Разложение в ряд фурье по косинусам: Ряд Фурье. Разложение функции в ряд Фурье.Разложение функции в ряд синусов и косинусов.

Ряд Фурье. Разложение функции в ряд Фурье.Разложение функции в ряд синусов и косинусов.

Ряд Фурье периодических функций с периодом 2π. Четные и нечетные функции. Разложение в ряд Фурье по синусам. Ряд Фурье для произвольного интервала.

Ряд Фурье непериодических функций с периодом 2π. Разложение в ряд Фурье по косинусам. Ряд Фурье на полупериоде. Ряд Фурье на полупериоде для функций, заданных на интервале L≠2π.

Ряд Фурье периодических функций с периодом 2π.

Ряд Фурье позволяет изучать периодические (непериодические) функции, разлагая их на компоненты. Переменные токи и напряжения, смещения, скорость и ускорение кривошипно-шатунных механизмов и акустические волны — это типичные практические примеры применения периодических функций в инженерных расчетах.

Разложение в ряд Фурье основывается на предположении, что все имеющие практическое значение функции в интервале -π ≤x≤ π можно выразить в виде сходящихся тригонометрических рядов (ряд считается сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов):

Стандартная (=обычная) запись через сумму sinx и cosx

f(x)=a_o+ a₁cosx+a₂cos2x+a₃cos3x+…+b₁sinx+b₂sin2x+b₃sin3x+…,

где a_o, a₁,a₂,…,b₁,b₂,.. — действительные константы, т.е.

(1)

Где для диапазона от -π до π коэффициенты ряда Фурье рассчитываются по формулам:

Коэффициенты a_o,a_n и b_n называются коэффициентами Фурье, и если их можно найти, то ряд (1) называется рядом Фурье, соответствующим функции f(x).

Для ряда (1) член (a₁cosx+b₁sinx) называется первой или основной гармоникой,

Другой способ записи ряда — использование соотношения acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a_o+c₁sin(x+α₁)+c₂sin(2x+α₂)+…+c_nsin(nx+α_n)

Где a_o — константа, с ₁=(a₁²+b₁²)^1/2 , с _n=(a_n²+b_n²)^1/2— амплитуды различных компонент, а фазовый угол равен a_n=arctg a_n/b_n.

Для ряда (1) член (a₁cosx+b₁sinx) или c₁sin(x+α₁) называется первой или основной гармоникой, (a₂cos2x+b₂sin2x) или c₂sin(2x+α

2) называется второй гармоникой и так далее.

Для точного представления сложного сигнала обычно требуется бесконечное количество членов. Однако во многих практических задачах достаточно рассмотреть только несколько первых членов.

Ряд Фурье непериодических функций с периодом 2π.

Разложение непериодических функций в ряд Фурье.

Если функция f(x) непериодическая, значит, она не может быть разложена в ряд Фурье для всех значений х. Однако можно определить ряд Фурье, представляющий функцию в любом диапазоне шириной 2π.

Если задана непериодическая функция, можно составить новую функцию, выбирая значения f(x) в определенном диапазоне и повторяя их вне этого диапазона с интервалом 2π. Поскольку новая функция является периодической с периодом 2π, ее можно разложить в ряд Фурье для всех значений х. Например, функция f(x)=x не является периодической. Однако, если необходимо разложить ее в ряд Фурье на интервале от о до 2π, тогда вне этого интервала строится периодическая функция с периодом 2π (как показано на рис.

ниже) .

Для непериодических функций, таких как f(x)=х, сумма ряда Фурье равна значению f(x) во всех точках заданного диапазона, но она не равна f(x) для точек вне диапазона. Для нахождения ряда Фурье непериодической функции в диапазоне 2π используется все таже формула коэффициентов Фурье.

Четные и нечетные функции.

Говорят, функция y=f(x) четная, если f(-x)=f(x) для всех значений х. Графики четных функций всегда симметричны относительно оси у (т.е. являются зеркально отраженными). Два примера четных функций: у=х² и у=cosx.

Говорят, что функция y=f(x) нечетная, если f(-x)=-f(x) для всех значений х. Графики нечетных функций всегда симметричны относительно начала координат.

Многие функции не являются ни четными, ни нечетными.

Разложение в ряд Фурье по косинусам.

