Расчет вероятности выпадения чисел: Найти вероятность выпадения k (сумма выпавших значений) при бросании n кубиков (часть 1 из 2) / Хабр

Шансы выиграть в лотерею

Калькулятор вероятности

Вероятность выигрыша в лотерею зависит от количества возможных комбинаций выпадения шаров и мы сейчас научимся самостоятельно их рассчитывать, а для тех, кто не хочет самостоятельно считать, в конце есть онлайн калькулятор.

Вероя́тность

— степень (относительная мера, количественная оценка) возможности наступления некоторого события.

Начнём с простого, у нас есть пять шаров:

1 2 3 4 5

Какова вероятность угадать один шар из пяти? Она равняется , есть лишь пять возможных комбинаций для данного набора чисел: выпадет либо 5 , либо 3 , либо 2 , либо 4 , либо 1 .

Давайте для дальнейшего удобства наши лотереи будем обозначать « из », а когда потребуется, будем подставлять соответствующие цифры.

Усложним правила нашей лотереи — для победы необходимо угадать «2 из 5» ( ). Теперь шанс угадать составляет , так как есть десять возможных комбинаций, вот они:

1 2

1 3

1 4

1 5

2 3

2 4

2 5

3 4

3 5

4 5

Важно отметить, что для выигрыша в лотерею порядок выпадения чисел в каждой комбинации не имеет значения.

В теории вероятностей вышеприведённые пять шаров на самом деле являются множеством чисел от 1 до 5. Множество обозначается фигурными скобками { }, а каждая отдельная комбинация называется сочетанием.

В комбинаторике сочетанием k из n элементов называется комбинация, содержащая

k элементов, выбранных из множества, содержащего n различных элементов.

В сочетаниях не учитывается порядок элементов, и считаются одинаковыми.

Теперь всё это мы можем записать математически:

У нас есть множество из 5 шаров . И есть 10 сочетаний, которые можно составить из 5 по 2 шара:

Число всех сочетаний из n элементов по k элементов в каждом обозначается (от начальной буквы французского слова “combinasion”, что значит “сочетание”) и читается как «число сочетаний из n элементов по k». В нашем случае — число сочетаний из 5 по 2 равно 10.

Число сочетаний

Число сочетаний рассчитывается по формуле:

и — это факториалы соответствующих чисел и . Факториал натурального числа это произведение всех натуральных чисел от 1 до включительно. Например, факториал числа 5 равен .

Давайте проверим наш результат для лотереи 2 из 5:

Смотрите, мы можем сократить делимое и делитель на , я выделил скобками, чтобы было понятней:

Обратите внимание, что после того как мы сократили делимое и делитель, у нас осталось по два числа в делимом и делителе, а точнее по чисел. В делимом это произведение двух самых больших чисел из , а в делителе факториал числа . И если вы хотите посчитать вероятность выигрыша, вам не надо считать полностью факториалы, а достаточно перемножить самых больших элементов из и разделить на факториал .

Давайте посчитаем количество комбинаций для лотереи «Спортлото «6 из 45»:

Весь набор сочетаний — это полная система. Если вы купите билеты со всеми комбинациями, то вы гарантированно выиграете.

Вероятность выигрыша

Теперь перейдем к вероятности выигрыша, если вы покупаете билет лотереи «Спортлото «6 из 45» с одной комбинацией, то вероятность у вас 1 к 8 145 060. Вы взяли 2 билета с разными комбинациями — ваши шансы равны 2 к 8 145 060 или 1 к 4 072 530. Взяли 10 билетов, но везде записали одну и ту же комбинацию — ваши шансы снова 1 к 8 145 060. Таким образом, вероятность — это отношение количества ваших уникальных комбинаций к общему количеству комбинаций.

Если вы играете в лотерею, в которой надо угадать правильно числа в двух игровых полях, например, в американскую лотерею Powerball «5 из 69 + 1 из 26», то вам необходимо перемножить количество комбинаций «5 из 69» на «1 из 26».

«Спортлото «4 из 20»

В российской лотерее «Спортлото «4 из 20» для выигрыша суперприза необходимо в двух полях угадать по «4 из 20», вычисляем количество комбинаций для одного поля:

Получаем 4 845 комбинаций, вероятность угадать «4 из 20» равна 1 к 4 845, но так как нам необходимо два раза угадать, то мы перемножаем вероятности, чтобы получить количество комбинаций для двух полей:

Как мы видим, вероятность выиграть в «Спортлото «4 из 20» меньше чем в «Спортлото «6 из 45», 1 к 23 миллионам против 1 к 8 миллионам.

