. Это всего лишь один пример использования радиуса конвергенции, и существует множество других приложений, которые работают за кулисами компьютерного программного обеспечения и помогают нам каждый день!

Вычисление радиуса сходимости степенного ряда

Есть несколько тестов, которые мы можем использовать для решения радиуса сходимости, включая тест отношения и тест корня. Тест отношения прост, часто работает и используется калькулятором на этой странице, поэтому мы узнаем об этом здесь.

В тесте отношения используется отношение степенного ряда и его модифицированная версия n + 1 для определения радиуса x, который удовлетворяет критериям сходимости. Формула теста отношения имеет следующий вид:

$$\text{Сходимость при} \; Л < 1, \; L = \lim_{n\to\infty} \left\lvert\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right\rvert$$

Где a _n — степенной ряд а a _{n + 1} — степенной ряд со всеми членами n заменен на n + 1 .

Сначала мы подставляем каждую версию степенного ряда в соответствующую часть дроби внутри формулы. Затем мы упрощаем дробь, когда это возможно.

Далее мы оцениваем предел, поскольку n приближается к бесконечности. Когда мы подставляем бесконечность для каждого экземпляра n , мы получаем выражение, которое может показаться неразрешимым. Однако мы можем использовать стандартные стратегии сокращения бесконечных пределов, такие как устранение незначительных, не бесконечных терминов.

Как только предел вычислен и приведен к его простейшей форме, мы устанавливаем его в неравенстве L < 1. Теперь у нас будет неравенство, напоминающее форму ¹ ⁄ _c ×|x — a| < 1.

Радиус сходимости равен константе c , потому что при перемещении ее вправо так, что |x — a| < c обеспечивает радиус x значений, которые удовлетворяют критериям сходимости.

Пример задачи

$$\begin{align} & \hspace{2ex} \text{Найдем радиус сходимости степенного ряда:} \\ \\ & \hspace{2ex} f(x) = \sum_{n}^{\infty}\frac{2x^n}{n}\\ \\ & \hspace{2ex} \text{Для этого мы:} \\ \\ & \hspace{ 5ex} \text{1) Примените тест отношения к нашему ряду} \\ \\ & \hspace{5ex} \text{2) Решите полученное уравнение сходимости, чтобы определить радиус сходимости}\\ \\ \\ & \ hspace{2ex} \text{1) Во-первых, давайте применим критерий отношения к нашему ряду. } \\ & \hspace{5ex} \text{Используя тест отношения, сходимость происходит, когда: } \; Л < 1, \; L = \lim_{n\to\infty} \left\lvert\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \right\rvert\\ \\ & \hspace{4ex} \text{1.1) Подставив наш ряд в формулу проверки отношения, мы получим: } \\ \\ & \hspace{9{1}} \cdot \infty \cdot x\right\rvert\\ \\ & \hspace{4ex} \text{1.4) Для дальнейшего упрощения мы сократим члены, содержащие бесконечности.} \\ & \hspace{ 9ex} \text{Поступая так, получаем:} \\ \\ & \hspace{9ex} L = \left\lvert\frac{x}{1}\right\rvert\\ \\ & \hspace{4ex} \text{1.5) Применение критериев сходимости } \; L < 1 \text{, получаем:} \\ \\ & \hspace{9ex} \left\lvert\frac{x}{1}\right\rvert < 1\\ \\ \\ & \hspace{2ex } \text{2) Теперь давайте решим новое уравнение сходимости для определения радиуса сходимости.}\\ \\ & \hspace{4ex} \text{2.1) Решив неравенство сходимости для радиуса сходимости, получим: } \\ \\ & \hspace{9ex} \left\lvert\frac{x}{1}\right\rvert < 1 \; \Длинная праваястрелка\; \text{радиус} = \boxed{1} \\ \\ & \hspace{4ex} \boxed{\text{Радиус сходимости} = \boxed{1}}\\ & \end{align}$$

Калькулятор на этой странице написан на трех распространенных языках веб-интерфейса: HTML, CSS и JavaScript (JS). Он также использует систему компьютерной алгебры (CAS), основанную на JS, которая выполняет некоторые алгебраические шаги в процессе вычислений. Поскольку калькулятор работает на основе кода JS, он полностью работает внутри встроенного механизма JS вашего браузера и предоставляет мгновенные решения и шаги (не требуется перезагрузка страницы).

Когда вы нажимаете кнопку «Рассчитать», вызывается процедура решения, которая проходит через несколько символических операций. Эти операции отражают шаги теста отношения. Подпрограмма также сохраняет состояние предела/выражения на протяжении всего процесса. Эти «состояния» используются для построения шагов решения, которые отражают шаги теста отношения.

После вычисления окончательного ответа он печатается в поле решения. Шаги решения печатаются под ответом, когда пользователь с доступом входит в систему. Если калькулятор сталкивается с ошибкой во время вычислений, вместо ответа и шагов будет отображаться сообщение об ошибке.

Калькулятор радиуса сходимости | Инструмент онлайн-калькулятора

Бесплатный онлайн-инструмент «Калькулятор радиуса сходимости» оценивает радиус сходимости степенного ряда. Просто введите свою функцию и диапазон переменных в заданных разделах ввода и нажмите кнопку расчета, чтобы получить мгновенный вывод вместе с подробной процедурой.

Калькулятор радиуса сходимости: Если вы хотите узнать радиус сходимости уравнения степенного ряда и вам нужна помощь? Тогда мы здесь, чтобы помочь вам с любыми математическими решениями. Взгляните на Калькулятор радиуса сходимости, чтобы решить функцию степенного ряда за считанные секунды. В этой статье дается подробное описание шагов по решению радиуса сходимости вручную, и мы объясним это на нескольких примерах.

Выполните следующие простые шаги, чтобы узнать радиус сходимости степенного ряда

• Возьмем степенной ряд
• Рассмотрим значение x, при котором будет сходиться степенной ряд
• Чтобы получить радиус сходимости, найдите отношение test
• И оцените функцию в соответствии с тестом отношения
• Тест отношения даст вам предельное значение
• Подставьте предельное значение, чтобы получить R т. е. радиус конвергенции

Пример

Вопрос: Найдите радиус сходимости степенного ряда сигма n=к бесконечности 2 ⁿ /nx(4x-8) ⁿ

Решение:

Возьмем C n=2 ⁿ /nx(4x-8) ⁿ

Мы знаем, что этот степенной ряд будет сходиться при x=2

Для приведенного выше степенного ряда проверка отношения будет

L=Cn+1/Cn

L= от n до бесконечности 2 ⁿ⁺¹ (4x-8) ⁿ⁺¹ /n+1*n/2 ⁿ (4x-8) ⁿ

lim n до бесконечности 2n(4x-8)/n+1

(4x-8) lim n до бесконечности 2n/n+1

=2(4x-8)

Итак, мы получим приведенная ниже информация о сходимости из этого

(x-2)>1/8

Итак, радиус сходимости степенного ряда R=1/8

Ознакомьтесь с большой коллекцией калькуляторов по математике, каждый из которых содержит подробную информацию в одном месте. Onlinecalculator.guru

1.