Ряд Фурье четной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с косинусами (т. е. не содержит членов с синусами) и может включать постоянный член. Следовательно,

где коэффициенты ряда Фурье,

Разложение в ряд Фурье по синусам.

Ряд Фурье нечетной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с синусами (т.е. не содержит членов с косинусами).

Следовательно,

где коэффициенты ряда Фурье,

Ряд Фурье на полупериоде.

Если функция определена для диапазона, скажем от 0 до π, а не только от 0 до 2π, ее можно разложить в ряд только по синусам или тольо по косинусам. Полученный ряд Фурье называется рядом Фурье на полупериоде.

Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по косинусам функции f(x) в диапазоне от 0 до π, то необходимо составить четную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f(x)=х, построенная на интервале от х=0 до х=π. Поскольку четная функция симметрична относительно оси f(x), проводим линию АВ, как показано на рис. ниже. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученная треугольная форма является периодической с периодом 2π, то итоговый график имеет вид, показ. на рис. ниже. Поскольку требуется получить разложение Фурье по косинусам, как и ранее, вычисляем коэффициенты Фурье a_o и a_n

Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по синусам функции f(x) в диапазоне от 0 до π, то необходимо составить нечетную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f(x)=x, построенная на интервале от от х=0 до х=π. Поскольку нечетная функция симметрична относительно начала координат, строим линию CD, как показано на рис. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученный пилообразный сигнал является периодическим с периодом 2π, то итоговый график имеет вид, показанный на рис.

Поскольку требуется получить разложение Фурие на полупериоде по синусам, как и ранее, вычисляем коэффициент Фурье. b

Ряд Фурье для произвольного интервала.

Разложение периодической функции с периодом L.

Периодическая функция f(x) повторяется при увеличении х на L, т.е. f(x+L)=f(x). Переход от рассмотренных ранее функций с периодом 2π к функциям с периодом L довольно прост, поскольку его можно осуществить с помощью замены переменной.

Чтобы найти ряд Фурье функции f(x) в диапазоне -L/2≤x≤L/2, введем новую переменную u таким образом, чтобы функция f(x) имела период 2π относительно u. Если u=2πх/L, то х=-L/2 при u=-π и х=L/2 при u=π. Также пусть f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Ряд Фурье F(u) имеет вид

Где коэффициенты ряда Фурье, 

Однако чаще приведенную выше формулу приводят к зависимости от х. Поскольку u=2πх/L, значит, du=(2π/L)dx, а пределы интегрирования — от -L/2 до L/2 вместо — π до π. Следовательно, ряд Фурье для зависимости от х имеет вид

где в диапазоне от -L/2 до L/2 коэффициенты ряда Фурье,

(Пределы интегрирования могут быть заменены на любой интервал длиной L, например, от 0 до L)

Ряд Фурье на полупериоде для функций, заданных в интервале L≠2π.

Для подстановки u=πх/L интервал от х=0 до х=L соответствует интервалу от u=0 до u=π. Следовательно, функцию можно разложить в ряд только по косинусам или только по синусам, т.е. в ряд Фурье на полупериоде.

Разложение по косинусам в диапазоне от 0 до L имеет вид

Ряд Фурье. Разложение функции в ряд Фурье.Разложение функции в ряд синусов и косинусов.

Ряд Фурье периодических функций с периодом 2π. Четные и нечетные функции. Разложение в ряд Фурье по синусам. Ряд Фурье для произвольного интервала.

Ряд Фурье непериодических функций с периодом 2π. Разложение в ряд Фурье по косинусам. Ряд Фурье на полупериоде. Ряд Фурье на полупериоде для функций, заданных на интервале L≠2π.

Ряд Фурье периодических функций с периодом 2π.

Ряд Фурье позволяет изучать периодические (непериодические) функции, разлагая их на компоненты. Переменные токи и напряжения, смещения, скорость и ускорение кривошипно-шатунных механизмов и акустические волны — это типичные практические примеры применения периодических функций в инженерных расчетах.

Разложение в ряд Фурье основывается на предположении, что все имеющие практическое значение функции в интервале -π ≤x≤ π можно выразить в виде сходящихся тригонометрических рядов (ряд считается сходящимся, если сходится последовательность частичных сумм, составленных из его членов):

Стандартная (=обычная) запись через сумму sinx и cosx

f(x)=a

o+ a₁cosx+a₂cos2x+a₃cos3x+…+b₁sinx+b₂sin2x+b₃sin3x+…,

где a_o, a₁,a₂,…,b₁,b₂,.. — действительные константы, т.е.

(1)

Где для диапазона от -π до π коэффициенты ряда Фурье рассчитываются по формулам:

Коэффициенты a_o,a_n и b_n называются коэффициентами Фурье, и если их можно найти, то ряд (1) называется рядом Фурье, соответствующим функции f(x). Для ряда (1) член (a₁cosx+b₁sinx) называется первой или основной гармоникой,

Другой способ записи ряда — использование соотношения acosx+bsinx=csin(x+α)

f(x)=a_o+c₁sin(x+α₁)+c₂sin(2x+α₂)+…+c_nsin(nx+α_n)

Где a_o — константа, с ₁=(a₁²+b₁²)^1/2 , с _n=(a_n²+b_n²)^1/2— амплитуды различных компонент, а фазовый угол равен a_n=arctg a_n/b_n.

Для ряда (1) член (a₁cosx+b₁sinx) или c₁sin(x+α₁) называется первой или основной гармоникой, (a₂cos2x+b₂sin2x) или c₂sin(2x+α₂) называется второй гармоникой и так далее.

Для точного представления сложного сигнала обычно требуется бесконечное количество членов. Однако во многих практических задачах достаточно рассмотреть только несколько первых членов.

Ряд Фурье непериодических функций с периодом 2π.

Разложение непериодических функций в ряд Фурье.

Если функция f(x) непериодическая, значит, она не может быть разложена в ряд Фурье для всех значений х. Однако можно определить ряд Фурье, представляющий функцию в любом диапазоне шириной 2π.

Если задана непериодическая функция, можно составить новую функцию, выбирая значения f(x) в определенном диапазоне и повторяя их вне этого диапазона с интервалом 2π. Поскольку новая функция является периодической с периодом 2π, ее можно разложить в ряд Фурье для всех значений х. Например, функция f(x)=x не является периодической. Однако, если необходимо разложить ее в ряд Фурье на интервале от о до 2π, тогда вне этого интервала строится периодическая функция с периодом 2π (как показано на рис. ниже) .

Для непериодических функций, таких как f(x)=х, сумма ряда Фурье равна значению f(x) во всех точках заданного диапазона, но она не равна f(x) для точек вне диапазона. Для нахождения ряда Фурье непериодической функции в диапазоне 2π используется все таже формула коэффициентов Фурье.

Четные и нечетные функции.

Говорят, функция y=f(x) четная, если f(-x)=f(x) для всех значений х. Графики четных функций всегда симметричны относительно оси у (т.е. являются зеркально отраженными). Два примера четных функций: у=х² и у=cosx.

Говорят, что функция y=f(x) нечетная, если f(-x)=-f(x) для всех значений х. Графики нечетных функций всегда симметричны относительно начала координат.

Многие функции не являются ни четными, ни нечетными.

Разложение в ряд Фурье по косинусам.

Ряд Фурье четной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с косинусами (т. е. не содержит членов с синусами) и может включать постоянный член. Следовательно,

где коэффициенты ряда Фурье,

Разложение в ряд Фурье по синусам.

Ряд Фурье нечетной периодической функции f(x) с периодом 2π содержит только члены с синусами (т.е. не содержит членов с косинусами).

Следовательно,

где коэффициенты ряда Фурье,

Ряд Фурье на полупериоде.

Если функция определена для диапазона, скажем от 0 до π, а не только от 0 до 2π, ее можно разложить в ряд только по синусам или тольо по косинусам. Полученный ряд Фурье называется рядом Фурье на полупериоде.

Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по косинусам функции f(x) в диапазоне от 0 до π, то необходимо составить четную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f(x)=х, построенная на интервале от х=0 до х=π. Поскольку четная функция симметрична относительно оси f(x), проводим линию АВ, как показано на рис. ниже. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученная треугольная форма является периодической с периодом 2π, то итоговый график имеет вид, показ. на рис. ниже. Поскольку требуется получить разложение Фурье по косинусам, как и ранее, вычисляем коэффициенты Фурье a_o и a_n

Если требуется получить разложение Фурье на полупериоде по синусам функции f(x) в диапазоне от 0 до π, то необходимо составить нечетную периодическую функцию. На рис. ниже показана функция f(x)=x, построенная на интервале от от х=0 до х=π. Поскольку нечетная функция симметрична относительно начала координат, строим линию CD, как показано на рис. Если предположить, что за пределами рассмотренного интервала полученный пилообразный сигнал является периодическим с периодом 2π, то итоговый график имеет вид, показанный на рис. Поскольку требуется получить разложение Фурие на полупериоде по синусам, как и ранее, вычисляем коэффициент Фурье. b

Ряд Фурье для произвольного интервала.

Разложение периодической функции с периодом L.

Периодическая функция f(x) повторяется при увеличении х на L, т.е. f(x+L)=f(x). Переход от рассмотренных ранее функций с периодом 2π к функциям с периодом L довольно прост, поскольку его можно осуществить с помощью замены переменной.

Чтобы найти ряд Фурье функции f(x) в диапазоне -L/2≤x≤L/2, введем новую переменную u таким образом, чтобы функция f(x) имела период 2π относительно u. Если u=2πх/L, то х=-L/2 при u=-π и х=L/2 при u=π. Также пусть f(x)=f(Lu/2π)=F(u). Ряд Фурье F(u) имеет вид

Где коэффициенты ряда Фурье, 

Однако чаще приведенную выше формулу приводят к зависимости от х. Поскольку u=2πх/L, значит, du=(2π/L)dx, а пределы интегрирования — от -L/2 до L/2 вместо — π до π. Следовательно, ряд Фурье для зависимости от х имеет вид

где в диапазоне от -L/2 до L/2 коэффициенты ряда Фурье,

(Пределы интегрирования могут быть заменены на любой интервал длиной L, например, от 0 до L)

Ряд Фурье на полупериоде для функций, заданных в интервале L≠2π.

Для подстановки u=πх/L интервал от х=0 до х=L соответствует интервалу от u=0 до u=π. Следовательно, функцию можно разложить в ряд только по косинусам или только по синусам, т.е. в ряд Фурье на полупериоде.

Разложение по косинусам в диапазоне от 0 до L имеет вид

Дифференциальные уравнения. Косинусные ряды Фурье

Онлайн-заметки Пола
Главная / Дифференциальные уравнения / Краевые задачи и ряды Фурье / Косинусный ряд Фурье

Показать мобильное уведомление Показать все примечания Скрыть все примечания

Мобильное уведомление

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( т. е. вы, вероятно, используете мобильный телефон). Из-за характера математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в ландшафтном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку вашего устройства (должна быть возможность прокрутки, чтобы увидеть их), а некоторые пункты меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 8.5: Косинус Фурье, ряд

В этом разделе мы рассмотрим ряд косинусов Фурье. Мы начнем так же, как и в предыдущем разделе, где мы рассмотрели ряды синусов Фурье. Начнем с предположения, что функция \(f\left( x \right)\), с которой мы будем работать изначально, является четной функцией ( , т.е. \(f\left( { — x} \right) = f\left( x \right)\)) и что мы хотим написать представление этой функции в виде ряда на \( — L \le x \le L\) в терминах косинусов (которые также четны). Другими словами, мы собираемся искать следующее, 9\infty {{A_n}\cos \left( {\frac{{n\,\pi x}}{L}} \right)} \]

Этот ряд называется косинусным рядом Фурье и обратите внимание, что в этом случае (в отличие от синусоидального ряда Фурье) мы можем начать представление ряда с \(n = 0\), поскольку этот член не будет равен нулю, поскольку это было с синусом. Кроме того, как и в случае ряда синусов Фурье, аргумент \(\frac{{n\pi x}}{L}\) в косинусах используется только потому, что это аргумент, с которым мы столкнемся в следующем глава. Единственное реальное требование здесь состоит в том, чтобы заданный набор функций, которые мы используем, был ортогонален на интервале, над которым мы работаем. 9{L} {\ cos \ left ( {\ frac {{n \ pi x}} {L}} \ right) \ cos \ left ( {\ frac {{m \ pi x}} {L}} \ right )\,dx}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2L}&{{\mbox{if}}n = m = 0}\\L&{{\ mbox{if}}n = m \ne 0}\\0&{{\mbox{if}}n \ne m}\end{массив}} \right.\]

Мы получим формулу для коэффициентов почти точно так же, как в предыдущем разделе. Мы начнем с представления выше и умножим обе части на \(\cos\left({\frac{{m\pi x}}{L}} \right)\), где \(m\) — фиксированное целое число в диапазоне \(\left\{ {0,1,2,3, \ldots } \right\}\). Это дает 9{{\,L}}{{\cos \left({\frac{{n\,\pi x}}{L}} \right)\cos \left({\frac{{m\,\pi x }}{L}} \right)\,dx}}} \end{align*}\]

Теперь мы знаем, что все интегралы в правой части будут равны нулю, за исключением случая \(n = m\), потому что набор косинусов образует ортогональный набор на интервале \( — L \le x \le L\ ). {{\,L}}{{f\left( x \right)\cos \left({\frac{{n\,\pi x}}{L}} \right) \,dx}}}&{\,\,\,\,\,n \ne 0}\end{массив}} \right.\] 92}}}\cos \left( {\frac{{n\,\pi x}}{L}} \right)} \]

Обратите внимание, что мы часто будем выбрасывать \(n = 0\) из ряда, как мы сделали здесь, потому что он почти всегда будет отличаться от других коэффициентов, и это позволяет нам фактически подставлять коэффициенты в ряд .

Теперь, как и в предыдущем разделе, давайте спросим, ​​что нам нужно сделать, чтобы найти ряд косинусов Фурье нечетной функции. Как и в случае с рядом синусов Фурье, когда мы делаем это изменение, нам нужно будет перейти на интервал \(0 \le x \le L\) теперь вместо \( — L \le x \le L\), и снова мы будем предположим, что ряд будет сходиться к \(f\left( x \right)\) в этой точке, и оставим обсуждение сходимости этого ряда в следующем разделе.

Мы могли бы выполнить работу, чтобы найти коэффициенты здесь дважды, как мы это сделали с рядами синусов Фурье, однако в этом нет реальной причины. Итак, хотя мы могли бы повторить всю работу выше, чтобы получить формулы для коэффициентов, давайте вместо этого сразу перейдем ко второму методу нахождения коэффициентов.

В этом случае, прежде чем мы на самом деле продолжим, нам нужно определить четное расширение функции \(f\left( x \right)\) на \( — L \le x \le L\) . Итак, для данной функции \(f\left( x \right)\) мы определим четное расширение функции как

\[g\left(x\right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left(x\right)}&{\,\,\,\, {\mbox{if}}0 \le x \le L}\\{f\left( { — x} \right)}&{\,\,\,\,{\mbox{if}} — L \ le x \le 0}\end{массив}} \right.\]

Показать, что это четная функция, достаточно просто.

\[g\left(-x \right)=f\left(-\left(-x \right) \right)=f\left( x \right)=g\left( x \right) \hspace{0.25 in} \text{для}0

, и мы можем видеть, что \(g\left( x \right) = f\left( x \right)\) на \(0 \le x \le L\) и если \(f\left( x \ right)\) уже является четной функцией, мы получаем \(g\left( x \right) = f\left( x \right)\) на \( — L \le x \le L\). 3}\) на \(0 \le x \le L\)

\(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{L}{2}}&{\,\,\,\ ,{\mbox{if}}0 \le x \le \frac{L}{2}}\\{x — \frac{L}{2}}&{\,\,\,\,{\mbox {if }}\frac{L}{2} \le x \le L}\end{массив}} \right.\)

Показать все решения Скрыть все решения

a \(f\left( x \right) = L — x\) на \(0 \le x \le L\) Показать решение

Вот еще расширение этой функции.

\[\ begin{align*}g\left(x\right) & = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left(x\right)}&{\ ,\,\,\,{\mbox{if}}0 \le x \le L}\\{f\left( { — x} \right)}&{\,\,\,\,{\mbox {if}} — L \le x \le 0}\end{массив}} \right.\\ & = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{L — x} &{\,\,\,\,{\mbox{if}}0 \le x \le L}\\{L + x} &{\,\,\,\,{\mbox{if}} — L \le x \le 0}\end{массив}} \right.\end{align*}\] 93}}&{\,\,\,\,{\mbox{if}} — L \le x \le 0}\end{массив}} \right. \end{align*}\]

Эскиз функции и четное расширение,

c \ (f \ left ( x \ right) = \ left \ { {\ begin {array} {* {20} {l}} {\ frac {L} {2}} & {\, \, \, \ ,{\mbox{if}}0 \le x \le \frac{L}{2}}\\{x — \frac{L}{2}}&{\,\,\,\,{\mbox {if }}\frac{L}{2} \le x \le L}\end{array}} \right.\) Показать решение

Вот четное расширение этой функции,

\[\ begin{align*}g\left(x\right) & = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f\left(x\right)}&{\ ,\,\,\,{\mbox{if}}0 \le x \le L}\\{f\left( { — x} \right)}&{\,\,\,\,{\mbox {if}} — L \le x \le 0}\end{массив}} \right.\\ & = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x — \frac {L} {2}} & {\, \, \, \, {\ mbox {if}} \ frac {L} {2} \ le x \ le L} \\ {\ frac {L} {2} } & {\, \, \, \, {\ mbox {if}} 0 \ le x \ le \ frac {L} {2}} \\ {\ frac {L} {2}} & {\, \ ,\,\,{\mbox{if}} — \frac{L}{2} \le x \le 0}\\{ — x — \frac{L}{2}}&{\,\,\ ,\,{\mbox{if}} — L \le x \le — \frac{L}{2}}\end{array}} \right. \end{align*}\]

Эскиз функции и четное расширение:

Хорошо, давайте теперь подумаем о том, как мы можем использовать четное расширение функции, чтобы найти ряд косинусов Фурье любой функции \(f\left( x \right) \) на \(0 \le x \le L\).

Итак, для функции \(f\left( x \right)\) пусть \(g\left( x \right)\) будет четным расширением, как определено выше. Теперь \(g\left( x \right)\) является четной функцией на \( — L \le x \le L\), поэтому мы можем записать ее ряд косинусов Фурье. Это, 9{{\,L}}{{f\left( x \right)\cos \left( {\frac{{n\,\pi x}}{L}} \right)\,dx}}}&{ \,\,\,\,\,n \ne 0}\end{массив}} \right.\]

и обратите внимание, что мы будем использовать вторую форму интегралов для вычисления констант.

Теперь, поскольку мы знаем, что на \(0 \le x \le L\) мы имеем \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) и, следовательно, ряд косинусов Фурье \(f\left( x \right)\) на \(0 \le x \le L\) также определяется как

\[f\left( x \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {{A_n}\cos \left( {\frac {{n\,\pi x}}{L}} \ справа)} \ hspace {0,25 дюйма} {A_n} = \ left \ { {\ begin {array} {* {20} {l}} {\ displaystyle \ frac {1} {L} \ int_ {{\, 0 }}^{{\,L}}{{f\left( x \right)\,dx}}}&{\,\,\,\,\,n = 0}\\{\displaystyle \frac{ 2}{L}\int_{{\,0}}^{{\,L}}{{f\left( x \right)\cos \left( {\frac{{n\,\pi x}} {L}} \right)\,dx}}}&{\,\,\,\,\,n \ne 0}\end{массив}} \right. 3}\) на \(0 \le x \le L\). 9n}} \right)\cos \left( {\frac {{n\,\pi x}}{L}} \right)} \]

Наконец, давайте кратко рассмотрим кусочную функцию.

Пример 5. Найдите ряд косинусов Фурье для \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{L}{2}}&{ \,\,\,\,{\mbox{if}}0 \le x \le \frac{L}{2}}\\{x — \frac{L}{2}}&{\,\, \,\,{\mbox{if}}\frac{L}{2} \le x \le L}\end{array}} \right.\) на \(0 \le x \le L\).

Показать решение 9{\pi/2} \cos(x)\,dx=\frac 4 \pi.$$ $$\tag{1}$$

График $\cos x$ (пунктирная линия) и $|\cos x|$ (сплошная линия) в интервале $[-\pi,\pi]$.

Коэффициенты $b_n=0$ как вы заключили. Что касается коэффициентов $a_n$, то только нечетные равны $0$ (см. ниже). Функции $\cos(x)$ и $\cos(nx)$ ортогональны в интервале $[-\pi,\pi]$, но $|\cos(x)|$ и $\cos(nx) $ нет. Начиная с

\begin{equation*} \left\vert \cos (x)\right\vert =\left\{ \начать{массив}{с} \cos (х) \\ -\cos (х) \конец{массив} \начать{массив}{с} \текст{если} \\ \текст{если} \конец{массив} \начать{массив}{с} 0\leq х\leq \пи /2 \\ \pi /2\leq x\leq \pi, \конец{массив} \правильно.