Равенства на кругах эйлера: Множества и операции над ними. Решение задач с помощью кругов Эйлера

Содержание

Множества и операции над ними. Решение задач с помощью кругов Эйлера

Современный математический язык более краток и заменяет разговорный язык специальными буквенными и символьными выражениями. Понятия и обозначения языка теории множеств составляет фундамент современного математического языка. Всякий объект, входящий во множество, называют его элементом. Например, если множество – дни недели, то понедельник элемент этого множества.

Блок 1. Множества и операции над ними.

Презентация. (Слайд 2) Вопросы к слайду 2:

  1. Перечислите элементы множеств:
    а) арабских цифр; (0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9)
    б) натуральных чисел; (1; 2; 3; 4;…)
    в) целых чисел (…-2; -1; 0; 1; 2;…).
  2. Как называется множество цветов, стоящих в вазе? (букет).
  3. Перечислите элементы множества планет солнечной системы. (Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун).
  4. Как называется множество фруктовых деревьев и кустарников растущих у дома? (сад).
  5. Приведите примеры множеств, элементами которого являются геометрические фигуры.
  6. Какие названия применяют для обозначения множеств животных? (млекопитающие, земноводные, хладнокровные и т.п.).
  7. Перечислите элементы множества видов спорта (футбол, теннис, волейбол и т. п.).
  8. Какие названия применяют для обозначения множеств кораблей? (флотилия, эскадра).

Задайте сами множество описанием.

(Слайд 3) Множества обычно обозначают большими буквами латинского алфавита: А, В,  С, Д, и т. д. Некоторые числовые множества столь часто встречающиеся в различных  разделах математики, что для них ввели специальные обозначения:

N – множество натуральных чисел;

Z – множество целых чисел;

Q – множество рациональных чисел;

I – множество иррациональных чисел;

R – множество действительных чисел.

(Слайд 4) Чтобы не забыть, что перечисляемые элементы объединены вместе в  некоторое множество, такое перечисление производят внутри фигурных скобок {,}.

Например, цифры десятичной системы счисления задаются множеством

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Если множество состоит из чисел, то при их перечислении иногда удобнее использовать не запятую, а знак препинания “ ; ” – точку с запятой. Так как “перечислительную” запятую можно спутать с “десятичной” запятой.

Элементы множества можно перечислять в произвольном порядке. От изменения порядка   перечисления элементов само множество не меняется. Например, множество гласных букв русского алфавита задается {А, Е, Ё, И, О, У, Ы, Э, Ю, Я} или {Э, Е, А, Ё, Я, О, Ы, И, У, Ю}.

Эти множества состоят из одних и тех же элементов, их называют равными, а для записи равенства двух множеств употребляют знак “ = ”.

{А, Е, Ё, И, О, У, Ы, Э, Ю, Я} = {Э, Е, А, Ё, Я, О, Ы, И, У, Ю}.

Чтобы задать

конечное множество, можно просто перечислить все его элементы.

Например, запись А = {2; 3; 5; 7; 11; 13} означает, что множество А состоит из первых шести простых чисел.

Однако задавать множество путем перечисления его элементов удобно только в том случае, когда их число невелико. Если число элементов множества достаточно велико или множество бесконечно, то явное перечисление элементов такого множества невозможно.

Способы задания, описания множеств весьма разнообразны. Например, множество всех квадратов натуральных чисел можно записать {1; 4; 9; 16; 25; …}, а множество всех чисел, которые больше 5 и меньше 12 записать {х | 5< х <12} или (5; 12). В примерах использован оборот “ … и так далее” и символ “ | ” внутри фигурных скобок заменяющий комбинацию слов “ … таких, что …”. (Множество всех х таких, что 5< х <12).

Описав словами некоторое множество, нельзя гарантировать, что найдется хотя бы один объект, отвечающий этому описанию. Предположим, о множестве С сказано, что оно состоит из чисел, делящихся на 6, но не делящихся на 3. Таких чисел просто нет. В подобных случаях множество называют

пустым и обозначают символом O, в фигурные скобки его не ставят, так как никакого перечисления элементов пустого множества не происходит.

(Слайд 5) Задание 1. [3]

1) Задайте множество цифр, с помощью которых записывается число:

а) 3254; б) 8797; в) 11000; г) 555555.

2) Задайте множество А описанием:

а) А = {1, 3, 5, 7, 9}; б) А = {– 2, – 1, 0, 1, 2}; в) А = {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}; г) А = {0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; …}; д) А = {1/2, 2/3, 3/4, 4/5, … }.

3) Задание с выбором ответа. Даны множества: М = {5,4,6}, Р = {4,5,6}, Т = {5,6,7},

S = {4, 6}. Какое из утверждений неверно?

а) М = Р. б) Р S. в) М Т. г) Р = Т.

(Слайд 6) Словесные обороты, как “элемент х принадлежит множеству А” или “х – элемент множества А”, достаточно длинны и не всегда удобны в записи решений конкретных задач.

В математике эти выражения кратко записывают так: х А, где – знак принадлежности.

Например, 5N, лучше читать не буквально, а в “литературном переводе”, “5 – число натуральное”. Наряду со знаком принадлежит используют и его “отрицание” – знак (знак не принадлежит). Запись 0 N означает, что нуль не натуральное число.

(Слайд 7) Задание 2. [3; 1]

1. Запишите на символическом языке следующее утверждение:

а) число 10 – натуральное; б) число – 7 не является натуральным; в) число – 100 является целым; г) число 2,5 – не целое.

2. Верно ли, что:

а) – 5 N; б) -5 Z; в) 2,(45) Q?

3. Верно ли, что:

а) 0,7 {х | х2 – 1 < 0}; б) – 7 {х | х2 + 16х ? – 64}?

(Слайд 8) Возьмем множество А = {2; 4; 6} и В = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}. Каждый элемент множества А принадлежит также и множеству В. В таких случаях говорят, что множество А является подмножеством множества В, и пишут: А В.

Знак “” называют знаком включения.

Соотношения между множествами А и В можно проиллюстрировать на рисунке с помощью так называемых кругов Эйлера (Леонард Эйлер российский ученый — математик, механик, физик и астроном.). Множество изображается в виде некоторого круга, а его элементы изображаются точками этого круга (рис 1).

Рис. 1

Пустое множество считают подмножеством любого множества. А В. Будем считать, что все элементы рассматриваемых множеств  взяты из некоторого одного и того же “универсального” множества К. Это множество будем изображать квадратом, а рассматриваемые множества А, В, С, … – подмножества множества К – кругами (или другими полученными из них фигурами, которые выделим штриховкой).

(Слайд 9) Задание 3. [3; 1]

1. Даны множества: А = {10}, В = {10, 15}, С = {5, 10, 15}, D = {5, 10, 15, 20}.

Поставьте вместо … знак включения ( или ) так, чтобы получилось верное утверждение: а) А… D; б) А…В; в) С…А; г) С…В.

2. Даны три множества А = {1, 2, 3,…, 37}, В = {2, 4, 6, 8, …}, С = {4, 8, 12, 16,…,36}.

Верно ли, что: а) А В; б) В С; в) С А; г) С В?

(Слайд 10) Из данных множеств с помощью специальных операций можно образовывать новые множества:

1) Пересечением множества А и В называют множество, состоящие из всех общих 11элементов множеств А и В, т. е. из всех элементов, которые принадлежат и множеству А, и множеству В (рис. 2). Пересечение множеств А и В обозначают так: АВ. Это определение можно записать и так: АВ = {х | х А и х В}. Иными словами, пересечение двух множеств – это их общая часть. Например, если А = {3; 9; 12} и В = {1; 3; 5; 7; 9; 11}, то АВ = {3; 9}. Если А = {10; 20; …90; 100} и В = {6; 12; 18;…}, то АВ = {30; 60; 90}. Можно рассматривать пересечение не только двух, но трех, четырех и т. д. множеств. Пересечение множеств В, С и D обозначают так: ВСD.

Рис. 2

(Слайд 11) Задание 4. [3; 1]

1. Даны множества: А = {2; 3; 8}, В = {2; 3; 8; 11}, С = {5; 11}.

Найдите: а) АВ; б) АС; в) СВ.

2. Даны множества: А – множества всех натуральных чисел, кратных 10, В = {1; 2; 3;…, 41}.

Найдите АВ.

3. Даны множества: А = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, f}, C = {c, e, g, k}.

Найдите (АВ) С.

(Слайд 12)

2) Объединением множеств А и В называют множество, состоящее из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств – или множеству А, или множеству В (рис. 3). Объединение множеств А и В обозначают так: АUВ.

Рис. 3

Это определение можно записать и так: АUВ = {х | х А или х В}. Например, если А = {3; 9; 12} и В = {1; 3; 5; 7; 9; 11}, то АUВ = {1; 3; 5; 7; 9; 11; 12}. Можно рассматривать объединение не только двух, но трех, четырех и т.д. множеств. Объединение множеств В, С и D обозначают так: ВUСUD.

(Слайд 13) Задание 5. [3; 1]

1. Даны множества: А = {2; 3; 8}, В = {2; 3; 8; 11}, С = {5; 11}.

Найдите: а) АUВ; б) АUС; в) СUВ.

2. Даны множества: А = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, f}, C = {c, e, g, k}.

Найдите (АUВ)UС.

3. Даны три числовых промежутка: А = (7,7; 11), В = [; ], С = (; 13].

Найдите (АUВ)UС.

Продолжение статьи

Приложение

Презентация

- 2. .


Практическая работа № 2. Равенство множеств. 

Подмножество. Надмножество

Вопросы к работе

  1. Какие множества называют равными?

  2. Когда два конечных множества будут равными?

  3. Когда множество А называется подмножеством множества В? Как множество В в этом случае называется по отношению к множеству А?

  4. Какие подмножества множества А называются тривиальными?

  5. Что такое “длина множества”?

  6. Сколько подмножеств можно создать для множества длины n?

Образцы решения заданий

Пример 1. Пусть А – множество двузначных натуральных чисел, В – множество четных двузначных чисел. Верно ли, что В есть подмножество множества А? 

Ответ: Каждое четное двузначное число содержится в множестве А. Следовательно, В  А.

Пример 2. Пусть А = {1; 2; 3}, В = {x | x  N , х < 4}. Верно ли, что  А = В.

Ответ. Множество В состоит из натуральных чисел, меньших 4. Каждый элемент из А входит в В. Следовательно,  А  В. Но натуральных чисел, меньших 4, кроме чисел 1,2,3, нет. Следовательно, каждый элемент из В входит в А. Значит, В  А. По определению, А = В.

Пример. 3. Дано множество А четных натуральных чисел и множество В натуральных чисел, кратных 4. В каком отношении включения находятся множества А и В? Ответ проиллюстрировать диаграммой Эйлера-Венна. 

Решение. Каждое натуральное число, кратное 4, является четным числом. Значит, B  А. Но не каждое четное число обязано делится на 4. Например, 6 не делится 4, т.е. А  В. Имеем диаграмму:  

  

                                     

1. Найдите все подмножества множества А = {1; 2;  3; 4}.

2. Установите, в каком отношении включения находятся множества А и В. Ответ проиллюстрируйте с помощью диаграммы Эйлера-Венна:

а)  А – множество натуральных четных чисел,

     В – множество натуральных чисел, кратных 7;

б)  А – множество натуральных четных чисел,

     В – множество натуральных нечетных чисел.

3. Дано множество А = {72; 56; 513; 117; 324}. Составьте подмножества множества А, состоящие из чисел, которые:

а) делятся на 4;

б) делятся на 9;

в) делятся на 5;

г) делятся на 10.

4. Установите, в каком отношении включения находятся множества решений неравенств от одного неизвестного x:

а) х  <  12  и  х  < 10;

б) х  <  12  и   x  > 15;

 в) x  <  12  и  x  > 10;        

 г)  x  < 12 и  –3x  >  – 36.

5. Изобразите с помощью диаграмм Эйлера-Венна отношение включения между множествами А и В, если:

а) А – множество натуральных четных чисел,

    В – множество натуральных чисел, кратных 3;

б) А – множество квадратов,

    В – множество прямоугольников;

в) А – множество квадратов,

    В – множество прямоугольных треугольников;

г) А – множество квадратов,

    В – множество прямоугольников с равными сторонами.

6. Приведите примеры множеств X,Y,Z,  чтобы отношение включения между ними были такими, как на диаграммах  а), б), с).

                     

                                       Индивидуальноее задание

  1. Даны пары множеств А и В. Укажите отношение включения между ними.

1)  А – множество городов северного полушария,

В – множество городов, находящихся в Азии;

2)  А – множество городов Российской Федерации,

В – Москва, Новосибирск, Владивосток, Мурманск, Грозный, Сочи, Барнаул.      

3)  А – множество городов Франции,

     В – множество городов Европы;

4)  А – множество рек Татарстана,

     В – множество рек Поволжья;

5)  А – множество озер Смоленщины,

     В – множество водоемов Смоленской области;

6)  А – множество административных центров Мордовии,

      В – множество городов Поволжья.  

7)   А – множество рек Сибири,

       В – множество рек СНГ;

8)   А – множество озер Канады,

       В – множество озер Северного полушария;

9)   А – множество городов Африки,

      В – множество населенных пунктов Южного полушария;

10)  А – множество городов Японии,

       В – множество городов Северного полушария;

  1. Среди следующих пар множеств найдите пары равных множеств:
  1. X = {3; 5; 7; 9},

Y – множество нечетных натуральных чисел, больших 2, но меньших 10;

  1. X = {4; 6; 8},

Y – множество четных натуральных чисел, больших 1, но меньших 9;

3)  X –  множество плоских четырехугольников,

Y – множество плоских фигур, ограниченных замкнутой ломаной из  четырех отрезков;

4)  X –   множество двузначных чисел, кратных 9,

Y – множество двузначных чисел, сумма цифр которых равна 9;

5)  X – множество сумм двух нечетных натуральных чисел,

Y – множество четных натуральных чисел;

6)   X –  множество точек плоскости, равноудаленных от точек М и К,

Y – множество точек прямой, проходящей через середину отрезка МК  перпендикулярно этому отрезку;

7) X – множество точек, лежащих на окружности с центром C и радиусом  5,

Y – множество точек, расстояние которых от точки  C равно 5;

8) X – множество точек, лежащих внутри круга, ограниченных   окружностью с центром C и радиуса 5,

Y – множество точек, расстояние которых от точки C меньше, чем 5;

9)   X – множество точек, лежащих вне круга, ограниченного окружностью с центром C и радиуса 5,

Y – множество точек, расстояние которых от точки C больше, чем 5;

10)  X – множество натуральных чисел, кратных 10,

Y – множество натуральных чисел, кратных 2 и 5 одновременно.

Задания для самоконтроля

1. Верно ли, что

а) {1; 2}  {{1; 2; 3}; {1; 3}; 1; 2};

б) {1; 2}  {{1; 2; 3}; {1; 3}; 1; 2};

в) {1; 3}  {{1; 2; 3}; {1; 3}; 1; 2};

г) {1; 3}  {{1; 2; 3}; {1; 3}; 1; 2}?

2. Равны ли следующие множества:

а) A = {2; 4; 6}, B = {6; 4; 2};

б) A = {1; 2; 3}, B = {I; II; III};

в) A = {{1; 2}, {2; 3}}, B = {2; 3; 1};

г) A = {, , , }, B = {12, 22, 32, 42}, где A  N, B  N.

3. Существуют ли такое множество, которое имеет 80 подмножеств?

4. Изобразите диаграмму Эйлера-Венна взаимодействия множеств N, Z, Q, R.

5. В чем ошибочность следующих формулировок:

а) Если элементы множества А принадлежат другому множеству В, то множество А включается в множество В;

б)  Если два множества содержат одни и те же элементы, то они равны.

Как исправить эти формулировки?

В кругах Эйлера | SKVOT

Работа креатора — это не только генерить идеи. Но и вовремя включить критическое мышление — чтобы найти в концепциях противоречия и отбросить то, что не выживет. 

Инструменты есть не только для креативного, но и для логического мышления. И круги Эйлера — как раз из этого списка. Рассказываем, что это, и на примере креативных проектах показываем принцип работы кругов.

Рисовать, чтобы думать

Круги Эйлера — это шесть простых геометрических схем, которые помогают разобраться в соотношении понятий. Математик Леонард Эйлер придумал их еще в XVIII веке и предположил, что этот инструмент упростит размышления любому, кто мыслит.

Эйлер предложил шесть типов отношений: равнозначность, подчинение, соподчинение, пересечение, противоречие, противоположность. Вот как они объясняются с помощью окружностей: 

По сути, круги Эйлера — способ визуализировать отношения между любыми объектами, группами объектов и даже абстрактными понятиями. Например, чтобы искать точки пересечения между любителями «Звездных войн», жителями швейцарских горных сел и посетителями музыкального фестиваля Sziget.

Чем больше понятий, тем сложнее представить их связи мысленно, цифрами, списками — и тем эффективнее делать схему. Например, в сериале «Теория большого взрыва» Говард при помощи кругов Эйлера объясняет Леонарду, почему ему стоит забить на поиски идеальной женщины:

Круги Эйлера используют для решения логических задач уже в средней школе. Но схемы универсальны — и действительно пригодятся любому, кто размышляет.

Нарисуй, распечатай, запомни круги Эйлера — и используй, если нужно:

  • — Разработать стратегию и проверять, как идея/проект с ней соотносятся.
  • — Анализировать контент конкурентов, кампании каннских победителей, рекламу Superbowl — и понять ключевые схемы.
  • — Выбрать tone of voice, героя истории, стиль вижуала, маскот для бренда, месседж для слогана.
  •  Найти противоречия и логические ямы в брифе, сценарии, посте для соцсетей.
  • — Освоить новый скил, но с направлением определиться трудно.
  •  

Эйлер на кейсах

Самый надежный способ разобраться в механизме системы, которую придумал Эйлер, — найти примеры в готовых кейсах. Увидишь, как работает равнозначность в стратегии бренда или пересечение в поисках героя для рекламного ролика, — поймешь, как использовать этот подход в своих целях.

#1. Равнозначность

У Эйлера этот тип взаимодействия понятий выглядит как два круга, которые полностью совпадают. Одно равно другому, как ни назови. Стивен Хокинг = автор книги «Краткая история времени». Или «Пираты Карибского моря: на странных берегах» = самый дорогой фильм в истории (пока).

Один рекламный ролик не сможет за минуту убедить пользователей, что пиво = Guinness, мыло = Dove, а детское масло = Johnson’s Baby. Нужна эффективная (часто многолетняя) маркетинговая стратегия, которая приведет к этому убеждению. 

В идеале название бренда будет однозначно ассоциироваться с целой индустрией или продуктом. Слышишь «мебель для самостоятельной сборки» — сразу понимаешь, что это IKEA. Видишь пошаговый гайд по сборке — точно IKEA. А с помощью этих прочных связей бренд может говорить на самые разные темы: экологичность, ресайклинг, домашний уют и социальная ответственность.

#2. Подчинение

Допустим, общее понятие — это большой круг. Внутри него находится другой, маленький, и это — частность большого. Зимних олимпийских видов спорта много, и бобслей, например, один из них.

Такой тип отношений — мощный инструмент для рекламного месседжа. Особенно если его целью оказывается инклюзия: включение незаметной, неожиданной, уязвимой группы в сообщество. Nike на протяжении нескольких лет топит за спорт как удовольствие, независимо от телосложения, опыта, целей и происхождения. И на уровне продукта, и на уровне рекламных кампаний.

Коллекцию Victory Swim разработали для спортсменок-мусульманок — и Nike промит ее идеальным роликом, где женщины в хиджабах участвуют в соревнованиях, серфят, занимаются дайвингом и учат дочек плавать. И становятся частью сообщества Nike:

#3. Соподчинение

Графический ключ к этому соотношению — большой круг, внутри которого помещаются несколько маленьких. Маленькие понятия на равных и полностью включены в какое-то общее. Например, актеры, получившие Оскар, — Хоакин Феникс, Гэри Олдман, Леонардо Ди Каприо.

Если поместишь ключевое понятие в не самую очевидную область и будешь искать соподчинение в ней, выйдет крутой экспириенс. Например, очевидно было с началом пандемии находить параллели в прошлом — в частности, с эпидемией «испанки».

Креаторы латвийского агентства Nord DDB во время весеннего локдауна разработали серию принтов о бедах, которые мы уже пережили (а значит, есть все шансы пережить и жесткий карантин). Среди самых страшных событий прошлого: шлепанцы на носки и кроксы с платформой. Реально страшно:

#4. Пересечение

Эта диаграмма Эйлера — самая культовая и попсовая: ее растащили в коуч-пособия и мемы. Суть в том, что объем одного понятия частично совпадает с объемом другого — у них есть что-то общее. 

Это крутой визуальный инструмент для поиска инсайта. Если представить бренд как исходный круг и строить вокруг него пересечения с ценностями и потребностями ЦА, попадешь в область, где совпадение будет максимальным.

Например, у Starbucks есть фишка: писать имя посетителя на кофейном стаканчике. Этот факт даже не про кофе, он — маленькая деталь в общем объеме информации о бренде. Но среди посетителей кофеен точно есть те, кто хочет сказать свое имя — и услышать его от бариста. Значит, нужно найти героя, который только в Starbucks может назвать себя как угодно, а не так, как написано в паспорте.

#5. Противоречие

В отличие от противоположности, противоречие держится на конфликте. Круг разделен пополам. Одна его часть утверждает, что не является второй частью. И наоборот.

На этом принципе строятся самые остроумные рекламные войны между брендами: Audi vs BMW, Pepsi vs Coca Cola, Old Spice vs Axe. Чаще это противостояние скрытое — борьба стратегий, разделение целевых аудиторий, — но иногда начинается прямой троллинг конкурента. 

Рекламная борьба между McDonald’s и Burger King — самая долгая и зрелищная. Клоун, маскот Мака, шифруется и приходит в Burger King за воппером. Потом Burger King показывает, что весь год снимал рекламу вопперов, заслоняя ими бигмаки. Конкуренты меряются вкусом и размером бургеров, близостью ресторанов уже больше 20 лет.

А зарывают топор войны только ради социально важных поступков, но и тогда это соревнование в благородстве. В начале осеннего локдауна французский Burger King опубликовал в медиа призыв покупать в McDonald’s и других сетях фастфуда — чтобы индустрия выжила. Конечно, воппер будет лучшим решением, но и бигмак сойдет.

#6. Противоположность

Понятия с противоположными характеристиками Эйлер представляет как две части круга, между которыми остается свободное пространство — это все остальное. Проза и поэзия — две противоположности, а между ними: верлибр и ритмическая проза, например.

Противоположности — это мирные антонимы, которые не вступают в конфликт и не строят свою идентичность на отрицании друг друга. Это холодное, а это горячее. Это промышленное, а это DIY.

Wunderman Thompson построили на противоположности крутую кампанию для West Australian Ballet. В качестве промо новой постановки «Дракула» на стенах общественных туалетов разместили необычные принты. Изображение вампира в зеркале не отражается — постер пустой. Тут Дракула есть — там нет:

Логический вывод

В системе Эйлера — шесть простых геометрических схем, которые нарисует от руки даже ребенок. По отдельности каждая из них определяет только одно взаимодействие. Но если берешься за большую тему, в твоей схеме могут сочетаться сразу несколько типов соотношений.

Например, целевая аудитория бренда — подростки от 13 до 18. Среди них есть те, кто использует инстаграм, и те, кто использует тикток. Тиктокеры и инста-teens входят в целевую по принципу соподчинения. Но есть небольшая группа, которая зависает в обеих соцсетях — и между собой они взаимодействуют по принципу пересечения.

Тестить мир на противоречия и связи — суперполезно и суперувлекательно. Хорошие новости: ты не сможешь остановиться. Плохие новости: ты не сможешь остановиться.

Помогите пожалуйста!!! очень надо! 1.Доказать или опровергнуть равенство множеств и сделать интерпретацию с помощью диаграмм Эйлера – Венна (результирующее множество выделить красным цветом) асоциальная сеть

понедельник, 24 января 2011

Помогите пожалуйста!!! очень надо!
1.Доказать или опровергнуть равенство множеств и сделать интерпретацию с помощью диаграмм Эйлера – Венна (результирующее множество выделить красным цветом)
(С П А)\В=В\(С П А), П - пересечение
С диаграммами я разобралась, а доказать не могу. .. Плиз!!!

2. В урне 5 белых, 1 черный и 3 красных шара. Наудачу выбирается 3 шара. Найти вероятность того, что: а) не появится ни одного белого шара; б) из выбранных 2 шара белые

3. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. Оба они, начиная с первого, поочередно стреляют, но делают не более, чем по два выстрела, причем каждый стрелок стреляет второй раз только при условии, что при первом сделанном им выстреле он промахнулся. Найти вероятность того, что в мишени ровно две пробоины

4. Игральную кость бросают 720 раз. Какова вероятность того, что при этом три очка выпало: а) 135 раз; б) не менее 140 раз?

НАДО ОЧЕНЬ СРОЧНО!!! ЗАВТРА УТРОМ СДАВАТЬ! СПАСИБО ЗАРАНЕЕ

@темы: Дискретная математика

  • ← Предыдущая запись
  • Следующая запись →

Этот пост будет безвозвратно удален:


Вы уверены в том, что действительно хотите это сделать?

Да Нет

Множества: элементы и подмножества.

Пересечение и объединение множеств

Множество — это совокупность любых объектов. Множества обозначают большими буквами латинского алфавита — от  A  до  Z.

Основные числовые множества: множество натуральных чисел и множество целых чисел, всегда обозначаются одними и теми же буквами:

N — множество натуральных чисел,

Z — множество целых чисел.

Элемент множества — это любой объект, входящий в состав множества. Принадлежность объекта к множеству обозначается с помощью знака  .  Запись

5∈Z

читается так:  5 принадлежит множеству  Z  или  5 – элемент множества  Z.

Множества делятся на конечные и бесконечные. Конечное множество — множество, содержащее определённое (конечное) количество элементов. Бесконечное множество — множество, содержащее бесконечно много элементов. К бесконечным множествам можно отнести множества натуральных и целых чисел.

Для определения множества используются фигурные скобки, в которых через запятую перечисляются элементы. Например, запись

L = {2, 4, 6, 8}

означает, что множество  L  состоит из четырёх чётных чисел.

Термин множество употребляется независимо от того, сколько элементов оно содержит. Множества не содержащие ни одного элемента называются пустыми.

Подмножество

Подмножество — это множество, все элементы которого, являются частью другого множества.

Визуально продемонстрировать отношение множества и входящего в него подмножества можно с помощью кругов Эйлера. Круги Эйлера — это геометрические схемы, помогающие визуализировать отношения различных объектов, в нашем случае, множеств.

Рассмотрим два множества:

L = {2, 4, 6, 8}   и   M = {2, 4, 6, 8, 10, 12}.

Каждый элемент множества  L  принадлежит и множеству  M,  значит, множество  L  является подмножеством множества  M.  Такое соотношение множеств обозначают знаком  :

LM.

Запись  LM  читается так:  множество  L  является подмножеством множества  M.

Множества, состоящие из одних и тех же элементов, независимо от их порядка, называются  равными  и обозначаются знаком  =.

Рассмотрим два множества:

L = {2, 4, 6}   и   M = {4, 6, 2}.

Так как оба множества состоят из одних и тех же элементов, то  L = M.

Пересечение и объединение множеств

Пересечение двух множеств — это совокупность элементов, принадлежащих каждому из этих множеств, то есть их общая часть. Пересечение обозначается знаком  .

Например, если

L = {1, 3, 7, 11}   и   M = {3, 11, 17, 19},  то   LM = {3, 11}.

Запись  LM  читается так:  пересечение множеств  L  и  M.

Из данного примера следует, что пересечением множеств называется множество, которое содержит только те элементы, которые встречаются во всех пересекающихся множествах.

Объединением двух множеств называется множество, содержащее все элементы исходных множеств в единственном экземпляре, то есть если один и тот же элемент встречается в обоих множествах, то в новое множество этот элемент будет включён только один раз. Объединение обозначается знаком  .

Например, если

L = {1, 3, 7, 11}   и   M = {3, 11, 17, 19},

то   LM = {1, 3, 7, 11, 17, 19}.

Запись  LM  читается так: объединение множеств  L  и  M.

При объединении равных множеств объединение будет равно любому из данных множеств:

если  L = M,   то   LM = L   и   LM = M.

Интуитивное понимание формулы Эйлера - лучшее объяснение

Личность Эйлера кажется непонятной:

Возникает из более общей формулы:

Yowza - мы связываем мнимую экспоненту с синусом и косинусом! И как-то включение пи дает -1? Может ли это быть интуитивно понятным?

Не согласно математику 1800-х Бенджамину Пирсу:

Совершенно парадоксально; мы не можем этого понять, и мы не знаем, что это означает, но мы доказали это, и поэтому мы знаем, что это должна быть истина.

Аргх, от такого отношения у меня закипает кровь! Формулы - это не магические заклинания, которые нужно запоминать: мы должны, должны, должны найти понимание. Вот мой:

Формула Эйлера описывает два эквивалентных способа передвижения по кругу.

Вот и все? Это потрясающее уравнение вращается вокруг? Да, и мы можем понять это, построив несколько аналогий:

  • Начиная с числа 1, смотрите умножение как преобразование, изменяющее число: $ 1 \ cdot e ^ {i \ pi} $
  • Регулярный экспоненциальный рост непрерывно увеличивается 1 с некоторой скоростью в течение некоторого периода времени; воображаемый экспоненциальный рост непрерывно вращается на 1 в течение некоторого периода времени
  • Увеличение на единицу времени "пи" означает движение пи радиан по окружности
  • Следовательно, $ e ^ {i \ pi} $ означает начало с 1 и вращение числа пи (на полпути по кругу), чтобы добраться до -1

Это общий вид, давайте углубимся в детали. {i \ pi} = -1 $, спросите их о i в i -й степени. Если они не могут это продумать, формула Эйлера по-прежнему остается для них волшебным заклинанием.

Обновление: Во время написания я подумал, что видео может помочь более четко объяснить идеи:

Что такое cos (x) + i * sin (x)

Знак равенства перегружен. Иногда мы имеем в виду «установить одно на другое» (например, x = 3), а другие - «эти две вещи описывают одну и ту же концепцию» (например, $ \ sqrt {-1} = i $).

Формула

Эйлера является последней: она дает две формулы, объясняющие, как двигаться по кругу. Если мы рассмотрим круговое движение с помощью триггера и переместим x радиан:

  • cos (x) - координата x (расстояние по горизонтали)
  • sin (x) - координата y (расстояние по вертикали)

Выписка

- это умный способ объединить координаты x и y в одно число. Аналогия «комплексные числа двумерны» помогает нам интерпретировать одно комплексное число как положение на круге.

Когда мы устанавливаем x равным $ \ pi $, мы перемещаем единицы $ \ pi $ по внешней стороне единичной окружности. Поскольку общая окружность равна $ 2 \ pi $, старый добрый $ \ pi $ находится на полпути, что дает нам -1.

Neato: Правая часть формулы Эйлера ($ \ cos (x) + i \ sin (x) $) описывает круговое движение с мнимыми числами. Теперь давайте разберемся, как это решает сторона уравнения e .

Что такое мнимый рост?

Объединить координаты x и y в комплексное число сложно, но возможно.{\ ln (3) \ cdot 4} = 81 доллара США

Вместо того, чтобы видеть числа сами по себе, вы можете думать о них как о чем-то, что нужно «вырасти». Действительные числа, такие как 3, дают процентную ставку ln (3) = 1,1, и это то, что e «собирает» по мере своего развития, непрерывно увеличиваясь.

Регулярный рост прост: он продолжает «подталкивать» число в том же, реальном направлении, в котором оно шло. 3 × 3 толкает в исходном направлении, делая его в 3 раза больше (9).

Воображаемый рост - это другое дело: «проценты», которые мы зарабатываем, идут в другом направлении! Это как реактивный двигатель, который привязали на бок - вместо того, чтобы идти вперед, мы начинаем толкать под углом 90 градусов.

Хорошая особенность постоянного ортогонального (перпендикулярного) толчка заключается в том, что он не ускоряет и не замедляет вас - он вращает вас! Если взять любое число и умножить его на i , его величина не изменится, а только направление, которое оно указывает.

Интуитивно, вот как я вижу непрерывную воображаемую скорость роста : «Когда я расту, не толкайте меня вперед или назад в том направлении, в котором я уже иду. Вместо этого вращайте меня».

Но разве мы не должны вращаться быстрее и быстрее?

Мне тоже было интересно.{\ ln (2) x} $, что означает мгновенный рост со скоростью ln (2) в течение «x» секунд.

И эй - если бы наша скорость роста была вдвое быстрее, 2ln (2) vs ln (2), это выглядело бы так же, как и рост вдвое дольше (2x vs x). Магия e позволяет нам поменять местами скорость и время; 2 секунды на ln (2) - это такой же рост, как 1 секунда на 2ln (2).

Теперь представьте, что у нас есть некая чисто воображаемая скорость роста (Ri), которая вращает нас, пока мы не достигнем i, то есть на 90 градусов вверх. Что произойдет, если мы удвоим эту скорость до 2Ri, свернем ли мы с круга?

Нет! Наличие скорости 2Ri означает, что мы просто вращаемся в два раза быстрее или, альтернативно, вращаемся со скоростью R вдвое дольше, но мы остаемся на круге.i $), мы просто умножаем наш неявный темп роста на i. Таким образом, вместо того, чтобы расти на обычном уровне ln (3), мы растем на ln (3) * i.

Верхняя часть экспоненты изменяет неявную скорость роста нижней части.

The Nitty Gritty Details

Рассмотрим подробнее. Помните это определение e :

Эта сумма $ \ frac {100 \%} {n} $ представляет процентную долю, которую мы заработали за каждый микроскопический период. Мы предположили, что процентная ставка составляла 100% в реальном измерении - но что, если бы она была 100% в воображаемом направлении?

Теперь наш недавно сформированный интерес прибавляется к нам в 90-градусном направлении.Удивительно, но это не меняет нашу длину - это сложная концепция, потому что кажется, что получается треугольник, в котором гипотенуза должна быть больше. Мы имеем дело с пределом, и дополнительное расстояние находится в пределах указанной нами погрешности. Это то, чем я хочу заняться в другой день, но поверьте мне на слово: непрерывный перпендикулярный рост будет вращать вас. Это сердце синуса и косинуса, где ваше изменение перпендикулярно вашему текущему положению, и вы двигаетесь по кругу.

Мы применяем и единиц роста бесконечно малыми шагами, каждая из которых подталкивает нас под углом 90 градусов.Нет вращения «все быстрее и быстрее» - вместо этого мы ползем по периметру на расстояние | i | = 1 (величина i).

И привет - расстояние, пройденное по кругу, составляет угол в радианах! Мы нашли другой способ описать круговое движение!

Чтобы получить круговое движение: Непрерывно меняйте, вращая на угол 90 градусов (так называемая мнимая скорость роста). i $

Это сложно - это не в нашем стандартном формате.Но помните,

Нам нужен начальный рост в 3 раза в конце периода или мгновенная скорость ln (3). Но появляется i и меняет скорость ln (3) на «i * ln (3)»:

Мы, , думали, что мы собираемся преобразовывать с постоянной скоростью ln (3), что немного быстрее, чем 100% непрерывный рост, так как e составляет около 2,718. Но нет, и вращали нас: теперь мы трансформируемся с воображаемой скоростью, что означает, что мы просто вращаемся.i $, каков мгновенный темп роста, представленный и в качестве базы?

грн. Обычно мы делаем ln (x), чтобы получить скорость роста, необходимую для достижения x в конце 1 единицы времени. Но за мнимую ставку? Нам нужно это закончить.

Чтобы начать с 1 и вырасти до и , нам нужно начать вращение с самого начала. Как быстро? Итак, нам нужно получить 90 градусов (пи / 2 радиана) за 1 единицу времени. Итак, наша ставка $ i \ frac {\ pi} {2} $. Помните, что наша скорость должна быть воображаемой, поскольку мы вращаемся, а не растем! Обычный старый $ \ frac {\ pi} {2} $ равен примерно 1.{i \ frac {\ pi} {2}} $.

Уф. Это описывает i как базу. Как насчет экспоненты?

Ну, other i говорит нам изменить нашу ставку - да, та ставка, которую мы так долго выясняли! Поэтому вместо того, чтобы вращаться со скоростью $ i \ frac {\ pi} {2} $, что означает основание и , мы преобразуем скорость в:

Отмените i и сделайте рост снова реальным! Мы изменили нашу ставку и поставили себя на отрицательные числа.я

Двойная мнимая экспонента? Если вы настаиваете. Во-первых, мы знаем, какими будут наши темпы роста в скобках:

Получаем отрицательную (сокращающуюся) скорость роста -pi / 2. И теперь мы снова изменим этот коэффициент на i :

А теперь у нас отрицательное вращение! Мы ходим по кругу со скоростью $ - \ frac {\ pi} {2} $ в единицу времени. 1 $).1 единица времени дает нам поворот на $ - \ frac {\ pi} {2} $ радиан (-90 градусов) или -i!

И, на всякий случай, если мы возведем в квадрат этот сумасшедший результат:

Это «просто» удвоенное вращение: 2 - обычное число, поэтому удваивает нашу скорость вращения до полного -180 градусов за единицу времени. Или вы можете рассматривать это как применение поворота на -90 градусов дважды подряд.

На первый взгляд, это действительно странные экспоненты. Но с нашими аналогиями мы можем принять их спокойно.

Комплексный рост

У нас может быть реальный и воображаемый рост одновременно: реальная часть масштабирует нас, а мнимая часть вращает нас вокруг:

Сложная скорость роста, такая как (a + bi), представляет собой смесь реального и воображаемого роста. Действительная часть a означает «рост на 100% за a секунд», а мнимая часть b означает «вращение на b секунд». Помните, что вращения не получают преимущества от сложения, поскольку вы продолжаете «толкать» в другом направлении - вращение складывается линейно. {2,3 + 0,93i} $.

Почему это полезно?

Формула Эйлера дает нам другой способ описания движения по окружности. Но мы уже могли сделать это с помощью синуса и косинуса - что в этом особенного?

Все дело в перспективе. Синус и косинус описывают движение в виде сетки , отображая горизонтальные и вертикальные координаты.

В формуле

Эйлера используются полярные координаты - какой у вас угол и расстояние? Опять же, это два способа описать движение:

  • Сеть: пройдите 3 единицы на восток и 4 единицы на север
  • Полярные координаты: Пройдите 5 единиц под углом 53.{ix} $ можно преобразовать в синус и косинус, мы можем переписать формулы в триггерах как вариации на е, что очень удобно (не нужно запоминать sin (a + b), вы можете вывести его - подробнее в другой день) . И прекрасно, что каждое число, действительное или комплексное, является вариацией е.

    Но полезность, полезность: наиболее важным результатом является осознание того, что непонятные уравнения могут стать интуитивно понятными с помощью правильных аналогий. Не позволяйте красивым уравнениям, таким как формула Эйлера, оставаться волшебным заклинанием - опирайтесь на известные вам аналогии, чтобы понять суть уравнения.

    Счастливая математика.

    Приложение

    Скринкаст прошел весело, и отзывы, безусловно, приветствуются. Я думаю, что это помогает выдвигать идеи, и просмотр статьи помог мне найти пробелы в моей интуиции.

    Артикулы:

    Другие сообщения этой серии

    1. Наглядное, интуитивно понятное руководство по мнимым числам
    2. Интуитивная арифметика с комплексными числами
    3. Понимание того, почему работает комплексное умножение
    4. Интуитивное руководство по углам, градусам и радианам
    5. Интуитивное понимание формулы Эйлера
    6. Интерактивное руководство по преобразованию Фурье
    7. Интуитивное руководство по свертке
    8. Интуитивное понимание синусоидальных волн
    9. Интуитивное руководство по линейной алгебре
    10. Интуиция программиста для умножения матриц
    11. Мнимое умножение vs. Мнимые экспоненты
    12. Интуитивное руководство по гиперболическим функциям

    Идентичность Эйлера: «Самое красивое уравнение»

    Тождество Эйлера - это равенство, обнаруженное в математике, которое сравнивают с сонетом Шекспира и описывают как «самое красивое уравнение». Это частный случай фундаментального уравнения сложной арифметики, называемого формулой Эйлера, которую покойный великий физик Ричард Фейнман назвал в своих лекциях «нашей жемчужиной» и «самой замечательной формулой в математике».

    В интервью BBC профессор Дэвид Перси из Института математики и его приложений сказал, что «Идентичность Эйлера» была «настоящей классикой, и вы не можете сделать ничего лучше, чем это… На это просто взглянуть, но, тем не менее, он невероятно глубок. включает пять важнейших математических констант ».

    Идентичность Эйлера записывается просто как: e + 1 = 0

    Пять констант:

    • Число 0.
    • Число 1.
    • Число π , иррациональное число. (с бесконечными цифрами), то есть отношение длины окружности к ее диаметру.Это примерно 3,14159…
    • Число e , тоже иррациональное число. Это основа натуральных логарифмов, которая естественным образом возникает в результате изучения сложных процентов и исчисления. Число e пронизывает математику, появляясь, казалось бы, из ниоткуда в огромном количестве важных уравнений. Это примерно 2,71828….
    • Число i , определяемое как квадратный корень из отрицательной единицы: √ (-1). Самое фундаментальное из мнимых чисел, названное так потому, что на самом деле никакое число не может быть умножено само на себя, чтобы получить отрицательное число (и, следовательно, отрицательные числа не имеют реальных квадратных корней).Но в математике есть много ситуаций, когда нужно извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Таким образом, буква и используется как своего рода подставка для обозначения мест, где это было сделано.

    Продуктивный математик

    Леонард Эйлер был математиком 18-го века, родившимся в Швейцарии, и разработал множество концепций, которые являются неотъемлемой частью современной математики. Большую часть своей карьеры он провел в Санкт-Петербурге, Россия. По словам У.С. Военно-морская академия (USNA), опубликовано 886 статей и книг. Большая часть его работ пришлась на последние два десятилетия его жизни, когда он был полностью слеп. Работы было так много, что Петербургская Академия продолжала посмертно публиковать его работы более 30 лет.

    Важный вклад Эйлера включает формулу Эйлера и теорему Эйлера, которые могут означать разные вещи в зависимости от контекста. Согласно USNA, в механике существуют «углы Эйлера (для определения ориентации твердого тела), теорема Эйлера (о том, что каждое вращение имеет ось), уравнения Эйлера для движения жидкостей и уравнение Эйлера-Лагранжа (которое исходит из вариационного исчисления)."

    Умножение комплексных чисел

    Идентичность Эйлера естественным образом проистекает из взаимодействия комплексных чисел, которые представляют собой числа, состоящие из двух частей: действительного числа и мнимого числа; например, 4 + 3 i . Комплексные числа появляются во множестве такие приложения, как волновая механика (исследование в рамках квантовой механики) и разработка схем, использующих переменный ток (обычная практика в электротехнике). Кроме того, комплексные числа (и их родственники, гиперкомплексные числа) обладают свойством, которое делает их особенно полезно для изучения компьютерной графики, робототехники, навигации, динамики полета и орбитальной механики: их умножение заставляет их вращаться.Это свойство поможет нам понять причину тождества Эйлера.

    В приведенном ниже примере пять комплексных чисел нанесены на комплексную плоскость и вместе образуют «форму дома». Комплексная плоскость похожа на числовую прямую, за исключением того, что она двумерна. Горизонтальное направление представляет действительные числа, а вертикальная ось представляет собой мнимые числа. Каждое комплексное число в форме домика умножается на комплексное число 4 + 3 i и строится заново (зеленая стрелка). [Связано: что такое комплексные числа?]

    Как видно, умножение на 4 + 3 i приводит к тому, что форма дома расширяется на (увеличивается по площади и удаляется от начала координат 0 + 0 i на на столько же) и , поворачивая (наклоняясь на некоторый угол). Чтобы показать, что это именно эффект умножения на 4 + 3i, также показан эффект пятикратного увеличения дома и поворота на 36,9 градусов (красная стрелка). Производится точно такой же эффект.

    Тот же эффект получается при умножении вершин фигуры на 4 + 3i, повороте фигуры на 36,9 градуса и расширении ее в пять раз. (Изображение предоставлено Робертом Дж. Кулманом)

    Различные степени расширения и вращения могут производить эффект умножения на любое число на комплексной плоскости.

    Полярная форма комплексных чисел

    Величина вращения и расширения определяется свойствами, присущими числу 4 + 3 i, , которое, как показано на рисунке ниже, находится в пяти единицах от начала координат ( r = 5) и составляет угол 36. 9 градусов с горизонтальной осью ( φ = 36,9 °). Эти измерения используются в так называемой полярной форме комплексного числа ( re ) в отличие от нормальной прямоугольной формы ( a + bi ).

    Число 4 + 3i находится на расстоянии пяти единиц от начала координат и образует угол 36,9 градуса с горизонтальной осью. (Изображение предоставлено Робертом Дж. Кулманом)

    Полярная форма требует, чтобы φ было измерено в радианах .Один радиан (1 рад ) составляет приблизительно 57,3 градуса; это мера угла, образующегося при наложении радиуса круга на его длину. Мера π радиан охватывает половину окружности; мера 2 π радиан охватывает полный круг.

    Угловая мера в один радиан образуется, когда радиус окружности наматывается на его окружность. Полукруг равен π радиан, а полный круг равен 2π радиан. (Изображение предоставлено Робертом Дж. Coolman)

    Угловая мера для 4 + 3 i составляет 0,644 радиана (36,9 ° = 0,644 рад ), что означает, что полярная форма 4 + 3 i равна 5 e i 0,644 . Меры для r и φ также могут быть определены для каждой из точек формы дома, и еще один способ достижения эффекта расширения / вращения при умножении на 4 + 3 i состоит в умножении каждого r на пять и прибавьте 36,9 градуса (или 0,644 рад ) к каждому φ .Из этой демонстрации мы видим, что когда комплексные числа умножаются, расстояния умножаются, а углы складываются. Это происходит из-за свойства, присущего показателям степени, которое можно показать алгебраически.

    Использование полярной формы комплексных чисел, чтобы показать, почему расстояния умножаются, а углы складываются. (Изображение предоставлено Робертом Дж. Кулманом)

    С установленной полярной формой комплексных чисел вопрос идентичности Эйлера является просто частным случаем a + bi для a = -1 и b = 0 . Следовательно, для полярной формы относительно , это составляет r = 1 и φ = π (поскольку π рад = 180 °).

    Идентификация Эйлера - это частный случай a + bi для a = -1 и b = 0 и reiφ для r = 1 и φ = π. (Изображение предоставлено Робертом Дж. Кулманом)

    Получение полярной формы

    Хотя тождество Эйлера следует из полярной формы комплексных чисел, невозможно получить полярную форму (в частности, спонтанное появление числа e ) без исчисление.

    Общий случай комплексного числа в прямоугольной (a + bi) и полярной (reiφ) форме. (Изображение предоставлено Робертом Дж. Кулманом)

    Начнем с прямоугольной формы комплексного числа:

    a + bi

    Из диаграммы и тригонометрии мы можем сделать следующие замены:

    ( r · cos φ ) + ( r · sin φ ) i

    Отсюда мы можем вывести r :

    r · (cos φ + i · sin φ )

    Иногда «cos φ + i · sin φ » обозначается как cis φ , что является сокращением от « c osine плюс i maginary s ine.

    r · cis φ

    Функция cis φ оказывается равной e . Это то, что невозможно показать без исчисления. Два вывода показаны ниже:

    Два вывода для cisφ = eiφ. Оба используют какую-то форму исчисления. (Изображение предоставлено Робертом Дж. Кулманом)

    Таким образом, уравнение r · цис φ записано в стандартной полярной форме r · e .

    Дополнительные ресурсы

    Формула Эйлера: полное руководство

    В мире комплексных чисел, интегрируя тригонометрические выражения, мы, вероятно, встретим так называемую формулу Эйлера .

    Названное в честь легендарного математика Леонарда Эйлера, это мощное уравнение заслуживает более внимательного изучения - чтобы мы могли использовать его в полной мере.

    Мы рассмотрим, как формула Эйлера позволяет нам выразить комплексные числа как экспоненту , и исследуем различные способы, которыми ее можно относительно легко вычислить. {ix} $ обычно предпочтительнее, чем нотация $ \ operatorname {cis} $.x = \ sin x + i \ cos x \] где:

    • Правое выражение можно представить как комплексное число единичное с углом $ x $.
    • Левое выражение можно представить как комплексное число в 1 радиан, возведенное в $ x $.

    И поскольку возведение единичного комплексного числа в степень можно представить как повторное умножение (то есть сложение углов в данном случае), формулу Эйлера можно истолковать как два разных способа бега по единичной окружности, чтобы получить в той же точке.

    Выводы

    Формула Эйлера может быть установлена ​​как минимум тремя способами. Первый вывод основан на степенном ряду , где экспоненциальные, синусоидальные и косинусные функции раскрываются в степенные ряды, чтобы сделать вывод, что формула действительно верна.

    Второй вывод формулы Эйлера основан на исчислении , в котором обе части уравнения рассматриваются как функции и соответственно дифференцируются. Затем это приводит к идентификации общего свойства, которое можно использовать, чтобы показать, что обе функции действительно равны.

    Еще один вывод формулы Эйлера включает использование полярных координат в комплексной плоскости, через которые впоследствии находятся значения $ r $ и $ \ theta $. Фактически, вы можете догадаться, что это за значения, просто взглянув на саму формулу!

    Выведение 1: степенной ряд

    Один из наиболее интуитивных выводов формулы Эйлера включает использование степенного ряда . Он состоит в расширении степенного ряда экспоненты, синуса и косинуса - чтобы окончательно заключить, что равенство выполняется.{ix} = i f_1 (x) \] Аналогичным образом дифференцирование $ f_2 $ также дает: \ [f_ {2} '(x) = - \ sin x + i \ cos x = i f_2 (x) \] В других словами, обе функции удовлетворяют дифференциальному уравнению $ f '(x) = if (x) $. Теперь рассмотрим функцию $ \ frac {f_1} {f_2} $, которая хорошо определена для всех $ x $ (поскольку $ f_2 (x) = \ cos x + i \ sin x $ соответствует точкам на единичной окружности , которые никогда не равны нулю). 2} \\ & = 0 \ end {align *} И поскольку производная здесь равна $ 0 $, это означает, что функция $ \ frac {f_1} {f_2} $ должно быть константа для начала.{ix}} {\ cos x + i \ sin x} = 1 \], которая после перемещения $ \ cos x + i \ sin x $ вправо становится известной формулой, которую мы искали.

    Выведение 3: полярные координаты

    Еще одно оригинальное доказательство формулы Эйлера включает рассмотрение экспонент как чисел, или, более конкретно, как комплексных чисел с полярными координатами .

    Действительно, мы уже знаем, что все ненулевые комплексные числа могут быть выражены в полярных координатах , уникальным способом.{ix} = r (\ cos \ theta + i \ sin \ theta) \], где $ \ theta $ - его главный угол от положительной вещественной оси (например, $ 0 \ le \ theta <2 \ pi $ ), а $ r $ - его радиус (при $ r> 0 $). Мы не делаем никаких предположений относительно значений $ r $ и $ \ theta $, за исключением того факта, что они являются функциями $ x $ (который может содержать или не содержать $ x $ в качестве переменной). Они будут определены в ходе доказательства.

    (Однако мы точно знаем, что когда $ x = 0 $, левая часть равна $ 1 $, что означает, что $ r $ и $ \ theta $ удовлетворяют начальным условиям из $ r (0) = 1 $ и $ \ theta (0) = 0 $ соответственно.{ix} $, чтобы получить: \ [ir (\ cos \ theta + i \ sin \ theta) = (\ cos \ theta + i \ sin \ theta) \ frac {dr} {dx} + r (- \ sin \ theta + i \ cos \ theta) \ frac {d \ theta} {dx} \] Оказавшись там, распределение $ i $ в левой части дает: \ [r (i \ cos \ theta- \ sin \ theta) = (\ cos \ theta + i \ sin \ theta) \ frac {dr} {dx} + r (- \ sin \ theta + i \ cos \ theta) \ frac {d \ theta} {dx} \] Приравнивая мнимой и действительной части , соответственно, мы получаем: \ [ir \ cos \ theta = i \ sin \ theta \ frac {dr} {dx} + ir \ cos \ theta \ frac {d \ theta} {dx} \] и \ [-r \ sin \ theta = \ cos \ theta \ frac {dr} {dx} -r \ sin \ theta \ frac {d \ theta} {dx} \] Здесь мы имеем система двух уравнений и двух неизвестных, где $ dr / dx $ и $ d \ theta / dx $ - переменные. 2 \ theta = 1 $, возникает более простое уравнение: \ [r = r \ beta \] И поскольку $ r> 0 $ для всех $ x $, это означает, что $ \ beta $ - которое мы установили равным $ d \ theta / dx $ - равно 1 $.

    Оказавшись там, подставив этот результат обратно в (I) и (II) и выполнив некоторую отмену, мы получим: \ begin {align *} 0 & = (\ sin \ theta) \ alpha \\ 0 & = (\ cos \ theta) \ alpha \ end {align *}, что подразумевает, что $ \ alpha $ - который мы установили равным $ \ frac {dr} {dx} $ - должен быть равен $ 0 $.

    Из того факта, что $ dr / dx = 0 $, мы можем сделать вывод, что $ r $ должна быть константой .{ix} & = r (\ cos \ theta + i \ sin \ theta) \\ & = \ cos x + i \ sin x \ end {align *}, что, как и ожидалось, в точности соответствует формуле Эйлера для действительного числа $ x $.

    Приложения

    Будучи одним из самых важных уравнений в математике, формула Эйлера определенно имеет немало интересных приложений в различных областях. К ним, среди прочего, относятся:

    • Знаменитая личность Эйлера
    • Экспоненциальная форма комплексных чисел
    • Альтернативные определения тригонометрических и гиперболических функций
    • Обобщение экспоненциальных и логарифмических функций к комплексным числам
    • Альтернативные доказательства теоремы де Муавра и тригонометрические аддитивные тождества

    Тождество Эйлера

    Тождество Эйлера часто считается самым красивым уравнением в математике.{i \ pi} + 1 = 0 $

    , где показаны пять наиболее важных констант в математике. Это:

    • Аддитивная идентичность $ 0 $
    • Единство $ 1 $
    • Константа Пи $ \ pi $ (отношение длины окружности к ее диаметру)
    • Основание натурального логарифма $ e $
    • Мнимая единица $ i $

    Среди них представлены три типа чисел : целые числа, иррациональные числа и мнимые числа. {i \ pi} = -1 \] является общим в контексте тригонометрической единичной окружности в комплексной плоскости: она соответствует точке на единичной окружности, угол которой относительно положительной действительной оси равен $ \ pi $.

    Комплексные числа в экспоненциальной форме

    К этому моменту мы уже знаем, что комплексное число $ z $ может быть выражено в декартовых координатах как $ x + iy $, где $ x $ и $ y $ соответственно являются действительными часть и мнимая часть $ z $.

    Действительно, то же комплексное число может быть выражено в полярных координатах как $ r (\ cos \ theta + i \ sin \ theta) $, где $ r $ - величина расстояния до начала координат, а $ \ theta $ - его угол относительно положительной вещественной оси.2} \\ [4px] \ theta & = \ operatorname {atan2} (y, x) \ end {align *} (где $ \ operatorname {atan2} (y, x) $ - функция арктангенса с двумя аргументами с $ \ operatorname {atan2} (y, x) = \ arctan (\ frac {y} {x}) $ всякий раз, когда $ x> 0 $. )

    И наоборот, для перехода от $ (r, \ theta) $ к $ (x, y) $, мы используем формулы: \ begin {align *} x & = r \ cos \ theta \\ [4px] y & = r \ sin \ theta \ end {align *} Экспоненциальная форма Комплексные числа также упрощают умножение комплексных чисел на - так же, как прямоугольные координаты упрощают сложение.{z_2} $.

    Если бы мы использовали вместо этого прямоугольную нотацию $ x + iy $, то же деление потребовало бы умножения на комплексное сопряжение в числителе и знаменателе. С полярными координатами ситуация была бы такой же (разве что хуже).

    Во всяком случае, экспоненциальная форма , несомненно, упрощает понимание того, что умножение двух комплексных чисел на самом деле то же самое, что умножение величин и сложение углов, и что деление двух комплексных чисел на самом деле то же самое, что деление величин и вычитание углов.{-ix})} $

    Если будет доказано, что формула Эйлера верна для всех комплексных чисел (как мы это делали в доказательстве с помощью степенных рядов), то то же самое будет верно и для этих трех формул. Их наличие позволяет нам свободно переключаться между тригонометрическими функциями и комплексными экспонентами , что является большим плюсом, когда дело доходит до вычисления производных и интегралов.

    Гиперболические функции

    В дополнение к тригонометрическим функциям, гиперболические функции - еще один класс функций, которые могут быть определены в терминах комплексных экспонент.{-z}} {2} \\ & = \ cosh z \ end {align *} Из них мы также можем вставить $ iz $ в комплексную касательную и получить: \ [\ tan (iz) = \ frac {\ sin iz} {\ cos iz} = \ frac {i \ sinh z} {\ ch z} = i \ tanh z \] Короче говоря, это означает, что теперь мы можем определить гиперболическую функцию в терминах тригонометрических функций следующим образом:

    \ begin {align *} \ sinh z & = \ frac {\ sin iz} {i} \\ [4px] \ cosh z & = \ cos iz \\ [4px] \ tanh z & = \ frac {\ tan iz} {i} \ end {align *}

    Но это не единственные функции, которым мы можем дать новые определения. Фактически, комплексный логарифм и общая комплексная экспонента - это два других класса функций, которые мы можем определить - в результате формулы Эйлера.

    Комплексный логарифм и общая комплексная экспонента

    Логарифм комплексного числа ведет себя особенным образом по сравнению с логарифмом действительного числа. В частности, он имеет бесконечное число значений вместо одного.

    Чтобы увидеть, как это происходит, мы начнем с определения логарифмической функции как обратной экспоненциальной функции.{\ ln | z | + i \ phi} \], где $ | z | $ - величина $ z $, а $ \ phi $ - угол $ z $ от положительной вещественной оси. А поскольку логарифм - это просто степень степени числа, когда оно возводится в $ e $, следующее определение является правильным: \ [\ ln z = \ ln | z | + i \ phi \] На первый взгляд это кажется надежным способом определения комплексного логарифма. Однако второй взгляд показывает, что логарифм, определенный таким образом, может принимать бесконечное число значений - из-за того, что $ \ phi $ также может быть выбрано как любое другое число в форме $ \ phi + 2 \ pi k $ (где $ k $ - целое число). {2 \ pi i} = 1 $. Это означает, что можно определить логарифм $ 1 $ как $ 0 $ и $ 2 \ pi i $ - или любое число в форме $ 2 \ pi ki $, если на то пошло (где $ k $ - целое число).

    Для решения этой головоломки обычно используются два разных подхода. Первый подход состоит в том, чтобы просто рассматривать комплексный логарифм как многозначную функцию . То есть функция, которая сопоставляет каждый ввод с набором значений. Один из способов добиться этого - определить $ \ ln z $ следующим образом: \ [\ {\ ln | z | + i (\ phi + 2 \ pi k) \} \], где $ - \ pi <\ phi \ le \ pi $ и $ k $ - целое число.Здесь предложение $ - \ pi <\ phi \ le \ pi $ имеет эффект ограничения угла $ z $ только одним кандидатом. Из-за этого определенный таким образом $ \ phi $ обычно называют главным углом точки $ z $.

    Второй подход, который, возможно, более элегантен, состоит в том, чтобы просто определить комплексный логарифм $ z $ так, чтобы $ \ phi $ был главным углом $ z $. {i \ frac {\ pi} {2 }} \ right) = i \ frac {\ pi} {2} $.Мы больше не зацикливаемся на проблеме периодичности углов !

    Однако с ограничением $ - \ pi <\ phi \ le \ pi $ диапазон комплексного логарифма теперь сокращается до прямоугольной области $ - \ pi ). И если мы хотим сохранить обратную связь между логарифмом и экспоненциальной функцией, нам также нужно будет сделать то же самое с областью экспоненциальной функции.

    Но тогда, поскольку комплексный логарифм теперь четко определен, мы можем также определять многие другие вещи на его основе, не сталкиваясь с двусмысленностью.{i nx} = \ cos nx + i \ sin nx \] На практике эта теорема обычно используется для нахождения корней комплексного числа и для получения закрытых выражений для $ \ sin nx $ и $ \ cos nx $. Это достигается за счет сокращения функций, возведенных в высокую степень, до простых тригонометрических функций, чтобы можно было легко выполнять вычисления.

    На самом деле теорема де Муавра - не единственная теорема, доказательство которой можно упростить с помощью формулы Эйлера. Другие тождества, такие как аддитивные тождества для $ \ sin (x + y) $ и $ \ cos (x + y) $, также выигрывают от этого эффекта.{iy} \\ & = (\ cos x + i \ sin x) (\ cos y + i \ sin y) \\ & = (\ cos x \ cos y- \ sin x \ sin y) \\ [1px ] & \; \; + i (\ sin x \ cos y + \ cos x \ sin y) \ end {align *} Оказавшись там, приравняв действительные к и мнимые мнимые части с обеих сторон, мы получим знаменитые идентичности, которые мы искали:

    \ begin {align *} \ cos (x + y) & = \ cos x \ cos y- \ sin x \ sin y \\ [4px] \ sin (x + y) & = \ sin x \ cos y + \ cos x \ sin y \ end {align *}

    Заключение

    Как видно выше, формула Эйлера - редкая жемчужина в области математики.Он устанавливает фундаментальную взаимосвязь между экспоненциальными и тригонометрическими функциями и открывает путь для большого развития в мире комплексных чисел, сложных функций и связанной с ними теории. n = \ cos nx + i \ sin nx $ Аддитивное тождество синуса $ \ sin (x + y) = \ sin x \ cos y + \ cos x \ sin y $ Аддитивное тождество косинуса $ \ cos (x + y) = \ cos x \ cos y- \ sin x \ sin y $

    Источники

    Понимание символов диаграммы Венна - с примерами

    Этот пост был первоначально опубликован 11 сентября 2018 г. и последний раз обновлялся 26 июля 2020 г.

    Когда вы оглядываетесь на диаграммы Венна, которые вы создали в начальной школе, у вас, вероятно, остались приятные воспоминания о том, какие типы шоколадных батончиков нравились вам и вашим друзьям, или о сравнении ваших любимых героев фильмов. Хотя вы, возможно, думали, что дни построения диаграмм Венна давно остались позади, эти инструменты на самом деле пригодятся в зрелом возрасте. Фактически, математики и родственные профессии используют их для представления сложных взаимосвязей и решения математических задач все время.

    Конечно, объекты, изучаемые на профессиональных диаграммах, обычно не являются шоколадными батончиками или персонажами фильмов. И вам нужно понять гораздо больше, чтобы использовать их эффективно. Чтобы полностью погрузиться в мир профессиональных диаграмм Венна, вы должны иметь базовое понимание раздела математической логики, называемого «теорией множеств», и связанных с ней символов и обозначений.

    Используя теорию множеств, исследователи и математики заложили основы многих математических понятий, включая разнообразные наборы структур, отношений и теорем, которые могут применяться в различных областях исследования, включая топологию, абстрактную алгебру и дискретную математику.

    Используя основы, которые мы рассмотрим здесь, вы также можете начать использовать диаграммы Венна более сложными способами.

    Символы диаграммы Венна

    Хотя в теории множеств используется более 30 символов, вам не нужно запоминать их все, чтобы начать. Фактически, следующие три являются идеальной основой.

    Символ союза ∪

    Диаграммы Венна состоят из серии перекрывающихся кругов, каждый из которых представляет категорию. Чтобы представить объединение двух множеств, мы используем символ ∪ - не путать с буквой ‘u.’

    В приведенном ниже примере у нас есть круг A зеленого цвета и круг B фиолетового цвета. Эта диаграмма представляет собой объединение A и B, которое мы обозначим как A ∪ B.

    Давайте на мгновение вернемся к тем дням в начальной школе на примере шоколадных батончиков. Если бы в круге A были люди, которым нравились батончики Snickers, а в круге B - люди, которым нравились батончики 3 Musketeers, A ∪ B представляли людей, которым нравятся Snickers, 3 Musketeers или оба.

    Знак перекрестка ∩

    Область пересечения двух наборов - это то место, где объекты разделяют обе категории.В нашем примере диаграммы бирюзовая область (где зеленый и фиолетовый перекрываются) представляет собой пересечение точек A и B, которое мы обозначили как A ∩ B.

    На этом перекрестке мы найдем людей, которым нравятся и Snickers, и 3 Musketeers.

    Дополнительный символ A

    c

    Категории, не представленные в наборе, называются дополнением набора. Чтобы представить дополнение набора A, мы используем символ A c .

    Для представления абсолютного дополнения набора, т.е.е., все, что не входит в набор, мы используем уравнение A c = U \ A, где буква «U» представляет данную вселенную. Это уравнение означает, что все во Вселенной, кроме A, является абсолютным дополнением к A в U.

    Серая часть нашего примера диаграммы представляет все, что находится за пределами A.

    Если использовать наш пример с шоколадным батончиком, это будет представлять всех, кто не любит Snickers.

    Другой пример

    Давайте попробуем новый пример. Допустим, мы планируем вечеринку на работе и пытаемся понять, какие напитки подать.Мы спрашиваем трех человек, какие напитки они любят. Когда мы спрашиваем, вот что получаем:

    Напиток А Б С
    Вино Х Х Х
    Пиво Х Х
    Мартини Х Х
    Старомодный Х Х
    Ром и кока-кола
    Джин-тоник

    Используя трехкружную диаграмму Венна, мы можем охватить все возможности.Каждый человек представлен в виде круга, который обозначается буквами A, B и C. Используя символ ∩, мы можем показать, где должны быть размещены пересечения между множествами.

    Когда мы заполняем диаграмму нашими данными, мы размещаем каждый объект в соответствии с формулами, которые мы указали выше. Например, мы помещаем мартини в область B ∩ C, потому что респонденты B и C указали, что они им нравятся. Поскольку ром и кока-кола и джин-тоник не были выбраны никем, они не входят в какой-либо круг. Однако, поскольку они все еще существуют и доступны во вселенной, их можно поместить в белое пространство.

    Вот наша последняя диаграмма:

    Понятно, что вино - лучший выбор для нашей предстоящей вечеринки. Пиво, мартини и старомодные напитки могут быть хорошими вторичными напитками, но к ним, вероятно, не следует подавать ром с кока-колой или джин с тоником.

    Примеры диаграмм Венна

    Использование всех этих версий с усвоенными вами символами должно послужить отличным началом для построения диаграмм Венна, которые помогут вашей команде. Используйте серию шаблонов диаграмм Венна на Cacoo в качестве отправной точки.

    Вот еще несколько примеров, когда вы продолжите:

    Как читать диаграмму Венна

    Теперь, когда вы знаете все о том, как построить диаграмму Венна и включили официальную терминологию и символы, вы должны понять, как правильно ее читать.

    Путем реверс-инжиниринга вы можете взять информацию, уже имеющуюся на диаграмме, чтобы увидеть, где будут располагаться обозначенные нами символы и уравнения. Независимо от того, сколько вариантов добавлено, вы знаете, в чем их сходство или предпочтения, а также различия между тем, какие элементы в конечном итоге оказываются внутри и за пределами диаграммы.

    Теория множеств

    Хотя мы могли бы очень глубоко изучить теорию множеств (всегда есть чему поучиться), подходящим способом завершить урок по диаграммам Венна является изучение некоторой теории, лежащей в основе этих диаграмм.

    Набор - это группа или набор вещей, также называемых элементами. Эти элементы действительно могут быть чем угодно. В приведенном выше примере набор - это выбор, который безымянная группа сделала для своих предпочтений по напиткам.

    В теории множеств мы бы записали это вместо этого в виде уравнения, перечислив все элементы в фигурных скобках:

    {человек 1, человек 2, человек 3, человек 4,…}

    Поскольку вопрос в примере состоит в том, какой напиток они предпочитают, эти люди в конечном итоге делятся на группы по своему выбору:

    Старомодный = {X человек}

    Мартини = {X человек}

    Пиво = {X человек}

    Ром и кокс = {X человек}

    Джин-тоник = {X человек}

    Поскольку мы предлагаем пять различных вариантов напитков, мы получаем пять отдельных наборов, которые затем представлены на диаграмме Венна.

    Заключительные мысли

    Для ясности здесь мы остановились на основных примерах, но есть гораздо больше информации, которую вы можете использовать для более глубокого изучения теории множеств. На самом деле, статья в Стэнфордской энциклопедии по теории множеств - отличное место для начала.

    По мере того, как вы исследуете больше установленных взаимосвязей, визуализация вашей работы с помощью диаграмм Венна - мощный и простой способ с легкостью передать эти отношения.

    Когда вы будете готовы приступить к созданию собственных диаграмм Венна, остановитесь на нашем облачном инструменте построения диаграмм Cacoo.Наша библиотека форм может помочь вам легко создавать схемы с нуля, или вы можете начать с одного из наших сотен готовых шаблонов, чтобы просто вставить свою информацию и начать.

    Совместная работа над идеями для согласования видения вашей команды в Cacoo

    Брэнди Гратис Брэнди - менеджер по контент-маркетингу в Nulab, создателе Cacoo, Backlog и Typetalk. Она регулярно вносит и редактирует контент для всех веб-сайтов и блогов Nulab.

    день тау | Нет, в самом деле, пи неверно: Манифест Тау Майкла Хартла

    Я по-прежнему впечатлен тем, насколько богат этот предмет, и мое понимание \ (\ pi \) и \ (\ tau \) продолжает развиваться. В полдня тау 2012 года я считал, что идентифицировал именно , что не так с \ (\ pi \). Мои аргументы основывались на анализе площади поверхности и объема \ (n \) -мерной сферы, который (как показано ниже) ясно показывает, что \ (\ pi \) не имеет какого-либо фундаментального геометрического значения.Однако мой анализ был неполным - на этот факт я обратил внимание в замечательном сообщении от читателя Tau Manifesto Джеффа Корнелла. В результате этот раздел представляет собой попытку не только окончательно опровергнуть \ (\ pi \), но и сформулировать правду о \ (\ tau \), истину, которая глубже и тоньше, чем я предполагал.

    Примечание : Этот раздел более сложен, чем остальная часть манифеста, и его можно пропустить без потери целостности. 2, \]

    , который состоит из двух точек \ (\ pm r \).{n-1}} {\ Gamma (1 + \ frac {n} {2})}. \ end {уравнение}

    Вместо того, чтобы просто принимать эти формулы за чистую монету, давайте посмотрим, сможем ли мы распутать их, чтобы пролить больше света на вопрос о \ (\ pi \) и \ (\ tau \). Мы начнем наш анализ с того, что заметим, что кажущаяся простота приведенных выше формул является иллюзией: хотя гамма-функция проста с точки зрения обозначений, на самом деле это интеграл по полубесконечной области, что вовсе не является простой идеей. К счастью, в некоторых особых случаях гамма-функцию можно упростить.Например, когда \ (n \) является целым числом, легко показать (используя интегрирование по частям), что

    \ [ \ Гамма (п) = (п-1) (п-2) \ ldots 2 \ cdot 1 = (п-1)! \]

    С этой точки зрения \ (\ Gamma \) можно интерпретировать как обобщение факториальной функции на аргументы с действительным знаком.

    В формулах \ (n \) - площади поверхности и объема аргумент \ (\ Gamma \) не обязательно является целым числом, а скорее равен \ (\ left (1 + \ frac {n} {2} \ right) \), которое является целым числом, когда \ (n \) четно, и является половиной -целого числа , когда \ (n \) нечетно.n} {n !!} & n \ text {нечетное}. \ end {case} \ end {уравнение}

    Давайте рассмотрим уравнение. (19) подробнее. Сначала обратите внимание, что MathWorld использует двойную факториальную функцию \ (n !! \) - но, как ни странно, она использует ее только в случае odd . (Это намек на будущее.) Двойная факториальная функция, хотя и редко встречается в математике, является элементарной: она похожа на обычную факториальную функцию, но предполагает вычитание \ (2 \) за раз вместо \ (1 \) , так что, например,, \ (5 !! = 5 \ cdot 3 \ cdot 1 \) и \ (6 !! = 6 \ cdot 4 \ cdot 2 \). В целом у нас

    \ begin {уравнение} \ label {eq: double_factorial} п !! = \ begin {case} п (п-2) \ ldots6 \ cdot4 \ cdot2 & n \ текст {даже}; \\ \\ n (n-2) \ ldots5 \ cdot3 \ cdot1 & n \ text {odd}. \ end {case} \ end {уравнение}

    (По определению \ (0 !! = 1 !! = 1 \).) Обратите внимание, что уравнение. (20) естественным образом делится на четные и нечетные случаи, что делает решение MathWorld использовать его только в нечетных случаях еще более загадочным.

    Чтобы разгадать эту загадку, мы начнем с более внимательного изучения формулы для нечетного \ (n \) в уравнении.{(п-1) / 2}, \]

    и здесь мы узнаем нашего старого друга \ (2 \ pi \).

    Теперь давайте посмотрим на четный случай в уравнении. (19). Выше мы отметили, насколько странно использовать обычный факториал в четном случае и двойной факториал в нечетном. В самом деле, поскольку двойной факториал уже определен кусочно, если бы мы объединили формулы, используя \ (n !! \) в обоих случаях, мы могли бы извлечь его как общий множитель:

    \ [ V_n (r) = \ frac {1} {n !!} \ times \ begin {cases} \ ldots & n \ text {даже}; \\ \\ \ ldots & n \ text {odd}.п} {п !!} \ times \ begin {case} 1 & n \ text {даже}; \\ \\ 2 & n \ text {нечетное}. \ end {case} \ end {уравнение}

    Лямбда

    Формулы в уравнении. (23) и уравнение. (24) представляют собой значительное улучшение по сравнению с исходными формулировками (уравнение (18) и уравнение (19)) с точки зрения \ (\ pi \). n \).

    Рецидивы

    Теперь мы видели, с помощью уравнения. (28) и уравнение. (29), что формулы площади поверхности и объема являются простейшими в терминах прямого угла \ (\ lambda \). Тем не менее, мы еще не закончили с \ (\ tau \).

    Как видно из уравнения. Согласно (29) формула объема естественным образом делится на два семейства, соответствующих четным и нечетным пространствам соответственно. Это означает, что четырехмерный объем \ (V_4 \) связан просто с \ (V_2 \), но не с \ (V_3 \), в то время как \ (V_3 \) связан с \ (V_1 \), но не с \ (V_2 \).2 \ лямбда. \ end {split} \]

    В результате именно \ (\ tau \), а не \ (\ lambda \), обеспечивает общую нить, связывающую вместе два семейства четных и нечетных решений, как показано Джозефом Линденбергом в Tau Before It Was Cool (Рисунок 16).

    Повторяемость площади и объема.

    При обсуждении общих \ (n \) -мерных сфер для удобства мы запишем формулы площади поверхности и объема в терминах \ (\ lambda \), как в уравнении. {n-1}} \ right) = f \ tau_n.2 \ lambda = \ tau \) естественным образом приводит к диаграмме, показанной на рисунке 10. Кроме того, в разделе 5.1 мы узнали, что \ (\ tau_2 \) также является «постоянной рекуррентности» для \ (n \) - площадей поверхности сферы и тома.

    Между тем \ (\ sigma_n \) - это объемы единичных \ (n \) - сфер. В частности, \ (\ sigma_2 \) - это площадь единичного диска:

    \ [ \ sigma_2 = \ frac {\ tau_2} {2} = \ frac {\ tau} {2}. \]

    Это показывает, что \ (\ sigma_2 = \ tau / 2 = 3.14159 \ ldots \) ​​действительно имеет независимое геометрическое значение.{n-1} \) различны. Другими словами, геометрическое значение \ (\ pi \) является результатом математической каламбура .

    математики для рисования кругов. Круги - основная форма… | Марины Силивестру | Nightingale

    Как одна из самых основных форм на Земле - квадрат, круг и треугольник - круг был в центре внимания многих дизайнеров, иллюстраторов и художников, поскольку эта форма поддерживает структуры, которые являются как синтетическими, так и естественными. Итальянский художник Бруно Мунари исследовал визуальную историю всех трех, но круг занимал особое место.

    X Hour Бруно Мунари. Данезе, Милан, 1945 г .; от Бруно Мунари, Square Circle Triangle, Princeton Arch Press, Нью-Йорк, 2015

    Мунари переходит к кругу, отмечая, что необходимо сразу же различать квадрат и круг, поскольку квадрат стоит по отношению к человеку, и круг , к божественному. « Древний текст говорит, что Бог - это круг, центр которого находится повсюду, но чья окружность нигде », - объясняет Мунари. Среди его многочисленных примеров - ореол, изображенный вокруг католических святых и мусульманский талисман, чтобы изобразить отчетливое отношение кругов к божественному, которое, по-видимому, даже пересекает религиозные границы.

    Слева - X Hour , серия кинетических арт-объектов, созданных Мунари в 1945 году. Пятьдесят пронумерованных пластин были изготовлены Данезе из Милана. Полудиски в центре каждого объекта прозрачные и вращаются по часовой стрелке, создавая геометрические фигуры, которые постоянно меняются.

    В книге «Книга кругов»: Визуализация сфер знаний Мануэль Лима дает исчерпывающее представление об истории кругового информационного дизайна и дает систематизацию разновидностей круговых диаграмм, используемых сегодня дизайнерами визуализации данных.

    Тем не менее, рисование кругов требует некоторых базовых математических знаний. Так что давайте перейдем к этому!

    Элементы Евклида (ссылка)

    В основе современной математики Евклид определил круг как плоскую фигуру, содержащуюся одной линией, так что все прямые линии, падающие на нее из одной точки среди тех, которые лежат внутри фигуры, равны одной. Другой.

    В более общем смысле, круг - это набор точек на плоскости, которые равноудалены от данной точки O .Расстояние r от центра называется радиусом, а точка o называется центром. Двойной радиус известен как диаметр d = 2r. Угол, под которым окружность выходит из своего центра, составляет полный угол, равный 360 ° или 2π радианам.

    Цифровой эскиз, сделанный моим 11-летним мальчиком!

    Теперь предположим, что у нас есть системная ось (X, Y) , и нам нужно найти ( x (k), y (k) ) для точки K, расположенной на окружности C, с радиусом r .

    В некоторых визуализациях данных, таких как круговые диаграммы, важно найти точку K.Особенно полезны теорема Пифагора и тригонометрия.

    Теорема Пифагора является фундаментальной и определяет отношения между тремя сторонами прямоугольного треугольника. Действительно, в нем говорится, что площадь квадрата гипотенузы равна сумме площадей квадратов двух других сторон треугольника (см. Уравнение ниже). Гипотенуза соответствует самой длинной стороне прямоугольного треугольника, противоположной прямому углу.

    Сжатый тета-угол, нарисованный моим 11-летним мальчиком!

    Уравнения тригонометрии угол θ, образованный прямой линией, проведенной от центра O к точке K и оси x- или оси y- , помогает нам ориентироваться и охарактеризовать евклидово пространство, в котором это круг лежит.

    Имея эти уравнения и теорему, мы можем перейти к доказательству. Мы можем заменить то, что мы знаем, в приведенные выше уравнения. То есть радиус r и угол θ, чтобы найти как x (K) , так и y (K) . Мы можем предположить, что угол θ составляет от 1 до 360 °, и рассчитать для единичной окружности (окружности с радиусом 1).

    Найдя (x (K), y (K)) , на окружности C с радиусом r мы можем найти бесконечный набор k точек на окружности.

    Когда мы проводим линию между ними, мы получаем полный круг!

    Отлично! Но как мы можем нарисовать круг, используя часто используемые инструменты визуализации данных?

    Что ж, большинство инструментов обработки данных используют проверенные выше уравнения для рисования кругов. Ниже я подробно описываю, как это делается с помощью двух разных инструментов: Tableau, D3.

    Tableau

    Во-первых, Tableau позволяет довольно легко рисовать круги, используя метод создания фиктивных точек данных с помощью процесса уплотнения данных . Многочисленные сообщения в блогах сообщества Tableau объясняют этот метод, он создает дополнительные записи для недостающих данных среди k точек.

    Теперь, когда нам нужно нарисовать полукруг, в Таблице все, что нам нужно сделать, это вычислить набор пар {( x (k), y (k) )} примерно для 90 точек и использовать линейный график, чтобы нарисовать его. Ниже я представляю реальный пример, который основан на Таблице и уплотнении данных, где пары (x, y) - это , вычисленные для круга с радиусом 1.

    Рисование полукругов для создания четырехступенчатой ​​диаграммы (ссылка)

    D3

    Во-вторых, рисование кругов в D3 такое же, но используется другой синтаксис. D3 использует элемент круга SVG, который представляет собой форму, построенную с использованием четырех обязательных параметров: ( cx, cy, r ), которые являются координатой по оси x центра круга, его осью y и радиусом круга r, и элемент < path > для их рисования.

    Пример использования кругов в D3

    Элемент < path > в SVG - один из самых мощных элементов.Он используется не только для рисования кругов, но также для рисования линий, кривых, дуг и многого другого. Элемент контура имеет только один параметр d и представляет собой список команд для рисования фигур. Действительно, существует много типов изогнутых линий, таких как: кривые Безье, гладкие формы, квадратичные кривые, которые являются более простой формой кривых Безье, и дуги, которые представляют собой части окружностей или эллипсов. D3 быстро справится со всеми этими задачами, если у вас есть четко сформулированная задача.

    Рисование кругов в Табло или D3, как видите, проще простого!

    Тыквенный пирог (ссылка)

    Помимо рисования круга, важно отметить, что существует множество взаимосвязей между кругами и другими математическими понятиями в геометрии.Ниже приведены примеры, начиная от кривых Безье, эллипсов и кончая постоянной Эйлера e .

    С Днем Рождения, Леонард Эйлер | Блог COMSOL

    Леонард Эйлер, плодовитый и глубокий ученый, считается одним из величайших ученых-математиков всех времен. Он внес формирующий вклад в целые области математики, в том числе в исчисление бесконечно малых, теорию графов и топологию. Наиболее известен своей одноименной формулой и уравнением идентичности, частью его гения была способность применять уравнения к окружающему миру и объяснять научные концепции в терминах, понятных обычному человеку.

    Леонард Эйлер, многообещающий вундеркинд

    Леонард Эйлер (произносится как «масленка») родился 15 апреля 1707 года в Базеле, Швейцария. К 13 годам он уже учился в Базельском университете, а к 16 годам получил степень магистра философии. Во время учебы в университете он интенсивно учился у друга семьи и знаменитого математика Иоганна Бернулли, который вдохновил Эйлера сделать карьеру в области математики.

    Эйлер написал несколько лет спустя диссертацию о распространении звука под названием De Sono , которая была первой из многих опубликованных математических работ.Фактически, к концу его жизни общее собрание сочинений Эйлера составляло от 60 до 80 кварт томов, что больше, чем у кого-либо другого в этой области. Вскоре последовал еще больший успех: в 1727 году Эйлер занял второе место в ежегодном конкурсе задач Парижской академии, который он выигрывал в общей сложности 12 раз.


    Портрет Леонарда Эйлера. Изображение находится в открытом доступе в США, через Wikimedia Commons.

    Проведя некоторое время в Санкт-Петербурге, Россия, в качестве врача ВМФ России и профессора физики в Императорской Российской академии наук, Эйлер переехал в Берлин, Германия, чтобы принять предложение о работе от Фридриха Великого. Пруссия.Эйлер провел 25 лет в Берлинской академии, прежде чем вернуться в Россию, и именно в Берлине он написал свои самые революционные работы.

    Суммирование математических вкладов Эйлера

    Трудно решать формулы или говорить о математических теориях, не ссылаясь тем или иным образом на работы Эйлера. Эйлер внес свой вклад в такие темы, как функции в теории чисел и углы, определяющие вращение в пространстве. Неудивительно, что Пьер-Симон Лаплас якобы сказал: «Прочтите Эйлера; он хозяин всех нас.”

    Именем Эйлера названы два хорошо известных числа:

    1. Математическая константа « e » в исчислении означает «Эйлер» и приблизительно равна 2,71828
    2. «Константа Эйлера» или γ (гамма) приблизительно равна 0,57721

    Хотя Эйлер опубликовал много учебников, два из них, опубликованные в Берлине, сделали его знаменитым в своей области: Introductio in analysin infinitorum (1748) по функциям и Institutiones Calculi Differenceis (1755) по дифференциальному исчислению.

    В своих учебниках Эйлер был первым математиком, который ввел понятие функции в математический анализ, а также первым математиком, который написал функцию f применительно к переменной x : f (x).

    Другие обозначения, созданные или популяризированные Эйлером, включают:

    • Сумма или итог набора чисел, обозначаемых греческой буквой Σ
    • «Мнимая» единица, равная квадратному корню из -1, обозначается буквой i
    • Отношение длины окружности к ее диаметру, обозначается греческой буквой π (популяризировано после слов валлийского математика Уильяма Джонса)
    • Тригонометрические функции для синуса, косинуса, тангенса, котангенса, секанса и косеканса
    • Константы; а , б , в
    • Переменные или неизвестные в уравнении; x , y , z

    Его попытки стандартизировать многие из этих символов помогли математикам сотрудничать и вместе решать проблемы.Сам Эйлер довольно часто сотрудничал с известными математиками, в том числе с Жозефом-Луи Лагранжем.


    Одна из иллюстраций Эйлера к его знаменитой статье по топологии и теории графов «Решение проблемы, связанной с геометрией положения», впервые опубликованной в 1744 году в научном журнале Acta Eruditorum . Изображение находится в открытом доступе в США, через Wikimedia Commons.

    Самое красивое уравнение

    Эйлер также известен разработкой тождества Эйлера, равенства e +1 = 0.Он показывает связь между наиболее фундаментальными числами в математике и является случаем формулы Эйлера, e ix = cos x + i sin x , которая устанавливает связь между тригонометрическими функциями и комплексными показательными функциями. .

    Что интересно в личности Эйлера, так это то, что она считается воплощением математической красоты. В 1988 году Mathematical Intelligencer читателей проголосовали за нее как за «самую красивую» теорему и даже выиграли конкурсы красоты при сканировании мозга.

    Прикладная математика и письма к немецкой принцессе

    Эйлер решил множество реальных проблем аналитически и разработал эффективные инструменты для их решения. Известный пример - проблема мышления, известная как Семь мостов Кенигсберга . Кенигсберг, Пруссия (ныне Калининград, Россия), расположен между двумя берегами реки Преголи. В город входят два острова, которые во времена Эйлера были связаны между собой семью мостами. Задача задачи заключалась в том, чтобы проложить путь через город, который пересекает каждый мост только один раз.

    Эйлер смог доказать с помощью удовлетворительного анализа, включающего множество тестов и графиков, что проблема не имеет решения. Его методы заложили основы теории и топологии графов.


    Семь мостов Кенигсберга, Пруссия, показаны зеленым цветом. Изображение Богдана Джушкэ, основано на карте Кенигсберга, находящейся в открытом доступе. Под лицензией CC-BY-SA-3.0 через Wikimedia Commons.

    Помимо учебников, Эйлер опубликовал работу, которая подняла его до славы выше всяких похвал его коллег-математиков.В начале 1760-х годов Фридрих Великий попросил Эйлера обучать его племянницу, Фридерику Шарлотту Бранденбург-Шведтскую, принцессу Ангальт-Дессау. Эйлер написал принцессе более 200 писем, которые позже были собраны и опубликованы. В письмах Эйлер упрощенно обсуждал математику и естественные науки, что сделало их бешено популярными среди публики, поскольку они помогли облегчить понимание математических понятий.

    Позже у Эйлера ухудшилось зрение, но это не ограничило его плодотворную деятельность.Фактически, он сказал, что из-за своей слепоты он меньше отвлекался, так что он мог сосредоточиться на своей работе. В 1775 году, через несколько лет после потери зрения, Эйлер писал в среднем одну математическую работу в неделю!

    Неизменное значение Леонарда Эйлера

    Эйлер открыл мир возможностей своими фундаментальными символами и уравнениями. Он основал многие области математики и внес свой вклад в строительную механику и астрономию, включая создание точных таблиц долготы.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *