Решить уравнение со степенью онлайн: Решение квадратных уравнений онлайн

Уравнение пятой степени. Частное решение.

Полином Чебышева с свободным членом Создать вектор(диофант) по матрице Египетские дроби. Часть вторая Египетские (аликвотные) дроби По сегменту определить радиус окружности Круг и площадь, отсекаемая перпендикулярами Деление треугольника на равные площади параллельными Определение основных параметров целого числа Свойства обратных тригонометрических функций Разделить шар на равные объемы параллельными плоскостями Взаимосвязь между организмами с различными типами обмена веществ Аутотрофные и миксотрофные организмы Рассечение круга прямыми на равные площади Период нечетной дроби онлайн. Первые полторы тысяч разложений. Представить дробь, как сумму её множителей Решение системы из двух однородных диофантовых уравнений Расчет основных параметров четырехполюсника Цепочка остатков от деления в кольце целого числа Система счисления на базе ряда Фибоначчи онлайн Уравнение пятой степени. Частное решение. Рассчитать площадь треугольника по трем сторонам онлайн Общее решение линейного диофантового неоднородного уравнения Частное решение диофантового уравнения с несколькими неизвестными Онлайн разложение дробно рациональной функции Корни характеристического уравнения

Два значения частного уравнения 5 степени Заданное уравнение Корни полинома пятой степени Вспомогательные коэффициенты В данном материале рассматривается одно из решений уравнения пятой степени частного вида. 2}{5}x+(i)=0\) На этом уравнении, несмотря на то что все значения совпадают, знак надо менять на противоположный. Почему так и какой критерий, я еще пока не понял. Корни полинома пятой степени 0.80517978551219-0.90690579788299i -0.42780028378999-0.63253712529931i -1.0695749012912+0.51597635530179i -0.23323335872174+0.95142805026712i 0.92542875829085+0.072038517613355i         Факториальный многочлен >> Поиск по сайту

Русский и английский алфавит в одну строку Часовая и минутная стрелка онлайн. Угол между ними. Массовая доля химического вещества онлайн Декoдировать текст \u0xxx онлайн Универсальный калькулятор комплексных чисел онлайн Перемешать буквы в тексте онлайн Частотный анализ текста онлайн Поворот точек на произвольный угол онлайн Обратный и дополнительный код числа онлайн Площадь многоугольника по координатам онлайн Остаток числа в степени по модулю Расчет пропорций и соотношений Как перевести градусы в минуты и секунды Расчет процентов онлайн Поиск объекта по географическим координатам Растворимость металлов в различных жидкостях DameWare Mini Control. Настройка. Время восхода и захода Солнца и Луны для местности Калькулятор географических координат Расчет значения функции Эйлера Теория графов. Матрица смежности онлайн Перевод числа в код Грея и обратно Произвольный треугольник по заданным параметрам НОД двух многочленов. Greatest Common Factor (GCF) Географические координаты любых городов мира Площадь пересечения окружностей на плоскости Непрерывные, цепные дроби онлайн Онлайн определение эквивалентного сопротивления Сообщество животных. Кто как называется? Проекция точки на плоскость онлайн Из показательной в алгебраическую. Подробно Калькулятор онлайн расчета количества рабочих дней Система комплексных линейных уравнений Расчет заряда и разряда конденсатора через сопротивление Расчет понижающего конденсатора Месторождения золота и его спутники Построить ненаправленный граф по матрице Определение формулы касательной к окружности Дата выхода на работу из отпуска, декрета онлайн Каноническое уравнение гиперболы по двум точкам Онлайн расчеты Подписаться письмом

Решение уравнений высших степеней

В общем случае уравнение, имеющее степень выше 4, нельзя разрешить в радикалах. Но иногда мы все же можем найти корни многочлена, стоящего слева в уравнении высшей степени, если представим его в виде произведения многочленов в степени не более 4-х. Решение таких уравнений базируется на разложении многочлена на множители, поэтому советуем вам повторить эту тему перед изучением данной статьи.

Чаще всего приходится иметь дело с уравнениями высших степеней с целыми коэффициентами. В этих случаях мы можем попробовать найти рациональные корни, а потом разложить многочлен на множители, чтобы потом преобразовать его в уравнение более низкой степени, которое будет просто решить. В рамках этого материала мы рассмотрим как раз такие примеры.

Уравнения высшей степени с целыми коэффициентами

Все уравнения, имеющие вид anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0, мы можем привести к уравнению той же степени с помощью умножения обеих частей на ann-1 и осуществив замену переменной вида y=anx:

anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0ann·xn+an-1·ann-1·xn-1+…+a1·(an)n-1·x+a0·(an)n-1=0y=anx⇒yn+bn-1yn-1+…+b1y+b0=0

Те коэффициенты, что получились в итоге, также будут целыми. Таким образом, нам нужно будет решить приведенное уравнение n-ной степени с целыми коэффициентами, имеющее вид xn+anxn-1+…+a1x+a0=0.

Схема решения уравнения

Вычисляем целые корни уравнения. Если уравнение имеет целые корни, нужно искать их среди делителей свободного члена a0. Выпишем их и будем подставлять в исходное равенство по очереди, проверяя результат. Как только мы получили тождество и нашли один из корней уравнения, то можем записать его в виде x-x1·Pn-1(x)=0. Здесь x1 является корнем уравнения, а Pn-1(x) представляет собой частное от деления xn+anxn-1+…+a1x+a0 на x-x1.

Подставляем остальные выписанные делители в Pn-1(x)=0, начав с x1, поскольку корни могут повторяться. После получения тождества корень x2 считается найденным, а уравнение может быть записано в виде (x-x1)(x-x2)·Pn-2(x)=0.Здесь Pn-2(x) будет частным от деления Pn-1(x) на x-x2.

Продолжаем и дальше перебирать делители. Найдем все целые корни и обозначим их количество как m. После этого исходное уравнение можно представить как x-x1x-x2·…·x-xm·Pn-m(x)=0. Здесь Pn-m(x) является многочленом n-m-ной степени. Для подсчета удобно использовать схему Горнера.

Если у нас исходное уравнение имеет целые коэффициенты, мы не можем получить в итоге дробные корни.

У нас в итоге получилось уравнение Pn-m(x)=0, корни которого могут быть найдены любым удобным способом. Они могут быть иррациональными или комплексными.

Покажем на конкретном примере, как применяется такая схема решения.

Пример 1

Условие: найдите решение уравнения x4+x3+2×2-x-3=0.

Решение

Начнем с нахождений целых корней.

У нас есть свободный член, равный минус трем. У него есть делители, равные 1, -1, 3 и -3. Подставим их в исходное уравнение и посмотрим, какие из них дадут в итоге тождества.

При x, равном единице, мы получим 14+13+2·12-1-3=0, значит, единица будет корнем данного уравнения.

Теперь выполним деления многочлена x4+x3+2×2-x-3 на (х-1) в столбик:

Значит, x4+x3+2×2-x-3=x-1×3+2×2+4x+3.

Перебираем возможные делители дальше, но подставляем их в равенство x3+2×2+4x+3=0:

13+2·12+4·1+3=10≠0(-1)3+2·(-1)2+4·-1+3=0

У нас получилось тождество, значит, мы нашли еще один корень уравнения, равный -1.

Делим многочлен x3+2×2+4x+3 на (х+1) в столбик:

Получаем, что 

x4+x3+2×2-x-3=(x-1)(x3+2×2+4x+3)==(x-1)(x+1)(x2+x+3)

Подставляем очередной делитель в равенство x2+x+3=0, начиная с -1:

-12+(-1)+3=3≠032+3+3=15≠0(-3)2+(-3)+3=9≠0

Равенства, полученные в итоге, будут неверными, значит, у уравнения больше нет целых корней.

Оставшиеся корни будут корнями выражения x2+x+3.

D=12-4·1·3=-11<0

Из этого следует, что у данного квадратного трехчлена нет действительных корней, но есть комплексно сопряженные: x=-12±i112.

Уточним, что вместо деления в столбик можно применять схему Горнера. Это делается так: после того, как мы определили первый корень уравнения, заполняем таблицу.

xi	коэффициенты многочлена
	1	1	2	-1	-3
1	1	1+1·1=2	2+2·1=4	-1+4·1=3	-3+3·1=0

В таблице коэффициентов мы сразу можем увидеть коэффициенты частного от деления многочленов, значит, x4+x3+2×2-x-3=x-1×3+2×2+4x+3.

После нахождения следующего корня, равного -1, мы получаем следующее:

xi	коэффициенты многочлена
	1	2	4	3
1	1	2+1·(-1)=1	4+1·(-1)=3	3+3·(-1)=0

Далее мы приходим к разложению x-1x+1×2+x+3=0. Потом, проверив оставшиеся делители равенства x2+x+3=0, вычисляем оставшиеся корни.

Ответ: х=-1, х=1, x=-12±i112.

Пример 2

Условие: решите уравнение x4-x3-5×2+12=0.

Решение 

У свободного члена есть делители 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12, -12.

Проверяем их по порядку:

14-13-5·12+12=7≠0(-1)4-(-1)3-5·(-1)2+12=9≠024·23-5·22+12=0

Значит, x=2 будет корнем уравнения. Разделим x4-x3-5×2+12 на х-2, воспользовавшись схемой Горнера:

xi	коэффициенты многочлена
	1	-1	-5	0	12
2	1	-1+1·2=1	-5+1·2=-3	0-3·2=3	12-6·2=0

В итоге мы получим x-2(x3+x2-3x-6)=0.

Проверяем делители дальше, но уже для равенства x3+x2-3x-6=0, начиная с двойки.

23+22-3·2-6=0

Значит, 2 опять будет корнем. Разделим x3+x2-3x-6=0 на x-2:

xi	коэффициенты многочлена
	1	1	-3	-6
2	1	1+1·2=3	-3+3·2=3	-6+3·2=0

В итоге получим (x-2)2·(x2+3x+3)=0.

Проверка оставшихся делителей смысла не имеет, поскольку равенство x2+3x+3=0 быстрее и удобнее решить с помощью дискриминанта.

Решим квадратное уравнение:

x2+3x+3=0D=32-4·1·3=-3<0

Получаем комплексно сопряженную пару корней: x=-32±i32.

Ответ: x=-32±i32.

Пример 3

Условие: найдите для уравнения x4+12×3-52x-3=0 действительные корни.

Решение

x4+12×3-52x-3=02×4+x3-5x-6=0

Выполняем домножение 23обеих частей уравнения:

2×4+x3-5x-6=024·x4+23×3-20·2·x-48=0

Заменяем переменные y=2x:

24·x4+23×3-20·2·x-48=0y4+y3-20y-48=0

В итоге у нас получилось стандартное уравнение 4-й степени, которое можно решить по стандартной схеме. Проверим делители, разделим и получим в итоге, что оно имеет 2 действительных корня y=-2, y=3 и два комплексных. Решение целиком здесь мы не будем приводить. В силу замены действительными корнями данного уравнения будут x=y2=-22=-1 и x=y2=32.

Ответ: x1=-1, x2=32

Советуем также ознакомиться с материалами, посвященными решению кубических уравнений и уравнений четвертой степени.

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Навигация по статьям

Предыдущая статья

Уравнение и его корни

Следующая статья

Наибольший общий делитель (НОД)

• Комбинаторика
• Линейные неравенства, примеры, решения
• Метод интервалов
• Нахождение неизвестного слагаемого, множителя
• Неравенства с переменными, их частные и общее решение
• Все темы по математике

• Дипломные работы
• Курсовые работы
• Рефераты
• Контрольные работы
• Отчет по практике
• Все предметы

Узнать подробнее

Современные приборы для измерения давления

Заказать такую же работу

Сортамент эксплуатационных материалов

• Вид работы:

  Реферат

• Выполнена:

  2 февраля 2023 г.

• Стоимость:

  800 руб

Заказать такую же работу

Металлические конструкции

• Вид работы:

  Практическая работа

• Выполнена:

  17 января 2023 г.

• Стоимость:

  2 300 руб

Заказать такую же работу

Понятие производной

Заказать такую же работу

название предмета вычислительные машины системы и сети

• Вид работы:

  Решение задач

• Выполнена:

  30 ноября 2022 г.

• Стоимость:

  1 600 руб

Заказать такую же работу

Практические работы штук

• Вид работы:

  Практическая работа

• Выполнена:

  26 октября 2022 г.

• Стоимость:

  14 400 руб

Заказать такую же работу

Смотреть все работы по гидравлике

Интегрированная математика 3, часть 1

добавить в корзину

Интегрированная математика 3 — это третий год трехлетней программы по математике в старшей школе. Программа разработана таким образом, чтобы с каждым годом возрастать сложность и применение шаблонов, моделирования и предположений для развития понимания и компетентности учащихся в области математики. Это первый семестр Integrated Math 3, он одобрен Калифорнийским университетом A-G как математика (категория C).

По окончании этого курса студент получает 5 кредитов. Каждый кредит соответствует 15 часам обучения. Конечно, некоторые студенты работают быстрее, чем другие, а некоторые могут уделять учебе больше часов, поэтому некоторые студенты имеют возможность пройти курс в ускоренном темпе.

ЦЕЛИ ОБУЧЕНИЯ

В этом курсе учащиеся усвоят следующее:

• Линейные уравнения и неравенства.
• Линейные функции.
• Системы линейных уравнений.
• Квадратные уравнения и функции.
• Полиномиальные уравнения и функции.
• Радикальные уравнения и функции.
• Подкоренные выражения, уравнения и функции.

РАССМАТРИВАЕМЫЕ ТЕМЫ

• Решите многошаговые линейные уравнения с использованием распределения, дробей и десятичных дробей.
• Проанализируйте закономерности и научитесь распознавать арифметическую последовательность, а затем научитесь находить сумму конечного числа членов.
• Решите и начертите многоступенчатое неравенство с одной переменной.
• Решите и начертите составные неравенства с одной переменной.
• Решать и отображать уравнения абсолютного значения и неравенства с одной переменной
• Распознавать функции на основе набора данных, графиков и описаний.
• Расчет уклона, определение уклона по заданным точкам и линиям, определение наклона линии графика.
• Определите характеристики параллельных и перпендикулярных прямых и напишите уравнения прямых, параллельных и перпендикулярных данной прямой.
• Применение характеристик параллельных и перпендикулярных линий на координатной плоскости к многоугольникам.
• Моделируйте реальные задачи с помощью линейных уравнений.
• Идентифицируйте линии, имеющие единственное решение, графически изображайте системы уравнений для определения решения и распознавайте характеристики пар линий, которые приводят к согласованным и несовместимым уравнениям.
• Решение систем уравнений методом замены и исключения.
• Решайте системы неравенств графически.
• Напишите пары уравнений для моделирования реальных задач и моделируйте уравнения с тремя переменными.
• Решение систем из трех уравнений и трех переменных.
• Различные формы квадратного уравнения и способы решения квадратного уравнения с помощью факторизации.
• Как использовать процесс заполнения квадрата для записи квадратичной функции в вершинной форме.
• Решите неразлагаемые квадратные уравнения с помощью квадратной формулы.
• Как найти квадратный корень из отрицательного числа и другие свойства мнимых чисел.
• Анализ квадратичной функции, такой как определение домена, диапазона, точек максимума и минимума.
• Как строить графики кусочных функций, включающих линейные и квадратичные функции.
• Идентификация многочленов, сложение и вычитание многочленов.
• Умножение одночлена на многочлен (распределение) и изучение нескольких многочленов с различным количеством членов.
• Используйте длинное деление для деления многочленов, которые нельзя разложить на множители.
• Используйте синтетическое деление для определения остатков и применяйте это для оценки многочленов.
• Используйте теорему об остатках и множителях, чтобы разложить многочлен на произведение двучленов.
• Примените теорему о сопряженных и действительных корнях, чтобы определить множители многочленов, а также написать уравнение многочленов с заданными корнями.
• Примените основную теорему алгебры, чтобы определить количество корней многочлена, корни и напишите многочлен с учетом корней.
• Просто показатели степени, решать уравнения с показателями степени, упрощать с рациональными показателями и возводить показатель степени в степень.
• Разделить с показателями степени и упростить отрицательные степени.
• Упрощение радикалов, рационализация знаменателей и вычисление с радикалами.
• Решение радикальных уравнений с одним и двумя радикалами.
• График радикальных функций и преобразование родительской функции.
• Упрощение, сложение и вычитание рациональных выражений.
• Умножение и деление рациональных выражений.
• Решение рациональных уравнений.
• Анализ рациональных уравнений, включая асимптоты, конечное поведение и нули.

добавить в корзину

Детали курса:

• Кредит за один семестр: $125

• Первый семестр межд. Математика 3

Сертификаты

• Калифорнийский университет A-G:

Да

• NCAA:

Да 901 20

Учебная программа

Скриншот курса

Инструкции по курсу

Предлагаемая временная шкала

Как решить полиномиальное уравнение 5-й степени

Чтобы решить полиномиальное уравнение 5-й степени, мы должны как можно больше разложить данный полином на множители. После факторизации мы можем приравнять множители к нулю и найти переменную.

Пример 1:

Решить:

6x ⁵ — x ⁴ — 43x ³ + 43x 9 0166 2 + х — 6 = 0

Решение:

Методом проб и ошибок мы можем проверить значения 1, или -1, или 2, или -2…… как ноль для приведенного выше уравнения, используя синтетическое деление.

Когда мы проверяем значение 1, мы получаем нулевой остаток. Итак, x = 1 является одним из нулей.

Полученное уравнение:

6x ⁴ + 5x ³ — 38x ² + 5x + 6 = 0

Разделив обе стороны на x ² .

6x ⁴ /x ²  + 5x ³ /x ²  — 38x ² /x ²  + 5x/x ²  + 6/x ²  = 0

6x ²  + 5x — 38 + 5/x + 6/x ²  = 0

6(х ²  + 1/х ² ) + 5 (х + 1/х) — 38 = 0 —-(1)

Пусть у = х + 1/х.

y ²  = (x + 1/x) ²

y ²  = x ²  + 2(x)(1/x) + (1/x) 9016 6 2

г ²  = х ²  + 2 + 1/х ²

y ² — 2 = x ²  + 1/x ²

(1)—-> 6(y ² — 2) + 5y — 38 = 0

6 лет ² — 12 + 5 лет — 38 = 0

6 лет ² + 5 лет — 50 = 0

6 лет ²  — 15 лет + 20 лет — 50 = 0

900 02 3г(2г — 5) + 10(2г — 5 ) = 0

(3у + 10)(2у — 5) = 0

3г + 10 = 0 г = -10/3

2г — 5 = 0 г = 5/2

Когда y  = -10/3,

(x ² + 1)/x = -10/3

3(x ²  + 1) = -10x

3x ²  + 3 = -10x

3x ²  + 10x + 3 = 0

(3x + 1)(x + 3) = 0

x = -1/3 и 3

Когда y = 5/2, 9015 7

x + 1/x = y

(x ² + 1)/x = 5/2

2(x ²  + 1) = 5 x

2x 9016 6 2  + 2 — 5x = 0

2x ²  — 5x + 2 = 0

(2x — 1)(x — 2) = 0

x = 1/2 и 2

Таким образом, пять нулей равны 1, -1/3, 3, 1/2 и 2.

Пример 2 :

Решение :

8x ⁵ — 22x ⁴ — 55x ³ + 55x ² + 22x — 8 = 0

Решение:

Когда мы проверяем значение 1, мы получить нулевой остаток. Итак, x = 1 является одним из нулей.

Результирующее уравнение:

8x ⁴  — 14x ³  — 69x ²  — 14x + 8 = 0

Разделив обе стороны на x ² .

8x ⁴ /x ² — 14x ³ /x ²  — 69x ² /x ^{2 901 67  — 14x/x 2  + 8/x 2  = 0}

8x ² — 14x — 69 — 14/x + 8/x ² = 0

8(x ² + 1/x ² ) — 14(x + 1 /х) — 69 = 0 —-(1)

Пусть у = х + 1/х.

у ²  = (х + 1/х) ²

у ²  = х ²  + 2(х)(1/х) + (1/х) ²

у ²  = х ²  + 2 + 1/х ²

y ²  — 2 = x ²  + 1/x ²

(1)—-> 8(y ²  — 2) — 14г — 69 = 0

8г ²  — 16 — 14г — 69 = 0

8г ²  — 14г — 85 = 0

(2г + 5)(4г — 17) = 0

9 0282

2у + 5 = 0 у = -5/2

4г — 17 = 0 г = 17/4

Когда у = -5/2,

х + 1/х = у

(х ² + 1)/х = -5/2

2(х ²  + 1) = -5x

2x ²  + 2 + 5x = 0

2x ²  + 5x + 2 = 0

2x ²  + 4x + 1x + 2 = 0

2x(x + 2) + 1(x + 2) = 0

(2x + 1)(x + 2) = 0

x = -1/2 и -2

Когда y = 17/4,

x + 1/x = y

(x ² + 1)/x = 17/4

4(x ²  + 1) = 17x

4x 901 66 2  + 4 = 17x

4x ² — 17x + 4 = 0

(4x — 1)(x — 4) = 0

x = 1/4 и 4

Следовательно, пять нулей равны 1, -1/2, -2 , 1/4 и 4.

Пример 3 :

Решить :

6x ⁵  + 11x ⁴  — 33x ^{3 9 0167  — 33x 2  + 11x + 6 = 0}

Решение:

Когда мы проверяем значение -1, мы получаем нулевой остаток. Итак, x = -1 является одним из нулей.

Полученное уравнение:

6x ⁴  + 5x ³  — 38x ²  + 5x + 6 = 0

Разделив обе части на x 90 166 2 .

6x ⁴ /x ² + 5x ³ /x ²  — 38x ² /x ^{2 9016 7  + 5x/x 2  + 6/x 2  = 0}

6x ² + 5x — 38 + 5/x + 6/x ²  = 0

6(x ²  + 1/x ² ) + 5(x + 1/х) — 38 = 0 —-(1)

Пусть у = х + 1/х.

y ²  = (x + 1/x) ²

y ²  = x ²  + 2(x)(1/x) + (1/x) 9016 6 2

г ²  = x ²  + 2 + 1/x ²

y ²  — 2 = x ²  + 1/x ^{2 901 67}

(1)—-> 6(у ²  — 2) + 5г — 38 = 0

6г ²  — 12 + 5г — 38 = 0

6г ²  + 5г — 50 = 0

6 лет ²  — 15 лет + 20 лет — 50 = 0

3у(2у — 5) + 10(2у — 5) = 0

(3у + 10)(2у — 5) = 0

3г + 10 = 0 г = -10/3

2г — 5 = 0 г = 5/2

Когда y = -10/3,

x + 1/x = y

(x ² + 1)/x = -10/3

3(x ²  + 1) = -10x

3x ²  + 3 = -10x

3x ²  + 10x + 3 = 0

3x ²  + 9x + x + 3 = 0

3x(x + 3) + 1(x + 3) = 0

(x + 3)(3x + 1) = 0

x = -3 и -1/3

Когда y = 5/ 2,

х + 1/х = у

(х ² + 1)/х = 5/2

2(х ² + 1) = 5х

2х ²  + 2 — 5x = 0

2x ²  — 5x + 2 = 0

2x ²  — 4x — x + 2 = 0

2x(x — 2) — 1(x — 2) = 0

(2x — 1)(x — 2) = 0

x = 1 /2 и 2

Следовательно, пятью нулями являются -1, -3, -1/3, 1/2 и 2.

No related posts.