правила, примеры, решения, арифметические действия с рациональными числами
Ниже рассмотрим правила основных математических действий над рациональными числами: сложение, вычитание, умножение и деление. Разберем теорию на практических примерах.
Yandex.RTB R-A-339285-1Действие сложения рациональных чисел
Рациональные числа содержат натуральные, тогда смысл действия сложения рациональных чисел сопоставим со смыслом сложения натуральных. Например, сумму рациональных чисел, записанную как 5+1 4возможно описать следующим образом: к 5 целым предметам добавили четверть такого предмета, после чего полученное количество рассматривается совместно.
Сформулируем правила сложения рациональных чисел:
Сложение нуля с отличным от него рациональным числом
Определение 1Прибавление нуля к любому числу дает то же число. Данное правило возможно записать в виде равенства: a + 0 = a (для любого рационального числа а). Используя переместительное свойство сложения, получим также верное равенство: 0 + a = a.
Пара простых примеров: сумма рационального числа 2,1 и числа 0 равно 2,1 и:
Сложение противоположных рациональных чисел
Определение 2Сумма противоположных чисел равна нулю.
Данное правило можно записать в виде: a+(-a)=0 (для любого рационального числа a).
К примеру, числа 45,13 и -45,13 являются противоположными, т.е. их сумма равно нулю: 45,13+(-45,13) = 0.
Сложение положительных рациональных чисел
В виде обыкновенной дроби возможно представить любое положительное рациональное число и использовать далее схему сложения обыкновенных дробей.
Пример 1Необходимо произвести сложение рациональных чисел: 0,6 и 59.
Решение
Выполним перевод десятичной дроби в обыкновенную и тогда: 0,6 + 59 = 610 + 59.
Осуществим сложение дробей с разными знаменателями:
610+59= 5490+ 5090= 10490=1745
Ответ: 0,6 + 59= 1745.
Рациональные числа, которые подвергают действию сложения, возможно записать в виде конечных десятичных дробей или в виде смешанных чисел и, таким образом, осуществить сложение десятичных дробей и смешанных чисел соответственно.
Сложение рациональных чисел с разными знаками
Определение 3Для того, чтобы осуществить сложение рациональных чисел с разными знаками, необходимо
zaochnik.com
Свойства действий с рациональными числами. Правила
Перечислим основные свойства действий с рациональными числами (a, b и c – произвольные рациональные числа):• Переместительное свойство сложения a + b = b + a.
• Сочетательное свойство сложения (a + b) + c = a + (b + c).
• Существование нейтрального элемента по сложению – нуля, сложение которого с любым числом не изменяет это число, то есть, a + 0 = a.
• Для каждого рационального числа a существует противоположное число −a такое, что a+(−a) = 0.
• Переместительное свойство умножения рациональных чисел a•b = b•a.
• Сочетательное свойство умножения (a•b)•c = a•(b•c).
• Существование нейтрального элемента по умножению – единицы, умножение на которую любого числа не изменяет это число, то есть, a•1 = a.
• Для каждого отличного от нуля рационального числа a существует обратное число a-1 такое, что a•a-1 = 1.
• Наконец, сложение и умножение рациональных чисел связаны распределительным свойством умножения относительно сложения: a•(b+c)=a•b+a•c.
Перечисленные свойства действий с рациональными числами являются основными, так как все остальные свойства могут быть получены из них
Рассмотрим основные свойства действий с рациональными числами
Сложение рациональных чисел обладает переместительным и сочетательным свойствами. Иными словами, если а , b и c — любые рациональные числа, то
а + b = b + а , а + (b + с) = (а + b) + с .
Например:
1/3+5/7+2/3 = 1/3+2/3+5/7 = 1+5/7
5/13+2/21-1 5/13 = 2/21 – 1 5/13 + 5/13 = 2/21-1 = 19/21
Прибавление нуля не изменяет числа, а сумма противоположных чисел равна нулю. Значит, для любого рационального числа имеем:
а + 0 = а , а + (– а) = 0 .
Например:
1/4+ 0 = 1/4
Умножение рациональных чисел обладает переместительным и сочетательным свойствами. Если, а , b и c рациональные числа, то:
ab = ba , a(bc) = (ab)c .
Умножение на 1 не изменяет рационального числа, а произведение числа на обратное ему число равно 1 . Значит, для любого рационального числа а имеем:
а • 1 = а ;
7/23*1 = 7/23
а • 1/a = 1 , если а ≠ 0 ;
7/23*23/7 = 1
Умножение числа на нуль дает в произведении нуль, т. е. для любого рационального числа а имеем:
а • 0 = 0 ;
8/9*0=0
Произведение может быть равно нулю лишь в том случае, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
если а • b = 0 , то либо а = 0 , либо b = 0
(может случиться, что и а = 0 , и b = 0 ) .
