Ранг матрицы минор матрицы: определение, методы нахождения и примеры решения задач

{и \ раз v} $ быть матрицей. Далее всякий раз, когда $i_{1},i_{2},\ldots,i_{k}\in\left\{ 1,2,\ldots,u\right\} $ и $j_{1},j_{2},\ldots,j_{\ell}\in\left\{ 1,2,\ldots,v\right\} $, обозначим через $A\left[ \dfrac{j_{1} ,j_{2},\ldots,j_{\ell}}{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k}}\right] $ k\times\ell $-матрица, $\left( p,q\right) $-й элемент которой является $\left( i_{p} ,j_{q}\right) $-я запись $A$ для каждого $\left( p,q\right) \in\left\{ 1,2,\ldots,k\right\} \times\left\{ 1,2,\ldots,\ell\right\} $. 9{\prime}}\right] \right) =0$.

Тогда $\operatorname*{rank}A=k$.

Доказательство. Предположим противное; т. е. предположим, что $\operatorname*{rank}A\neq k$.

Сначала заметим, что числа $i_{1},i_{2},\ldots,i_{k}$ различны (поскольку в противном случае матрица $A\left[ \dfrac{j_{1},j_{2},\ldots,j_{k} }{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k}}\right] $ будет иметь две равные строки, что yield $\det\left( A\left[ \dfrac{j_{1},j_{2},\ldots,j_{k}}{i_{1} ,i_{2},\ldots,i_{k}}\right] \right) =0$, что противоречит $\det\left( A\left[ \dfrac{j_{1},j_{2},\ldots,j_{k}}{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k}}\right] \right) \neq0$).

Точно так же числа $j_{1},j_{2},\ldots,j_{k}$ различны.

Строки матрицы $A\left[ \dfrac{j_{1},j_{2},\ldots,j_{k}}{i_{1} ,i_{2},\ldots,i_{k}}\right] $ линейно независимы (поскольку $\det\left( A\left[ \dfrac{j_{1},j_{2},\ldots,j_{k}}{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k}}\right] \справа)\neq0$). Следовательно, строки матрицы $A\left[ \dfrac{1,2,\ldots ,v}{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k}}\right] $ также линейно независимы (поскольку строки матрицы $A\left[ \dfrac{j_{1},j_{2},\ldots,j_{k}}{i_{1} ,i_{2},\ldots,i_{k}}\right] $ — фрагменты строк матрицы $A\left[ \dfrac{1,2,\ldots,v}{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k}}\right] $ и поэтому любое отношение линейной зависимости между последними дало бы отношение линейной зависимости между первыми). В другом слов, $i_{1}$-я, $i_{2}$-я и т. д., $i_{k}$-я строки матрицы $A$ линейно независимы. Следовательно, матрица $A$ имеет $k$ линейно независимые ряды; таким образом, $\operatorname*{rank}A\geq k$. В сочетании с $\operatorname*{rank}A\neq k$, это дает $\operatorname*{rank}A>

k$. {\prime}}\right]$, и поэтому любое отношение линейной зависимости между последними дало бы отношение линейной зависимости между первыми). Сейчас мы знай это: 9{\prime}}\right] \right) \neq0$. Но это противоречит (1). Таким образом, мы получили противоречие, и теорема 1 доказана.

Ранг матрицы — определение, теорема, формулы, решенные примеры задач

Чтобы определить ранг матрицы, мы должны знать о подматрицах и минорах матрицы.

Ранг матрицы

Чтобы определить ранг матрицы, мы должны знать о подматрицах и миноры матрицы.

Пусть A — заданная матрица. Матрица, полученная удалением некоторых строки и некоторые столбцы A называются подматрицей из A . Матрица является подматрицей самой себя потому что это получается, если оставить нулевое количество строк и нулевое количество столбцы.

Напомним, что определитель квадратной подматрицы матрицы называется минором матрицы.

 

Определение 1. 6

ранг матрицы A определяется как порядок высшего порядка неисчезающий минор матрицы A . Обозначается символом ρ ( А ). Ранг нулевая матрица определяется как 0.

Примечание

i. Если матрица содержит хотя бы один ненулевой элемент, то ρ ( A ) ≥ 1.

ii. Ранг единичной матрицы I н это н .

iii. Если ранг матрицы A равен r , то существует хотя бы один минор A порядка r , который не обращается в нуль и каждый минор A порядка r +1 и выше порядка (если есть) равен нулю.

iv. Если A является матрицей m × n , то ρ

( A ) ≤ мин{ м , n } = минимум м , n .

с. Квадратная матрица A порядка n имеет обратную, если и только если ρ ( A ) = n .

 

Пример 1.15

Найдите ранг каждой из следующих матриц:0002 (i) Пусть A =. Тогда A — матрица порядка 3 × 3. Значит, ρ(A) ≤ min {3, 3} = 3. Наивысший порядок миноров A равен 3 . Здесь только один минор третьего порядка A .

 = 3 (6−6) − 2 (6−6) + 5 (3 − 3) = 0. Значит, ρ(A) < 3.

 Далее рассмотрим миноры второго порядка A .

Мы находим, что минор второго порядка  = 3 − 2 = 1 ≠ 0 . Итак, р(А) = 2.

(ii) Пусть A = . Тогда A — матрица порядка 3×4. Итак, р(А) ≤ мин {3, 4}  = 3,

Высший порядок миноров A равен 3 . Мы ищем ненулевое минор третьего порядка A . Но

мы обнаруживаем, что все они исчезают. На самом деле у нас есть


Итак, ρ( A ) < 3. Далее мы ищем ненулевой минор второго порядка для A .

Мы находим, что  = -4+9 =5 ≠ 0 . Итак, р(А) = 2.

Замечание

Нахождение ранга матрицы путем поиска высшего порядка неисчезающий минор довольно утомителен, когда порядок матрицы довольно большой. Существует еще один простой способ найти ранг матрицы, даже если порядок матрицы достаточно высок. Этот метод заключается в вычислении ранга эквивалентная строчно-ступенчатая форма матрицы. Если матрица находится в эшелоне строк форме, то все записи ниже ведущая диагональ (это линия соединение позиций диагональных элементов a 11 , a 22 , а 33 ,Л. матрицы) являются нули. Итак, проверить, равен ли минор нулю, довольно просто. Пример 1.16

Найдите ранг следующих матриц, стоящих в ряду Форма:


Решение

(i) Пусть A = . Тогда A — матрица порядка 3 3 × и ρ(A) ≤ 3

 Младший третий порядок |A| =   = (2) (3)( 1) = 6 ≠ 0 . Итак, р(А) = 3.

Обратите внимание, что есть три ненулевых строки.

(ii) Пусть A = . Тогда A — матрица порядка 3 × 3 и ρ(A) ≤ 3.

Единственным минором третьего порядка является |A| =  = (-2) (5) (0) = 0 . Итак, ρ(A) ≤ 2 .

Есть несколько миноров второго порядка. Мы обнаруживаем, что существует минор второго порядка, например,  = (-2)(5) = -10 ≠ 0 . Итак, ρ(A) = 2,

Обратите внимание, что две ненулевые строки. Третья строка является нулевой строкой.

(iii) Пусть A = . Тогда A — матрица порядка 4 × 3 и ρ(A) ≤ 3.

Последние две строки нулевые. Есть несколько второго порядка несовершеннолетние. Мы находим, что есть второй второстепенный порядок, например,  = (6) (2) = 12 ≠ 0 . Итак, ρ(A) = 2,

Заметим, что две ненулевые строки. Третья и четвертая строки являются нулевыми строками.

Из приведенного выше примера видно, что ранг матрицы в строке эшелонированная форма равна количеству ненулевые строки в нем. Сформулируем это наблюдение как теорему без доказательства.

 

Теорема 1.11

Ранг матрицы в виде эшелона строк – это количество ненулевые строки в нем.

 

Ранг матрицы, не являющейся строчно-ступенчатой, может быть находим, применяя следующий результат, который формулируется без доказательства.

 

Теорема 1.12

Ранг ненулевой матрицы равен количеству ненулевых строки в строчно-ступенчатой ​​форме матрицы.

 

Пример 1.17

Найдите ранг матрицы, приведя ее к рядно-кулисная форма.

Решение

Пусть A = . Применяя элементарные операции над строками, получаем


последняя эквивалентная матрица имеет форму строки-эшелона. Он имеет две ненулевые строки. Итак, р (A)= 2.

 

Пример 1.18

Найдите ранг матрицы, приведя ее к рядно-кулисная форма.

Решение

Пусть A — матрица. Выполняя элементарные операции над строками, получаем


последняя эквивалентная матрица имеет форму строки-эшелона. Он имеет три ненулевых строки. Так, ρ( А ) = 3.

Элементарный операции со строками над матрицей могут быть выполнены путем предварительного умножения данной матрицы специальным классом матриц, называемых элементарными матрицами.

 

Определение 1.7

Элементарная матрица определяется как матрица, полученная из единичную матрицу, применив всего одно элементарное преобразование.

 

Замечание

Если мы имеем дело с матрицами с тремя строками, то все элементарные матрицы — это квадратные матрицы третьего порядка, которые получаются выполнение только одной элементарной операции над строкой единичной матрицы I 3 . Каждая операция с элементарной строкой, выполняемая над данной матрицей А банка получить путем предварительного умножения на с элементарной матрицей. Сходным образом, каждая операция с элементарным столбцом, выполняемая над данной матрицей A , может получить пост-умножением на на элементарную матрицу. в В настоящей главе мы используем только элементарные операции со строками.

Например, рассмотрим матрицу A =

Предположим, что мы делаем преобразование R 2   → R 2

+ λR 3 на А, где λ ≠ 0 является константой. Тогда мы получаем


Матрица   элементарная матрица, так как имеем

Предварительно умножив А на   , получим


Из (1) и (2) получим

Итак, эффект применения элементарного преобразования R 2 → R 2 + λR 3 на A такой же, как и при предварительном умножении матрица A с элементарной матрицей

Аналогично можно показать, что

(i) эффект применения элементарного преобразования R 2 ↔ R 3 на А такой же, как у предварительное умножение матрицы A на элементарную матрицу 

(ii) эффект применения элементарного преобразования R 2 → R 2 λ на A такой же, как у предварительное умножение матрицы A на элементарную матрицу

Приведем следующий результат без доказательства.

 

Теорема 1.13

Каждая невырожденная матрица может быть преобразована в тождество матрица последовательностью элементарных операций над строками.

В качестве иллюстрации приведенной выше теоремы рассмотрим матрица A

Тогда |A| =  12+ 3 = 15 ≠  0. Итак, A неособо. Позволь нам преобразовать A в I 2 последовательностью элементарные операции со строками. Во-первых, мы ищем операцию строки, чтобы сделать a 11 из A как 1. Для этого необходима элементарная операция со строкой: R 1 → (1/2) R 1 . Соответствующая элементарная матрица


Далее, давайте сделаем все элементы ниже 11 из E 1 A как 0. Существует только один элемент a 21 .

Для этого необходима элементарная операция со строкой: R 2   → R 2   + (−3) R 1 .

Соответствующая элементарная матрица равна E 2 =


Далее составим 22 из Е 2 2 А) как 1. Элементарная операция строки, необходимая для этого,

Соответствующая элементарная матрица E 3 =

Тогда мы получаем E 3 (E 2 (E 1 A)) = Наконец

3

2

, давайте найдем элементарную операцию со строками, чтобы сделать 12 из E 3 (E 2 (E 1 A)) как 0.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *