1.4. Многочлены. Формулы сокращенного умножения
1. Первое направление применения графических калькуляторов при изучении учебного материала, посвященного многочленам и их преобразованиям, проверка правильности произведенных тождественных преобразований путем вычисления значений исходного и конечного выражений при подстановке в них произвольных значений переменных. Рекомендуя такой прием, следует обратить внимание учащихся на то, что в качестве значений переменных не стоит использовать 0 или 1, поскольку вероятность совпадения значений у не тождественно равных выражений при такой подстановке достаточно велика. Также нет смысла использовать многозначные значения. Посоветуем в качестве значений переменных выбирать десятичные дроби с одной-двумя значащими цифрами (0,3; 1,2; 2,7 и т.п.). Приведем примеры.
Пример № 617
Выполните приведение подобных членов многочлена 3х4 — 5х + 7х2-8х4 + 5х.
После приведения подобных членов получим выражение: -5х4 + 7х2.
Вычислим значения данного и полученного выражений при х = 2,1:
Значения у выражений совпали: есть основание считать, что подобные члены были приведены правильно.
Пример № 734
Раскройте скобки в выражении (7-2а)(4а2 + 4а + 3).
Если учащийся при раскрытии скобок не всегда учитывал знак, то он мог после приведения подобных членов получить, например, такое выражение: -8а3 + 36а2 + 34а + 21.
Найдем значения исходного и полученного выражений при а = 1,7:
Очевидно, что была допущена ошибка. Требуется проверить преобразования. Правильный ответ: -8а3 + 20а2 + 22а + 21. После внесения исправлений (с помощью клавиш [REPLAY] и [DEL]) получим:
2.
Другой возможный путь проверки правильности преобразований — рассмотрение графиков функций, при котором в качестве первой функции берется исходное выражение, а второй — выражение после преобразований. Естественно, способ годится для тех случаев, когда выражение содержит только одну переменную. При наличии большего числа переменных все, кроме одной, можно заменить конкретными числами. Однако рассматривать такие сложные примеры представляется преждевременным.
Пример № 731
Проверим тождественность выражений: (х + 10)2 и х2 + 20х + 100.
Укажем калькулятору в режиме построения графиков построить заданные функции:
Если использовать стандартное окно вывода, то никаких графиков мы не увидим. Не будет их и в близлежащих областях:
Поэтому воспользуемся режимом Zoom (вход в режим — последовательное нажатие клавиш [SHIFT] и [F2]) и выберем команду [F5] (AUTO):
При выполнении этой команды графический калькулятор использует довольно сложный алгоритм:
- масштаб и границы интервала по оси x сохраняются без изменений;
- масштаб и границы интервала по оси y меняются так, чтобы минимальное значение функции на данном интервале соответствовало нижней границе окна вывода, а максимальное — его верхней границе.
График сильно «сплюснут», но зато он появился на экране. Сдвинем наше окно вывода так, чтобы минимальное значение, достигаемое графиком (параболой), оказалось примерно в центре экрана. После этого повторим команду AUTO режима Zoom:
Параметры у окна вывода получились нетривиальные, но график теперь можно исследовать в режиме Trace (слежения траектории, вход в режим — последовательное нажатие клавиш [SHIFT] и [F1]):
При переключении курсора с одного графика на другой (клавиша [REPLAY] нажимается вверх или вниз) никаких изменений на графике происходить не будет, будет меняться только запись функции над графиком, т. е. графики полностью совпали.
Основная сложность при использовании данного метода — правильно выбрать окно вывода. Для данного примера мы использовали режим Zoom (AUTO). В качестве альтернативы такому подходу можно рекомендовать задать сначала вручную окно побольше, а затем изменить его параметры. Например: (2 — 2х + х2)(х + 5) преобразуем в х3 + 3х2 — 8х + 10 и построим графики этих функций, задав для начала окно вывода довольно большим:
Видно, что параметры были выбраны неудачно, но часть графика в окне вывода появилась.
Как и в предыдущем случае, графики совпадают, в чем можно убедиться в режиме Trace.
3. В систему упражнений включен новый тип уравнений, сводящихся к линейным (№№ 683-687). Можно порекомендовать учащимся выполнить проверку решения: подставить значение корня в левую и правую части уравнения и сравнить результаты. Иногда это легко сделать устно, а в других случаях — на графическом калькуляторе.
Пример № 686
Найдите корень уравнения:
а)
Решив уравнение, получим x = –13. Подстановка легко выполняется устно: 9 = 9.
б)
Решив уравнение, получим а = 1,5. Для проверки корня воспользуемся калькулятором.
Калькулятор расчета элементов прямой по методу наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов — инструмент регрессионного анализа, позволяющий представить практически любую функциональную зависимость в виде уравнения.
Благодаря аппроксимации прошлых данных при помощи метода наименьших квадратов мы можем предсказывать приблизительные будущие значения.
Наборы данных
Метод наименьших квадратов используется для обработки набора данных и прогнозирования будущих значений. Пусть у нас есть массивы данных X = {10, 12, 14, 16, 18, 20} и Y = {18, 22, 24, 26, 27, 28}, при этом значение Y зависит от X. Придадим этим массивам смысл. К примеру, массив X – это мощность паровой машины парохода, а Y — его ходовая скорость в узлах. Это означает, что при мощности энергетической установки в 10 тысяч лошадиных сил, пароход развивает скорость на уровне 18 морских миль в час, и так далее, так как каждое значение игрека соответствует своему иксу.
Эти данные можно представить в виде точек на декартовой плоскости, например как V1(X1, Y1), V2(X2, Y2) и так далее. Если соединить эти точки, то мы получим некую кривую, которую можем описать соответствующим уравнением y = f(x). Данное уравнение должно быть достаточно простым, но при этом максимально близко описывать полученную зависимость.
Получив кривую, мы можем продлить ее в любую сторону и узнать приблизительное значение игреков для любых иксов или наоборот. Например, аппроксимировав данные нашего примера, мы сможем узнать, какая мощность установки требуется для достижения скорости в 15 узлов. Или какую мы получим скорость, установив на борт установку мощностью в 22 тысячи лошадиных сил. Для того чтобы определить эту волшебную y = f(x), нам и необходим метод наименьших квадратов.
Суть метода
Итак, у нас есть X = {10, 12, 14, 16, 18, 20} и Y = {18, 22, 24, 26, 27, 28}. Очевидно, что данная кривая лучше всего аппроксимируется прямой, которая имеет вид:
y = ax + b.
Очевидно и то, что прямая будет лишь приблизительно проходить через данные точки, и во многих случаях между реальными значениями и аппроксимирующей прямой будут расхождения или ошибки вида:
e = y − Vi.
Для оценки общей погрешности аппроксимации мы можем сложить все значения ошибок e для каждой точки и получить число, характеризующее точность приближения.
Однако разность y − Vi может быть и отрицательной, поэтому в некоторых случаях возможно «самоуничтожение» ошибок с противоположными знаками.
Во избежание этого математики решили использовать модули e и суммировать положительные значения ошибок в виде:
e = |y − Vi|.
Задача же аппроксимации сводится к поиску таких коэффициентов a и b прямой y = ax + b, при которых сумма всех ошибок e будет минимальной. Данный способ приближения получил название метода наименьших модулей, однако на практике наиболее удобно оперировать не модулями значений, а их квадратами.
Метод наименьших квадратов
Суть данного метода состоит в том, чтобы найти кривую с такими коэффициентами, чтобы сумма квадратов ошибок была минимальной. В нашем примере это прямая, однако, разные зависимости могут быть аппроксимированы параболической, гиперболической, показательной, тригонометрической или логарифмической функциями. На практике чаще всего используются полиноминальные функции, дающие наилучшее приближение.
Давайте найдем аппроксмирующую прямую для наших данных. Важно учесть, что для построения прямой требуется минимум 5-6 значений, исключая аномальные результаты. Итак, у нас есть точки, ошибки и квадраты ошибок. Выглядит это следующим образом.
Точки:
- (10; 18)
- (12; 22)
- (14; 24)
- (16; 26)
- (18; 27)
- (20; 28)
Ошибки:
- a × 10 + b — 18
- a × 12 + b — 22
- a × 14 + b — 24
- a × 16 + b — 26
- a × 18 + b — 27
- a × 20 + b — 28
Квадраты ошибок:
- (a × 10 + b — 18)2
- (a × 12 + b — 22)2
- (a × 14 + b — 24)2
- (a × 16 + b — 26)2
- (a × 18 + b — 27)2
- (a × 20 + b — 28)2
Итак, у нас есть набор квадратов ошибок. Теперь нам нужно раскрыть скобки и представить сумму этих квадратов в виде масштабного полинома, после чего отыскать такие значения a и b, при которых эта сумма будет минимальна.
Теория математического анализа гласит, что функция достигает экстремума в случае, когда ее частные производные равные нулю. Это означает, что нам потребуется взять производную по a и приравнять ее к нулю, а также производную по b и также приравнять ее к нулю. После чего составить систему уравнений и отыскать удовлетворяющие условию корни.
Мы опустим промежуточные выкладки и сразу выложим результат решения полученной системы уравнений: a = 0,95, b = 9,8. Таким образом, уравнение прямой линии регрессии выглядит как:
y = 0,95x + 9,8
Теперь мы можем определить промежуточные значения или продленные в обе стороны. Например, если мы хотим узнать, какую скорость имеет пароход с мощностью силовой установки в 15 тысяч лошадиных сил, мы просто подставим это значение вместо икса и вычислим игрек:
y = 0,95 × 17 + 9,8 ≈ 26
Стоит помнить, что аппроксимирующие графики дают нам только приблизительные значения переменных.
Наша программа представляет собой калькулятор, в котором вы можете выбрать произвольное количество точек и построить линию регрессии.
Для этого вам понадобится только указать координаты и сделать один клик мышкой, после чего программа построит и точки, и аппроксимирующую прямую.
Заключение
Метод наименьших квадратов — удобный метод для представления данных в виде функции. Благодаря такому представлению вы можете определить любое значение функции, оперируя небольшим набором данных или измерений.
Расширение терминов, умножение многочленов с помощью программы «Пошаговое решение математических задач»
МОНОМИАЛЫ, УМНОЖЕННЫЕ НА ПОЛИНОМЫ
ЦЕЛИ
По завершении этого раздела вы должны уметь:
- Распознавать многочлены.
- Определите двучлены и трехчлены.
- Найдите произведение одночлена на двучлен.
Многочлен представляет собой сумму или разность одного или нескольких одночленов.
Обычно, если имеется более одной переменной, многочлен записывается в алфавитном порядке. |
Для некоторых многочленов используются специальные имена. Если многочлен имеет два члена, он называется биномом .
Если многочлен состоит из трех членов, он называется трехчленным .
В процессе удаления круглых скобок мы уже заметили, что на все термины в круглых скобках влияет знак или число, предшествующее скобкам. Теперь мы расширим эту идею, чтобы умножить одночлен на многочлен.
| Размещение 2x непосредственно перед скобками означает умножение выражения в круглых скобках на 2x. Обратите внимание, что каждый член умножается на 2x. |
| Снова каждое слагаемое в скобках умножается на 3y В каждом из этих примеров мы используем свойство распределения . |
ПРОИЗВЕДЕНИЕ ПОЛИНОМОВ
ЗАДАЧИ
По завершении этого раздела вы должны уметь:
- Найдите произведение двух двучленов.
- Используйте свойство распределения для умножения любых двух многочленов.
В предыдущем разделе вы узнали, что произведение A(2x + y) расширяется до A(2x) + A(y).
Теперь рассмотрим произведение (3x + z)(2x + y).
Поскольку (3x + z) заключено в скобки, мы можем рассматривать его как один множитель и разложить (3x + z)(2x + y) так же, как A(2x + y). Это дает нам
Если мы теперь расширим каждое из этих условий, мы получим
Обратите внимание, что в окончательном ответе каждый член одной скобки умножается на каждый член других скобок.
| Обратите внимание, что это применение свойства распределения. |
| Обратите внимание, что это применение распределительного свойства. |
Поскольку -8x и 15x похожи, мы можем объединить их, чтобы получить 7x.
В этом примере мы смогли объединить два термина, чтобы упростить окончательный ответ.
Здесь мы снова объединили некоторые термины, чтобы упростить окончательный ответ. Обратите внимание, что порядок членов в окончательном ответе не влияет на правильность решения.
| Коммутативность позволяет менять порядок. |
| Попробуйте установить систему умножения каждого члена одной скобки на каждый член другой скобки. В этих примерах мы взяли первый член в первом наборе скобок и умножили его на каждый член во втором наборе скобок. Затем мы взяли второй член первого набора и умножили его на каждый член второго набора, и так далее. |
калькулятор расширяющихся скобок
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
03.2002 
Я не нашел домашнего задания по математике, которое не смог бы выполнить с помощью Алгебратора. Это просто потрясающе. Самое приятное то, что программное обеспечение дает вам пошаговую инструкцию, как сделать это самостоятельно. Таким образом, вы действительно научитесь работать с этим самостоятельно. Разве это не круто?
Я использую его уже пару лет.