Но это хотя бы реально, давайте взглянем на правила российской лотереи «Русское лото»:

«Русское лото»

В мешок загружают бочонки, пронумерованные от 1 до 90. Ведущий достает бочонки по одному и называет их номера. В 1-м туре выигрывают билеты, в которых 5 чисел в любой из шести горизонтальных строк раньше других совпали с номерами бочонков, извлеченных из мешка. Во 2-м туре выигрывают билеты, в которых все 15 чисел в любом из полей раньше других совпали с номерами бочонков, извлеченных из мешка. Если у вас на пятнадцатом ходу все пятнадцать чисел одного из двух игровых полей билета (верхнего или нижнего) совпадут с номерами бочонков, извлеченных из мешка, — вы выиграли Джекпот.

Получается, что на 15-ом ходу мы должны «угадать» «15 из 90». Слово угадать взято в кавычки, так как мы не выбираем числа в этой лотерее, в отличие от других, в «Русском лото» цифры уже выбраны. Давайте оценим вероятность угадать «15 из 90»:

Википедия подсказала мне это слово — квадриллио́н. Вероятность выиграть джекпот в Русском лото один к сорока пяти квадриллионам. Помните задачу о зёрнах на шахматной доске? Эта цифра такого же порядка, ну может раз в 400 поменьше. Это астрономическая цифра, нереальная.

Когда вы играете в обычную лотерею, например «6 из 45», вы заполняете билет и ваша комбинация участвует в розыгрыше. В Русском лото вы не заполняете билет, вы покупаете билет с уже готовой комбинацией чисел. Было бы честно, если бы вы могли выбрать одну свою комбинацию из 45 квадриллионов, но вы не сможете, так как никто и никогда не сможет напечатать такое количество билетов для одного тиража.

Но давайте пойдём дальше оценивать вероятности. Следующая лотерея «Спортлото «5 из 36». Правила нам говорят следующее:

«Спортлото «5 из 36»

Выберите от пяти чисел в диапазоне от 1 до 36 в поле 1 и от одного числа в диапазоне от 1 до 4 в поле 2. Угадав 5 чисел в поле 1 и 1 число в поле 2 , вы получаете суперприз. Угадав только 5 чисел в поле 1 , вы получаете выигрыш категории «приз».

Для выигрыша суперприза необходимо угадать «5 из 36 и 1 из 4», смотрим:

Один к полутора миллионам, шансы есть. Посмотрим вероятность выиграть приз при угадывании «5 из 36»:

Шансы ещё выше.

«6 из 36»

Следующая лотерея «6 из 36», здесь вы не сможете самостоятельно выбрать комбинацию, придётся покупать что предложат. Смотрим:

«Спортлото «7 из 49»

Лотерея «Рапидо»

Теперь перейдём к экзотическим лотереям. Лотерея «Рапидо». Правила говорят, что для выигрыша суперприза:

Вам надо угадать 8 неповторяющихся чисел от 1 до 20 в первой части игрового поля и одно число от 1 до 4 — во второй части.

Получаем «8 из 20 и 1 из 4»

Вероятность выигрыша в «Рапидо» составляет 1 к 503 880.

Лотерея «Зодиак»

В лотерее «Зодиак» необходимо угадать 4 числа: первое — от 1 до 31 включительно, второе — от 1 до 12 включительно, третье — от 0 до 99 включительно и четвертое — от 1 до 12 включительно. Мы получаем вероятности 1 из 31, 1 из 12, 1 из 100 (так как от 0 до 99 включительно) и снова 1 из 12. Перемножаем эти вероятности:

Вероятность выиграть суперприз в лотерею «Зодиак» составляет 1 к 446 400.

Лотерея «Дуэль»

Комбинация тиража состоит из четырех чисел: два числа (в диапазоне от 1 до 26) для первого поля и два числа (в диапазоне от 1 до 26) — для второго.

Чтобы выиграть суперприз мы должны угадать «2 из 26 и 2 из 26»:

Вероятность выиграть суперприз в лотерею «Дуэль» составляет 1 к 105 625.

---

Основные шары

— + из — +

Дополнительные шары

— + из — +

Вероятность выиграть в лотерею 4 из 20 составляет 1 из 4,845

---

А ещё вы можете посмотреть на вероятность выиграть в лотерею при использовании развёрнутых ставок.

