Разложение в ряд лорана онлайн: Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ

Ряды Лорана в Wolfram|Alpha или Кто читает Wolfram|Alpha по-русски?

Ряды Лорана в Wolfram|Alpha или Кто читает Wolfram|Alpha по-русски?

Судя по активности, посетителям блога Wolfram|Alpha по-русски не очень интересны элементарные вопросы математики. К примеру, пост об интегральном преобразовании Лапласа, опубликованный почти месяц назад, собрал аудиторию больше, чем недавняя статья о прямой на плоскости или свежая заметка о построении окружности.

Хотя это еще ни о чем не говорит. Иначе придется признать, что сюда заходят только продвинутые математики. А ведь это совсем не обязательно. Это могут быть, например, студенты старших курсов вузов. Большинство из них понимают ценность такого помощника, как Wolfram|Alpha.

В то же время, вопрос элементарного уровня «Как построить график функции в Wolfram|Alpha» по-прежнему остается одним из самых популярных в блоге. Как объяснить это? Один из возможных вариантов: при изучении математики в вузах вопросам аналитической геометрии уделяется не слишком большое внимание, поэтому они кажутся не такими важными, как, например, построение графиков функций.

Второй по рейтингу пост этого блога на сегодня — Возведение матрицы в степень. Его популярность можно объяснить так: мало кто задумывается, что матрицы можно возводить в степень. Хотя это очевидно, но выглядит парадоксально. Отсюда — интерес.

Конечно же, кто читает этот блог, студенты или математики, можно было бы установить путем опроса. Наверное, так и следует сделать. Когда закончится предыдущий опрос «Как часто вы пользуетесь Wolfram|Alpha?», можно будет начать новый, чтобы в результате получить объективный ответ. Но главное понятно: читают наверняка только те, кому математика, нужна, близка по тем или иным причинам. И это — студенты, инженеры, математики, преподаватели…

А кто ещё? Вопрос поставлен. И можно продолжить знакомство с Wolfram|Alpha.

Поскольку начиналось с того, что применение Wolfram|Alpha к решению элементарных задач математики негативно влияет на активность читателей блога, рассмотрим, что Wolfram|Alpha может предложить при решении более сложных задач.

3

Еще примеры на вычисление вычетов:

• Res x!
• Res tan(z) for 1< |z-1|< 3

2.5.3. Ряд Лорана и его область сходимости

Естественные науки / Специальные главы высшей математики / 2.5.3. Ряд Лорана и его область сходимости

Среди множества рядов, близких к степенным по своему строению и свойствам, являются ряды, расположенные по целым отрицательным степеням  z – z₀:

                    2.103)

Сделаем замену  в (2.103), получим:

  .                                        (2.104)

Как известно радиус сходимости полученного ряда есть число R (2.90): если R = 0, то ряд (2.104) сходится в точке t = 0; если 0 < R < ¥

, то ряд сходится абсолютно в круге  и расходится вне его; если R = ¥, то ряд абсолютно сходится в любой конечной точке плоскости. В виду замены  следует, что если , то ряд (2. 103) расходится в каждой конечной точке; если , то он абсолютно сходится при  и расходится при ; если , то ряд абсолютно сходится во всех точках плоскости, за исключением z = z₀. Если считать, что ; тогда существует область сходимости ряда (2.103): , которую обозначим через G. Тогда как ряд (2.104) сходится равномерно на всяком замкнутом множестве в круге , и преобразование  переводит всякое замкнутое множество точек указанного круга в некоторое замкнутое множество точек области G. В этой области ряд (2.103) определяет функцию:

                     (2.105)

аналитическую во всех точках области G. В бесконечно удаленной точке g(z) принимает значение . Будем по определению называть функцию g(z) аналитической в бесконечно удаленной точке.

Следовательно, аналитичность функции в z=¥  характеризуется наличием в разложении ряда вида (2. 105).

