Формула периметр пирамиды: Периметр и апофема правильной пирамиды

Площадь треугольной пирамиды — формула, пример расчета

Треугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит правильный треугольник.

В такой пирамиде грани основания и ребра боковых сторон равны между собой. Соответственно площадь боковых граней находится из суммы площадей трех одинаковых треугольников. Найти площадь боковой поверхности правильной пирамиды можно по формуле площади равностороннего треугольника. А можно произвести расчет в несколько раз быстрее. Для этого необходимо применить формулу площади боковой поверхности треугольной пирамиды:

где p – периметр основания, у которого все стороны равны b, a – апофема, опущенная из вершины к этому основанию. Рассмотрим пример расчета площади треугольной пирамиды.

Задача: Пусть дана правильная пирамида. Сторона треугольника, лежащего в основании равна b = 4 см. Апофема пирамиды равна a = 7 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Так как по условиям задачи мы знаем длины всех необходимых элементов, найдем периметр. Помним, что в правильном треугольнике все стороны равны, а, следовательно, периметр рассчитывается по формуле:

Подставим данные и найдем значение:

Теперь, зная периметр, можем рассчитывать площадь боковой поверхности:

Чтобы применить формулу площади треугольной пирамиды для вычисления полного значения, необходимо найти площадь основания многогранника. Для этого используется формула площади правильного треугольника:

Формула площади основания треугольной пирамиды может быть и другой. Допускается применение любого расчета параметров для заданной фигуры, но чаще всего это не требуется. Рассмотрим пример расчета площади основания треугольной пирамиды.

Задача: В правильной пирамиде сторона лежащего в основании треугольника равняется a = 6 см. Рассчитайте площадь основания.
Для вычисления нам требуется только длина стороны правильного треугольника, располагающегося в основании пирамиды.

Подставим данные в формулу:

Довольно часто требуется найти полную площадь многогранника. Для этого потребуется сложить площадь боковой поверхности и основания.

Рассмотрим пример расчета площади треугольной пирамиды.

Задача: пусть дана правильная треугольная пирамида. Сторона основания равна b = 4 см, апофема a = 6 см. Найдите полную площадь пирамиды.
Для начала найдем площадь боковой поверхности по уже известной формуле. Рассчитаем периметр:

Подставляем данные в формулу:
Теперь найдем площадь основания:
Зная площадь основания и боковой поверхности, найдем полную площадь пирамиды:

При расчете площади правильной пирамиды стоит не забывать о том, что в основании лежит правильный треугольник и многие элементы этого многогранника равны между собой.

Похожие записи

Поделиться

Подрубрика Геометрия, Рубрика Математика.

Другие статьи по теме

Площадь четырехугольной пирамиды формула.

Как найти площадь боковой поверхности пирамиды

Словари. Энциклопедии. История. Литература. Русский язык » Русский язык » Площадь четырехугольной пирамиды формула. Как найти площадь боковой поверхности пирамиды

Площадь боковой поверхности произвольной пирамиды равна сумме площадей её боковых граней. Специальную формулу для выражения этой площади имеет смысл дать в случае правильной пирамиды. Так, пусть дана правильная пирамида, в основании которой лежит правильный n-угольник со стороной, равной а. Пусть h — высота боковой грани, называется также апофемой пирамиды. Площадь одной боковой грани равна 1/2ah, а вся боковая поверхность пирамиды имеет площадь, равную n/2ha.Так как na — периметр основания пирамиды, то можно написать найденную формулу в виде:

Площадь боковой поверхности

правильной пирамиды равна произведению её апофемы на половину периметра основания.

Что касается площади полной поверхности , то просто к боковой прибавляем площадь основания.

Вписанные и описанные сфера и шар . Нужно отметить, что центр вписанной в пирамиду сферы лежит на пересечении биссекторных плоскостей внутренних двугранных углов пирамиды. Центр описанной около пирамиды сферы лежит на пересечении плоскостей, проходящих через середины ребер пирамиды и перпендикулярных им.

Усеченная пирамида. Если пирамиду рассеч плоскостью, параллельной её основанию, то часть, заключенная между секущей плоскостью и основанием, называется усеченной пирамидой. На рисунке показана пирамида, отбрасывая её часть, лежащую выше секущей плоскости, получаем усеченную пирамиду. Ясно, что малая отбрасываемая пирамида гомотетична большой пирамиде с центром гомотетии в вершине. Коэффициент подобия равен отношению высот: k=h 2 /h 1 , или боковых ребер, или других соответствующих линейных размеров обеих пирамид. Мы знаем, что площади подобных фигур относятся, как квадраты линейных размеров; так площади оснований обеих пирамид (т.е. пощади оснований усеченной пирамиды) относятся, как

Здесь S 1 — площадь нижнего основания, а S 2 — площадь верхнего основания усеченной пирамиды. В таком же отношении находятся и боковые поверхности пирамид. Сходное правило имеется и для объемов.

Объемы подобных тел относятся, как кубы их линейных размеров; например, объемы пирамид относятся, как произведения их высот на площади оснований, откуда наше правило получается сразу. Оно имеет совершенно общий характер и прямо следует из того, что объем всегда имеет размерность третей степени длины. Пользуясь этим правилом, выведем формулу, выражающую объем усеченной пирамиды через высоту и площади оснований.

Пусть дана усеченная пирамида с высотой h и площадями оснований S 1 и S 2 . Если представить себе, что она продолжена до полной пирамиды, то коэффициент подобия полнорй пирамиды и малой пирамиды легко найти, как корень из отношения S 2 /S 1 . Высота усеченной пирамиды выражается как h = h 1 — h 2 = h 1 (1 — k). Теперь имеем для объема усеченной пирамиды (через V 1 и V 2 обозначены объемы полной и малой пирамид)

формула объема усеченной пирамиды

Выведем формулу площади S боковой поверхности правильной усеченной пирамиды через периметры Р 1 и Р 2 оснований и длину апофемы а. Рассуждаем точно так же, как и при выводе формулы для объема. Дополняем пирамиду верхней частью, имеем P 2 = kP 1 , S 2 =k 2 S 1 , где k — коэффициент подобия, P 1 и P 2 — периметры оснований, а S 1 и S 2 — лощади боковых поверхностей всей полученной пирамиды и её верхней части соответственно. Для боковой поверхности найдем (а 1 и а 2 — апофемы пирамид, а = а 1 — а 2 = а 1 (1-k))

формула площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды

Определение. Боковая грань — это треугольник, у которого один угол лежит в вершине пирамиды, а противоположная ему сторона совпадает со стороной основания (многоугольника).

Определение. Боковые ребра — это общие стороны боковых граней. У пирамиды столько ребер сколько углов у многоугольника.

Определение. Высота пирамиды — это перпендикуляр, опущенный из вершины на основание пирамиды.

Определение. Апофема — это перпендикуляр боковой грани пирамиды, опущенный из вершины пирамиды к стороне основания.

Определение. Диагональное сечение — это сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и диагональ основания.

Определение. Правильная пирамида — это пирамида, в которой основой является правильный многоугольник, а высота опускается в центр основания.

Объём и площадь поверхности пирамиды

Формула. Объём пирамиды через площадь основы и высоту:

Свойства пирамиды

Если все боковые ребра равны, то вокруг основания пирамиды можно описать окружность, а центр основания совпадает с центром окружности. Также перпендикуляр, опущенный из вершины, проходит через центр основания (круга).

Если все боковые ребра равны, то они наклонены к плоскости основания под одинаковыми углами.

Боковые ребра равны тогда, когда они образуют с плоскостью основания равные углы или если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то в основание пирамиды можно вписать окружность, а вершина пирамиды проектируется в ее центр.

Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то апофемы боковых граней равны.

Свойства правильной пирамиды

1. Вершина пирамиды равноудалена от всех углов основания.

2. Все боковые ребра равны.

3. Все боковые ребра наклонены под одинаковыми углами к основанию.

4. Апофемы всех боковых граней равны.

5. Площади всех боковых граней равны.

6. Все грани имеют одинаковые двугранные (плоские) углы.

7. Вокруг пирамиды можно описать сферу. Центром описанной сферы будет точка пересечения перпендикуляров, которые проходят через середину ребер.

8. В пирамиду можно вписать сферу. Центром вписанной сферы будет точка пересечения биссектрис, исходящие из угла между ребром и основанием.

9. Если центр вписанной сферы совпадает с центром описанной сферы, то сумма плоских углов при вершине равна π или наоборот, один угол равен π/n , где n — это количество углов в основании пирамиды.

Связь пирамиды со сферой

Вокруг пирамиды можно описать сферу тогда, когда в основании пирамиды лежит многогранник вокруг которого можно описать окружность (необходимое и достаточное условие). Центром сферы будет точка пересечения плоскостей, проходящих перпендикулярно через середины боковых ребер пирамиды.

Вокруг любой треугольной или правильной пирамиды всегда можно описать сферу.

В пирамиду можно вписать сферу, если биссекторные плоскости внутренних двугранных углов пирамиды пересекаются в одной точке (необходимое и достаточное условие). Эта точка будет центром сферы.

Связь пирамиды с конусом

Конус называется вписанным в пирамиду, если их вершины совпадают, а основание конуса вписано в основание пирамиды.

Конус можно вписать в пирамиду, если апофемы пирамиды равны между собой.

Конус называется описанным вокруг пирамиды, если их вершины совпадают, а основание конуса описана вокруг основания пирамиды.

Конус можно описать вокруг пирамиды если, все боковые ребра пирамиды равны между собой.

Связь пирамиды с цилиндром

Пирамида называется вписанной в цилиндр, если вершина пирамиды лежит на одной основе цилиндра, а основание пирамиды вписано в другую основу цилиндра.

Цилиндр можно описать вокруг пирамиды если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.

Определение. Усеченная пирамида (пирамидальная призма) — это многогранник, который находится между основанием пирамиды и плоскостью сечения, параллельной основанию. Таким образом пирамида имеет большую основу и меньшую основу, которая подобна большей. Боковые грани представляют собой трапеции.

Определение. Треугольная пирамида (четырехгранник) — это пирамида в которой три грани и основание являются произвольными треугольниками.

В четырехгранник четыре грани и четыре вершины и шесть ребер, где любые два ребра не имеют общих вершин но не соприкасаются.

Каждая вершина состоит из трех граней и ребер, которые образуют трехгранный угол .

Отрезок, соединяющий вершину четырехгранника с центром противоположной грани называется медианой четырехгранника (GM).

Бимедианой называется отрезок, соединяющий середины противоположных ребер, которые не соприкасаются (KL).

Все бимедианы и медианы четырехгранника пересекаются в одной точке (S). При этом бимедианы делятся пополам, а медианы в отношении 3:1 начиная с вершины.

Определение. Наклонная пирамида — это пирамида в которой одно из ребер образует тупой угол (β) с основанием.

Определение. Прямоугольная пирамида — это пирамида в которой одна из боковых граней перпендикулярна к основанию.

Определение. Остроугольная пирамида — это пирамида в которой апофема больше половины длины стороны основания.

Определение. Тупоугольная пирамида — это пирамида в которой апофема меньше половины длины стороны основания.

Определение. Правильный тетраэдр — четырехгранник у которого все четыре грани — равносторонние треугольники. Он является одним из пяти правильных многоугольников. В правильного тетраэдра все двугранные углы (между гранями) и трехгранные углы (при вершине) равны.

Определение. Прямоугольный тетраэдр называется четырехгранник у которого прямой угол между тремя ребрами при вершине (ребра перпендикулярны). Три грани образуют прямоугольный трехгранный угол и грани являются прямоугольными треугольниками, а основа произвольным треугольником. Апофема любой грани равна половине стороны основы, на которую падает апофема.

Определение. Равногранный тетраэдр называется четырехгранник у которого боковые грани равны между собой, а основание — правильный треугольник. У такого тетраэдра грани это равнобедренные треугольники.

Определение. Ортоцентричный тетраэдр называется четырехгранник у которого все высоты (перпендикуляры), что опущены с вершины до противоположной грани, пересекаются в одной точке.

Определение. Звездная пирамида называется многогранник у которого основой является звезда.

Определение. Бипирамида — многогранник, состоящий из двух различных пирамид (также могут быть срезаны пирамиды), имеющих общую основу, а вершины лежат по разные стороны от плоскости основания.

– это многогранная фигура, в основании которой лежит многоугольник, а остальные грани представлены треугольниками с общей вершиной.

Если в основании лежит квадрат, то пирамиду называется четырехугольной , если треугольник – то треугольной . Высота пирамиды проводится из ее вершины перпендикулярно основанию. Также для расчета площади используется апофема – высота боковой грани, опущенная из ее вершины.
Формула площади боковой поверхности пирамиды представляет собой сумму площадей ее боковых граней, которые равны между собой. Однако этот способ расчета применяется очень редко. В основном площадь пирамиды рассчитывается через периметр основания и апофему:

Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности пирамиды.

Пусть дана пирамида с основанием ABCDE и вершиной F . AB =BC =CD =DE =EA =3 см. Апофема a = 5 см. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.
Найдем периметр. Так как все грани основания равны, то периметр пятиугольника будет равен:
Теперь можно найти боковую площадь пирамиды:

Площадь правильной треугольной пирамиды

Правильная треугольная пирамида состоит из основания, в котором лежит правильный треугольник и трех боковых граней, которые равны по площади.
Формула площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды может быть рассчитана разными способами. Можно применить обычную формулу расчета через периметр и апофему, а можно найти площадь одной грани и умножить ее на три. Так как грань пирамиды – это треугольник, то применим формулу площади треугольника. Для нее потребуется апофема и длина основания. Рассмотрим пример расчета площади боковой поверхности правильной треугольной пирамиды.

Дана пирамида с апофемой a = 4 см и гранью основания b = 2 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Для начала находим площадь одной из боковых граней. В данном случае она будет:
Подставляем значения в формулу:
Так как в правильной пирамиде все боковые стороны одинаковы, то площадь боковой поверхности пирамиды будет равна сумме площадей трех граней. Соответственно:

Площадь усеченной пирамиды

Усеченной пирамидой называется многогранник, который образовывается пирамидой и ее сечением, параллельным основанию.
Формула площади боковой поверхности усеченной пирамиды очень проста. Площадь равняется произведению половины суммы периметров оснований на апофему:

Полная площадь боковой поверхности пирамиды состоит из суммы площадей его боковых граней.

В четырехугольной пирамиде различается два вида граней – четырехугольник в основании и треугольники с общей вершиной, которой образуют боковую поверхность.
Для начала потребуется рассчитать площадь боковых граней. Для этого можно использовать формулы площади треугольника, а можно также воспользоваться формулой площади поверхности четырехугольной пирамиды (только в случае, если многогранник правильный). Если пирамида правильная и в ней известна длина ребра a основания и проведенной к нему апофемы h , то:

Если по условиям даны длина ребра c правильной пирамиды и длина стороны основания a , то можно найти значение по следующей формуле:

Если же дана длина ребра в основании и противолежащий ей острый угол у вершины, то можно рассчитать площадь боковой поверхности по соотношению квадрата стороны a к удвоенному косинусу половины угла α :

Рассмотрим пример расчета площади поверхности четырехугольной пирамиды через боковое ребро и сторону основания.

Задача: пусть дана правильная четырехугольная пирамида. Длина ребра b = 7 см, длина стороны основания a = 4 см. Подставим заданные значения в формулу:

Мы показали расчеты площади одной боковой грани для правильной пирамиды. Соответственно. Чтобы найти площадь всей поверхности необходимо умножить результат на количество граней, то есть на 4. Если пирамида произвольная и ее грани не равны между собой, то рассчитать площадь необходимо для каждой отдельной стороны. Если в основании лежит прямоугольник или параллелограмм, то стоит вспомнить их свойства. Стороны у этих фигур попарно параллельны, а соответственно грани пирамиды будут также попарно одинаковы.
Формула площади основания четырехугольной пирамиды напрямую зависит от того, какой четырехугольник лежит в основании. Если пирамида правильная, то площадь основания рассчитывается по формуле , если в основании лежит ромб, то потребуется вспомнить, как находится . Ели же в основании лежит прямоугольник, то найти его площадь будет довольно просто. Достаточно знать длины сторон основания. Рассмотрим пример расчета площади основания четырехугольной пирамиды.

Задача: Пусть дана пирамида, в основании которой лежит прямоугольник со сторонами a = 3 см, b = 5 см. К каждой из сторон из вершины пирамиды опущена апофема. h-a =4 см,h-b =6 см. Вершина пирамиды лежит на одной линии с точкой пересечения диагоналей. Найдите полную площадь пирамиды.
Формула площади четырехугольной пирамиды состоит из суммы площадей всех граней и площади основания. Для начала найдем площадь основания:

Теперь рассмотрим грани пирамиды. Они попарно одинаковы, потому что высота пирамиды пересекает точку пересечения диагоналей. То есть, в нашей пирамиде есть два треугольника с основанием a и высотой h-a , а также два треугольника с основанием b и высотой h-b . Теперь найдем площадь треугольника по известной формуле:


Теперь выполним пример расчета площади четырехугольной пирамиды. В нашей пирамиде с прямоугольником в основании, формула будет выглядеть так:

Треугольной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит правильный треугольник.

В такой пирамиде грани основания и ребра боковых сторон равны между собой. Соответственно площадь боковых граней находится из суммы площадей трех одинаковых треугольников. Найти площадь боковой поверхности правильной пирамиды можно по формуле . А можно произвести расчет в несколько раз быстрее. Для этого необходимо применить формулу площади боковой поверхности треугольной пирамиды:

где p – периметр основания, у которого все стороны равны b, a – апофема, опущенная из вершины к этому основанию. Рассмотрим пример расчета площади треугольной пирамиды.

Задача: Пусть дана правильная пирамида. Сторона треугольника, лежащего в основании равна b = 4 см. Апофема пирамиды равна a = 7 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Так как по условиям задачи мы знаем длины всех необходимых элементов, найдем периметр. Помним, что в правильном треугольнике все стороны равны, а, следовательно, периметр рассчитывается по формуле:

Подставим данные и найдем значение:

Теперь, зная периметр, можем рассчитывать площадь боковой поверхности:

Чтобы применить формулу площади треугольной пирамиды для вычисления полного значения, необходимо найти площадь основания многогранника. Для этого используется формула :

Формула площади основания треугольной пирамиды может быть и другой. Допускается применение любого расчета параметров для заданной фигуры, но чаще всего это не требуется. Рассмотрим пример расчета площади основания треугольной пирамиды.

Задача: В правильной пирамиде сторона лежащего в основании треугольника равняется a = 6 см. Рассчитайте площадь основания.
Для вычисления нам требуется только длина стороны правильного треугольника, располагающегося в основании пирамиды. Подставим данные в формулу:

Довольно часто требуется найти полную площадь многогранника. Для этого потребуется сложить площадь боковой поверхности и основания.

Рассмотрим пример расчета площади треугольной пирамиды.

Задача: пусть дана правильная треугольная пирамида. Сторона основания равна b = 4 см, апофема a = 6 см. Найдите полную площадь пирамиды.
Для начала найдем площадь боковой поверхности по уже известной формуле. Рассчитаем периметр:

Подставляем данные в формулу:
Теперь найдем площадь основания:
Зная площадь основания и боковой поверхности, найдем полную площадь пирамиды:

При расчете площади правильной пирамиды стоит не забывать о том, что в основании лежит правильный треугольник и многие элементы этого многогранника равны между собой.

Треугольная пирамида | Найти объем и площадь поверхности (формулы)

Написано

Malcolm McKinsey

11 января 2023 г.

Проверка по фактам

Paul Mazzola

Triangular Pyramid

A Triangular Pyramid IS IS IS IS IS IS IS IS IS IS IS IS ARIMID ARIMID ARIMID . твердое тело – многогранник – с треугольным основанием и тремя треугольными гранями, сходящимися в вершине пирамиды.

Основанием пирамиды может быть любая двухмерная геометрическая форма:

• Треугольник

• Прямоугольник

• квадрат

• Hexagon

• Octagon

.

Так же, как у вас может быть треугольная пирамида, вы также можете иметь прямоугольную пирамиду, пятиугольную пирамиду и т. д.

Как треугольные пирамиды получили свое название

Великие пирамиды Египта в Гизе, например, являются квадратной пирамидой, потому что ее основание (дно) – квадрат. Треугольная пирамида – это пирамида с треугольным основанием.

Triangular pyramid definition

Triangular pyramid faces, edges, and vertices

A triangular pyramid has:

• Triangular base

• 3 triangular faces

• 6 edges

• 4 vertices

Triangular pyramid — грани, ребра и вершины

Правильная треугольная пирамида

Пирамида с равносторонним треугольным основанием – это правильная треугольная пирамида . Если в основании лежит разносторонний или равнобедренный треугольник, то пирамида представляет собой неправильная треугольная пирамида .

Правильные и неправильные треугольные пирамиды

Ни одно правило не требует, чтобы основание треугольной пирамиды было равносторонним треугольником, хотя построение разносторонних или равнобедренных треугольных пирамид намного сложнее, чем построение равносторонней треугольной пирамиды.

Площадь поверхности треугольной пирамиды

Для любого трехмерного тела можно выполнить два измерения площади поверхности: площадь боковой поверхности и площадь поверхности .

Площадь боковой поверхности,  LSA , не включает основание нашей пирамиды. Площадь поверхности пирамиды SA включает основание.

Треугольная пирамида – типы площадей

Площадь поверхности треугольной пирамиды с тремя конгруэнтными видимыми гранями равна площади этих трех треугольных граней плюс площадь треугольного основания.

Формула для расчета площади поверхности включает площадь основания, периметр основания и наклонную высоту любой стороны.

Формула площади поверхности треугольной пирамиды

Эта формула работает, потому что вы добавляете площадь основания к площади всех трех наклонных граней. Периметр дает вам сумму всех трех оснований. Вы умножаете эту сумму на высоту наклона треугольной пирамиды, как если бы у вас был один большой прямоугольник, а затем берете половину этой суммы как площадь трех треугольников.

Как найти площадь поверхности треугольной пирамиды

Предположим, у вас есть эта треугольная пирамида:

Формула площади поверхности треугольной пирамиды

Основанием пирамиды является равносторонний треугольник, так как все три его стороны равны 10 локтей. Чтобы найти площадь основания треугольника, используйте эту формулу для площади равностороннего треугольника со сторонами a :

Для этой конкретной треугольной пирамиды формула работает как:

Теперь мы нашли площадь основания . Мы уже знаем, что периметр основания равен 30 локтей (три стороны равны 9{2}локтей2.

Как вычислить площадь боковой поверхности треугольной пирамиды

Вам, возможно, потребовалось время, чтобы разобраться во всем этом, найти площадь основания, найти периметр, сложить все.

Чтобы найти площадь только  наклонных сторон – площадь боковой поверхности ( LSA ) – нужно сделать намного меньше работы:

Формула площади боковой поверхности для треугольной пирамиды

Только эти формулы работа для обычных пирамид. Если у вас есть неправильная треугольная пирамида, вычислите площадь каждой из четырех граней по отдельности (три наклонных грани и основание) и сложите их вместе.

Объем треугольной пирамиды

Объем — это объем пространства, которое занимает трехмерное тело, поэтому для треугольной пирамиды мы находим, сколько места у нее внутри. Он всегда измеряется в кубических единицах. Хотя пирамида быстро сужается к вершине, вычисления несложны.

Формула объема треугольной пирамиды

В формуле объема треугольной пирамиды A  является площадью основания, а h  является высотой от основания до вершины.

Треугольная пирамида — формула объема

Для нашей пирамиды с основанием 10 локтей и наклонной высотой 14 локтей высота, h , получается 13,07690 1 локтей. Мы уже знаем площадь из наших предыдущих расчетов, поэтому мы можем подставить известные числа, чтобы получить объем в кубических локтях:

Обратите внимание, что с дробью в нашем умножении у нас нет точного десятичного ответа , так что у нас есть приблизительное значение.

Площадь поверхности пирамиды Формула

Пирамида представляет собой трехмерную геометрическую структуру с многоугольным основанием, и все ее треугольные грани сходятся в общей точке, называемой вершиной или вершиной. Реальными примерами пирамид являются пирамиды Египта; крыши; походные палатки и т. д. В зависимости от формы многоугольного основания пирамиды подразделяются на различные типы, такие как треугольные пирамиды, квадратные пирамиды, прямоугольные пирамиды и т. д. Боковые грани или боковые поверхности пирамиды представляют собой треугольники, которые пересекаются в общая точка, называемая вершиной. Высота или высота пирамиды — это перпендикулярное расстояние между вершиной и центром основания, тогда как наклонная высота — это перпендикулярное расстояние между вершиной и основанием боковой поверхности.

 

Площадь поверхности пирамиды

Площадь поверхности пирамиды равна сумме площадей боковых поверхностей или боковых граней и основания пирамиды. Площадь поверхности пирамиды имеет в основном два типа площадей поверхности: площадь боковой поверхности и общую площадь поверхности, и они измеряются в единицах м ² , см ² , дюймы ² , футы ²

Площадь боковой поверхности пирамиды (LSA) = Сумма площадей боковых поверхностей (треугольников) пирамиды

Общая площадь поверхности пирамиды (TSA) = Площадь боковой поверхности пирамиды + Площадь основания

Для определения боковой поверхности пирамиды вычисляют площади боковых граней (треугольников) и результаты складываются, тогда как общая площадь поверхности пирамиды рассчитывается путем сложения площади основания пирамиды и площади боковой поверхности.

 

Площадь поверхности треугольной пирамиды

 

Треугольная пирамида — это пирамида с треугольным основанием, где треугольное основание может быть равносторонним, равнобедренным или скалярным треугольником. Он имеет три боковые (треугольные) грани и треугольное основание.

Мы знаем, что

Общая площадь поверхности пирамиды (TSA) = Площадь боковой поверхности пирамиды + Площадь основания

Площадь боковой поверхности (LSA) = ½ × периметр × высота наклона

Итак , TSA = ½ × периметр × наклонная высота + ½ × основание × высота

Общая площадь поверхности (TSA) треугольной пирамиды = ½ × P × L + ½ BH

, где

P — периметр основания

L — Slant Hight of Pyramid

L — Slant Hight of Pyramid

4 L . — основание треугольника с основанием

h — высота пирамиды

Площадь поверхности квадратной пирамиды

 

Квадратная пирамида — это пирамида с квадратным основанием. Он имеет четыре боковые (треугольные) грани и квадратное основание.

Мы знаем, что

Общая площадь поверхности пирамиды (TSA) = Площадь боковой поверхности пирамиды + Площадь основания

Наклонная высота пирамиды (l) = √[(a/2) ² + h ² ]

LSA = 4 × [½ × a × l] = 2al

Площадь боковой поверхности квадратной пирамиды (LSA)= 2al 

Итак, TSA = 2al + a ²

Общая площадь поверхности квадратной пирамиды (TSA) = 2al + a ²

где,

a сторона квадратного основания

l высота наклона пирамиды

Площадь поверхности прямоугольной пирамиды Он имеет четыре боковые (треугольные) грани и прямоугольное основание.

Мы знаем, что,

Общая площадь поверхности пирамиды (TSA) = Площадь боковой поверхности пирамиды + Площадь основания

Наклонная высота длины грани пирамиды = √[h ² + (l/2) ² ]

Наклонная высота ширины грани пирамиды = √[h ² + (w/2) ² ]

Площадь боковой поверхности прямоугольного пирамида = 2 × {½ × l × √[h ² + (l/2) ² ]} + 2 × {½ × w ×√[h ² + (w/2) ² ]

Итак,

Общая площадь поверхности прямоугольной пирамиды = 2 × {½ × l ×√[h ² + (l/2) ² ]} + 2 × {½ × w ×√[ ч ² + (2 шт. ) ² ] + L × W

, где,

L — длина прямоугольника

W — это ширина прямоугольного основания

H — высокая от пирамида

H — высот пирамид

999444444444. H . пятиугольная пирамида

 

Пятиугольная пирамида — это пирамида с пятиугольным основанием. Он имеет пять боковых (треугольных) граней и пятиугольное основание.

Мы знаем, что

Общая площадь поверхности пирамиды (TSA) = Площадь боковой поверхности пирамиды + Площадь основания

Апофема длины основания = a

Длина стороны основания = s

Наклонная высота пирамиды = l

Площадь пятиугольного основания = 5/2 (a × s)

Теперь ,

LSA = 5 × [½ × основание × высота] = 5/2 × s × l

Площадь боковой поверхности пятиугольной пирамиды = 5/2 (s × l)

Общая площадь поверхности пятиугольная пирамида = 5⁄2 (s × l) + 5⁄2 (a × s)

где,

l is  slant height of the pyramid 

a apothem length of the base

s side length of the base

Surface area of ​​a hexagonal pyramid

 

A hexagonal pyramid is a pyramid having шестиугольное основание. Он имеет шесть боковых (треугольных) граней и шестиугольное основание.

Мы знаем, что

Общая площадь поверхности пирамиды (TSA) = Площадь боковой поверхности пирамиды + Площадь основания

Длина стороны основания = s

Наклонная высота пирамиды = l

Площадь шестиугольного основания = 3√3/2 (s) ²

Теперь, 

LSA = сумма площади боковых поверхностей (треугольников) пирамиды

= 6 × [½ × основание × высота] =3(s × l)

Площадь боковой поверхности шестиугольной пирамиды = 3(s × l)

Общая площадь поверхности шестиугольной пирамиды = 3(s × l) + 3√3/2 (s) ²

где,

s длина стороны основания

l высота наклона пирамиды основания 16 дюймов, а наклонная высота пирамиды 18 дюймов.

Решение:

Дано,

Сторона квадратного основания (а) = 16 дюймов и

Наклонная высота, l = 18 дюймов

Периметр квадратного основания (P) = 4a = 4(16) = 64 дюйма

Площадь боковой поверхности квадратной пирамиды = (½) Pl

LSA = (½ ) × (64) × 18 = 576 кв. дюйм

Теперь общая площадь поверхности = Площадь основания + LSA

= a ² + LSA

= (16) ² + 576 = 832 кв. дюйм

Отсюда площадь поверхности площадь данной пирамиды 832 квадратных дюйма.

Задача 2. Коробка имеет форму треугольной пирамиды, и каждая грань коробки имеет форму равностороннего треугольника. Теперь определите площадь полной поверхности треугольной пирамиды, если длина стороны основания равна 24 см.

Решение:

Данные,

Сторона основания (а) = 24 дюйма,

Мы знаем, что

Общая площадь поверхности пирамиды (TSA) = Площадь основание + Площадь боковых граней

Имеем,

Площадь равностороннего треугольника = √3/4 (a) ²

Отсюда площадь каждой треугольной грани = √3/4 (a) ²

= √3/4 (24) ²

= 249,415 кв. см

Теперь TSA = 249,415 + 3 × (249,415) = 997,66 кв. см

Следовательно, общая площадь поверхности данной пирамиды равна 997,66 кв.см.

Задача 3. Определить площадь боковой поверхности пятиугольной пирамиды, если длина стороны основания равна 10 см, а наклонная высота пирамиды 15 дюймов.

Решение:

Дано,

Сторона пятиугольного основания (а) = 10 дюймов, и

Наклонная высота, l = 15 дюймов

Периметр квадратного основания (P) = 5a = 5(10) = 50 см

Площадь боковой поверхности пятиугольной пирамиды равна,

Площадь боковой поверхности (LSA) = (½) Pl

= ( ½ ) × (50) × 15

= 375 кв.см

Следовательно, площадь боковой поверхности данной пирамиды равна 375 кв.см.

Задача 4. Определить площадь поверхности шестиугольной пирамиды, если длина стороны основания равна 12 дюймов, а наклонная высота пирамиды равна 14 дюймов.

Решение:

Дано,

Сторона шестиугольного основания (а) = 12 дюймов, и

Наклонная высота, l = 14 дюймов

Периметр квадратного основания = 6а (Р) = 6(12) = 72 дюйма

Площадь поверхности пятиугольной пирамиды = Площадь основания + Площадь боковых граней

Площадь боковой поверхности (LSA) = (½) Pl

= (½ ) × (72) × 14 = 504 кв.

No related posts.