Равновозможные события примеры: Вероятность равновозможных событий

Вероятность равновозможных событий

Урок 31. Алгебра 9 класс ФГОС

На этом уроке вводится понятие «равновозможные события». Выделяются два способа отыскания вероятностей: статистический и классический. Вводиться формула отыскания вероятности классическим способом и рассматриваются примеры её применения при решении задач.

Конспект урока «Вероятность равновозможных событий»

Вернёмся к эксперименту с подбрасыванием монеты. Многие ученые проводили его и получали различные, но близкие значения.

Говоря о том, что монета однородна и имеет правильную геометрическую форму, можно сделать вывод, что случаи выпадения орла или решки имеют одинаковые шансы. Такие события называют равновозможными.

Найдём вероятность события выпадения орла.

Всего при подбрасывании монеты могут быть 2 равновозможных исхода: выпадет орёл или решка. Для нас благоприятным событием является первое. Среди всех возможных оно встречается 1 раз. Тогда получаем, что относительная вероятность выпадения орла равна:  .

Определение:

Если все исходы какого-либо испытания равновозможны, то вероятность события в этом испытании равна отношению числа благоприятных для него исходов к числу всех равновозможных исходов.

Такой способ отыскания относительной вероятности называется классическим. Но полученное значение вероятности совсем не означает, что если подбросить монету два раза, то один раз выпадет орёл.

Вывод: статистический подход предполагает проведение испытаний, а классический — нет.

Чтобы вычислить вероятность события классическим способом необходимо только правильно определить количество всех равновозможных исходов, а также число благоприятных для этого события исходов.

Пример.

Студент не выучил 3 билета из тридцати. Какова вероятность того, что он сдаст экзамен?

Пусть А — событие, при котором сдан экзамен.

Студент может вытянуть на экзамене любой из тридцати билетов, то есть n=30.

Благоприятным исход m=27 — число билетов, которые он выучил.

Получим:

Пример.

Ученик записал в тетради произвольное двузначное число (не повторяя цифры). Какова вероятность того, что сумма цифр этого числа равна 6?

Пусть В — сумма цифр двузначного числа равна 6.

Определим число равновозможных исходов. Из 10 цифр можно составить различные суммы. И их количество равно .

Благоприятными исходами для нашего события будут случаи, когда сумма цифр равна 6. Такую сумму дают пары (0; 6), (1; 5) и (2; 4). Пару (3; 3) мы не берём, так как цифры в числе ученик не повторял. Значит, число благоприятных исходов m=3.

Запишем формулу нахождения вероятности:

Отдельно вычислим число размещений:

Получаем, что вероятность события:

Пример.

На полке 14 книг, из них 6 — это учебники. С полки наугад снимают 8 книг. Какова вероятность того, что среди них ровно 4 учебника?

Пусть С — событие, при котором среди снятых книг 4 учебника.

Число равновозможных исходов, n= . Число благоприятных исходов равно произведению полученных сочетаний, то есть 4 учебника из 6 можно выбрать  способами, для каждого такого выбора существует  способов выбора оставшихся книг, в которых 4 учебника, m=.

Найдём вероятность события:

Вычислим:

Найдем вероятность события:

Событие, которое при проведении опыта или наблюдения происходит всегда, называют достоверным событием.

А событие, которое при проведении опыта или наблюдения не происходит никогда, называют

невозможным.

Например, при бросании игрального кубика выпадает <7 очков. Найти вероятность события.

Всего возможно шесть исходов: выпадет 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков. И наше событие всегда в каждом из этих случаев будет происходить. Значит, оно достоверное.

Значит, все эти исходы являются благоприятными.

Тогда вероятность события:

Рассмотрим событие, при бросании игрального кубика выпадает 7 очков.

Число всех равновозможных исходов n=6. Но ни один из них не является благоприятным, то есть наше событие невозможное. Оно не может произойти ни при каком из исходов.

Вероятность невозможного события:

Предыдущий урок 30 Относительная частота случайного события

Получите полный комплект видеоуроков, тестов и презентаций Алгебра 9 класс ФГОС

Чтобы добавить комментарий зарегистрируйтесь или войдите на сайт

теория вероятности, примеры решения задач

Понятие равновозможных событий в теории вероятности

Определение 1

Вероятностью называют числовой параметр степени возможности возникновения какого-либо события в конкретных условиях, которые допустимо реализовать в течение неограниченного числа раз.

Определение 2

Событие является первичным, или неопределяемым, что в теории вероятностей означает любое явление, происходящее, либо не происходящее.

Под событиями понимают итоги каких-либо опытных исследований, наблюдений и измерений. Данное понятие нередко встречается при решении задач на уроках в классе в начале изучения теории вероятностей, и в самостоятельных работах. Основные термины следует записать в конспект.

Равновозможные события — это некоторое количество таких событий, по итогам опыта над которыми ни одно из них не обладает большей возможностью возникновения по сравнению с остальными. 

Пример 

В качестве наглядного примера равновозможных событий можно рассмотреть три шарика в корзине:

• белый;
• синий;
• красный.

Извлечения из корзины по одному разу шариков какого-либо из представленных цветов являются равновозможными событиями.

Определение 3

Равновозможные исходы представляют собой такие исходы конкретного опыта или наблюдения, которые обладают одинаковыми шансами на возникновение.

Определение 4

Благоприятные исходы для какого-то события являются такими исходами, при которых возникает данное событие.

Правило 

В том случае, когда любой из исходов некого опыта является равновозможным по отношению к остальным, вероятность события тогда определяется отношением количества благоприятных для него исходов к количеству всех равновозможных исходов.

В качестве обозначения вероятности используют букву Р. Описанный выше метод определения вероятности является классическим.

Формула вероятности равновозможных событий

Вероятность можно определить с помощью двух методов:

1. Статистический подход подразумевает выполнение опытов в реальных условиях.
2. Классический подход предполагает корректное вычисление количества равновозможных исходов опыта и количества исходов, которые являются благоприятными.

Определение 5

Достоверное событие представляет собой событие, происходящее в любом случае в процессе экспериментального исследования.

В качестве примера можно понаблюдать за процессом подбрасывания кубика с цифрами. Рассчитаем, какова вероятность события выпадения меньше 7 очков. В каждом из 6 итогов может случиться любой из следующих исходов:

(1; 2; 3; 4; 5; 6)

Таким образом, вероятность равна:

P=66=1

Заметим, что в случае достоверного события, его вероятность равна единице.

Разберем обратную ситуацию. Представим, что теперь нужно вычислить с какой вероятностью при подбрасывании кубика выпадет 7 очков. В этом случае событие не происходит независимо от условий, то есть:

P=06=0

Определение 6

Невозможное событие представляет собой событие, которое не происходит при любых исходах экспериментального исследования.

Заметим, что вероятность невозможного события имеет нулевое значение.

Вероятность, с которой произойдет случайное событие, в некоторых случаях допустимо определить с геометрической точки зрения. Сделать это можно с помощью вероятностной шкалы:

 

Источник: resh. edu.ru

Предположим, что по результатам некого опыта получено n равновозможных исходов. Благоприятными из них являются m исходов для возникновения события А. Запишем справедливое равенство:

P(А)=mn.

Заметим, что в любом случае выполняется следующее соотношение:

m≤n.

В результате:

mn≤1.

Сделаем вывод о том, что вероятность, с которой возникнет событие А, составит:

P(А)≤1.

С другой стороны:

P(А)≥0.

Отсюда следует, что:

0≤P(А)≤1.

Геометрический смысл данного соотношения заключается в том, что при снижении вероятности возникновения события А можно наблюдать приближение точки Р(А) к нулевому значению. При повышении вероятности возникновения события А точка Р(А) приближается к единице.

Заметим, что вероятность какого-либо события в любом случае располагается между нулем и единицей.

Примеры решения задач с пояснениями

Задача 1

В новогоднем розыгрыше призов участвуют 1500 лотерейных билетов. Из общего количества в 120 билетах спрятан выигрыш. Нужно определить вероятность покупки выигрышного билета.

Решение

Воспользуемся уже знакомой формулой вероятности события и запишем ответ:

P=1201500=0,08

Ответ: 0,08.

Задача 2

Школьник записал на листе какое-то двузначное число. Необходимо определить вероятность равенства суммы цифр заданного числа шести.

Решение

Заметим, что общее количество двузначных чисел составит 90. Количество чисел с суммой цифр, равной 6, соответствует 6. Перечислим их:

15, 24, 33, 42, 51, 60

Вычислим вероятность, используя формулу:

P=690=115

Ответ: 115.

Задача 3

Требуется вычислить, чему равна вероятность выпадения при одном подбрасывании игральной кости количества очков, которое больше четырех.

Решение

Обозначим за А событие, когда выпадает сумма очков больше, чем число 4. Данному событию способствует пара исходов:

• выпадение 5 очков;
• выпадение 6 очков.

Число всех равновозможных исходов составляет:

n = 6

В результате:

P=mn=26=13

Ответ: 13.

4.2: Эксперименты с равновероятными результатами

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

26046

Равновероятный означает, что каждый результат эксперимента происходит с равной вероятностью. Например, если вы подбросите хорошее , шестигранный кубик, каждая грань (1, 2, 3, 4, 5 или 6) выпадает с такой же вероятностью, как и любая другая грань. Если вы подбросите правильную монету, вероятность выпадения орла (\(\text{H}\)) и решки (\(\text{T}\)) одинакова. Если вы случайным образом угадываете ответ на верный/неверный вопрос на экзамене, вы с одинаковой вероятностью выберете правильный или неправильный ответ.

Чтобы вычислить вероятность события A , когда все исходы в пространстве выборки равновероятны , подсчитайте количество исходов для события \(\text{A}\) и разделите на общее количество исходов в выборке пространство образца. Например, если вы подбрасываете честный цент и честный пятицентовик, выборочное пространство равно \(\{\text{HH, TH, HT,TT}\}\), где \(\text{T} =\) решка и \(\text{H} =\) головы. Пространство выборки имеет четыре результата. \(\text{A} =\) получение одной головы. Есть два исхода, которые удовлетворяют этому условию \(\text{\{HT, TH\}}\), поэтому \(P(\text{A}) = \frac{2}{4} = 0,5\).

Предположим, вы бросили один правильный шестигранный кубик с числами {1, 2, 3, 4, 5, 6} на его гранях. Пусть событие \(\text{E} =\) выбрасывает число не менее пяти. Есть два исхода {5, 6}. \(P(\text{E}) = \frac{2}{6}\). Если бы вам пришлось бросить кубик всего несколько раз, вы бы не удивились, если бы ваши наблюдаемые результаты не совпадали с вероятностью. Если бы вы бросали кубик очень большое количество раз, вы бы ожидали, что в целом \(\frac{2}{6}\) бросков приведет к результату «по крайней мере пять». Вы не ожидаете точно \(\frac{2}{6}\). Долгосрочная относительная частота получения этого результата приближалась бы к теоретической вероятности \(\frac{2}{6}\) по мере того, как количество повторений становится все больше и больше.

Определение: закон больших чисел

Эта важная характеристика вероятностных экспериментов известна как закон больших чисел, который гласит, что по мере увеличения количества повторений эксперимента относительная частота, полученная в эксперименте, становится все ближе и ближе к теоретической вероятности. Несмотря на то, что результаты не происходят в соответствии с какой-либо установленной закономерностью или порядком, в целом наблюдаемая в долгосрочной перспективе относительная частота будет приближаться к теоретической вероятности. (Слово эмпирический часто используется вместо слова наблюдаемый. )

Важно понимать, что во многих ситуациях исходы неравновероятны. Монета или игральная кость могут быть несправедливыми или предвзятыми . Два профессора математики в Европе попросили своих студентов-статистиков протестировать бельгийскую монету в один евро и обнаружили, что в 250 испытаниях решка выпадала в 56% случаев, а решка — в 44% случаев. Данные, кажется, показывают, что монета не является честной монетой; больше повторений было бы полезно, чтобы сделать более точный вывод о такой предвзятости. Некоторые кости могут быть необъективными. Посмотрите на кости в игре, которая есть у вас дома; пятна на каждом лице обычно представляют собой небольшие отверстия, вырезанные, а затем окрашенные, чтобы сделать пятна видимыми. Ваши кости могут быть предвзятыми, а могут и не быть; возможно, на результаты могут повлиять небольшие различия в весе из-за разного количества отверстий на гранях. Азартные игры зарабатывают большие деньги в зависимости от результатов броска костей, поэтому кости казино изготавливаются по-разному, чтобы исключить предвзятость.

У игральных костей казино плоские грани; отверстия полностью заполнены краской той же плотности, что и материал, из которого сделаны игральные кости, так что каждая грань выпадет с одинаковой вероятностью. Позже мы изучим приемы, которые можно использовать для работы с вероятностями событий, которые не являются равновероятными.

Запрос \(\PageIndex{1}\)

Запрос \(\PageIndex{2}\)

Запрос \(\PageIndex{3}\)

Запрос \(\PageIndex{4}\)

---

1. Наверх

• Была ли эта статья полезной?

1. Тип изделия

   Раздел или Страница

   Показать оглавление

   да

2. Теги

   На этой странице нет тегов.

Равновероятные события|Равновероятные события

Наиболее известные типы событий — это равновероятные события. Случайные события, которые имеют равные шансы произойти, называются равновероятными событиями. В качестве альтернативы, когда результаты эксперимента имеют одинаковую вероятность, то говорят, что они являются равновероятными событиями. Ниже приведены несколько примеров равновероятных событий.

a] Во время эксперимента с подбрасыванием монеты два исхода — орел и решка. Исходы орла и решки равновероятны. В случае более чем одной монеты предполагается, что для всех монет выпадение орла и решки равновероятно по своей природе.

b] При бросании игральной кости существует 6 возможных исходов {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Исходы равновероятны. При любом количестве костей 6 граней костей остаются равновероятными.

c] Игральные карты

Общее количество карт в стандартной колоде карт равно 52. Все карты в колоде имеют одинаковый размер и имеют одинаковую вероятность быть выбранными.

d] Выбор мячей из мешка

Есть вероятность, что несколько предметов нужно выбрать из определенного места, например, из мешка или контейнера. Предполагается, что элементы равновероятны по своей природе. Знакомый случай включает в себя выбор мячей из мешка. Шары в мешке имеют равные шансы быть выбранными.

Конечные результаты выборочного пространства не имеют равных шансов, поэтому результаты не равновероятны по своей природе. Во время эксперимента с бросанием спичечного коробка не все 6 граней имеют равные шансы выпадения. Предположим, что мешок состоит из шаров разного размера и шар выбран случайно, не все шары имеют равные шансы быть выбранными.

Пример 1: Ракеш готовится к государственному экзамену. Он говорит со своим другом о шаблоне вопросника, поскольку в нем 100 вопросов по 4 балла и 4 варианта ответа каждый. Он уверен, что даже если он случайным образом выберет вариант А для каждого вопроса объективного типа, он получит высокий балл и будет допущен к экзамену. Его друг с этим не согласен. Выяснить.

Ответ: 

Эта идея неосуществима. Если человек ничего не смыслит в вопросе, с которым он сталкивается, то любой выбранный им вариант равновероятен, поскольку он сделан наугад. Для данного вопроса доступны 4 варианта ответа, один из которых правильный. Итак, вероятность того, что выбран правильный выбор = 1/4. Это вероятность успеха. Вероятность того, что он наберет высокие оценки на экзамене, составляет 1/4. Вероятность того, что он не наберет высоких оценок, то есть вероятность провала, дается следующим пояснением. Из 4 вариантов 3 варианта неверны. Вероятность выбора неправильного ответа = 3/4. Вероятность того, что он наберет 0 баллов, то есть вероятность неудачи, равна 3/4. Вероятность неудачи в 3 раза больше вероятности успеха.

Следовательно, метод, обсуждаемый Ракешем, не подходит для успешной сдачи экзамена.

Пример 2: Если бросается игральная кость, найти вероятность того, что выпадет простое число.

Ответ: 

При броске игральной кости место выборки определяется следующим образом.

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

В пространстве выборки простые числа равны 2, 3 и 5. 

По определению вероятности

P (событие) = количество благоприятных исходов / общее количество возможных исходов

P (получение простого числа) = количество простых чисел / общее количество возможных результатов = 50%.

Требуемый ответ: 50%.

Пример 3: Событие может произойти 999 способами. Найдите события, благоприятствующие судебному разбирательству в этом событии с вероятностью 99 %.

1. а) 990
2. б) 978
3. в) 998
4. г) 989

Ответ: 

По определению вероятности

P (событие) = количество благоприятных событий / общее количество возможных событий

Событие может произойти 999 способами.

Общее количество возможных событий = 999

Вероятность равна 0,99.