Распределение нормальное примеры: 6 реальных примеров нормального распределения

alexxlab / / Разное

6 реальных примеров нормального распределения

Редакция Кодкампа

читать 2 мин

Нормальное распределение является наиболее часто используемым распределением вероятностей во всей статистике.

Он имеет следующие свойства:

  • колоколообразный
  • Симметричный
  • Унимодальный – имеет одну «вершину».
  • Среднее и медиана равны; оба расположены в центре распределения
  • Около 68% данных находятся в пределах одного стандартного отклонения от среднего
  • Около 95% данных находятся в пределах двух стандартных отклонений от среднего
  • Около 99,7% данных находятся в пределах трех стандартных отклонений от среднего значения.

В этом руководстве представлены 6 примеров реальных явлений, которые на самом деле следуют нормальному распределению.

Пример 1: Масса тела младенцев при рождении

Хорошо задокументировано, что вес новорожденных при рождении обычно распределяется со средним значением около 7,5 фунтов.

Гистограмма массы тела при рождении новорожденных в США имеет колоколообразную форму, которая обычно имеет нормальное распределение:

Пример 2: Рост мужчин

Распределение роста мужчин в США примерно нормальное со средним значением 70 дюймов и стандартным отклонением 3 дюйма.

Гистограмма роста всех мужчин США имеет форму колокола:

Пример 3: Размеры обуви

Распределение размеров обуви для мужчин в США примерно нормальное распределение со средним размером 10 и стандартным отклонением 1.

Гистограмма размеров обуви всех мужчин США показывает форму колокола с одним пиком в размере 10:

Пример 4: баллы ACT

Распределение баллов ACT для старшеклассников в США обычно распределяется со средним значением 21 и стандартным отклонением около 5.

Гистограмма результатов ACT для всех учащихся средних школ США иллюстрирует это нормальное распределение:

Пример 5: Средний пенсионный возраст игроков НФЛ

Распределение пенсионного возраста для игроков НФЛ обычно распределяется со средним значением 33 года и стандартным отклонением около 2 лет.

Гистограмма этого распределения имеет классический колоколообразный вид:

Пример 6: Артериальное давление

Распределение диастолического артериального давления у мужчин обычно распределяется со средним значением около 80 и стандартным отклонением 20.

Гистограмма распределения артериального давления для всех средних значений показывает нормальное распределение в форме колокола:

Дополнительные ресурсы

В следующих руководствах представлены примеры других распределений вероятностей в реальной жизни:

5 реальных примеров распределения Пуассона
5 реальных примеров биномиального распределения
5 реальных примеров геометрического распределения
5 реальных примеров равномерного распределения

18.5.1. Нормальное распределение

Определение 2. Общим нормальным распределением вероят­ностей непрерывной случайной величины

Х называется рас­пределение с плотностью

Нормальное распределение задается двумя параметрами: А и σ. Согласно определениям математического ожидания и дисперсии (формулы (18.36) и (18.38)), после выполнения соответствующих интегрирований можно вывести, что для нор­мального распределения справедливы формулы

Определение 3. Нормальное распределение с параметрами А = 0 и σ = 1 называется Нормированным; его плотность равна

Рассмотрим функцию нормального распределения как пер­вообразную плотности распределения вероятностей. Для слу­чая нормированного нормального распределения (18.41) она, согласно формуле (18.34), имеет вид

Поскольку функция (18.41) является четной, то неопределен­ный интеграл от нее является нечетной функцией, и потому вместо функции распределения (18.42) используется функция Лапласа (см. п. 17.5)

Функции (18.41) и (18.43) табулированы (см. Приложение).

График плотности нормального распределения (18.40) для разных значений А показан на рис. 18.6.

Определение 4. Модой Мо(Х) называется возможное значе­ние случайной величины X, при котором плотность распреде­ления имеет максимум.

Определение 5. Медианой Ме(Х) называется такое возмож­ное значение случайной величины X, что вертикальная пря­мая Х = Me(X) делит пополам площадь, ограниченную кривой плотности распределения.

