Тест по алгебре Разложение многочленов на множители (7 класс)
Последний раз тест пройден более 24 часов назад.
Для учителя
Материал подготовлен совместно с учителем высшей категории Харитоненко Натальей Владимировной.
Опыт работы учителем математики — более 33 лет.
Вопрос 1 из 10
Разложите на множители 6 — 3х
3(2 — х)
3(2 + х)
6(1 — х)
6(1 + х)
Правильный ответ
Неправильный ответ
В вопросе ошибка?
Вопрос 2 из 10
Разложите на множители а
4b3 — a5b4a5b4(b2 — a2)
a4b3(1 — a2)
a4b2(b2 — a2
a4b3(1 — ab)
Правильный ответ
Неправильный ответ
В вопросе ошибка?
Вопрос 3 из 10
Разложите на множители 9ху
2 + 3ху — 18х2у3ху(3у + у — 6х)
3х(3у2 + 3у — 6ху)
3ху(3у + 1 — 6х)
3ху(у2 + 1 — 6х)
Правильный ответ
Неправильный ответ
В вопросе ошибка?
Вопрос 4 из 10
Разложите на множители a(b — c) — 4(b — c)
(a — 4)(b — c)
(a + 4)(c — b)
(a — 4)(b + c)
(a — 4)(c — b)
Правильный ответ
Неправильный ответ
В вопросе ошибка?
Вопрос 5 из 10
Разложите на множители a(2 + b) + b + 2
(b + 2)(a + 1)
(2 + b)(a — 1)
(b + 2)a
(2 + b)(1 — a)
Правильный ответ
Неправильный ответ
В вопросе ошибка?
Вопрос 6 из 10
Разложите на множители a(b — c) — (c — b)
(a — 1)(b — c)
(a + 1)(b — c)
(a — 1)(c — b)
(a + 1)(c — b)
Правильный ответ
Неправильный ответ
В вопросе ошибка?
Вопрос 7 из 10
Разложите на множители 5x — 5y — ax + ay
(x — y)(a — 5)
(x — y)(a + 5)
(x — y)(5 — a)
(y — x)(5 + f)
Правильный ответ
Неправильный ответ
В вопросе ошибка?
Вопрос 8 из 10
Вычислите 419 * (519 — 419)
41900
4190
5190
51900
Правильный ответ
Неправильный ответ
В вопросе ошибка?
Вопрос 9 из 10
Разложите на множители x3 — 27
(x + 3)(x2 — 3x + 3)
(x — 3)(x2 + 3x + 9)
(x — 3)(x2 + 2x + 9)
(x + 3)(x2 — 2x — 3)
Правильный ответ
Неправильный ответ
В вопросе ошибка?
Вопрос 10 из 10
Разложите на множители 25c
2-a2b2 ПодсказкаПравильный ответ
Неправильный ответ
В вопросе ошибка?
Доска почёта
Чтобы попасть сюда — пройдите тест.
Елена Егорова
9/10
Алмас Мухамеджанов
10/10
Олег Подвойский
10/10
Иван Красавский
10/10
Михаил Колесников
8/10
Антон Сковскикх
10/10
Никита Головин
9/10
Дмитрий Познахарёв
10/10
Макс Леонтьев
9/10
Симон Абрамян
10/10
Тест по алгебре «Разложение многочленов на множители» предназначен для учеников средней школы, которые хотят систематизировать и закрепить материал. Вопросы нацелены на проверку умения решать примеры, уравнения, задачи в рамках указанной темы. Чтобы добиться хорошего результата, ученик должен понимать алгоритмы работы с многочленами. Проверочные задания разной сложности, что позволяет объективно оценить свои знания. Тесты можно проходить в онлайн-режиме с любого доступного устройства. Предлагаемые задания проверяют все необходимые аспекты темы, а на их прохождение нужно около десяти минут.
Тест «Разложение многочлена на множители» – отличный способ самоподготовки к текущим занятиям или проверочным работам.
Рейтинг теста
3.9
Средняя оценка: 3.9
Всего получено оценок: 1530.
А какую оценку получите вы? Чтобы узнать — пройдите тест.
«Разложение многочлена на множители» (7-й класс)
Цели:
- систематизировать, расширить и углубить знания, умения учащихся применять различные способы разложения многочлена на множители;
- способствовать развитию наблюдательности, умения анализировать, сравнивать, делать выводы;
- побуждать учеников к самоконтролю, взаимоконтролю, вызвать у них потребность в обосновании своих высказываний.
Оборудование: экран, магнитная доска, набор карточек для сбора задания 2 на магнитной доске, карточки с заданием теста.
Этап 1.
ПовторениеЗадание 1. В парах выполняется задание теста
Тест
1. Разложение многочлена на множители – это:
А) представление многочлена в виде суммы двух или нескольких многочленов;
Б) представление многочлена в виде произведения двух или нескольких одночленов;
В) представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов.
2. Завершить утверждение.
Представление многочлена в виде произведения одночлена и многочлена называется вынесением общего множителя за скобки.
3. Восстановить порядок выполнения действий при разложении многочлена на множители способом группировки.
Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, нужно:
А) вынести в каждой группе общий множитель (в виде многочлена) за скобки;
Б) сгруппировать его члены так, чтобы слагаемые в каждой группе имели общий множитель;
В) вынести в каждой группе общий множитель в
виде одночлена за скобки.
4. Отметить знаком плюс верные выражения.
а) а2 + в2 – 2ав = ( а – в)2;
б) m2 + 2mn – n2 = (m – n)2;
в) 2pt – p2 – t2 = (p – t)2;
г) 2cd + c2 + d2 = (c + d)2.
Проверка итогов работы осуществляется с помощью экрана. (Слайд 2. Презентация)
Задание 2. На магнитной доске двое учеников выполняют задание
Провести классификацию данных многочленов по способу разложения на множители.
Метод разложения на множители.
| Вынесение общего множителя за скобки |
Формулы сокращенного умножения |
Способ группировки |
20х3у2 + 4 х2у |
a4 – b8 |
2bx – 3ay -6by + ax |
b(a + 5) – c(a +5) |
27b3 +a6 |
a2 + ab – 5a – 5b |
15a3b + 3a2b3 |
x2+6x +9 |
2an -5bm-10bn + am |
2y(x -5) +x(x – 5) |
49m4 — 25n2 |
3a2 + 3ab -7a -7b |
С остальными учащимися даем характеристику
каждому перечисленному приему, демонстрируя на
экране.
Вынесение общего множителя (слайд 3)
Из каждого слагаемого, входящего в многочлен, выносится некоторый одночлен, входящий в качестве множителя во все слагаемые.
Таким общим множителем может быть не только одночлен, но и многочлен.
Группировка (слайд 4)
Бывает, что члены многочлена не имеют общего множителя, но после заключения нескольких членов в скобки (на основе переместительного и сочетательного законов сложения) удается выделить общий множитель, являющийся многочленом.
Применение формул сокращенного умножения (слайд 5)
Группа из двух, трех (или более) слагаемых, которая обращает выражение, входящее в одну из формул сокращенного умножения, заменяется произведением многочленов.
Задание 3. “Математическая эстафета”
Работа по командам. На последней парте каждого
ряда находится листок с 8 заданиями (по два
задания на каждую парту).
Ученики, получившие
листок, выполняют первые два задания и передают
листок впереди сидящим ребятам. Работа считается
оконченной, когда учитель получает три листка с
выполненными 8 заданиями. Побеждает та команда, в
которой раньше решат 8 примеров.
Проверка итогов работы осуществляется с помощью экрана (слайд 6).
Задания:
1 ряд |
2 ряд |
3 ряд |
3a + 12b |
16a2 + 8ab + b2 |
10a + 15c |
2a + 2b + a2 + ab |
3m – 3n + mn –n2 |
4a2 – 9b2 |
9a2 – 16b2 |
5a – 25b |
6xy – ab – 2bx -3ay |
7a2b – 14ab2 + 7ab |
4a2 – 3ab + a – ag + 3bg –g |
4a2 + 28 ab + 49 b2 |
m2 + mn – m – mg – ng + g |
9a2 – 30ab + 25b2 |
b(a + c) + 2a + 2c |
4a2 – 4ab +b2 |
2(a2 + 3bc) +a(3b+4c) |
5a3c– 20acb – 10ac |
2(3a2 + bc) + a(4b + 3c) |
144a2 — 25b2 |
х2 – 3x – 5x + 15 |
25a2 + 70ab + 49b2 |
9a3b – 18ab2 – 9ab |
9a2 – 6ac + c2 |
Этап 2
На практике при решении примеров часто
приходится использовать комбинацию различных
приемов.
Поэтому, чтобы решать такие примеры
сегодня, мы попытаемся выработать план их
последовательного применения. Здесь нужны не
только знания, но и опыт.
Задание 4. Разложить многочлен на множители и указать, какие приемы использовались при этом
Пример 1. 36а6в3 – 96а4в4 + 64 а2в5.
Решение. 36а6в3 – 96а4в4 + 64 а2в5 = 4а2в3(9а4 – 24а2в + 16в2) = 4а2в3(3а2 – 4в)2
Комбинировали два приема:
— вынесение общего множителя за скобки;
— использование формул сокращенного умножения.
Пример 2. а2 + 2ав + в2 – с2.
Решение. а2 + 2ав + в2 – с2 = (а2 +
2ав + в2) – с2 = (а +в)2 – с2 = (а
+ в – с)(а +в +с).
Комбинировали два приема:
— группировку;
— использование формул сокращенного умножения.
Пример 3. у3 — 3у2 + 6у – 8.
Решение. у3 — 3у2 + 6у – 8 = (у3 – 8) - (3у2 – 6у) = (у – 2)(у2 + 2у + 4) – 3у(у – 2) = (у – 2)(у2 – у + 4).
Комбинировали три приема:
— группировку;
— использование формул сокращенного умножения.
— вынесение общего множителя за скобки.
Эти примеры показывают, что при разложении многочлена на множители полезно соблюдать следующий порядок (слайд 7).
- Вынести общий множитель за скобку (если он есть).
- Попробовать разложить многочлен на множители по формулам сокращенного умножения.
- Попытаться применить способ группировки (если
предыдущие способы не привели к цели).
Задание 5
Совокупность различных приемов разложения на множители позволяет легко и изящно производить арифметические вычисления, решать уравнения вида ах2 + вх + с = 0 (а0) – такие уравнения называются квадратными, мы начнем изучать в 8-м классе, решать задачи на делимость, доказывать тождества.
1. Решить уравнения:
1. Решить уравнения:
а) х2 – 15х + 56 = 0
Решение.
х2 – 7х – 8х + 56 = 0,
(х2 – 7х) – (8х – 56) =0,
Х(х – 7) – 8(х – 7) = 0,
(Х – 7)(х – 8) = 0,
Х=7, х=8
б) х2 + 10х + 21 = 0
Решение.
х2 + 10х + 25 – 4 = 0
(х + 5)2 – 4 = 0
(х + 5 -2)(х +5 +2) = 0
(х +3)(х + 7) = 0
х = -3, х = -7.
При разложении многочлена на множители мы
увидели полный квадрат и таким образом применили
еще один прием разложения на множители: метод
выделения полного квадрата.
Этап 3
Задание 6. Самостоятельная работа
Разложить на множители, используя различные способы.
Вариант 1 |
Вариант 2 |
5а3 – 125ав2 |
63ав3 – 7а2в |
а2 – 2ав + в2 – ас + вс |
m2 + 6mn + 9n2 – m – 3n |
(с – а)(с + а) – в(в – 2а) |
(в – c)(в + c) – а(а + 2c) |
х2 – 3х + 2 |
х2 + 4х + 3 |
х4 + 5х2 + 9 |
х4 + 3х2 + 4 |
Самостоятельная работа проверяется на уроке с
помощью экран (слайд 9).
Подведение итогов урока
Провести фронтальный обзор основных этапов урока; отметить, что, кроме трех основных приемов разложения на множители: вынесения общего множителя за скобки, группировки, использование формул сокращенного умножения, познакомились еще с двумя способами: методом выделения полного квадрата, предварительным преобразованием; оценить работу учащихся и ориентировать в домашнем задании (слайд 10).
Домашнее задание
- Если вы получили оценку “2” или “3” – № 998 (а, в), 1002, 1004.
- “4” – № 1083 (а, в), 1085 (а-в),1090 (а).
- “5”– № 1083 (а, в), 1085 (а-в),1090 (а), 1089 (а, в).
BestMaths
Расширение в цифрах
Есть два способа вычислить 4(5 + 6)
Метод 1 | |
| Для вычисления 4(5 + 6) | Это означает 4 × (5 + 6) |
Используя правило BEDMAS, выражение в скобках должно быть вычислено первым. | 4 × 11 |
| Умножить. | 44 |
ИЛИ
Метод 2 | |
| Для вычисления 4(5 + 6) | это означает 4 × 5 + 4 × 6 |
| Используя правило BEDMAS, умножение выполняется перед сложением. | 20 + 24 |
| Добавить. | 44 |
Этот второй метод называется дистрибутивным свойством и может также использоваться в алгебре.
Расширение по алгебре
Выражение 2(p + 3) означает:
2 умножить на (p + 3)
ИЛИ
2 лотов (p + 3)
Следовательно, если убрать скобки, то результатом будет 2 лотов p и 2 много 3
Таким образом, 2(p + 3) = 2 × p + 2 × 3 = 2p + 6
Удаление скобок из выражения называется расширением выражения.
Обычно это происходит, когда термин вне скобок умножается на каждые терминов внутри скобок.
Внешний термин «распределяет» себя по внутренним терминам. Таким образом, имя дистрибутивного свойства .
Распределительная собственность в действии
Когда выражение расширяется, каждый член в скобках равен , умноженному на члена вне скобок.
Пример 1
3(p + 4) означает 3 , умноженное на (p + 4)
= 3.п + 3.4 = 3п + 12
Когда скобки раскрыты, выражение необходимо упростить, если это возможно.
Пример 2
5(у + 7) = 5 х у + 5 х 7 = 5у + 35
Расширить и упростить: | |
3(р + 8) | 3р + 24 |
4(2x − 5) | 8x − 20 |
-2(х — 3) | -2x + 6 |
5а(а-2) | 5а 2 − 10а |
Примечание При раскрытии скобки с ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ числом впереди знаки каждый термин внутри скобки меняется.
Факторинг
Разложение алгебраического выражения на множители — это противоположный процесс раскрытия скобок.
Включает размещение квадратных скобок в выражении.
После факторизации выражения его следует расширить, чтобы проверить его правильность.
Некоторые выражения нельзя разложить на множители.
Общие факторы
Общий множитель – это число или буква, которые делятся на каждый член выражения.
Если у каждого члена выражения есть общий делитель, этот общий делитель следует вынести и поместить перед скобками.
Нефакторизованное выражение | Общий множитель | Другой фактор | Факторизованное выражение |
2р + 4 | 2 | (р + 2) | 2(р + 2) |
4x − 8 | 4 | (х — 2) | 4(х — 2) |
12м + 18н | 6 | (2м + 3н) | 6(2м + 3н) |
3а 2 + 6а | 3а | (а + 2) | 3а(а + 2) |
Факторизация алгебраических выражений
Мы знаем, что произведение 5x² и 2x-3y = 5x²(2x-3y) = 10x³-15x²y.
Мы говорим, что 5x² и 2x-3y являются множителями 10x³-15x²y. Запишем это как 10x³-15x²y = 5x²(2x-3y).
Аналогично произведение 3x+7 и 3x-7 = (3x+7)(3x-7) = 9x²-49; мы говорим, что 3x+7 и 3x-7 являются множителями 9x²-49. Мы записываем это как 9x²-49 = (3x+7)(3x-7). Таким образом, когда алгебраическое выражение может быть записано как произведение двух или более выражений, то каждое из этих выражений называется множителем данного выражения. Факторизация алгебраических означает получение двух или более выражений, произведением которых является заданное выражение.
Процесс нахождения двух или более выражений, произведением которых является данное выражение, называется факторизацией алгебраических выражений. Таким образом, факторизация алгебраических выражений является обратным процессом умножения.
Вот несколько примеров для лучшего понимания:
Произведение
i) 7xy (5xy-3) = 35x²y²-21xy
35x²y²-21xy = 7 xy(5x²y²-21xy = 7 xy(5xy-3) 6b-5a²
² 903 ² 903 2 2 (4a+5b)(4a-5b)
(4a+5b)(4a-5b) = 16a²-25b²
iii) (p+3)(p-7) = p²-4p-21
P²- 4p-21 = (p+3)(p-7)
iv) (2x+3)(3x-5) = 6x²-x-15
6x²-x-15 = (2x+3)(3x- 5)
Методы факторизации алгебраических выражений
Факторизация с использованием идентификаторов может быть решена с использованием трех методов, которые можно использовать для факторизации алгебраических выражений, они:
, получение общих факторов
Группа
Разница двух квадратов
Разница двух квадратов
.
Приступая к факторизации, необходимо прояснить одну вещь: КОНЦЕПЦИЯ H.C.F. Да! Итак, что такое H.C.F.?Х.К.Ф. двух или более многочленов (с целыми коэффициентами) является наибольшим общим делителем данных многочленов.
H.C.F. двух или более одночленов = (H.C.F. их числовых коэффициентов) x (H.C.F. их буквенных коэффициентов)
7 литеральных коэффициентов = произведение каждого общего литерала в наименьшей степени Например,
H.C.F. из 6x²y² и 8xy³H.C.F. числовых коэффициентов = H.C.F. из 6 и 8 = 2.
H.C.F. буквенных коэффициентов = H.C.F. x²y² и xy³= произведение каждого общего литерала, возведенного в меньшую степень =xy²
Следовательно, H.C.F. из 6x²y² и 8xy³ = 2 x xy² = 2xy²
Факторизация алгебраических выражений путем вынесения общих множителей
Найти H.
C.F. всех членов/выражений данного многочленаЗатем разделите каждый член/выражение данного многочлена на H.C.F. Частное будет заключено в скобки, а общий множитель останется за скобками.
Вот несколько примеров;
Пример: 1
Разложите на множители следующие многочлены:
i) 24x³-32x²
ii) 15ab²-21a²b
Решения: разложение на множители следующих алгебраических выражений:
i) H.C.F.из 24x³ и 32x² равно 8x² 24x³-32x² = 8x²(3x-4)
ii) H.C.F. 15ab² и 21a²b равно 3ab 15ab²-21a²b = 3ab(5b-7a)
Пример: 2
Разложите на множители следующее:
i) 3x(y+2z)+5a(y+2z)
ii) 10(p-2q)³+6(p-2q)²-20(p-2q)
Решения: факторизация следующих алгебраических выражений:
i) H.C.F. из выражений
3x(y+2z) и 5a(y+2z) равно y+2z
3x(y+2z)+ 5a(y+2z) = (y+2z)(3x+5a)
ii) Х.
К.Ф. из выражений 10(p-2q)³,6(p-2q)² и 20(p-2q) равно 2(p-2q) 10(p-2q)³+6(p-2q)² — 20(p-2q) = 2(p-2q)
5(p−2q)²+3(p−2q)−10
Факторизация алгебраических выражений путем группировки членов
Когда группировка членов или факторизация путем перегруппировки членов данного многочлена дает общий множитель, то данный многочлен можно разложить на множители с использованием общих множителей, если следовать следующей процедуре:
Упорядочить члены данного многочлены по группам, так что каждая группа имеет общий делитель.
Разложите каждую группу на множители.
Выберите фактор, общий для каждой группы.
Примечание: факторизация алгебраических выражений группировкой возможна только в том случае, если данный полином содержит четное число членов.
Вот несколько примеров:
Пример: 1
Разложите на множители следующие многочлены:
i) ax-ay+bx-by
ii) 4x²-10xy-6xy+15yz следующее:
i)ax-ay+bx-by = (ax-ay)+(bx-by)
= a(x-y)+b(x-y)
+ ii) 4x²-10xy-6xy+15yz = (4x²-10xy)-(6xy+15yz)
= 2x(2x-5y)-3z(2x-5y)
= (2x-5y)(2x-3z)
Пример: 2
Разложите на множители следующее выражение:
i) xy-pq+qy-px
ii) a²+bc+ab+ca
Решения : i) Так как xy и pq не имеют ничего общего, мы не группируем термы в пары в том порядке, в котором записано данное выражение.
Здесь мы меняем местами -pq и -pxСледовательно, xy-pq+qy-px = (xy-px)+(qy-pq)
= x(y-p)+q(y-p) х+д)
ii) a²+bc+ab+ca = a²+ab+bc+ca
= a(a+b)+c(b+a)
= a(a+b)+c(a+b )
= (a+b)(a+c)
Разность двух квадратов
a+b)(a-b)
Пример: 1 Разложите на множители 25a²-64b²
Решение: 25a²-64b² = (5a)²-(8b)² = (5a+8b)(5a-8b)
Ключевые понятия, рассмотренные в Факторизация —
Факторы натуральных чисел
Факторы алгебраических выражений
Что такое факторизация?
Метод общих факторов
Факторизация путем перегруппировки Условий Факторизации с использованием идентификаторов
Факторы формы (x + a) (x + b)
дивизиона
77777777777777 гг. монома другим мономомДеление многочлена на одночлен
Деление алгебраических выражений Продолжение (полиномиальное ÷ полиномиальное)
Ранее мы узнали, что любое число можно представить в виде его множителей. Следовательно, алгебраические выражения также могут быть выражены в виде множителей. Алгебраическое выражение включает в себя переменные, константы и операторы.
Например, сумма 5x² и 2x-3y = 5x²(2x-3y) = 10x³-15x²y. Здесь 5x² и 2x-3y являются множителями 10x³-15x²y. Их можно представить как -10x³-15x²y = 5x²(2x-3y).
Аналогично произведение 3x+7 и 3x-7 = (3x+7)(3x-7) = 9x²-49; мы говорим, что 3x+7 и 3x-7 являются множителями 9x²-49. Мы записываем это как 9x²-49 = (3x+7)(3x-7).
Поэтому все они называются множителями данного выражения только тогда, когда алгебраическое выражение может быть выражено как произведение двух или более выражений.
Различные методы факторизации алгебраических выражений —
Напоминание — чтобы понять концепцию факторизации алгебраических выражений, учащиеся должны пройти через H.C.F, который является высшим общим множителем.
Х.К.Ф. двух или более многочленов считается наибольшим общим делителем данных многочленов.
H.C.F двух или более одночленов = (h c f их числовых коэффициентов) x (h c f их буквальных коэффициентов).
H c f литеральных коэффициентов = произведение каждого общего литерала, возведенного в низшую степень.
Заключение
Факторизация алгебраических выражений — чрезвычайно важное понятие, изучаемое в главе 14 «Факторизация». На предыдущих занятиях мы изучали факторизацию чисел, а теперь изучим факторизацию алгебраических выражений. В этой главе подробно объясняется, как мы можем выразить алгебраические выражения как произведения их множителей. Заметки о факторизации алгебраических выражений, подготовленные командой Веданту, пригодятся, когда студенты хотят повторить перед экзаменом.
Приступая к факторизации, необходимо прояснить одну вещь: КОНЦЕПЦИЯ H.C.F. Да! Итак, что такое H.C.F.?
C.F. всех членов/выражений данного многочлена
К.Ф. из выражений 10(p-2q)³,6(p-2q)² и 20(p-2q) равно 2(p-2q) 
Здесь мы меняем местами -pq и -px
монома другим мономом