Определение. Ряд вида

,                                                       (2.106)

где       z₀ – фиксированная точка комплексной плоскости, a_n – заданные комплексные числа, называется рядом Лорана . Этот ряд сходится в точке z, если в этой точке сходятся ряды:

 (правильная часть ряда Лорана)                 (2.107)

и

 (главная часть ряда Лорана),           (2.108)

а сумма

 ряда (V.3.4) по определению равна сумме рядов (2.107) и (2.108), т.е. .

Теорема. Функцию, аналитическую в кольце , можно разложить в ряд по положительным и отрицательным степеням разности z – z₀, сходящийся во всех точках кольца (2.106) или в развернутом виде:

         (2.109)

Для доказательства возьмем произвольную точку z внутри кольца  и проведем две концентрические окружности К₁ и К₂ так, чтобы z лежала между ними (рис. 2.29). Сделаем разрез mn. Получим контур L:  К₁ + mn + К₂ + nm,  который ограничивает односвязную  область D. Функция  аналитическая в области  (область D¢ обозначена штриховой линией). По интегральной формуле Коши:

По свойству аддитивности:

      (2.110)

Так как контур mn проходится в двух противоположных направлениях и подынтегральные выражения в интегралах совпадают, то интегралы, берущиеся по этим контурам, взаимно уничтожаются. Обход в третьем интеграле заменим на противоположный, из (2.110) получим:

                               (2.111)

В первом интеграле переменная zÎК₁, а z находится внутри контура, поэтому , а дробь  разлагаем в ряд, представляющий сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем :

Следовательно,

                          (2. 112)

Законность интегрирования ряда гарантируется построением мажорантного числового сходящегося ряда и признаком Вейерштрасса и сравнения. Поэтому

 .                             (2.113)

Обозначим

.                                       (2.114)

Окончательно:

                     (2.115)

Аналогично, во втором интеграле переменная zÎК₂, а точка z лежит вне К₂, поэтому , а дробь разлагается в ряд:

Интегрируя почленно ряд, получим:

.                      (2.116)

Обозначив

                            (2.117)

получим:

                (2.118)

Равенства (2.111), (2.115), (2.118) дают разложение (2.109).

Формулы для коэффициентов ряда Лорана объединяем в одну:

,                                 (2.119)

где К – произвольная кривая кольца .

Методические замечания

а) Имеет место свойство единственности разложения в ряд Лорана. Это значит, что каким бы способом ни разлагали, ряд Лорана будет одним и тем же.

б) Для нахождения коэффициентов ряда Лорана редко пользуются формулой (2.119).

Функцию , аналитическую в кольце , представляют в виде суммы или произведения двух функций (если это возможно): или , из которых одна, например,  аналитическая внутри большого круга , другая –  – вне меньшего круга . Первую разлагают по

положительным, а вторую по отрицательным степеням разности . Результаты остается сложить или перемножить.

Пример 1

Разложить  по степеням z в ряд Лорана в кольце .

Решение

. Функция  – аналитическая в кольце . Имеет две особые точки:  z = 1 и z = 2. Разобьем функцию на сумму двух, из которых одна – аналитическая в круге . Для этого разложим данную дробь на сумму простейших, найдем:

.

Дробь  разложим в круге  по положительным степеням z:

.

Дробь  разложим в круге :

.

Следовательно,

 

Пример 2

Разложить  по положительным и отрицательным степеням z в кольце .

Решение. Для конечного z ¹ 0 имеем:

.

Перемножим выражения в правой части уравнения, найдем, что коэффициенты  при и  при  одинаковы:

.

Пример 3

Разложить ряд Лорана функцию  по степеням z в окрестности:

а)  z=0; б) .

Решение

а) Выполним тождественные преобразование, которое приводит к использованию суммы членов бесконечно убывающей прогрессии:

.

Поскольку , то

.

Разложение содержит только правильную часть. Из  следует, что область сходимости ряда есть круг .

б) Выполним тождественное преобразование с той же целью как в предыдущем примере:

.

Видно, что в окрестности  выполняется неравенство . Следовательно, функция f(z) представима в виде ряда

.

Разложение не содержит правильной части. Ряд сходится в области

.

Пример 4

Разложить в ряд Лорана функцию  по степеням  z – 2.

Решение. Сделаем замену z – 2 = t. Тогда

Возвращаясь к старой переменной z, получим:

Главная часть содержит два члена; правильная часть – три. Имеем многочлен. Следовательно, разложение верно для всех z, кроме z = 2.

Пример 5

Функцию  разложить в ряд Лорана в окрестности точки z = 0.

Решение. Используем известное разложение

.

Тогда ряд Лорана для данной функции в окрестности точки z = 0 будет:

Главная часть есть

,

а правильная часть равна

.

Пример 6

Разложить в ряд Лорана функцию  в окрестности особой точки.

Решение. Особая точка функции есть z=0. В окрестности этой точки представляется рядом:

тогда

значит

Главная часть ряда содержит бесконечное число слагаемых, а правильная два.

Пример 7

Разложить функцию  в ряд Лорана.

Решение. Из курса элементарной алгебры известно правило деления расположенных многочленов. Если многочлены нацело не делятся, то алгоритм можно применять бесконечно, и в результате получится ряд. Деля многочлены «столбиком» получим:

.

Это есть ряд Лорана, который сходится в кольце 0<|z|<1, так как особые точки : z=0, z=i, z=-i, и функция аналитическая в указанном кольце.

Пример 8

Разложить  в ряд Лорана.

Решение. Аналогично предыдущему примеру, после деления многочленов, получим:

Ряд сходится в кольце , так как особые точки функции находятся в точках , модуль каждого из этих чисел равен единице.

8.7: Серия Лорана — Математика LibreTexts

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

50904

• Джереми Орлофф
• Массачусетский технологический институт через MIT OpenCourseWare 9n}\]

  называется особой или главной частью ряда Лорана.

  Примечание

  Поскольку \(f(z)\) не может быть аналитическим (или даже определенным) в \(z_0\), у нас нет никаких формул для коэффициентов с использованием производных.

  Доказательство

  (серия Лоран). Выберите точку \(z\) в \(A\). Теперь установите круги \(C_1\) и \(C_3\) достаточно близко к границе, чтобы \(z\) находился внутри \(C_1 + C_2 — C_3 — C_2\), как показано. Поскольку эта кривая и ее внутренность содержатся в \(A\), интегральная формула Коши говорит

  \[f(z) = \dfrac{1}{2\pi i} \int_{C_1 + C_2 — C_3 — C_2} \dfrac{f(w)}{w — z}\ dw\]

  Рисунок \(\PageIndex{1}\): Контур, используемый для доказательства формул для рядов Лорана. (CC BY-NC; Ümit Kaya)

  Интегралы по \(C_2\) сокращаются, поэтому мы имеем

  \[f(z) = \dfrac{1}{2\pi i} \int_{C_1 — C_3} \dfrac{f(w)}{w — z}\ dw.\]

  Затем мы разделим это на две части и воспользуемся нашим приемом преобразования в геометрическую прогрессию. n\]

  Последнее, что следует отметить, это то, что интегралы, определяющие \(a_n\) и \(b_n\), не зависят от точного радиуса круга интегрирования. Любой круг внутри \(A\) даст те же значения. Мы доказали все утверждения теоремы о рядах Лорана. КЭД

  В целом, интегральные формулы не являются практическим способом вычисления коэффициентов Лорана. Вместо этого мы используем различные алгебраические приемы. Еще лучше, как мы увидим, тот факт, что часто нам действительно не нужны все коэффициенты, и мы разработаем больше методов для вычисления тех, которые нам нужны.

  Пример \(\PageIndex{1}\)

  Найдите ряд Лорана для

  \[f(z) = \dfrac{z + 1}{z} \nonumber\]

  вокруг \(z_0 = 0 \). Укажите регион, где он действует.

  Решение

  Ответ прост:

  \[f(z) = 1 + \dfrac{1}{z}. \nonumber\]

  Это ряд Лорана, действительный в бесконечной области \(0 < |z| < \infty\).

  Пример \(\PageIndex{2}\)

  Найдите ряд Лорана для

  92 + 1} \nonumber\]

  около \(z_0 = i\). n \nonumber\] 93 -\ … \nonumber\]

  Следующий пример показывает, что ряд Лорана зависит от рассматриваемой области.

  Пример \(\PageIndex{4}\)

  Найдите ряд Лорана вокруг \(z = 0\) для \(f(z) = \dfrac{1}{z(z — 1)}\) в каждой из следующих областей:

  \[\begin{array} {rl} {\text{(i)}} & {\text{область} A_1: 0 < |z| < 1} \\ {\ text {(ii)}} & {\ text {область} A_2: 1 < |z| < \infty.} \end{array} \nonumber\]

  Решение 92} +\ …) \nonumber\]

  Так как \(|1/z| < 1\) на \(A_2\), наше использование геометрического ряда оправдано.

  Один урок из этого примера состоит в том, что ряд Лорана зависит от области так же, как и от формулы функции.

  ---

  Эта страница под названием 8.7: Laurent Series распространяется под лицензией CC BY-NC-SA 4.0 и была создана, изменена и/или курирована Джереми Орлоффом (MIT OpenCourseWare) посредством исходного контента, который был отредактирован в соответствии со стилем и стандартами платформа LibreTexts; подробная история редактирования доступна по запросу.

  1. Наверх
  • Была ли эта статья полезной?

  1. Тип изделия

     Раздел или Страница

     Автор

     Джереми Орлофф

     Лицензия

     CC BY-NC-SA

     Версия лицензии

     4,0

     Программа OER или Publisher

     MIT OpenCourseWare

     Показать страницу TOC

     нет

  2. Теги

     1. Серия Лоран
     2. основная часть (серия Лорана)
     3. стандартная часть (серия Laurent)
     4. source@https://ocw. mit.edu/courses/mathematics/18-04-complex-variables-with-applications-spring-2018

  комплексный анализ — Нахождение ряда Лорана для $f(z)=1/((z-1)(z-2))$

  спросил 11 лет, 3 месяца назад

  Изменено 7 лет, 7 месяцев назад

  Просмотрено 67 тысяч раз

  $\begingroup$

  Пусть $$f(z)=\frac{1}{(z-1)(z-2)}$$ и разреши $$R_1=\Bigl\{z\Bigm| 1<|z|<2\Bigr\}\quad\text{ и }\quad R_2=\Bigl\{z\Bigm| |z|>2\Bigr\}.$$

  Как найти ряд Лорана, сходящийся на $R_1$? И как это сделать за $R_2$?

  У меня серьезные проблемы с этим, так как я не вижу, как разложить вещи в ряды с n как любое целое число, а не только натуральное число. Также как применить интегральную формулу Коши к кольцу. Если кто-нибудь может объяснить мне это, я буду очень благодарен.

  • комплексный анализ

  $\endgroup$

  1

  $\begingroup$

  Я предполагаю, что вы хотите разложить эту функцию в ряд Лорана в точке $0$ (поскольку это точка с центром этих колец). Стандартный способ сделать это — вообще не использовать интегральную формулу, а только уникальность разложения в ряд Лорана (что, я думаю, часто доказывается с помощью интегральной формулы). Вы выполняете некоторые алгебраические действия, чтобы найти представления этой функции в виде ряда в целых степенях $z$, которые сходятся в заданных кольцах. По единственности эти ряды должны быть рядами Лорана. 92 + \cdots) $$ верно для всех $|z| > 2$. Если вы просто расширите это, вы получите ряд Лорана для $\frac{1}{z — 2}$ в этой области. Конечно, это намного чище, если вы используете сигма-нотацию для записи.

  No related posts.