Неравенства абсолютного значения
Помните, что абсолютное значение означает расстояние от нуля на числовой прямой. | х | < 4 означает, что x — это число, которое меньше 4 единиц от нуля на числовой прямой (см. рис. 1).
Рисунок 1. Меньше 4 от нуля.
Решения представляют собой числа справа от –4 и слева от 4 и могут быть обозначены как
| х | > 4 означает, что x — это число, которое более чем на 4 единицы от нуля на числовой прямой (см. рис. 2).
Рисунок 2. Больше 4 из 0.
Решения представляют собой числа слева от –4 или справа от 4 и обозначаются как
{ х | x < –4 или x > 4}
| х | < 0 не имеет решений, тогда как | х | > 0 имеет своим решением все действительные числа, кроме 0. | х | > –1 имеет в качестве решения все действительные числа, потому что после взятия абсолютного значения любого числа этот ответ либо равен нулю, либо положителен и всегда будет больше –1.
Ниже приводится общий подход к решению абсолютных неравенств вида
| топор + б | < c или | топор + б | > в
| топор + б | ≤ c или | топор + б | ≥ с
Если c отрицательно,
| топор + б | < c не имеет решений.
| топор + б | ≤ c не имеет решений.
| топор + б | > c имеет в качестве решения все действительные числа.
| топор + б | ≥ c имеет в качестве решения все действительные числа.
Если c = 0,
| топор + б | < 0 не имеет решений.
| топор + б | ≤ 0 имеет решение x + b = 0,
| топор + б | >0 имеет своим решением все действительные числа, кроме решения ах + б = 0.
| топор + б | ≥ 0 имеет своим решением все действительные числа.
Если c положительный,
| топор + б | < c имеет решения, которые решают
ax + b > – c a nd ax + b < c – c < ax + б < в
То есть:
| топор + б | > c имеет решения, которые решают
ax + b < – c или ax + b > c
| топор + б | ≤ c имеет решения, которые решают
– в ≤ ax + б ≤ с
| топор + б | ≥ c имеет решения, которые решают
ax + b ≤ – c или ax + b ≥ c
Пример 1
Решить для x : |3 x – 5| < 12.
Набор решений
Граф набора решений показан на рисунке 3.
Рисунок 3. x больше и меньше .
Пример 2
Решите эту дизъюнктию для x : |5 x + 3| > 2.
Набор решений . Граф набора решений показан на рисунке 4.
Рисунок 4. x меньше –1 или больше .
Пример 3
Решить для x : |2 x + 11| < 0,
Это неравенство не имеет решения.
Пример 4
Решить для x : |2 x + 11| > 0,
Решением являются все действительные числа , кроме для решения 2 x + 11 = 0. Следовательно,
Решение набора . Граф набора решений показан на рисунке 5.
Рисунок 5. Все номера, кроме .
Пример 5
Решите на x : 7|3 x + 2| + 5 > 4.
Во-первых, изолируйте e x нажатие, включающее символ абсолютного значения.
Набор решений состоит из действительных чисел. ( Примечание: Абсолютное значение любого числа всегда равно нулю или положительному значению. Следовательно, абсолютное значение любого числа всегда больше отрицательного значения.) График набора решений показан на рисунке 6.
Рисунок 6. Набор всех чисел.
Решение абсолютных неравенств | Алгебра среднего уровня
Результаты обучения
- Выразите решения неравенств, содержащих абсолютное значение
- Определите решения для абсолютных неравенств, где нет решений
Решение неравенств, содержащих абсолютное значение
Давайте применим то, что вы знаете о решении уравнений, содержащих абсолютное значение, и то, что вы знаете о неравенствах, для решения неравенств, содержащих абсолютное значение. Начнем с простого неравенства.
[латекс]\левый|х\правый|\leq 4[/латекс]
Это неравенство читается как «абсолютное значение x меньше или равно [латекс]4[/латекс]».
Если вас попросят решить для x , вы хотите узнать, какие значения x находятся на расстоянии [latex]4[/latex] единиц или меньше от [latex]0[/latex] на числовой прямой. Вы могли бы начать с размышлений о числовой прямой и о том, какие значения x удовлетворяют этому уравнению.
[латекс]4[/латекс] и [латекс]−4[/латекс] находятся на расстоянии четырех единиц от [латекс]0[/латекс], поэтому они являются решениями. [latex]3[/latex] и [latex]−3[/latex] также являются решениями, поскольку каждое из этих значений меньше [latex]4[/latex] единиц от [latex]0[/latex]. Таковы [латекс]1[/латекс] и [латекс]-1[/латекс], [латекс]0,5[/латекс] и [латекс]-0,5[/латекс] и т. д. — существует бесконечное число значения для x , что удовлетворяет этому неравенству.
На графике этого неравенства будут две замкнутые окружности в точках [латекс]4[/латекс] и [латекс]−4[/латекс]. Расстояние между этими двумя значениями на числовой прямой окрашено в синий цвет, поскольку все эти значения удовлетворяют неравенству.
Решение можно записать следующим образом:
Обозначение неравенства: [латекс]-4\leq x\leq4[/латекс]
Обозначение интервала: [латекс]\лево[-4,4\право][/латекс ]
Ситуация немного отличается, когда знак неравенства стоит «больше» или «больше или равно». Рассмотрим простое неравенство [латекс]\влево|х\вправо|>3[/латекс]. Опять же, вы могли бы подумать о числовой прямой и о том, какие значения числа x больше [latex]3[/latex] единиц от нуля. На этот раз [латекс]3[/латекс] и [латекс]−3[/латекс] не включены в решение, поэтому оба этих значения отмечены незакрашенными кружками. [latex]2[/latex] и [latex]−2[/latex] не являются решениями, потому что они находятся на расстоянии не более чем [latex]3[/latex] единиц от [latex]0[/latex]. Но [латекс]5[/латекс] и [латекс]-5[/латекс] будут работать, как и все значения, расположенные слева от [латекс]-3[/латекс] и справа от [латекс] 3[/латекс]. График будет выглядеть так, как показано ниже.
Решение этого неравенства можно записать следующим образом:
Обозначение неравенства : [латекс]x<−3[/латекс] или [латекс]х>3[/латекс].
Обозначение интервала: [латекс]\влево(-\infty, -3\вправо)\чашка\влево(3,\infty\вправо)[/латекс]
В следующем видео вы увидите примеры того, как решите и выразите решение абсолютных неравенств, включающих как 90 437, так и 90 438, и 90 437 или 90 438 .
Написание решений абсолютных неравенств
Для любого положительного значения a и x, одной переменной или любого алгебраического выражения:
| Абсолютное неравенство | Эквивалентное неравенство | Обозначение интервала |
| [латекс]\влево|{х}\вправо|\ле{а}[/латекс] | [латекс]{-a}\le{x}\le{a}[/латекс] | [латекс]\влево[-а, а\вправо][/латекс] |
| [латекс]\левый| х \right|\lt{a}[/латекс] | [латекс]{-a}\lt{x}\lt{a}[/латекс] | [латекс]\влево(-а, а\вправо)[/латекс] |
| [латекс]\левый| х \право|\ge{ а}[/латекс] | [латекс]{x}\le\text{−a}[/latex] или [латекс]{x}\ge{ a}[/latex] | [латекс]\влево(-\infty,-a\право]\чашка\влево[a,\infty\вправо)[/латекс] |
| [латекс]\левый| х \right|\gt\text{a}[/latex] | [латекс]\displaystyle{x}\lt\text{−a}[/latex] или [латекс]{x}\gt{a}[/latex] | [латекс]\влево(-\infty,-a\вправо)\чашка\влево(a,\infty\вправо)[/латекс] |
Рассмотрим еще несколько примеров неравенств, содержащих абсолютное значение.
В следующем видеоролике вы увидите пример решения многоэтапных абсолютных неравенств с участием ситуаций или .
В следующем видеоролике вы увидите пример решения многоэтапных абсолютных неравенств с участием ситуаций и .
В последнем следующем видеоролике вы увидите пример решения неравенства абсолютного значения, где вам нужно сначала выделить абсолютное значение.
Определите случаи неравенств, содержащих абсолютное значение, которые не имеют решений
Как и в случае с уравнениями, могут быть случаи, когда неравенство не имеет решения.