Расчет вероятностей для бросков 2d6, 3d6 и производных механик | by Vladimir Korshunov | Joe-Jim’s Logbook

При разработке механик игр, основанных на генерации случайных чисел посредством кубиков (d6) часто возникает необходимость быстро сравнить ожидаемые результаты различных бросков. И если для одного куба все варианты легко запомнить или посчитать в уме, то для более сложных механик удобноиметь под рукой готовый справочник.

Например, в игре есть два оружия. Если одно из них попадает по условному врагу на 5+, второе на 4+ с перебросом, то, бросая 1d6 нетрудно посчитать, что вероятность попасть в этом случае 2/3 и 3/4 соответственно. 4+ с перебросом эффективнее по ожиданию на 8,3%.

Для механики игры Solar Wind задача несколько сложнее: проверки успеха действия проходят на 2d6. Чистый результат броска тоже несложно посчитать, но обычно нужно сравнить вероятность выпадения 8+ при броске, например, 2d6+1, 2d6 с перебросом и 3d6 с отбрасыванием меньшего из трех кубов.

Чтобы не делать расчеты каждый раз, составил таблицу, на которой можно моделировать различные варианты бросков.

2d6 с модификатором +1

Начнем с простого. Для наглядности представим результаты бросков 2d6 в виде такой диаграммы:

диаграмма распределения значений броска 2d6

Тех, кто как и я, диаграммы лучше воспринимает чем формулы, удобно визуально оценивать шансы выпадения нужного числа, а также чисел больше или меньше заданного. В нашем случае 2d6+1 c искомым результатом 7+ нам приносит бросок от 6 и выше — 26/36 или 72,23%

2d6 с перебросом обоих кубов

Для перебросов математика немного сложнее. Нам нужно учесть все варианты бросков, когда 7+ выпадает с первого раза (21/36 или 58,34%) и когда 7+ выпадает после переброса (15/36*21/36) в сумме получаем 82,64%. Видно, что переброс двух кубов на результат 7+ дает прибавку 24% к вероятности успеха

По схожей логике можно посчитать варианты с перебросом одного куба из двух по желанию игрока. Правда такая механика используется реже, если нас интересует сумма значений броска, а не каждый куб по отдельности.

3d6 c отбрасыванием меньшего

Для 3d6 диаграмма получится больше:

диаграмма распределения значений броска 3d6

Применим немного табличной магии и из такого распределения результатов:

диаграмма распределения значений броска 3d6

Последовательно выкидывая из суммы значение меньшего слагаемого получим следующее распределение:

Подкрасил зеленым интересующие нас результаты. Очевидно нас устраивают 174/216 вариантов или 80,5%

Для чего все это нужно

Можно свести результаты расчетов для всех трех случаев в один график, дополнив его остальными результатами броска выше 7

Сравнение вероятности выпадения суммы значений d6

Не модифицированный бросок 2d6 даст результат 7+ с вероятностью 58,34%. Если мы хотим дать игроку какой-либо бонус к броску, то нужно понимать на сколько вероятность успеха действия увеличится, для того, чтобы точнее рассчитать стоимость и эффективность этого бонуса.

По графику видно, что добавление +1 к броску даст прибавку в 13,9% для результата 7+, а переброс и дополнительный куб 22,16% и 24,3% соответственно. В данном случае самый эффективный бонус — это переброс.

При повышении порога успешного действия динамика меняется. Если в механике игры бросок 7+ означает попадание, а бросок 12+ , например, критическое попадание, то на этом пороге самым эффективным бонусом будет +1 к броску. Таким образом для разных действий можно подобрать подходящие модификаторы.

Пример. 3 класса оружия: Пистолет, дробовик и снайперская винтовка. Стрельба из пистолета — 2d6 без модификаторов. Из дробовика легче попасть, чем из пистолета, поэтому бросок на попадание можно перебросить. Из снайперской винтовки не так легко попасть, как из дробовика, но шанс нанести критический урон выше, поэтому модификатором стрельбы будет возможность выбора 2 из 3 брошенных кубов, либо +1 к результату броска .