Нетрудно видеть, что график плотности нормального рас­пределения симметричен относительно прямой Х = а, и потому и мода и медиана в данном случае совпадают с математичес­ким ожиданием:

Пусть случайная величина

Х задана плотностью нормаль­ного распределения (18.40), тогда вероятность того, что Х при­мет значение на интервале (α, β), согласно формуле (18.33), равна

Преобразование этой формулы путем введения новой перемен­ной интегрирования Z = (х — А)/σ приводит к удобной вычис­лительной формуле:

Где Ф — функция Лапласа, определенная по формуле (18.43).

Пример 3. Случайная величина распределена по нормальному закону с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением, соответственно равными 10 и 5. Найти ве­роятность того, что Х примет значение на интервале (20, 30).

Решение. Воспользуемся формулой (18.44). По условию А = 10, σ = 5, α = 20 и β = 30. Следовательно,

По табл. 2 Приложения находим соответствующие значения функции Лапласа и окончательно получаем

Пример 4. Магазин производит продажу мужских костюмов. По данным статистики, распределение по размерам является нормальным с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением, соответственно равными 48 и 2. Опре­делить процент спроса на 50-й размер при условии разброса значений этой величины в интервале (49, 51).

Решение. По условию задачи А = 48, σ = 2, α = 49, β = 51. Используя формулу (18.44), получаем, что вероятность спроса на 50-й размер в заданном интервале равна

Следовательно, спрос на 50-й размер костюмов составит около 24%, и магазину нужно предусмотреть это в общем объеме закупки.

< Предыдущая   Следующая >

9 реальных примеров нормального распределения – StudiousGuy

Нормальное распределение широко используется для понимания распределения факторов в популяции. Поскольку нормальное распределение так хорошо аппроксимирует многие природные явления, оно превратилось в эталон для многих проблем вероятности.

Нормальное/гауссово распределение представляет собой колоколообразный график, который включает два основных термина – среднее значение и стандартное отклонение. Это симметричное расположение набора данных, в котором большинство значений группируются в среднем, а остальные симметрично сужаются к любому из крайних значений. На этот признак влияют многочисленные генетические факторы и факторы окружающей среды.

 

Центральная предельная теорема

Нормальное распределение следует теории центрального предела, согласно которой на конкретный признак влияют различные независимые факторы. Когда все эти независимые факторы вносят свой вклад в явление, их нормализованная сумма имеет тенденцию давать распределение Гаусса.

Нормальная кривая

Среднее значение распределения определяет положение центра графика, а стандартное отклонение определяет высоту и ширину графика, а общая площадь под нормальной кривой равна 1.

Давайте разберемся с примерами нормального распределения из повседневной жизни.

1. Высота

Рост населения является примером нормального распределения. Большинство людей в конкретной популяции имеют средний рост. Количество людей выше и ниже людей среднего роста почти одинаково, и очень небольшое количество людей либо очень высокие, либо очень низкие. Однако рост не является единственной характеристикой, на рост влияют несколько генетических факторов и факторов окружающей среды. Следовательно, он следует нормальному распределению.

2. Бросание игральной кости

Правильный бросок игральной кости также является хорошим примером нормального распределения. В ходе эксперимента было установлено, что при броске игральной кости 100 раз шансы выпадения «1» составляют 15-18%, а если мы бросаем кости 1000 раз, то шансы выпадения «1» опять же одинаковы. , что в среднем составляет 16,7% (1/6). Если мы бросим два кубика одновременно, то получится 36 возможных комбинаций. Вероятность выпадения «1» (с шестью возможными комбинациями) снова в среднем составляет около 16,7%, то есть (6/36). Чем больше число игральных костей, тем более сложным будет график нормального распределения.

3. Подбрасывание монеты

Подбрасывание монеты — один из старейших способов разрешения споров. Все мы подбрасывали монетку перед матчем или игрой. Воспринимаемая справедливость подбрасывания монеты заключается в том, что она имеет равные шансы получить любой результат. Шансы выпадения решки равны 1/2, то же самое и с решкой. Когда мы складываем оба, это равно единице. Если мы будем подбрасывать монеты несколько раз, сумма вероятностей выпадения орла и решки всегда будет равна 1,9.0003

4. IQ

В этом сценарии растущей конкуренции большинство родителей, как и детей, хотят проанализировать уровень интеллекта. Что ж, IQ определенного населения — это кривая нормального распределения; где IQ большинства людей в популяции находится в пределах нормы, тогда как IQ остального населения находится в отклоненном диапазоне.

5. Технический фондовый рынок

Большинство из нас слышали о росте и падении цен на акции на фондовом рынке.

наши родители или в новостях о падении и росте цен на акции. Эти изменения в логарифмических значениях   курсов Forex, индексов цен и доходности цен на акции часто образуют колоколообразную кривую. Для доходности акций стандартное отклонение часто называют волатильностью. Если доходность распределяется нормально, ожидается, что более 99 процентов доходности попадут в пределы отклонений от среднего значения. Такие характеристики нормального распределения в форме колокола позволяют аналитикам и инвесторам делать статистические выводы об ожидаемой доходности и риске акций.

6. Распределение доходов в экономике

Доход страны находится в руках прочной политики и правительства. От них зависит, как они распределят доход между богатыми и бедными. Все мы прекрасно понимаем тот факт, что население среднего класса немного выше, чем богатое и бедное население. Таким образом, заработная плата населения среднего класса составляет среднее значение кривой нормального распределения.

7. Размер обуви

Задумывались ли вы, что было бы, если бы стеклянная туфелька, оставленная Золушкой в ​​доме принца, подошла другой женщине? В конце концов он женился бы на другой женщине. Это было одно из забавных предположений, с которыми мы все когда-либо сталкивались. Согласно данным, собранным в США, продажи женской обуви по размеру обычно распределяются, потому что физические данные большинства женщин почти одинаковы.

8. Вес при рождении

Нормальная масса тела новорожденного при рождении колеблется от 2,5 до 3,5 кг. Большинство новорожденных имеют нормальный вес при рождении, тогда как лишь у небольшого процента новорожденных вес выше или ниже нормального. Следовательно, вес при рождении также соответствует кривой нормального распределения.

9. Средний балл учащегося

В настоящее время школы рекламируют свои выступления в социальных сетях и на телевидении. Они представляют средний результат своей школы и уговаривают родителей отдать ребенка в эту школу. Школьные власти определяют среднюю успеваемость всех учащихся, и в большинстве случаев она соответствует кривой нормального распределения. Количество среднего умного студента выше, чем у большинства других студентов.

Нормальное распределение — определение, формула, примеры и характеристики

Нормальное распределение или распределение Гаусса относится к распределению вероятностей, при котором значения случайной величины распределены симметрично. Эти значения одинаково распределены слева и справа от центральной тенденции. Таким образом, формируется колоколообразная кривая.

Кроме того, максимальное количество значений близко к среднему; хвост состоит всего из нескольких значений. Эмпирическое правилоЭмпирическое правилоЭмпирическое правило в статистике утверждает, что почти все (95%) наблюдений в нормальном распределении лежат в пределах 3 стандартных отклонений от среднего. К таким функциям вероятности относится и многое другое. Следовательно, 68% значений лежат в пределах одного диапазона стандартных отклонений. 95% наблюдений находятся в пределах двух стандартных отклонений, а 99,7% значений находятся в пределах трех стандартных отклонений.

Содержание
  • Что такое нормальное распределение в статистике?
    • Нормальное распределение Объяснение
    • Характеристики нормального распределения
    • Normal Distribution Curve
    • Normal Distribution Formula
    • Examples
      • Example #1
      • Example #2
    • Uses
    • Frequently Asked Questions (FAQs)
    • Recommended Articles
  • A normal distribution is статистическое явление, представляющее собой симметричную колоколообразную кривую. Большинство значений расположены вблизи среднего значения; также лишь немногие появляются на левом и правом хвостах.
  • Следует эмпирическому правилу или правилу 68-9правило 5-99,7.
  • Здесь среднее значение, медиана и мода равны; среднее значение и стандартное отклонение функции равны 0 и 1 соответственно.
  • Эта математическая функция имеет два ключевых параметра:
    Среднее значение (µ) и стандартное отклонение (σ).

Нормальное распределение Объяснение

Нормальное распределение напоминает асимметричное расположение большинства значений вокруг среднего, так что построенная таким образом кривая выглядит как колокол. Он имеет два ключевых параметра: среднее значение (µ) и стандартное отклонение (σ). Этот вероятностный метод играет решающую роль в расчете доходности активов и принятии решений по стратегии управления рисками. На следующем рисунке показано, что функция статистической вероятности представляет собой колоколообразную кривую. Он получил свое название из-за формы графика, напоминающего колокол. читать далее, что следует эмпирическому правилу: