Разложение на множители сокращение дробей: Применение разложения на множители для сокращения алгебраических дробей. Алгебра, 7 класс: уроки, тесты, задания.

письмо «Применение разложения на простые множители к сокращению дробей»

Письмо 4. Уроки № 6-7.

Инструкция. Как работать с письмом?

1. Прочитайте письмо от начала до конца «от корки до корки».

2. Возьмите карандаш и выделите карандашом те фрагменты, которые надо записать в классную тетрадь.

3. Приготовьте учебник, тетрадь, пенал.

4. Начинайте читать третий раз, выполняя записи и упражнения в тетради, соблюдая мои советы.

5. Прочитайте четвертый раз и выделите те моменты, которые вам не понятны. В эфире урока во вторник зададите свои вопросы.

Здравствуйте, ребята! Начинается новая неделя «на удаленке». Надеюсь, что вы немного привыкли обучаться самостоятельно. Рада, что многим из вас помогают родители: отправляют сообщения, держат связь с учителями. Это здорово! Большое им спасибо. На этой неделе мы работаем по предмету математика по следующему расписанию:

понедельник 13. 04.20 – вы получаете и изучаете письмо 4, выполняете задания, готовитесь обсудить со мной эту тему.

вторник 14.04.20 – эфир урока в Discord в 9.15

среда 15.04.20 – эфир урока в Discord в 12.00, получаете письмо 5.

четверг 16.04.20 – отправляете ответ на письмо 5 до 14.00.

На этой неделе у вас будет возможность получить оценки за устные ответы на уроках (во вторник и в среду).

Цель на неделю — узнать, для каких операций в математике можно применять разложение числа на простые множители.

Задача на неделю – научиться применять разложение на простые множители к сокращению дробей, к нахождению НОД и НОК.

Но сначала проверим, как вы усвоили предыдущий урок. При проверке ваших работ я увидела, что не все следуют моему образцу оформления. Если надо разложить число на простые множители, то вы:

1) проводите разложение «столбиком» (как на рис.)

₂₎ записывайте каноническое разложение _.

_{Обратите внимание: всего два пункта.}

_{Для тех, кто не смог справиться с этой темой – помните: наше дальнейшее продвижение будет зависеть от того, как вы научитесь выполнять разложение на простые множители.}

Но большинство из вас получили хорошие и отличные оценки. Я рада и горжусь вашей работой. Надеюсь, что она честная!

Сегодня мы поговорим с вами о сокращении дробей. Кто-то возмутится!!!! Мы это уже изучали. Конечно, в 5 классе! Но тема «Разложение на простые множители» — настоящая Золушка в сокращении дробей (вам надо только аккуратно все записать, и ответ будет идеальным, т. е. Золушка за Вас всё сделает).

Что же мы умеем делать? Как мы раньше сокращали дроби? Вспомним! Открывайте тетрадь и записывайте тему урока «СОКРАЩЕНИЕ ДРОБЕЙ С ПОМОЩЬЮ РАЗЛОЖЕНИЯ НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ».

1 способ. Мы знаем основное свойство дроби. Если числитель и знаменатель дроби разделить на одно и то же число, то получится равная ей дробь. Т.е. выполняется равенство .

Например, . Такое преобразование мы называли с вами – сокращением дробей. Надеюсь, что вы записали это в тетрадь!

2 способ. Идем дальше, в этом году мы познакомились с признаками делимости и сокращали дроби последовательно. Например,

, т.е. сначала сократили на 3, потом 5, далее на 7. Так тоже – верно!

А сегодня мы попробуем выполнять сокращение с помощью разложения на простые множители. Откройте учебник стр. 197 №919. Посмотрите, какие «страшные» дроби! Но мы сначала выполним №918.

Разложим 350 и 756 на простые множители. Выполните самостоятельно по образцу (только пункт 1(разложение «столбиком»), без канонического разложения). А потом выпишите произведение простых множителей строчкой.

Если вы все сделали правильно, то у вас получились следующие ответы, проверьте: 350 = 2∙5∙5∙7 756 = 2∙2∙3∙3∙3∙7. А теперь вернемся к №919 (б). Необходимо сократить дробь . Заменим 350 и 756 на произведение множителей. (Запишите образец в тетрадь).

Образец записи.

. Все одинаковые множители сокращаем! Помните, я вам писала о Золушке, посмотрите, как и мы быстро справились с этим примером. После разложения нам осталось только вычеркнуть одинаковые множители и выполнить умножение. А ответ – НЕСОКРАТИМАЯ ДРОБЬ. Точно уже ошибок не будет! Преимущество этого способа, действительно в том, что всегда получается несократимая дробь.

Выполните тренировочные упражнения.

№1. Сократите дроби, предварительно разложив числитель и знаменатель на простые множители:

а) б) в)

Именно с этих примеров начнем завтрашний урок.

За окном – апрель, скоро окончание учебного года, значит, пора подводить итоги. А всё ли вы помните? Давайте проверим. Решайте самостоятельно!!!

№2. Решите уравнение

_№3. Найдите значение числового выражения: (Подумайте, как лучше вычислить)

_{№4. Приведите пример двух чисел, сумма которых меньше их разности, а модуль каждого числа больше 5, но меньше 10.}

САМОПРОВЕРКА.

Ответы к номерам:

№1. а) б) в) дробь несократимая

№2. х = — 2 (Помните: сначала раскрыть скобки, потом перенос слагаемых – и соблюдайте все правила)

№3. 1.

Если вы решили неверно, то находите ошибки, а не подгоняйте под ответ!

№4. Например, – 6 и 9. Модуль каждого числа больше 5, но меньше 10.

Сумма чисел равна – 6+ 9 = 3. Разность чисел 9 – (– 6) = 15. Сумма 3 меньше разности 15.

Мой пример не записывать, воспользуйтесь объяснением и найдите свои примеры чисел.

Всего доброго. До свидания.

P.S. Надеюсь всё, что напечатано черным шрифтом в письме, у вас записано в тетради.

Сокращение дробей – примеры, правила, формулы (6 класс, математика)

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 261.

4.6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 261.

Сокращение дробей тема достаточно трудная для математики 6 класса, поэтому разбирать ее стоит поэтапно. Чтобы не допускать ошибок, первые сокращения лучше делать так же, поэтапно. Приведем алгоритм, чтобы не допускать ошибок и научится быстро и просто сокращать любые дроби.

Алгоритм сокращения дробей.

Сначала нужно сказать, что само сокращение дробей возможно благодаря одному из определений дроби.

Дробь – это незавершенная операция деления. Имеется в виде, что всегда любую дробь можно заменить частным. Замена дробью нужна, чтобы сохранить точность вычислений.

Посмотрим, как выглядит подробное сокращение на примере:

$${25\over{40}}=25:40=(5*5):(5*8)=5:8 $$

Чтобы каждый раз не расписывать – это выражение, можно пользоваться правилом сокращения дробей: если умножить или разделить знаменатель на одно и тоже число, то значение дроби не измениться.

Теперь запишем сам алгоритм. Для того, чтобы сократить дробь нужно:

• Представить числитель и знаменатель в виде простых множителей.
• Сократить каждый из равных простых множителей.
• Перемножить оставшиеся числа и записать результат.

Вместо того, чтобы расписывать в качестве множителей числитель и знаменатель, можно просто найти НОД числителя и знаменателя. Это и будет максимально возможное число, на которое можно разделить оба значения.

Специальной формулы для сокращения любой дроби не существует, зато можно использовать правила, приведенные в этом алгоритме.

Как найти НОД?

Вспомним, как находится НОД:

• Первый шаг это разложение числа на простые множители.
• В разложении ищутся общие простые числа и выписываются в отдельное выражение.
• Получившееся значение и есть НОД.

Приведем пример.
Необходимо найти НОД чисел 150 и 294.

150=2*3*5*5

98=2*3*7*7

НОД=2*3=6

Пример

Приведем пример сокращения дробей. Для этого упрости дробь ${513216\over{145152}}$. Для примера специально выбраны большие числа, чтобы показать, как самое большое число может стать маленьким в результате упрощения.

Мы не будем искать НОД, разложим числа на простые множители и найдем общие значения.

513216:2=256608 – в первую очередь число делится на 2. Чтобы число делилось на два, нужно, чтобы число единиц было четным.

256608:2=128304 – деление на 2 продолжается вплоть до момента, когда последняя цифра числа перестанет быть четной. После этого пробуем делить число на 3 и другие простые числа. Все простые числа есть в таблице простых чисел.

128304:2=64152

64152:2=32076

32076:2=16038

16038:2=8019

8019:3=2673

2673:3=891

891:3=297

297:3=99

99:3=33

33:3=11

11:11=1

Запишем результат разложения: 513216=2*2*2*2*2*2*3*3*3*3*3*3*11 – всего получилось 6 чисел 3, 6 чисел 2 и число 11. Таким же образом разложим 145152.

145152:2=72576

72576:2=36288

36288:2=18144

18144:2=9072

9072:2=4536

4536:2=2268

2268:2=1134

1134:2=567

567:3=189

189:3=63

63:3=21

21:3=7

7:7=1

Запишем результаты:

145152=2*2*2*2*2*2*2*2*3*3*3*3*7 – всего 8 чисел 2, 4 числа 3 и одно число 7.

В обоих числах нужно сократить 6 чисел 2 и 4 числа 3. Запишем получившийся числитель. В нем останутся числа: 2 числа 3 и число 11

3*3*11=99

Запишем получившийся знаменатель. В нем останутся числа: 2 числа два и число 7

2*2*7=28

В результате сокращения получилась дробь:

${99\over{28}}$ – при желании можно выделить целую часть. Но, если этого не требуется в условии задачи, то допускается оставить ответ в таком виде.

Что мы узнали?

Мы поговорили о сокращении дробей. Узнали, почему сокращение возможно. Выяснили, как правильно производить сокращение. Привели алгоритм сокращения и два способа проведения операции. Рассмотрели пример сокращения дробей.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

• Олеся Смирнова

  10/10

• Елена Хромова

  8/10

• Саша Титаренко

  10/10

• Валентина Чалышева

  10/10

Оценка статьи

4.

6

Средняя оценка: 4.6

Всего получено оценок: 261.

---

А какая ваша оценка?

Приведение дробей к наименьшим терминам — объяснение!

Смешанные и неправильные дробиУмножение и делениеСложение и вычитание полиномиальных дробей

Purplemath

В дальнейшем будет иногда полезно помнить, что дроби могут указывать на деление. Например, ¹ / ₃ может означать «один, разделенный на три», а также «одна часть из трех частей». На самом деле, давайте перейдем к делу; запомните это предложение: «Дроби — это деление».

Вы знаете, что любое число, деленное само на себя, равно 1. Вы используете этот факт, когда сокращаете дроби. Если вы можете преобразовать часть данной дроби в форму, умноженную на 1, то вы можете игнорировать эту часть, потому что умножение на 1 ничего не меняет.

Содержание продолжается ниже

MathHelp.com

Приведение дробей к наименьшим терминам

Например, вот как можно найти и использовать форму 1 для сокращения дроби ⁴ / ₈ в наименьшем члене (то есть в простейшей форме):

Чтобы быть предельно ясным, смысл нахождения общего множителя (в данном случае 4-х) состоит в том, чтобы позволить вам преобразовать часть дроби в 1. Поскольку ⁴ / ₄ = 1, то то, что я сделал выше, было следующим:

---

Внимание: Обратите внимание, как я перешел от дроби с произведениями (в числителе и знаменателе):

.. .to произведение дробей:

Этот переключатель в порядке, пока вы умножаете:

…но это совсем НЕ, если вы добавляете. Например:

Левая часть выше, представляющая дробь, содержащую сложение, равна ⁵ / ₆ , а правая часть выше, будучи сложением, содержащим дроби, равна 1 ¹ / ₂ , так что эти два выражения не являются одним и тем же значением. Просто помните: дроби умножать намного проще, чем складывать. Теперь вернемся к делу…

---

В дополнение к методу отмены, который я использовал выше (с розовыми цифрами 1), вы, возможно, видели одно из следующих сокращений для отмены:

Любой из этих форматов подходит. Два метода стенографии, вероятно, являются самыми простыми для вашей рукописной домашней работы; формат, который я использовал выше, легче для набора текста.

---

Может ли мой калькулятор уменьшать для меня дроби?

Если у вас есть обычный (научный, деловой и т. д.) калькулятор, который может обрабатывать дроби, вы можете ввести дробь, а затем нажать кнопку «равно», чтобы получить уменьшенную дробь. Если у вас есть графический калькулятор с командой дроби, вы можете ввести дробь как деление (потому что ⁴ / ₈ означает «четыре разделить на восемь»), а затем преобразовать в дробную форму. Подробности смотрите в руководстве пользователя вашего калькулятора.

Если ваш калькулятор не может работать с дробями или если знаменатель слишком велик для калькулятора, вам нужно будет выполнить сокращение вручную. (И вам понадобятся концепция и методология приведения дроби в более поздних курсах алгебры.)

Каковы шаги для приведения дроби к простейшей форме?

1. Разложите числитель и знаменатель на множители.
2. Отметьте все множители, которые являются общими для числителя и знаменателя.
3. Отменить пары общих множителей.
4. Умножьте все, что останется после отмены.

Помните, что если «все» сокращается, скажем, из числителя, то все равно остается множитель 1. Все всегда умножается на 1, но мы обычно этого не замечаем. Однако, если все нетривиальные множители (то есть все множители, не равные 1) сокращаются путем сопоставления множителей с другой стороны дробной линии, то у вас все еще есть эта 1; фракция не становится безголовой.

Что является примером сокращения дроби до наименьших членов?

• Привести к простейшей форме.

Я возьму свой калькулятор и лист бумаги и сомножу числитель (верхнее число) и знаменатель (нижнее число). Быстрая запись для получения простой факторизации каждого из этих чисел показана ниже, в суммированном делении (по простым числам) 2940:

Чтобы найти факторизацию, я просто прочитал простые множители снаружи верхней стороны. -нижнее деление. Из вышесказанного я вижу, что 2940 множителей как 2×2×3×5×7×7.

---

---

Далее я разложу на множители знаменатель, являющийся числом 3150:

Итак, 3150 делим как 2×3×3×5×5×7.

Теперь я могу сократить дробь, сократив общие множители:

Итак, после сокращения всех множителей, которые дублировались (то есть были общими) в числителе и знаменателе, моя упрощенная форма будет такой:

 

Вы можете использовать виджет Mathway ниже, чтобы попрактиковаться в сокращении дробей. Попробуйте введенное упражнение или введите свое собственное упражнение. Затем нажмите кнопку, чтобы сравнить свой ответ с ответом Mathway. Или пропустите виджет и продолжите урок.)

Пожалуйста, примите куки-файлы настроек, чтобы включить этот виджет.

(Нажмите «Нажмите, чтобы просмотреть шаги», чтобы перейти на сайт Mathway для платного обновления.)

---

URL: https://www.purplemath.com/modules/fraction.htm 2Page 3Page 4Page 5

Как уменьшить дробь

Сокращение дроби — это процесс упрощения дроби путем деления числителя и знаменателя на одно и то же число. Это число обычно является множителем как числителя, так и знаменателя. Деление на общий множитель не изменит значение дроби, но может упростить работу с ней. Например, если у вас есть дробь ¾, вы можете уменьшить ее до 1/3, разделив числитель (3) и знаменатель (4) на 2. Есть несколько различных методов, которые вы можете использовать для сокращения дробей. В этом сообщении блога мы рассмотрим некоторые из этих методов и когда их следует использовать. Читайте дальше, чтобы узнать больше!

Как сократить дроби?

Чтобы сократить дробь, разделите числитель и знаменатель на наибольший общий делитель. Наибольший общий делитель — это наибольшее число, которое делится без остатка как на числитель, так и на знаменатель. Например, наибольший общий делитель 8 и 12 равен 4. Итак, чтобы уменьшить 8/12, мы должны разделить и 8, и 12 на 4, чтобы получить 2/3.

Методы сокращения дробей

Существует несколько методов сокращения дробей, которые вы можете использовать в зависимости от того, чего вы пытаетесь достичь. Самый распространенный способ сокращения дроби — разделить числитель и знаменатель на наибольший общий множитель (НОД). Это даст вам самые низкие условия для дроби.

Если вы хотите просто уменьшить размер дроби, но не обязательно изменить ее значение, вы также можете разделить и числитель, и знаменатель на любое число. Например, если разделить на 2, дробь уменьшится пополам. Только будьте осторожны, чтобы случайно не изменить его значение!

Другой способ сокращения дробей — преобразование их в десятичные. Это можно сделать, разделив числитель на знаменатель. Это даст вам точное значение дроби, которое вы можете затем округлить по мере необходимости.

Наконец, если вы хотите превратить смешанную дробь (целое число и дробь) в неправильную дробь (просто числитель над знаменателем), то вы можете умножить целое число на знаменатель и добавить его к числителю. Это даст вам новую неправильную дробь в сокращенной форме.

Метод эквивалентных дробей

Сокращение дроби — это процесс нахождения более простой эквивалентной дроби. Самый простой способ сделать это — найти общий множитель между числителем и знаменателем и разделить их на это число. В результате получится дробь, равная исходной, но с меньшими числами.

Например, если у нас есть дробь ¾, мы можем видеть, что число 3 является общим делителем между 3 и 4. Если мы разделим и 3, и 4 на 3, мы получим новую дробь 1/1, которая равна ¾.

Этот метод можно применить к любой дроби для упрощения. Просто не забудьте найти общий множитель между числителем и знаменателем, а затем разделить оба на это число!

Метод GCF

Метод GCF (Greatest Common Factor) — отличный способ уменьшить дроби. Этот метод также иногда называют методом наибольшего общего делителя (НОД). GCF двух или более чисел — это наибольшее число, которое делится на все числа без остатка. Чтобы использовать этот метод, начните с нахождения GCF числителя и знаменателя дроби, которую вы хотите уменьшить. Затем разделите числитель и знаменатель дроби на GCF. Это даст вам уменьшенную фракцию с эквивалентным значением.

Допустим, мы хотим уменьшить дробь ¾ . Мы начнем с нахождения GCF 3 и 4, который равен 1. Затем мы разделим и 3, и 4 на 1, чтобы получить 3 ÷ 1 = 3 и 4 ÷ 1 = 4. Итак, ¾ можно сократить до ? .

Метод простой факторизации

Чтобы найти простую факторизацию числа, начните с поиска наименьшего простого числа, которое делится на это число без остатка. Затем продолжайте делить на то же самое простое число, пока не перестанете делить без остатка. В этот момент перейдите к следующему наименьшему простому числу и повторите процесс. Продолжайте до тех пор, пока все множители не станут простыми числами.

Чтобы проиллюстрировать это, давайте посмотрим, как найти разложение 48 на простые множители. Наименьшее простое число, которое делится на 48 без остатка, равно 2, поэтому начнем с него:

48 ÷ 2 = 24
24 ÷ 2 = 12
12 ÷ 2 = 6
6 ÷ 2 = 3
3 ÷ 3 = 1

Как видите, как только мы дошли до коэффициента 3, мы больше не могли делить без остатка на 2. Итак, мы перешли к следующее наименьшее простое число (3) и продолжается до тех пор, пока все множители не станут простыми числами. В этом случае полная простая факторизация числа 48 равна: 2 × 2 × 2 × 2 × 3

Дроби в числовой строке

Когда дело доходит до дробей, одним из самых полезных инструментов, который вы можете иметь, является числовая строка. Числовая линия может помочь вам визуализировать, что означает дробь, и может быть полезным инструментом, когда дело доходит до сокращения дробей.

Чтобы сократить дробь, нужно найти ее наибольший общий делитель и разделить числитель и знаменатель на это число. Например, если вы пытаетесь уменьшить дробь ¾, вам нужно найти наибольший общий делитель между 3 и 4. Наибольший общий делитель между 3 и 4 равен 1, поэтому вы должны разделить 3 на 1 и 4 на 1, чтобы получить уменьшенную дробь ½ .

Числовые линии могут быть полезным инструментом, когда дело доходит до нахождения наибольшего общего делителя между двумя числами. Для этого просто найдите два числа на числовой прямой и посчитайте, сколько пробелов между ними. В нашем примере выше есть четыре пробела между 3 и 4 на числовой прямой. Это означает, что наибольший общий делитель между этими двумя числами равен 4.

Если вам трудно представить себе этот процесс, попробуйте нарисовать числовую прямую на листе бумаги. Затем пометьте каждую точку дробями, с которыми вы работаете. После того, как вы это сделаете, вам будет легче понять, как работает нахождение наибольшего общего множителя на числовой прямой.

Плюсы и минусы сокращения дроби

Когда дело доходит до дробей, нет универсального ответа на вопрос, является ли сокращение дроби лучшим способом действий. Это зависит от конкретной ситуации и того, чего вы надеетесь достичь, сократив дробь. В некоторых случаях уменьшение дроби может помочь сделать расчеты проще и точнее. В других случаях сокращение дроби может усложнить задачу. Давайте подробнее рассмотрим плюсы и минусы сокращения дроби:

Основное преимущество сокращения дроби заключается в том, что это часто может упростить вычисления. Это потому, что когда вы уменьшаете дробь, вы, по сути, устраняете все ненужные факторы, которые в противном случае усложнили бы ваш расчет. Например, если вы добавляете две дроби и одну из них можно уменьшить, это часто значительно упрощает процесс сложения.

Другим потенциальным преимуществом сокращения дроби является то, что иногда это может сделать результаты более точными. Это особенно верно в тех случаях, когда округление может быть проблемой. Если вы сократите дробь перед выполнением каких-либо вычислений, вы всегда получите максимально точный ответ.

С другой стороны, перед сокращением дроби следует принять во внимание некоторые недостатки. Одним из недостатков является то, что иногда это может сделать вещи более запутанными, особенно для новичков, которые все еще пытаются понять дроби в целом. Если вы сократите дробь перед тем, как работать с ней, может быть сложнее понять, что происходит в общем расчете.

Как сократить дроби с переменными?

Чтобы сократить дробь с переменными, сначала определите наибольший общий делитель числителя и знаменателя. Затем разделите числитель и знаменатель на наибольший общий множитель. Полученная фракция находится в наименьших условиях.

Когда сокращать дробь

Чтобы сокращать дробь, разделите числитель и знаменатель на наибольший общий множитель. Наибольший общий множитель — это наибольшее число, которое делится без остатка как на числитель, так и на знаменатель. Чтобы найти наибольший общий делитель дроби, перечислите делители как числителя, так и знаменателя. Наибольший общий делитель будет наибольшим числом, которое появляется в обоих списках.

Например, чтобы уменьшить дробь ¾, перечислите множители 3 (3, 1) и перечислите множители 4 (4, 2, 1). Наибольший общий делитель равен 1, поэтому ¾ сводится к 1/1 или 1.

Вот еще несколько примеров:

Чтобы уменьшить 8/12, перечислите множители 8 (8, 4, 2, 1) и перечислите множители 12 (12, 6, 4, 3, 2, 1) . Наибольший общий делитель равен 4, поэтому 8/12 сводится к 2/3.

Чтобы уменьшить 15/25, перечислите множители 15 (15, 5, 3, 1) и перечислите множители 25 (25, 5, 5, 1). Наибольший общий делитель равен 5 , поэтому 15/25 сводится к 3/5 .

Советы и рекомендации по сокращению дробей

Чтобы сократить дробь, разделите числитель и знаменатель на наибольший общий множитель. Наибольший общий множитель — это наибольшее число, на которое без остатка делятся и числитель, и знаменатель. Чтобы найти наибольший общий множитель, перечислите множители каждого числа и найдите наибольшее число, которое встречается в обоих списках.

Например, чтобы уменьшить дробь ¾, перечислите множители 3 (3, 1) и множители 4 (4, 2, 1). Наибольший общий делитель равен 1, поэтому ¾ становится 1/1 или 1.

Вот несколько советов и приемов, которые помогут вам сокращать дроби:

-Начните с нахождения наибольшего общего делителя числителя и знаменателя. Вы можете сделать это, перечислив факторы каждого числа и найдя число, которое появляется в обоих списках.

-Найдя наибольший общий множитель, разделите числитель и знаменатель на это число. Это даст вам уменьшенную фракцию.