4.2: Нахождение вероятностей с помощью нормальной кривой

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

7222

• Jenkins-Smith et al.
• Университет Оклахомы через библиотеки Университета Оклахомы

Если мы хотим найти вероятность попадания оценки в определенный диапазон, например, от 3 до 7 или более 12, мы можем использовать нормаль для определения этой вероятности. Наша способность сделать такое определение основана на некоторых известных характеристиках нормальной кривой. Мы знаем, что для всех нормальных кривых 68,26 % всех показателей находятся в пределах одного стандартного отклонения от среднего, 95,44 % — в пределах двух стандартных отклонений и 99,72 % — в пределах трех стандартных отклонений. (Нормальное распределение более формально рассматривается в следующей главе.) Итак, мы знаем, что то, что превышает среднее значение на три или более стандартных отклонения, встречается довольно редко. На рисунке \(\PageIndex{1}\) показаны вероятности, связанные с нормальной кривой. ⁷

Рисунок \(\PageIndex{1}\): Площадь под нормальной кривой

. Согласно рисунку \(\PageIndex{1}\), вероятность того, что наблюдение окажется между средним значением и одним стандартным отклонением выше среднего, составляет 0,3413. и, следовательно, 0,6826 вероятности того, что оценка будет находиться в пределах (+/-)(+/-) одного стандартного отклонения от среднего. Существует также вероятность 0,8413 того, что оценка будет на одно стандартное отклонение выше среднего или меньше (вероятность 0,5 того, что оценка упадет ниже среднего, и вероятность 0,3413 того, что оценка окажется между средним значением и одним стандартным отклонением выше его). (Используя язык, который мы изучили в главе 3, еще один способ сформулировать это открытие — сказать, что показатель, превышающий среднее значение на одно стандартное отклонение, находится на уровне 84-го процентиля. ) Существует также вероятность 0,1587 того, что показатель является стандартным отклонением выше среднего. среднее или выше (1,0–0,8413) (1,0–0,8413).

Тесты на интеллект имеют среднее значение 100 и стандартное отклонение 15. Таким образом, кто-то с IQ 130 на два стандартных отклонения выше среднего, то есть он набирает больше, чем 97,72% населения. Предположим, однако, что ваш IQ равен 140. Использование рисунка \(\PageIndex{1}\) позволит нам только приблизительно оценить, насколько высок этот показатель. Чтобы выяснить это более точно, мы должны выяснить, на сколько стандартных отклонений выше среднего значения 140, а затем перейти к более точной таблице нормальных кривых.

Чтобы узнать, сколько стандартных отклонений от среднего составляет наблюдение, мы рассчитали стандартизированное или Z-счет . Формула для преобразования необработанной оценки в Z-оценку:

.

Z=x−μσ(4.4)(4.4)Z=x−μσ

В этом случае ZZ-оценка составляет 140-100/15140-100/15 или 2,672,67. Глядя на формулу, вы можете видеть, что нулевой Z-показатель соответствует среднему значению; ZZ-оценка, равная единице, представляет собой одно стандартное отклонение выше среднего, а ZZ-оценка 2,672,67 соответствует 2,672,67 стандартным отклонениям выше среднего.

Следующим шагом будет обращение к таблице нормальных кривых для интерпретации этой Z-оценки. Таблица @ref(рис.: Normal_Curve) в конце главы содержит такую ​​таблицу. Чтобы использовать таблицу, вы объединяете строки и столбцы, чтобы получить оценку 2,67. Там, где они пересекаются, мы видим значение 0,49.62. Это значение означает, что существует вероятность 0,4962 выигрыша между средним значением и ZZ-оценкой 2,67. Поскольку существует вероятность 0,5 балла ниже среднего, сложение двух значений вместе дает вероятность 0,9962 найти IQ 140 или ниже или вероятность 0,0038 того, что кто-то имеет IQ 140 или выше.

Мы можем использовать вычисление, известное как процесс Бернулли, для определения вероятности определенного количества успешных попыток в заданном количестве испытаний. Например, если вы хотите узнать вероятность того, что при четырехкратном подбрасывании монеты выпадет ровно три орла, вы можете использовать расчет Бернулли. Чтобы выполнить расчет, вам необходимо определить количество испытаний (n)(n), количество успехов, которые вас интересуют (k)(k), вероятность успеха в одном испытании (p)(p) и вероятность (q)(q) неудачи (1−p(1−p или q)q). Рабочая формула:

(n!k!(n−k)!)∗pk∗qn−k(n!k!(n−k)!)∗pk∗qn−k

Символ n!n! является n-факториальным» или n∗(n−1)∗(n−2)n∗(n−1)∗(n−2) … ∗1∗1. Итак, если вы хотите узнать вероятность выпадения трех орлов на четыре броска монеты, n=4n=4, k=3k=3, p=0,5p=0,5 и q=0,5q=0,5:

