Написать разложение вектора x ⃗ по векторам p ⃗, q ⃗ , r ⃗ …
Теперь осталось решить систему линейных уравнений:
Я решал систему через матрицу методом Гаусса, но если матрицы не проходили — можно решить любым другим способом.
Ответ:
Оцени ответ
shkolniku.com
Разложение вектора по трём некомпланарным векторам. Задачи
Тема: Векторы в пространстве
Урок: Разложение вектора по трем некомпланарным векторам. Задачи
Определение:
Вектором называется направленный отрезок. У вектора точка А – начало вектора, точка В – конец.
Для вектора важна не только длина, но и направление.
Определение:
Коллинеарными называют векторы, принадлежащие одной и той же или параллельным прямым.
Определение:
Равными называют коллинеарные сонаправленные векторы, длины которых равны.
Любой вектор можно единственным образом отложить от произвольной точки.
Для сложения векторов применяются правила треугольника, параллелограмма, многоугольника и параллелепипеда.
При умножении вектора на положительное число его длина умножается на это число, а направление остается неизменным. При умножении вектора на отрицательное число его длина умножается на это число, а направление меняется на противоположное.
Новым для векторов в пространстве относительно векторов на плоскости является понятие компланарности.
Определение:
Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.
Мы знаем, что если заданы два неколлинеарных вектора на плоскости, то любой третий вектор на той же плоскости можно однозначно разложить по этим векторам (рис. 1, 2):
Рис. 1. Векторы на плоскости
Рис. 2. Разложение вектора через два неколлинеарных
Данный факт легко доказывается. Пусть . Из точки С проводим прямую CB, параллельно вектору . Получаем вектор , коллинеарный вектору . Аналогично из точки С проводим прямую CА, параллельно вектору . Получаем вектор , коллинеарный вектору . Это означает, что существуют такие два числа х и у, причем единственные, что:
Вопрос на понимание компланарности векторов. Если вектор можно представить в виде , где х и у – конкретные числа, то векторы и компланарны.
Если заданы три некомпланарных вектора, то мы можем однозначно разложить любой заданный четвертый вектор через три заданных. Например, заданы некомпланарные векторы и . Тогда любой вектор можно представить в виде суммы: , где х, у и z – конкретные числа, причем для заданного вектора единственные. Эти числа называются коэффициентами разложения.
Задача 1: дан куб с ребром m. Точка К – середина ребра . Разложить вектор по векторам и найти его длину.
Решение: построим заданный куб (рис. 3).
Рис. 3. Куб, задача 1
Векторами и задается плоскость квадрата . Третий вектор не лежит в этой плоскости, отсюда заключаем, что три заданных вектора , и некомпланарны, и мы можем выразить через них искомый вектор . Найдем вектор по правилу многоугольника. Очевидно, что в данной задаче для этого есть множество способов, но мы выбираем самый короткий путь: . вектор мы по условию обозначили как вектор . Вектор согласно свойствам куба равен вектору , обозначенному за вектор .
вектор составляет половину вектора , так как точка К – середина ребра по условию: . Вектор согласно свойствам куба, равен вектору , обозначенному как вектор . Имеем:
Так, заданный вектор выражен через три некомпланарных вектора. Осталось найти его длину. Здесь нужно применить теорему Пифагора. Рассмотрим прямоугольный треугольник . Он прямоугольный потому, что ребро перпендикулярно всей плоскости основания , значит и любой прямой в этой плоскости, значит прямой . Один из катетов равен m как ребро куба. Катет найдем из другого прямоугольного треугольника – , где он уже является гипотенузой. Здесь катет равен m как ребро куба. Катет равен , так как точка К – середина ребра . Имеем:
Вернемся к первому треугольнику:
Задача 2: векторы , и компланарны. Компланарны ли векторы , и ? Компланарны ли векторы ?
Решение: тот факт, что векторы , и компланарны, означает, что, будучи отложенными от одной точки, они расположены в одной плоскости (рисунок 4.а). Это значит, что один из векторов, например, вектор , можно однозначно разложить по двум другим: . Очевидно, что векторы , и
как найти разложение вектора x по векторам p.q.r
1. Найти вектор икс в базисе п-ку-эр. —-Для этого надо построить (составить) матрицу M из вектор-столбцов ортов (кажется, их даже мона не нормировать) пэ-ку-эр. —-Далее умножаешь M * икс = вектор икс в новом базисе. (это и есть разложени) ______________________________________________________ 2. Составить векторы АВ и АС (по правилу конец минус начало) , далее из скалярного произведения выразить косинус и подставить числа. AB = (-4 +1, -2+2, 5-1) = (-3, 0, 4), |AB| = sqrt ( 9+16 ) = 5 AC = (-8+1, -2+2, 2-1) = (-7, 0, 1). |AC| = sqrt (50) ~ 7.07 (AB, AC) = |AB| |AC| cos(t), => cos(t) = (AB, AC) / |AB| |AC| = ( -3*(-7) + 0 + 4*1)/ (5*7.07) = 25/5/7.07 ~ 0.707… << ответ Нуль семьсот семь получилось, а это «корень из 2 пополам» , угол t тогда пи/4 _______________________________________________________ 3. Площадь параллелограмма это модуль векторного произведения. [a,d], Учитывая, что [p, q] = |p| |q| sin пи/4 = |p||q| sqrt(2)/2 , |p| = 5, |q| = 4 ..решаем.. . [a,b] = [4p — q, p + 2q] = 4[p, p] + 8[p, q] — [q, p] — 2[q, q] = = 4p^2 — 2q^2 + 9* 4*5 sqrt(2)/2 = = 4* 25 — 2* 16 + 9*20*sqrt(2) /2 = =100 — 36 + 180 *sq2/2 ~ 191 ps Там + 8[p, q] — [q, p] = 8[p,q] + [p,q] = 9[p,q] (знак меняется при перестановке)
1) Решаем систему x = a*p + b*q + c*r { 1*a + (-1)*b + 1*c = 6 { (-2)*a + 1*b + 0*c = -1 { 0*a + 3*b + 4*c = 7 { a — b + c = 6 { -2a + b = -1 { 3b + 4c = 7 { a — b + c = 6 { a = (b + 1)/2 { c = (7 — 3b)/4 (b + 1)/2 — b + (7 — 3b)/4 = 6 2(b + 1) — 4b + 7 — 3b = 24 2b + 2 — 4b + 7 — 3b = 24 -5b = 24 — 9 = 15 b = -3 a = (-3 + 1)/2 = -1 c = (7 + 9)/4 = 4 x = — p — 3q + 4r
1)Пусть а, в, с-числа, тогда х=ар+вq+cr ар=(а, -2а, 0) вq=(-в, в, 3в) сr=(с, 0,4с), составляем систему уравнений, учитывая, что равные векторы имеют равные соответствующие координаты а-в+с=6 -2а+в=-1 3в+4с=7,решая её,найдём а=-1,в=-3,с=4.Разложение вектора х будет иметь вид х=-p-3q+4r
touch.otvet.mail.ru