Рациональное и иррациональное число: Иррациональные числа — урок. Алгебра, 8 класс.

Интересные вопросы

Школа

Новости

Школа

Школа

Новости

Вузы

11. 15 Пусть r — рациональное число, α — иррациональное число. Рациональным или иррациональным является число:
а)   r + α;                 б) α2;                        в) 2α;                        г) r2 — α2?

ответы

а) г + а — иррациональное число; б) а2 — рациональное или иррациональное число; в) 2а — рациональное или иррациональное число; г) г2 — ά2 — рациональное или иррациональное число.

ваш ответ

Можно ввести 4000 cимволов

отправить

дежурный

Нажимая кнопку «отправить», вы принимаете условия  пользовательского соглашения

похожие темы

похожие вопросы 5

10. При каких значениях р уравнение  -х 2 + 6х — 2 = р:
а)    не имеет корней;
б)    имеет один корень; (Подробнее…)

ГДЗМордкович А.Г.Алгебра8 класс

 Совсем я в точных науках не сильна) Кто поможет?) Найдите значения аргумента из промежутка [-2; 5], при которых скорость изменения (Подробнее. ..)

ГДЗ11 классКолмогоров А.Н.Алгебра

Попробуйте провести следующий опыт. Приготовление раствора
сахара и расчёт его массовой доли в растворе.
Отмерьте мерным (Подробнее…)

ГДЗШкола8 классХимияГабриелян О.С.

16.
Расставьте все знаки препинания: укажите цифру(-ы), на месте которой(-ых)
в предложении должна(-ы) стоять запятая(-ые). (Подробнее…)

ГДЗЕГЭРусский языкЦыбулько И.П.

18.
Расставьте все знаки препинания: укажите цифру(-ы), на месте которой(-ых)
в предложении должна(-ы) стоять запятая(-ые). (Подробнее…)

ГДЗЕГЭРусский языкЦыбулько И.

Определение рациональных и иррациональных чисел | Преалгебра |

Модуль 8: Вещественные числа

Результаты обучения

• Определение рациональных чисел из списка чисел
• Определите иррациональные числа из списка чисел

В этой главе мы проверим ваши навыки. Мы еще раз взглянем на типы чисел, с которыми мы работали во всех предыдущих главах. Мы будем работать со свойствами чисел, которые помогут вам улучшить ваше чувство числа. И мы попрактикуемся в их использовании так, как будем использовать при решении уравнений и других алгебраических процедурах.

Мы уже описали числа как счетные числа, целые числа и целые числа. Вы помните, в чем разница между этими типами чисел?

Рациональные числа

Рациональные числа

pq\frac{p}{q}qp​

ppp

qqq

q≠oq\ne oq=o

Все дроби, как положительные, так и отрицательные, являются рациональными числами. Вот несколько примеров:

45,−78,134 и−203\frac{4}{5},-\frac{7}{8},\frac{13}{4},\text{and}-\frac {20}{3}54​, −87​, 413​ и −320​

Каждый числитель и каждый знаменатель являются целыми числами.

Нам нужно просмотреть все числа, которые мы использовали до сих пор, и убедиться, что они рациональны. Определение рациональных чисел говорит нам, что все дроби рациональны. Теперь мы рассмотрим счетные числа, целые числа, целые числа и десятичные дроби, чтобы убедиться, что они рациональны.

Являются ли целые числа рациональными числами? Чтобы решить, является ли целое число рациональным, мы пытаемся записать его как отношение двух целых чисел. Самый простой способ сделать это — записать дробь со знаменателем один.

3=31−8=−810=013=\frac{3}{1}-8=\frac{-8}{1}0=\frac{0}{1}3=13​−8= 1−8​0=10​

Поскольку любое целое число можно представить как отношение двух целых чисел, все целые числа являются рациональными числами. Помните, что все счетные числа и все целые числа тоже целые, а значит, они тоже рациональны.

Как насчет десятичных знаков? Являются ли они рациональными? Давайте рассмотрим несколько, чтобы увидеть, можем ли мы записать каждое из них как отношение двух целых чисел. Мы уже видели, что целые числа являются рациональными числами. Целое число

-8-8-8

-8,0-8,0-8,0

Подумайте о десятичной дроби

7.37.37.3

7.37.37.3

73107\frac{3}{10}7103​

7310\frac{73}{10}1073​

7.37.37.3

737373

101010

В общем случае любое десятичное число, которое заканчивается после нескольких цифр, таких как

7.37.37.3

−1,2684–1,2684–1,2684

пример

1.

−15-15−15

2.

6.816.816.81

3.

−367-3\frac{ 6}{7}−376​

Решение:

2.
	6.816.816.81
Запишите десятичную дробь как смешанное число.	6811006\фрак{81}{100}610081​
Затем преобразуйте его в неправильную дробь.	681100\фрак{681}{100}100681​

попробуй

Давайте посмотрим на десятичную форму чисел, которые, как мы знаем, являются рациональными. Мы видели, что каждое целое число является рациональным числом, так как

a=a1a=\frac{a}{1}a=1a​

aaa

Целое число 

−2,−1,0,1,2,3–2,–1,0,1,2,3–2,–1,0,1,2,3

Десятичное число

− 2.0,−1.0,0.0,1.0,2.0,3.0–2.0,–1.0,0.0,1.0,2.0,3.0–2.0,–1.0,0. 0,1.0,2.0,3.0

Эти десятичные числа останавливаются.

Мы также видели, что каждая дробь является рациональным числом. Посмотрите на десятичную форму дробей, которые мы только что рассмотрели.

Отношение целых чисел

45,78,134,203\frac{4}{5},\frac{7}{8},\frac{13}{4},\frac{20}{3}54​,87​ ,413​,320​

Десятичные формы

0,8,−0,875,3,25,−6,666…,−6,66‾0,8,−0,875,3,25,−6,666\ldots,−6.\overline{66}0,8,−0,875,3,25,−6,666…,−6,66

Эти десятичные дроби либо останавливаются, либо повторяются.

О чем говорят вам эти примеры? Каждое рациональное число можно записать как в виде отношения целых чисел, так и в виде десятичной дроби, которая либо останавливается, либо повторяется. В таблице ниже показаны числа, которые мы рассмотрели, выраженные в виде отношения целых чисел и десятичных дробей.

Иррациональные числа

π\pi π

π=3,141592654…….\pi =\text{3,141592654…….}π=3,141592654…….

Точно так же десятичные представления квадратных корней чисел, которые не идеальные квадраты никогда не останавливаются и никогда не повторяются. Например,

не повторяться нельзя записать как отношение целых чисел. Мы называем такие числа иррациональными числами.

Иррациональное число

Давайте обобщим метод, который мы можем использовать, чтобы определить, является ли число рациональным или иррациональным.

Если десятичная форма числа

• останавливается или повторяется, число является рациональным.
• не останавливается и не повторяется, число иррациональное.

пример

1.

0,583‾0,58\overline{3}0,583

2.

0,4750,4750,475

3.

3 .605551275…3,605551275\точки 3,605551275…

Показать решение

Решение:

1.

0,583‾0,58\overline{3}0,583

Полоса над

333

0,583‾0,58\overline{3}0,583

2.

0.4750.4750.475

Это десятичное число заканчивается после

555

3.

3.605551275…3.605551275\dots3.605551275…

Многоточие

(… )(\dots)(…)

попробуй

Давайте теперь подумаем о квадратных корнях. Квадратные корни из полных квадратов всегда являются целыми числами, поэтому они рациональны. Но десятичные формы квадратных корней чисел, которые не являются идеальными квадратами, никогда не останавливаются и никогда не повторяются, поэтому эти квадратные корни иррациональны. 9{2}=4972=49

444444

Это означает, что

попробуй

В следующем видео мы покажем больше примеров того, как определить, является ли число иррациональным или рациональным.

Лицензии и атрибуты

Контент с лицензией CC, совместно используемый ранее

• Реальные номера. Автор : Джеймс Соуза (Mathispower4u.com). Лицензия : CC BY: Атрибуция

Лицензионный контент CC, Конкретная атрибуция

• Преалгебра. Предоставлено : OpenStax. Лицензия : CC BY: Attribution . Условия лицензии : Скачать бесплатно с http://cnx.org/contents/[email protected]

Предыдущий

Следующий

Рациональные и иррациональные числа с примерами и рисунками

Рациональные числа

Определение : Может быть выражено как частное двух целых чисел (т.е. дроби) со знаменателем, отличным от нуля.

Многие люди удивляются, узнав, что повторяющаяся десятичная дробь является рациональным числом. На приведенной ниже диаграмме Венна показаны примеры всех различных типов рациональных и иррациональных чисел, включая целые числа, целые числа, повторяющиеся десятичные дроби и многое другое.

Набор действительных чисел Диаграмма Венна

Примеры рациональных чисел

5	Вы можете выразить 5 как $$ \frac{5}{1} $$, что является частным целого числа 5 и 1.
2	Вы можете представить число 2 в виде $$ \frac{2}{1} $$, которое представляет собой частное целых чисел 2 и 1.
$$ \sqrt{9} $$	Рационально, потому что вы можете упростить квадратный корень до 3, что является частным целым числом 3 и 1.
$$ .\overline{11} $$	Все повторяющиеся десятичные дроби рациональны. Немного сложнее показать почему, поэтому я сделаю это в другом месте.
$$ 0,9 $$	Рациональна, поскольку может быть выражена как $$ \frac{9}{10} $$ (Все конечные десятичные дроби также являются рациональными числами).
$$ 0,73 $$	рационально, потому что его можно выразить как $$ \frac{73}{100} $$.
$$ 1,5 $$	рационально, потому что его можно выразить как $$ \frac{3}{2} $$.

Определение: Не может быть выражено как частное двух целых чисел (т.е. дроби), знаменатель которых не равен нулю.

Примеры иррациональных чисел

$$ \sqrt{7} $$	В отличие от $$ \sqrt{9} $$, вы не можете упростить $$ \sqrt{7} $$ .
$$ \frac{5}{0} $$	Если дробь имеет доминатор нуля, то она иррациональна
$$ \sqrt{5} $$	В отличие от $$ \sqrt{9} $$, вы не можете упростить $$ \sqrt{5} $$ .
$$ \пи $$	$$ \pi $$, вероятно, самое известное иррациональное число!
$$ \frac{ \sqrt{2}}{3} $$	Хотя это число может быть выражено в виде дроби, нам нужно нечто большее, чтобы число было рациональным. Числитель и знаменатель дроби должны быть целыми числами, а $$\sqrt{2} $$ не может быть выражено целым числом.
$. 2020020002 …$$	Эта неконечная десятичная дробь не повторяется. Так что, как и $$\pi$$, оно постоянно изменяется и не может быть представлено в виде частного двух целых чисел.

Проблема 1

Является ли число $$ -12 $$ рациональным или иррациональным?

Рационально, потому что его можно записать как $$ -\frac{12}{1}$$, частное двух целых чисел.

Проблема 2

Является ли число $$ \sqrt{ 25} $$ рациональным или иррациональным?

Рационально, потому что вы можете упростить $$ \sqrt{25} $$ до целого числа $$ 5 $$, которое, конечно, можно записать как $$ \frac{5}{1} $$, частное двух целых чисел.

Проблема 3

Является ли число $$ 0,0

00

9… $$ рациональным или иррациональным?

Это иррационально, многоточие отмечает $$ \color{red}{…} $$ в конце числа $$ \boxed{ 0,0

00

9 \color{red}{…}} $$, означает, что схема увеличения количества нулей продолжает увеличиваться, и это число никогда не заканчивается и никогда не повторяется.

Проблема 4

Является ли число $$ 0.\overline{201} $$ рациональным или иррациональным?

Это рационально. Все повторяющиеся десятичные дроби рациональны (доказательство см. внизу страницы).

Проблема 5

Является ли число $$ \frac{ \sqrt{3}}{4} $$ рациональным или иррациональным?

Это иррационально. Вы не можете упростить $$ \sqrt{3} $$, что означает, что мы можем , а не выразить это число как частное двух целых чисел.

Проблема 6

Является ли число $$ \frac{ \sqrt{9}}{25} $$ рационально или иррационально?

В отличие от последней задачи, это является рациональным. Вы можете упростить $$ \sqrt{9} \text{, а также } \sqrt{25} $$. Если вы упростите эти квадратные корни, то вы получите $$ \frac{3}{5} $$, что удовлетворяет нашему определению рационального числа (т.е. может быть выражено как частное двух целых чисел).

Проблема 7

Является ли число $$ \frac{ \pi}{\pi} $$ рациональным или иррациональным?

Это рационально, потому что дробь можно упростить до отношения двух целых чисел (оба числа равны 1).

$ \frac{ \pi}{\pi } = \ гидроразрыв { \ отмена {\ пи} } { \ отмена {\ пи} } = \фракция{1}{1}=1 $

Проблема 8

Является ли число $$ \frac{ \sqrt{2}}{ \sqrt{2} } $$ рациональным или иррациональным?

Это рационально, потому что вы можете упростить дробь, чтобы она представляла собой частное двух чисел (оба являются числом 1).

$ \frac{ \sqrt{2}}{\sqrt{2} } = \ гидроразрыв { \ отмена {\ sqrt {2}} } { \ отмена {\ sqrt {2}}} = \фракция{1}{1}=1 $

Доказательство того, что повторяющиеся десятичные дроби являются рациональными числами

$$ x = .