Равенство параллелограмма: Правило параллелограмма. Законы сложения векторов — урок. Геометрия, 9 класс.

Первое свойство параллелограмма и его доказательство

Теорема о сумме внутренних углов‎ > ‎ Первое свойство параллелограмма и его доказательство Свой­ство 1. В па­рал­ле­ло­грам­ме про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны и углы по­пар­но равны. Дано:                                                               – па­рал­ле­ло­грамм (). До­ка­зать: ; . До­ка­за­тель­ство: По­сколь­ку нам ни­че­го не из­вест­но, кроме того, что  – па­рал­ле­ло­грамм, то при до­ка­за­тель­стве дан­но­го свой­ства мы будем поль­зо­вать­ся опре­де­ле­ни­ем па­рал­ле­ло­грам­ма, то есть па­рал­лель­но­стью его про­ти­во­по­лож­ных сто­рон. Про­ве­дем диа­го­наль  и рас­смот­рим два по­лу­чен­ных тре­уголь­ни­ка (см. Рис. 2.). Они имеют общую сто­ро­ну . Эта сто­ро­на  яв­ля­ет­ся се­ку­щей при па­рал­лель­ных пря­мых . Рис. 2 Вос­поль­зу­ем­ся свой­ством па­рал­лель­ных пря­мых, а имен­но: внут­рен­ние на­крест ле­жа­щие углы при па­рал­лель­ных пря­мых равны. В нашем слу­чае в роли внут­рен­них на­крест ле­жа­щих углов при па­рал­лель­ных пря­мых  и се­ку­щей  вы­сту­па­ют углы . Ана­ло­гич­ное ра­вен­ство можно по­лу­чить и для внут­рен­них на­крест ле­жа­щих углов при па­рал­лель­ных пря­мых  и се­ку­щей : . Если те­перь сло­жить по­лу­чен­ные ра­вен­ства, то по­лу­чим, что: . Или: . Таким об­ра­зом, мы до­ка­за­ли ра­вен­ство двух про­ти­во­по­лож­ных углов па­рал­ле­ло­грам­ма. Оста­лось до­ка­зать ра­вен­ство вто­рой пары углов и ра­вен­ство про­ти­во­по­лож­ных сто­рон. Для этого рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки: . Они имеют общую сто­ро­ну . К сто­роне  при­мы­ка­ют углы  и  в одном тре­уголь­ни­ке, углы  и  в дру­гом тре­уголь­ни­ке. Зна­чит, тре­уголь­ни­ки равны по сто­роне и двум при­ле­га­ю­щим к ней углам ( вто­рой при­знак ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков). Если за­пи­сы­вать стро­го, то по­лу­ча­ем сле­ду­ю­щую це­поч­ку ло­ги­че­ских пре­об­ра­зо­ва­ний:  (по 2-му при­зна­ку ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков) При­ме­ча­ние: при за­пи­си факта ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков необ­хо­ди­мо учи­ты­вать по­ря­док рас­ста­нов­ки букв – буквы, озна­ча­ю­щие рав­ные углы тре­уголь­ни­ка, долж­ны идти на оди­на­ко­вых по­ряд­ко­вых ме­стах в обо­зна­че­нии тре­уголь­ни­ков (в нашем при­ме­ре: вто­рая буква  в на­зва­нии  со­от­вет­ству­ет углу , как и вто­рая буква  ). Из ра­вен­ства тре­уголь­ни­ков сле­ду­ет ра­вен­ство всех со­от­вет­ству­ю­щих эле­мен­тов этих тре­уголь­ни­ков. Зна­чит: . Таким об­ра­зом, мы до­ка­за­ли, что если че­ты­рёх­уголь­ник – па­рал­ле­ло­грамм, то его про­ти­во­по­лож­ные углы и сто­ро­ны по­пар­но равны. До­ка­за­но. http://interneturok.ru/algebra/8-klass/algebra-8-klass-yu-n-makarychev

3. Скалярное произведение. Гильбертово пространство.

Аксиомы и свойства. Ортонормированные системы. Ортогонализация по Шмидту. Тождество параллелограмма.

Определение 2. Линейное пространство Н называется предгильбертовым пространством, если указано правило, которое позволяет сопоставить каждой паре элементов x и y пространства Н вещественное (или комплексное) число, называемое скалярным произведением векторов x и y и обозначенное , удовлетворяющее следующим условиям:

а) (в случае комплексного значения )

б)

в) для любого вещественного числа ;

г) при и при ;

Число назовём нормой элемента х. Ниже мы покажем, что эта величина удовлетворяет всем требованиям нормы. В случае, если Н полное пространство по этой норме, его называют гильбертовым. Таким образом, гильбертово пространство есть частный случай банахова пространства.

Далее,если не оговорено противное, мы будем рассматривать гильбертовы пространства над полем вещественных чисел.

Пример 9. Пространство l₂ становится гильбертовым, если для любых двух его элементов и положить

Сходимость этого ряда для любых x и y из l₂ вытекает из неравенства Буняковского для рядов.

Пример 10. Пространство . Это пространство (вещественных) функций, определённых и измеренных на отрезке [a, b] и таких, что

,

где почти всюду на [a, b]. будет гильбертовым пространством, если положить для

Существование этого интеграла при любом и из вытекает из неравенства Гельдера для интегралов.

Рассмотрим простейшие свойства гильбертовых пространств.

1. Из аксиом б) и в) легко получается общая формула

справедливая для произвольных векторов и произвольных вещественных чисел

Установим теперь для скалярного произведения неравенство Коши — Буняковского. Для любых и любого R, имеем или Рассматривая это выражение как квадратный трехчлен относительно , получаем, что условием его неотрицательности является неположительность его дискриминанта, т.е.(х, у)² – (у, у)(х, х)  0 или |(x, y)|  – это и есть неравенство Коши – Буняковского.

Теорема 6. Величина является нормой в пространстве со скалярным произведением.

Доказательство. 1.

Неотрицательность следует из неотрицательности скалярного произведения.

2.

3. . По неравенству Коши-Буняковского,

.

Извлекая из обеих частей квадратный корень, получим неравенство .

Легко доказывается непрерывность скалярного произведения.

Теорема 7. Скалярное произведение есть непрерывная функция относительно сходимости по норме.

Доказательство. Пусть и . Тогда числа и ограничены; пусть М – их верхняя граница.

Имеем

Так как и при ,то и при , что и требовалось доказать.

Наличие скалярного произведения позволяет ввести в гильбертовом пространстве понятие длины (нормы) вектора и угла между векторами по формулам

Из неравенства Коши – Буняковского следует корректность этих формул. Эти определения согласуются с обычными формулами аналитической геометрии.

Два вектора х и y Н называются ортогональными (в этом случае записывают ), если . Если и , то это определение, в соответствии с общим определением угла между векторами, означает, что x и y образуют угол в . Нулевой вектор оказывается ортогональным любому вектору х Н.

В пространстве условие ортогональности векторов и имеет вид

.

Легко проверить, вычислив соответствующие интегралы, что в пространстве любые два вектора тригонометрической системы

взаимно ортогональны.

Отметим несколько простых свойств, связанных с понятием ортогональности.

1) Если вектор х ортогонален векторам то он ортогонален и любой линейной комбинации этих векторов.

2) Если векторы ортогональны вектору х и , то вектор у также ортогонален вектору х.

Действительно, в силу непрерывности скалярного произведения , что и требовалось доказать.

Из свойств 1) и 2) следует, что совокупность всех векторов ортогональных вектору х (или произвольному фиксированному множеству Х векторов в Н), образует замкнутое подпространство – ортогональное дополнение к вектору х (к множеству Х).

Система векторов пространства Н называется ортонормальной системой, если

.

Бесконечная система элементов линейного пространства называется линейно независимой, если любая конечная подсистема этой системы линейно независима.

Любую систему линейно независимых элементов можно превратить в ортонормальную с помощью следующего процесса ортогонализации Шмидта.

Полагаем . Пусть . Подберем число так, чтобы было ортогональным . Имеем . Отсюда следует, что для этого следует взять . Полагаем ; при этом , так как в противном случае и вектора и будут линейно зависимы, что противоречит условию. Пусть уже построены. Возьмем

и подберем числа так, чтобы было ортогонально ; для этого следует взять . Полагаем , причем снова и т.д.

Пример 11. Если совокупность степеней ортогонализовать в пространстве то мы придём к системе многочленов называемых многочленами Лежандра. Можно показать, что n-ый многочлен Лежандра имеет вид .

Пример 12. Функции, получающиеся при ортогонализации выражений в пространстве , называются функциями Эрмита. Можно показать, что n-ая функция Эрмита имеет вид .

Пример 13. Функции, получающиеся при ортогонализации выражений в пространстве называется функциями Лагерра. Можно показать, что n-ая функция Лагерра имеет вид .

Теорема 8. (равенство параллелограмма) В пространстве со скалярным произведением выполняется следующее тождество:

||x + y||² + ||x  y||² = 2||x||² + 2||y||².

Доказательство. В пространстве со скалярным произведением выполняются равенства

||x + y||² = (x + y, x + y

) = (x, x) + 2(x, y) + (y, y) = ||x||² + 2(x, y) + ||y||²,

||x  y||² = (x  y, x  y) = (x, x)  2(x, y) + (y, y) = ||x||²  2(x, y) + ||y||². 2\right).$$ Мы имеем дело с действительных векторных пространств и отложите обработку сложного случая до шага 4 ниже.

Шаг 0. $\langle x, y \rangle = \langle y, x\rangle$ и $\Vert x \Vert = \sqrt{\langle x, x\rangle}$.

Очевидно.

Шаг 1. Функция $(x,y) \mapsto \langle x,y \rangle$ непрерывна относительно $\Vert \cdot \Vert$.

Непрерывность по норме $\Vert\cdot\Vert$ следует из того, что сложение и отрицание $\Vert\cdot\Vert$-непрерывны, что сама норма непрерывна, а суммы и композиции непрерывных функций являются непрерывными. 92\справа)\\ & = \langle x, z \rangle + \langle y, z \rangle \end{выравнивание*}$$ по желанию.

Шаг 3. $\langle \lambda x, y \rangle = \lambda \langle x, y \rangle$ для всех $\lambda \in \mathbb{R}$.

Очевидно, что это верно для $\lambda = -1$, и по шагу 2 и по индукции имеем $\langle \lambda x, y \rangle = \lambda \langle x, y \rangle$ для всех $\lambda \in \ mathbb{N}$, то есть для всех $\lambda \in \mathbb{Z}$. Если $\lambda = \frac{p}{q}$ с $p,q \in \mathbb{Z}, q \neq 0$, мы получаем с $x’ = \dfrac{x}{q}$, что $$q \langle \lambda x, y \rangle = q\langle p x’, y \rangle = p \langle q x’, y \rangle = p\langle x,y \rangle,$$ поэтому деление этого на $q$ дает $$\langle \lambda x , y \rangle = \lambda \langle x, y \rangle \qquad\text{для всех} \lambda \in \mathbb{Q}.$$ Мы только что видели, что при фиксированных $x,y$ непрерывная функция $\displaystyle t \mapsto \frac{1}{t} \langle t x,y \rangle$, определенная на $\mathbb{R} \smallsetminus \{0 \}$ равно $\langle x,y \rangle$ для всех $t \in \mathbb{Q} \smallsetminus \{0\}$, поэтому равенство выполняется для всех $t \in \mathbb{R} \ маленький набор минус \{0\}$. Случай $\lambda = 0$ тривиален, и мы закончили. 92\geq0$ (это также доказывает, что $\|x\|=\sqrt{\langle x,x\rangle}$.)

$\langle x,y\rangle=\langle y,x\rangle$, очевидно.

Теперь нам нужно доказать, что $\langle x+y,z\rangle=\langle x,z\rangle+\langle y,z\rangle$ и что $\langle cx,y\rangle=c\langle x, y\rangle$ для всех $x,y,z\in X$ и $c\in\mathbb{R}$. Я оставлю первое свойство недоказанным, так как это всего лишь вопрос простых, но жестких вычислений и приложений предполагаемого свойства. Посмотрим, как доказать второе свойство (будем использовать первое). 92) = -\langle x,y \rangle$.

Теперь докажем, что если свойство верно для $c_1,c_2\in\mathbb{R}$, то оно верно и для $c_1\cdot c_2$. Действительно, это $\langle (c_1\cdot c_2)x,y\rangle=\langle c_1\cdot(c_2 x),y\rangle=c_1\langle c_2x,y\rangle=c_1c_2\langle x,y\rangle $.

Применяя последнее свойство для $c_1=n\in\mathbb{N}$ и $c_2=-1$, мы получаем, что желаемое свойство выполняется для $c\in\mathbb{Z}$.

Пусть $n\in\mathbb{Z}-\{0\}$. Это $\langle x,y\rangle=\langle \frac{n}{n}x,y\rangle=n\langle \frac{1}{n}x,y\rangle$, поэтому $\langle\ frac{1}{n}x,y\rangle=\frac{1}{n}\langle x,y\rangle$.

Используя свойство $c_1,c_2$ для $c_1=1/n$ для некоторых $n\in\mathbb{Z}$ и $c_2=m\in\mathbb{Z}$, получаем, что наш результат верно для каждого $c\in\mathbb{Q}$.

Итак, мы доказали, что для всех $c\in\mathbb{Q}$ это $\langle cx,y\rangle=c\langle x,y\rangle$.