(4!3!(4−3)!)∗ .53∗.54−3=.25(4!3!(4−3)!)∗.53∗.54−3=.25

Процесс Бернулли можно использовать только тогда, когда оба n∗pn∗p и n∗qn∗q больше десяти.Это также наиболее полезно, когда вас интересует ровно kk успехов.Если вы хотите узнать вероятность kk или более или kk или меньше успехов, проще использовать нормальную кривую , Бернулли все еще можно использовать, если ваши данные дискретны, но вам придется выполнять повторные вычисления. 0034

---

Эта страница под названием 4.2: Нахождение вероятностей с помощью нормальной кривой распространяется по лицензии CC BY 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Jenkins-Smith et al. (Библиотеки Университета Оклахомы) через исходный контент, отредактированный в соответствии со стилем и стандартами платформы LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Автор

   Дженкинс-Смит и др.

   Лицензия

   СС BY

   Версия лицензии

   4,0

   Показать оглавление

   нет

2. Теги

   1. источник@https://bookdown. org/josiesmith/qrmbook

Стандартное нормальное распределение и приложения — STA 2023: Статистика

Нормальное распределение относится к семейству непрерывных распределений вероятностей, описываемых нормальным уравнением.

Нормальное уравнение

Нормальное распределение определяется следующим уравнением:

Нормальное уравнение.  Значение случайной величины  Y  :

Y = { 1/[ σ * sqrt(2π) ] } * e ^{— (x — μ) 2 /2σ 2}

где X — нормальная случайная величина, μ — среднее значение, σ — стандартное отклонение, π примерно равно 3,14159, а e — примерно 2,71828.

Случайная величина X в нормальном уравнении называется нормальная случайная величина . Нормальное уравнение – это функция плотности вероятности для нормального распределения.

Нормальная кривая

График нормального распределения зависит от двух факторов — среднего значения и стандартного отклонения. Среднее значение распределения определяет положение центра графика, а стандартное отклонение определяет высоту и ширину графика. Когда стандартное отклонение велико, кривая короткая и широкая; когда стандартное отклонение мало, кривая высокая и узкая. Все нормальные распределения выглядят как симметричная колоколообразная кривая, как показано ниже.

             

Кривая слева короче и шире, чем кривая справа, потому что кривая слева имеет большее стандартное отклонение.

Вероятность и нормальная кривая

Нормальное распределение представляет собой непрерывное распределение вероятностей. Это имеет несколько последствий для вероятности.

• Вероятность того, что X меньше, чем a , равна площади под нормальной кривой, ограниченной a , и минус бесконечность (как показано затенил область  на рисунке ниже).

Кроме того, каждая нормальная кривая (независимо от ее среднего значения или стандартного отклонения) соответствует следующему «правилу».

В совокупности эти точки известны как эмпирическое правило или 68-95-99,7 правило . Ясно, что при нормальном распределении большинство результатов будут находиться в пределах трех стандартных отклонений от среднего значения.

Чтобы найти вероятность, связанную с нормальной случайной величиной, используйте графический калькулятор, онлайн-калькулятор нормального распределения или таблицу нормального распределения. В приведенных ниже примерах мы иллюстрируем использование Калькулятора нормального распределения Stat Trek, бесплатного инструмента, доступного на этом сайте. На следующем уроке мы продемонстрируем использование таблиц нормального распределения.

Калькулятор нормального распределения

Калькулятор нормального распределения решает распространенные статистические задачи на основе нормального распределения. Калькулятор вычисляет кумулятивные вероятности на основе трех простых входных данных. Простые инструкции помогут вам быстро и легко найти точное решение. Если что-то неясно, ответы на часто задаваемые вопросы и примеры задач дают простые объяснения. Калькулятор бесплатный. Его можно найти на вкладке «Таблицы статистики», которая появляется в заголовке каждой веб-страницы Stat Trek.

Обычный калькулятор

 

Пример 1

Средняя лампа накаливания производства Acme Corporation работает 300 дней при стандартном отклонении 50 дней. Если предположить, что срок службы лампы распределен нормально, какова вероятность того, что лампочка Acme прослужит не более 365 дней?

Решение:  Учитывая средний балл 300 дней и стандартное отклонение 50 дней, мы хотим найти совокупную вероятность того, что срок службы лампы меньше или равен 365 дням. Итак, мы знаем следующее:

• Стандартное отклонение равно 50 дням.

  No related posts.