Умножение рациональных чисел обладает и распределительным свойством относительно сложения. Другими словами, для любых рациональных чисел а , b и c имеем:
(а + b)с = ас + bс.
spishy-u-antoshki.ru
Основные свойства действий с рациональными числами
Данная статья посвящена обзору свойств действий с рациональными числами. Сначала рассмотрены основные свойства, а затем — те свойства, которые базируются на основных свойствах.
Действия с рациональными числами. Основные свойства
Все свойства действий с рациональными числами базируются на основе свойств действий с целыми числами. Пусть a, b, c, d — некоторые произвольные рациональные числа. Перечисли оcновные свойства действий с ними.
- Коммутативное свойство сложения. Оно еще называется коммутативным или переместительным законом. a+b=b+a.
- Сочетательное свойство, или сочетательный закон сложения. a+(b+c)=(a+b)+c.
- Ноль — нейтральный элемент по сложению. Сложение нуля с любым числом не изменяет это число. a+0=a.
- Для любого рационального числа a существует такое противоположное число -a, что a+(-a)=0.
- Коммутативный (переместительный) закон умножения рациональных чисел. a·b=b·a.
- Сочетательный закон умножения.a·b·c=a·(b·c).
- Единица — нейтральный элемент по умножению. Умножение любого числа на единицу не изменяет этого числа. a·1=a.
- Для любого рационального числа a, отличного от ноля, существует такое обратное число a-1, что a·a-1=1.
- Распределительное свойство умножения относительно сложения. a·(b+c)=a·b+a·c.
Перечисленные выше свойства — основные свойства действий с рациональными числами. Остальные свойства являются следствием основных свойств.
Другие свойства рациональных чисел
Кратко рассмотрим иные, наиболее часто используемые свойства действий с рациональными числами.
Умножение рациональных чисел с разными знаками. a·(-b)=-(a·b) или (-a)·b=-(a·b).
Умножение отрицательных рациональных чисел. (-a)·(-b)=a·b.
Умножение произвольного числа на ноль. a·0=0. Остановимся на доказательстве этого свойства. Пусть d — любое рациональное число. Справедливым будет равенство 0=d+(-d), которое можно переписать так: a·0=a·(d+(-d)). Теперь перепишем равенство с учетом распределительного свойства:
zaochnik.com
Основные свойства действий с рациональными числами (методическая разработка)
Свойства действий с рациональными числами являются расширением свойств действий с целыми числами.
Перечислим основные свойства действий с рациональными числами (a, b и c – произвольные рациональные числа):
Переместительное свойство сложения a+b=b+a.
Сочетательное свойство сложения (a+b)+c=a+(b+c).
Существование нейтрального элемента по сложению – нуля, сложение которого с любым числом не изменяет это число, то есть, a+0=a.
Для каждого рационального числа a существует противоположное число −a такое, что a+(−a)=0.
Переместительное свойство умножения рациональных чисел a·b=b·a.
Сочетательное свойство умножения (a·b)·c=a·(b·c).
Существование нейтрального элемента по умножению – единицы, умножение на которую любого числа не изменяет это число, то есть, a·1=a.
Для каждого отличного от нуля рационального числа a существует обратное число a−1 такое, что a·a−1=1.
Наконец, сложение и умножение рациональных чисел связаны распределительным свойством умножения относительно сложения: a·(b+c)=a·b+a·c.
Перечисленные свойства действий с рациональными числами являются основными, так как все остальные свойства могут быть получены из них.
Помимо девяти перечисленных основных свойств действий с рациональными числами существует еще ряд очень широко используемых свойств. Дадим их краткий обзор.
Начнем со свойства, которое с помощью букв записывается как a·(−b)=−(a·b) или в силу переместительного свойства умножения как (−a)·b=−(a·b).
Из этого свойства напрямую следует правило умножения рациональных чисел с разными знаками, в указанной статье приведено и его доказательство. Указанное свойство объясняет правило «плюс умножить на минус есть минус, и минус умножить на плюс есть минус».
Вот следующее свойство: (−a)·(−b)=a·b. Из него следует правило умножения отрицательных рациональных чисел, в этой статье Вы найдете и доказательство приведенного равенства. Этому свойству отвечает правило умножения «минус умножить на минус есть плюс».
Несомненно, стоит остановиться на умножении произвольного рационального числа a на нуль: a·0=0 или 0·a=0. Докажем это свойство. Мы знаем, что 0=d+(−d) для любого рационального d, тогда a·0=a·(d+(−d)).
Распределительное свойство позволяет полученное выражение переписать как a·d+a·(−d), а так как a·(−d)=−(a·d), то a·d+a·(−d)=a·d+(−(a·d)). Так мы пришли к сумме двух противоположных чисел, равных a·d и −(a·d), их сумма дает нуль, что и доказывает равенство a·0=0.
Легко заметить, что выше мы перечислили только свойства сложения и умножения, при этом ни слова не сказали о свойствах вычитания и деления.
Это связано с тем, что на множестве рациональных чисел действия вычитание и деление задаются как обратные к сложению и умножению соответственно.
То есть, разность a−b – это есть сумма a+(−b), а частное a:b – это есть произведение a·b−1 (b≠0).
Учитывая эти определения вычитания и деления, а также основные свойства сложения и умножения, можно доказать любые свойства действий с рациональными числами.
Для примера докажем распределительное свойство умножения относительно вычитания: a·(b−c)=a·b−a·c. Имеет место следующая цепочка равенств a·(b−c)=a·(b+(−c))=a·b+a·(−c)=a·b+(−(a·c))=a·b−a·c, которая и является доказательством.
videouroki.net
«Свойства действий с рациональными числами». 6-й класс
Разделы: Математика, Конкурс «Презентация к уроку»
Презентация к уроку
Загрузить презентацию (1,5 МБ)
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний с применением компьютерных технологий.
Цели урока:
- Образовательные:
- совершенствовать навыки решения примеров и уравнений по теме «Свойства действий с рациональными числами»;
- закрепить умения выполнять арифметические действия над рациональными числами;
- проверить умение использовать свойства арифметических действий для упрощения выражений с рациональными числами;
- обобщить и систематизировать теоретический материал.
- Развивающие:
- развивать навыки устного счёта;
- развивать логическое мышление;
- формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли;
- развивать математическую речь учащихся в процессе выполнения устной работы по воспроизведению теоретического материала;
- расширить кругозор учащихся.
- Воспитательные:
- воспитывать умение работать с имеющейся информацией;
- воспитывать уважение к предмету;
- воспитывать умение слушать своего товарища, чувство взаимопомощи и взаимоподдержки;
- способствовать воспитанию самоконтроля и взаимоконтроля учащихся.
Оборудование и наглядность: компьютер, мультимедийный проектор, экран, интерактивная презентация, сигнальные карточки для устного счета, цветные мелки.
Структура урока:
| Вид деятельности | № слайдов |
мин. |
| 1. Организационный момент. | 1 |
1 |
| 2. Сообщение темы и целей урока. | 2-4 |
2 |
| 3. Актуализация опорных знаний. | 5-6 |
6 |
| 4. Закрепление пройденного материала. | 7-9 |
11 |
| 5. Физкультминутка. | 10-13 |
3 |
| 6. Подготовка к ГИА. | 14- |
4 |
| 7. Задание на дом: в рубрике газеты «А знаете ли вы…?» | 13 |
2 |
| 8. Подведение итогов урока. Выставление оценок. | 14 |
1 |
ХОД УРОКА
I. Организационный момент
II. Сообщение темы и целей урока
Проверка готовности учащихся к уроку. Сообщение учащимся целей и плана урока.
– Тема нашего урока: «Свойства действий с рациональными числами», а девиз урока я прошу вас прочитать хором:
Да, путь познания не гладок.
Но знаем мы со школьных лет,
Загадок больше, чем разгадок,
И поискам предела нет!
И сегодня мы с вами на уроке дружно и активно
создадим математическую газету. Я – буду главным
редактором, а вы – корректорами. Как вы
понимаете значение этого слова?
Чтобы проверить других, нам необходимо
систематизировать свои знания по теме «Свойства
действий с рациональными числами».
А газета наша называется «Рациональные
числа». А в переводе на татарский язык?
Я слышала, что вы хорошо знаете и английский
язык, а как англичане назовут эту газету?
Представляю вам макет газеты, которая состоит
из следующих рубрик: чтение хором: «Спрашивают
– отвечаем», «Новости дня», «Аукцион
проектов», «Актуальный репортаж»,
«А знаете ли вы…?».
III. Актуализация опорных знаний
Устная работа:
В первой рубрике «Спрашивают – отвечаем» нам нужно проверить правильность информации, которую нам прислали в письмах наши корреспонденты. Посмотрите внимательно и скажите, какие правила нам нужно вспомнить, чтобы проверить эту информацию.
1. Правило сложения отрицательных чисел:
«Чтобы сложить два отрицательных числа, надо: 1) сложить их модули, 2) поставить перед полученным числом знак минус».
2. Правило деления чисел с разными знаками:
«При делении чисел с разными знаками, надо: 1) разделить модуль делимого на модуль делителя, 2) поставить перед полученным числом знак минус».
3. Правило умножения двух отрицательных чисел:
«Чтобы перемножить два отрицательных числа, надо перемножить их модули».
4. Правило умножения чисел с разными знаками:
«Чтобы перемножить два числа с разными знаками, надо перемножить модули этих чисел и поставить перед полученным числом знак минус».
5. Правило деления отрицательного числа на отрицательное число:
«Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное число, надо разделить модуль делимого на модуль делителя».
6. Правило сложения чисел с разными знаками:
«Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо 1) из большего модуля слагаемых вычесть меньший, 2) поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше.
1) – 8,4 + (– 8,4) = 0; (– 16,8)
2) (– 6,7). (– 10) = – 67; (67)
3) (– 2,2) + 3,5 = 1,3;
4) – 13 – 8 = – 5; (– 21)
5) 15 – 18 = – 13; (– 3)
6) 7,4 – (– 3,2) = – 10,6; (10,6)
7) – 9. 6 = – 54;
8) – 3,6. 1 = –1; (– 3,6)
9) – 18 : (– 0,3) = 60;
10) – 3,7. 0 = – 3,7. (0)
– Молодцы, хорошо справились.
IV. Закрепление пройденного материала
– А сейчас мы переходим к рубрике «Новости
дня». Чтобы заполнить эту рубрику, нам
необходимо систематизировать знания о
числах.
– Какие вы знаете числа? (Натуральные, дробные,
рациональные)
– А какие числа относятся к рациональным? (Положительные,
отрицательные и 0)
– А какие свойства рациональных чисел вы
знаете? (Переместительное, сочетательное и
распределительное, умножение на 1, умножение на 0)
– А теперь перейдем к письменной работе. Открыли
тетради, записали число, классная работа, тема
«Свойства действий с рациональными числами».
Используя эти свойства, упростим
выражения:
А) х + 32 – 16 = х + 16
Б) – х – 18 – 23 = – х – 41
В) – 1,5 + х – 20 = – 21,5 + х
Г) 12 – 26 + х = х – 14
Д) 1,7 + 3,6 – х = 5,3 – х
Е) – х + а + 6,1 – а + 2,8 – 8,8 = – х + 0,1
– А следующие примеры требуют от нас еще более рационального решения с объяснением.
– 98 + 85 + 45 – 55 – 28 + 63 = 12
– 6,56 + 2,4 – 3,2 + 6,56 + 4 + 3,2 – 2,4 = 4
– 19,61 * 20 + 19,61 * 120 = 1961
12.04.1961 – Вам о чем-нибудь говорят полученные
ответы?
50 лет назад 12 апреля 1961 года Юрий Гагарин полетел
в космос. Город Заинск тоже имеет свою
космическую историю: 9 марта 1961 года спускаемый
аппарат №1 космического корабля «ВОСТОК-4»
совершил мягкую посадку в районе села Старый
Токмак Заинского района с манекеном человека,
собакой и другими мелкими животными на борту. И в
честь этого события в нашем районе поставят
памятник. Сейчас в городе работает конкурсная
комиссия. В конкурсе участвуют 3 проекта,
они перед вами на экране. А сейчас мы с вами
проведем аукцион проектов.
Я прошу проголосовать за понравившийся вам
проект. Ваш голос может оказаться решающим.
V. Физкультминутка
– Свое мнение вы выражаете аплодисментами и
топаньем. Давайте прорепетируем! Три хлопка и
три притопа.
– Еще раз попробуем. Итак, голосование
начинается:
– Отдаем свои голоса за Макет №1
– Отдаем свои голоса за Макет №2
– Отдаем свои голоса за Макет №3
– А теперь за все макеты вместе.
– Победу одержал Макет № … Спасибо, я записала
ваши голоса (поднимает сотовый телефон и
показывает детям) и передам в счетную комиссию.
– Молодцы, спасибо. А впереди не менее важный – Актуальный
репортаж.
VI. Подготовка к ГИА
В рубрику «Актуальный репортаж» пришло письмо, где ученик просит помочь ему в решении заданий к итоговому экзамену в 9 классе. Нам нужно каждому самостоятельно прорешать задания, тесты <Приложение 1> у вас на столах:
1. Решить уравнения:
а) (х + 3)(х – 6) = 0
1) х = 3, х = – 6
2) х = – 3, х = – 6
3) х = – 3, х = 6
б) – 7(3,5 – х) = 0
1) х = 3,5
2) х = – 7
3) х = – 3,5
2. Округлить число 253,355 до десятых:
1) 253,4
2) 253,3
3) 253,35
3. Выберите наименьшее число:
1) – 13,5
2) – 32,8
3) – 40,2
4. Выбери наибольшее число:
1) – 12,4
2) – 43,5
3) – 12,2
5. Расположите в порядке возрастания:
1)
2)
3)
– Прошу вас проверить правильность решения своего соседа. Поменяйтесь тестами. Один доказывает решение, все сверяют свои ответы с ответами на слайде.
VII. Задание на дом
– Домашнее задание вы возьмете в последней рубрике нашей газеты «А знаете ли вы…?»
Решив задания этой рубрики, вы отгадаете имя одного из участников космических экспедиций.
1. Соотнести значения второго столбца с решениями первого.
| – – 2 | 1,75 А |
| – 5,6. | Ш |
| – 15,96. 0 – 23 | – 24 Н |
| – 5 . (– 1,2). (– 4) | – 2 Ч |
| – 12,5. (– 3). 2,4 | – 23 Р |
| *3,7– *2,7 | – Е |
| – 3,4 – 7,7 + 3,4 + 7,7 + 2,5 | 90 У |
| 2 – . 4 | 2,5 К |
2. Задача.
Скорость космического корабля равна 28 271 км/ч. Полет длился 108 минут. Какое расстояние он пролетел?
VIII. Подведение итогов урока. Выставление оценок
Вот и получилась у нас вами замечательная
математическая газета <Приложение
2>. Где мы систематизировали свои
знания по теме «Свойства действий с
рациональными числами». И я вам дарю первый
выпуск нашей газеты и небольшой подарок от меня,
который будет вам необходим на уроках математики
<Приложение 3>. А
для тех, кто сегодня на уроке справился
отлично со всеми заданиями, тот получает
газету красного цвета. И для них дополнительно в
газете дана задача.
Оценки получают …
Обратим внимание на следующие слова:
Что быстрее всего? – Ум.
Что мудрее всего? – Время.
Что приятнее всего? – Достичь желаемого.
– Я думаю, мы с вами достигли желаемого. Спасибо вам большое за урок!
14.03.2013
xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai
Все действия с рациональными числами, 6 класс
Цели урока:
Образовательные:
— повторить понятие рационального числа;
— повторить правила сложения, вычитания, умножения и деления рациональных чисел;
— повторить порядок действий в выражениях с целыми числами
— формировать умение выполнять действия в выражениях с рациональными числами
Развивающие:
— развивать внимание, речь, память, логическое мышление, самостоятельность.
Воспитательные:
— воспитывать стремление достигать поставленную цель; уверенности в себе, умение работать в коллективе.
Знать: правила сложения, вычитания, умножение и деление рациональных чисел
Уметь: выполнять действия в выражениях с рациональными числами
Тип урока: обобщение и систематизация знаний
Оборудование: экран, мультимедиа, презентация, раздаточный материал
|
№ п/п |
Этап урока |
Время |
Задачи этапа |
|
1 |
Организационный момент. |
1 мин |
Настроить учащихся на урок. |
|
2 |
Актуализация знаний. Повторение пройденного материала. |
8 мин |
Повторить правила сложения, вычитания, умножение и деление рациональных чисел |
|
3 |
Постановка проблемы |
10 мин |
Выведение алгоритма определения порядка действий в выражениях с рациональными числами |
|
4 |
Физкультминутка. |
3мин |
Снять утомление ребенка, обеспечить активный отдых и повысить умственную работоспособность учащихся. |
|
5 |
Закрепление изученного материала. |
15 мин |
Формировать умение применять алгоритм при определение порядка действий в числовом выражении и искать рациональные пути решения. |
|
6 |
Итог урока. |
5 мин |
— Подсчитать количество плюсов; — Самооценка — Рефлексия |
|
7 |
Домашнее задание |
3 мин |
|
Ход урока
1) Организационный момент.
2) Актуализация знаний. Повторение пройденного материала.
Фронтальный опрос:
— Какие числа вы изучили? (рациональные)
— Какие числа называются рациональными? (целые + дроби)
— Какие действия с рациональными числами вы умеете выполнять?
Нам сегодня необходимо повторить все действия с рациональными числами
Для того чтобы всё успеть повторить необходим план урока.
|
№ п/п |
Этап урока |
Время |
|
1 |
Организационный момент. |
1 мин |
|
2 |
Актуализация знаний. Повторение пройденного материала. |
8 мин |
|
3 |
Постановка проблемы |
10 мин |
|
4 |
Физкультминутка. |
3мин |
|
5 |
Закрепление изученного материала. |
15 мин |
|
6 |
Итог урока. |
5 мин |
|
7 |
Домашнее задание |
3 мин |
— Запишите в тетрадях тему сегодняшнего урока: «Все действия с рациональными числами»
— Сейчас вы разобьётесь на пять группы: четыре группы будут теоретиками, а одна практиками.
Теоретикам необходимо заполнить пропуски, используя знания теории, а практикам применить теоретические знания при решении задач. (На самостоятельную работу групп выделить 2–2,5 минуты. На проверку по 1 минуте на группу).
Iгруппа (теоретики): Закончите предложения
— Для сложения двух чисел одного знака нужно … (сложить их модули и поставить перед найденной суммой общий знак слагаемых)
— Для сложения двух чисел разного знака, имеющих разные модули, нужно …(вычесть из большего модуля меньший и поставить перед найденной разностью знак того слагаемого, чей модуль больше)
— Сумма двух противоположных чисел равна …(нулю) — Сумма рационального числа х и нуля равна … (х)
IIгруппа (теоретики): Закончите предложения
— Для нахождения разности рациональных чисел нужно … (к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому)
— Если в алгебраической сумме перед скобками стоит знак «плюс», то … (скобки можно убрать, оставив все знаки внутри без изменения)
— Если в алгебраической сумме перед скобками стоит знак «минус», то … (скобки можно убрать, изменив все знаки внутри на противоположные)
IIIгруппа (теоретики): Закончите предложения
— Какой знак имеет произведение двух рациональных чисел одинаковых знаков?
— Какой знак имеет произведение двух рациональных чисел разных знаков?
— Чему равно произведение любого рационального числа и нуля? (х 0 = 0)
— Чему равно произведение любого рационального числа на -1? (х (-1) = — х)
IVгруппа (теоретики): Закончите предложения
— Частным двух отличных от нуля рациональных чисел одного знака является …(положительное число)
— Частным двух отличных от нуля рациональных чисел разных знаков является …(отрицательное число)
— На нуль делить … (нельзя)
Vгруппа (практики): Письменно на листочках:
|
1) 1)-2,5 + (-6,4) = 2) 2)6,5 + (-8,8) = 3) 3)-7,1 + 7,1 = |
4) 4)- 9,8–4,9 = 5) 5) = 6) 11 = |
7) -1,1 (-1,1) = 8) = |
9) 1: ( = 10) 0: ( = |
Проверить и подвести итоги (подсчитать количество плюсов и записать на полях)
3) Постановка проблемы: Чем мы с вами занимались? Что мы с вами повторили?
Вы обладаете достаточными знаниями, чтобы разобраться в одной проблемной ситуации:
Найдите значение выражения записанного на доске: (- 25–10): 5 +6 *(-3) =
— Чему равно значение выражения? (-25)
— Как узнали? (Выполнили действия)
— Я тоже решила это выражение, но у меня получился другой ответ (3).
— Как вы думаете почему? (Изменился порядок действий, т. е. действия выполнены в другой последовательности).
Какой вывод можно сделать из обсуждения нашей проблемной ситуации?
(Надо знать алгоритм для выполнения порядка действий)
На слайде записаны правила для выполнения порядка действий. Внимательно прочитайте их и пронумеруйте эти правила так, чтобы получился алгоритм для выполнения порядка действий.
Алгоритм
1. В выражения без скобок сначала выполняются умножение или деление, вычитание или сложение по порядку слева направо.
2. В выражениях со скобками — сначала выполняются действия в скобках, учитывая правило 1.
3. Если в числовом выражение есть степень числа, то сначала нужно записать её в виде числа и после этого приступить к выполнению остальных действий по уже сформулированным правилам.
— Как вы думаете, справедлив ли этот алгоритм для рациональных чисел?
(-2 * 0,5–1): (-0,4) + (-7,2). (Да) (на доске)
— Найдите значение этого выражения (1 ученик комментирует с места, остальные записывают в тетрадь)
Ответ -2,2
4) Физкультминутка
5) Закрепление
Задание 1. Правильно ли расставлен порядок действий в выражениях?
Почему вы так считаете. А как рациональнее?
1) ; 2) ; 3)
2) Рациональный способ:
Задание 2. Выберите из данных числовых выражений те, порядок действий в которых таков: 1) сложение; 2) сложение; 3) умножение; 4) сложение; 5) деление; 6) вычитание.
а) ;
б) ;
в) .
г) ;
Найдите значение этих выражений.
(выполнить взаимопроверку по слайду)
6) Подведение итогов (подсчитать количество плюсов)
— Самооценка (оценку, поставленную себе учеником, выставить в журнал)
— Рефлексия
|
1. На уроке я работал 2. Своей работой на уроке я 3. Урок для меня показался 4. За урок я 5. Мое настроение 6. Материал урока мне был 7. Домашнее задание мне кажется |
активно / пассивно доволен / не доволен коротким / длинным не устал / устал стало лучше / стало хуже понятен / не понятен полезен / бесполезен интересен / скучен легким / трудным интересным / неинтересным |
Литература:
1. Математика 6 класс.: учебник для общеобразоват. учреждений: в 2-х частях. Ч.1/С. А. Козлова, А. Г. Рубин.-2-е изд. — М.: Баласс, 2013 (Образовательная система «Школа 2100»
2. Математика 6 класс.: учебник для общеобразоват. учреждений: в 2-х частях. Ч.2/С. А. Козлова, А. Г. Рубин.-2-е изд. — М.: Баласс, 2013 (Образовательная система «Школа 2100»
3. http://festival.1september.ru
moluch.ru
Опорный конспект по математике «Действия с рациональными числами»
Действия с рациональными числами
Сложение нуля с другим рациональным числом
Сформулируем правило сложения рационального числа с нулем: прибавление нуля к любому числу дает это же число. С помощью букв это правило записывается так: a+0=a для любого рационального a, а в силу переместительного свойства сложения рациональных чисел также справедливо равенство 0+a=a.
Приведем пару примеров. Сумма рационального числа 0,5 и числа 0 равна 0,5. Еще пример: .
Сложение противоположных рациональных чисел
Теперь установим, как проводится сложение противоположных рациональных чисел: сумма противоположных чисел равна нулю. В буквенном виде это правило имеет такую запись: a+(−a)=0, для любого рационального a.
Например, рациональные числа 4,(35) и −4,(35) – противоположные, значит, их сумма равна нулю, то есть, 4,(35)+(−4,(35))=0. Другой пример: .
Сложение положительных рациональных чисел
Любое положительное рациональное число можно записать в виде обыкновенной дроби. Таким образом, для сложения положительных рациональных чисел нужно знать, как рациональные числа приводятся к виду обыкновенных дробей, и как выполняется сложение обыкновенных дробей.
Пример.
Сложите рациональные числа 0,7 и 7/8.
Решение.
Выполнив перевод десятичной дроби в обыкновенную, от суммы 0,7+7/8 приходим к сумме 7/10+7/8. Осталось провести сложение обыкновенных дробей с разными знаменателями: .
Ответ:
.
Если складываемые рациональные числа можно записать как конечные десятичные дроби, либо как смешанные числа, то можно выполнить сложение десятичных дробей и сложение смешанных чисел соответственно.
Сложение рациональных чисел с разными знаками
Для сложения рациональных чисел с разными знаками используется правило сложения чисел с разными знаками: из большего модуля слагаемых надо вычесть меньший, и перед полученным числом поставить знак того числа, модуль которого больше.
Пример.
Выполните сложение рациональных чисел с разными знаками 7,2 и .
Решение.
Нам нужно сложить положительное число с отрицательным. По правилу сложения чисел с разными знаками нам сначала нужно найти модули слагаемых: .
Сравнение рациональных чисел 7,2 и дает , значит, остается от 7,2 отнять , и перед полученным числом поставить знак плюс. Заменив десятичную дробь 7,2 смешанным числом , приходим к вычитанию смешанных чисел: .
Перед полученным числом нет смысла ставить знак плюс, так как запись отвечает числу .
Ответ:
.
Сложение отрицательных рациональных чисел
Сложение отрицательных рациональных чисел проводится по правилу сложения отрицательных чисел: складываются модули слагаемых и перед полученным числом ставится знак минус.
Приведем пример сложения отрицательных рациональных чисел.
Пример.
Сложите отрицательное число −4,0203 с отрицательным числом −12,193.
Решение.
Модули складываемых чисел равны 4,0203 и 12,193 соответственно. Сложим десятичные дроби столбиком:
Осталось перед полученным числом поставить знак минус, имеем −16,2133.
Ответ:
(−4,0203)+(−12,193)=−16,2133.
Вычитание рациональных чисел
Переходим к рассмотрению следующего действия над рациональными числами – вычитания. Вычитание является действием, обратным к сложению. То есть, вычитание – это нахождение неизвестного слагаемого по сумме и известному слагаемому. Это также означает, что из равенства c+b = a следует, что a−b = с и a−c = b, и наоборот, из равенств a−b=с и a−c=b следует, что c+b = a. Вычитание из большего положительного рационального числа меньшего числа сводится либо к вычитанию обыкновенных дробей, либо, если это удобно, к вычитанию десятичных дробей или вычитанию смешанных чисел.
Пример.
Вычислите разность рациональных чисел вида .
Решение.
Для начала будем действовать как при переводе периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь: . Так мы приходим к вычитанию обыкновенной дроби из смешанного числа: .
Ответ:
.
В остальных случаях вычитание рациональных чисел заменяется сложением: к уменьшаемому прибавляется число, противоположное вычитаемому. То есть,
а − b = a + (−b).
Это равенство доказывается на основании свойств действий с рациональными числами. Они позволяют записать такую цепочку равенств:
(a+(−b))+b = a+((−b)+b)= a+0= a, откуда в силу смысла вычитания следует, что сумма вида a + (−b) является разностью чисел a и b.
Пример.
Выполните вычитание из рационального числа 2/7 рационального числа .
Решение.
Число, противоположное вычитаемому, есть . Тогда . Так мы пришли к сложению рациональных чисел с разными знаками, имеем .
Ответ:
.
Умножение рациональных чисел
Понятие числа расширяется от натуральных чисел к целым, а от целых чисел к рациональным. Это объясняет тот факт, что действия с целыми числами обладают всеми свойствами действий с натуральными числами. Следовательно, действия с рациональными числами должны обладать всеми свойствами действий с целыми числами. Однако для умножения рациональных чисел характерно еще одно свойство — свойство умножения взаимно обратных чисел.
С указанным принципом согласуются все перечисленные ниже правила умножения рациональных чисел.
Умножение на нуль
Произведение любого числа a на нуль есть нуль. Запишем это утверждение в буквенном виде: a·0=0 для любого рационального числа a, а в силу переместительного свойства умножения это равенство можно переписать как 0·a=0. Приведем примеры. Умножение рационального числа 5/12 на 0 дает 0, произведение нуля и отрицательного рационального числа также равно нулю. В частности произведение нуля на нуль есть нуль, то есть, 0·0=0.
Умножение на единицу
Теперь озвучим правило умножения рационального числа на единицу: умножение любого рационального числа a на 1 в результате дает число a. То есть, a·1=a или 1·a=a, для любого рационального a. Таким образом, единица является нейтральным числом по умножению.
Например, умножение рационального числа 4,73 на 1 в результате дает 4,73. Другой пример: произведение равно .
Произведение взаимно обратных чисел
Если множители являются взаимно обратными числами, то их произведение равно единице. То есть, a·a−1=1.
Так произведение взаимно обратных чисел 7/8 и 8/7 равно единице. Аналогично, умножение −1,5 на −0,(6) в результате дает 1, так как −1,5=−3/2 и −0,(6)=−2/3, а −3/2 и −2/3 – взаимно обратные числа.
Умножение положительных рациональных чисел
В общем случае умножение положительных рациональных чисел можно свести к умножению обыкновенных дробей. Для этого множители нужно представить в виде обыкновенных дробей, если они сразу не являются таковыми.
Пример.
Вычислите произведение положительных рациональных чисел 0,4 и 5/28.
Решение.
Представим десятичную дробь 0,4 в виде обыкновенной дроби: 0,4=4/10=2/5. Таким образом, . Осталось выполнить умножение обыкновенных дробей: . На этом умножение исходных рациональных чисел завершено.
Вот все решение: .
Ответ:
.
Иногда удобно работать с конечными десятичными дробями, не выполняя переход к обыкновенным дробям.
Пример.Вычислите произведение рациональных чисел вида 2,121·3,4. Решение.Здесь мы можем выполнить умножение десятичных дробей столбиком:
(−3,146)·(−56)=176,176.
Ответ:
2,121·3,4=7,2114.
В частном случае умножение положительных рациональных чисел может собой представлять умножение натуральных чисел, умножение натурального числа на обыкновенную дробь или умножение натурального числа на десятичную дробь.
Пример.
Проведите умножение рациональных чисел 0,(1) и 3.
Решение.
Сначала переведем периодическую десятичную дробь в обыкновенную дробь: . Таким образом, от умножения исходных рациональных чисел 0,(1) и 3 ми переходим к умножению обыкновенной дроби 1/9 на 3. В итоге имеем .
Ответ:
.
Умножение рациональных чисел с разными знаками
Для умножения рациональных чисел с разными знаками применяется правило умножения чисел с разными знаками: надо умножить модули множителей и перед полученным числом поставить знак минус. Это правило позволяет от умножения рациональных чисел с разными знаками перейти к умножению положительных рациональных чисел, с которым мы разобрались в предыдущем пункте.
Рассмотрим решение примера.
Пример.
Выполните умножение отрицательного рационального числа на положительное рациональное число.
Решение.
По правилу умножения чисел с разными знаками имеем . Заменив смешанные числа соответствующими неправильными дробями, завершаем вычисления .
Ответ:
.
Умножение отрицательных рациональных чисел
Умножение отрицательных рациональных чисел сводится к умножению положительных чисел. При этом применяется следующее правило умножения отрицательных чисел: нужно перемножить модули множителей.
Рассмотрим применение этого правила при решении примера.
Пример.
Выполните умножение отрицательных рациональных чисел −3,146 и −56. Решение. Модули множителей равны соответственно 3,146 и 56. Вычислим их произведение, для этого выполним умножение столбиком:
Таким образом, произведение исходных отрицательных рациональных чисел равно 176,176.
Ответ:
(−3,146)·(−56)=176,176.
Деление рациональных чисел
Деление представляет собой действие, обратное умножению. Иными словами, деление – это нахождение неизвестного множителя по известному произведению и другому множителю. То есть, смысл деления таков: из равенства b·c=a следует, что a:b=c и a:c=b, и, наоборот, из равенств a:b=c и a:c=b следует, что b·c=a.
На множестве рациональных чисел деление сложно считать самостоятельным действием, так как оно выполняется посредством умножения. Об этом свидетельствует следующее правило деления рациональных чисел: разделить число a на отличное от нуля число b – это все равно, что умножить делимое a на число, обратное делителю. То есть, на множестве рациональных чисел a:b=a·b−1.
Доказать это равенство не составляет труда. Действительно, в силу свойств действий с рациональными числами справедливы равенства (a·b−1)·b=a·(b−1·b)=a·1=a, которые доказывают равенство a:b=a·b−1.
Итак, деление рационального числа на отличное от нуля рациональное число сводится к умножению рациональных чисел.
Осталось лишь рассмотреть пример деления рациональных чисел по озвученному правилу.
Пример.
Выполните деление .
Решение.Найдем число, обратное делителю . Запишем это число в виде неправильной дроби: . Тогда число, обратное этой дроби есть .
Теперь мы можем по правилу деления перейти от деления рациональных чисел к умножению, что позволит нам закончить вычисления: .
Ответ:
.
infourok.ru