Разложи число 1080 на простые множители: Как сделать НОД и НОК:(1080;2160;1350)

2

Открытая Математика. Алгебра. Делители и кратные

Для натурального числа b всякое целое число a единственным образом представимо в виде a = bq + r, где 0 ≤ r ≤ |b|.

Со времен древних греков известен рисунок, иллюстрирующий доказательство этой теоремы:

Если натуральное число p не делится на натуральное число q, то говорят о делении с остатком. Так, если p – делимое, q – делитель и p > q, то p = kq + r, где r < q, k – частное, r – остаток. Деление без остатка описывается случаем r = 0.

Если положить, например, q = 5 и r = 1, то получим p = 5k + 1, что представляет собой общую формулу чисел, при делении которых на 5 в остатке получается 1.

Деление с остатком

Напомним, что для натурального числа q всякое натуральное число

p единственным образом представимо в виде p = kq + r.

Все натуральные числа имеют, по крайней мере, два натуральных делителя: единицу и самого себя. В случае с единицей эти два делителя совпадают. Все остальные натуральные числа (кроме 1) имеют, по крайней мере, два различных натуральных делителя: единицу и самого себя.

Простыми называются натуральные числа, которые не имеют других натуральных различных делителей, кроме единицы и самого себя.

Числа, которые имеют и другие натуральные делители кроме единицы и самого себя, называют составными.

Число 1 имеет единственный натуральный делитель – самого себя. А значит, согласно данным определениям, оно не является ни простым, ни составным.

Для того, чтобы доказать, что данное натуральное число простое, достаточно установить, что оно не делится ни на одно из чисел от 2 до [N] включительно. Если же N

делится на одно из таких чисел, то оно составное.

Более удобный способ отбора составных чисел – решето Эратосфена – предложил в III в. до н. э. древнегреческий математик Эратосфен. Предположим, что нам нужно установить, какие из чисел 2, …, N являются простыми. Выпишем их в ряд и вычеркнем каждое второе число из следующих за числом 2 – все они составные, так как кратны числу 2. Первое из оставшихся невычеркнутыми чисел – 3 – является простым. Вычеркнем каждое третье число из следующих за числом 3; следующее из невычеркнутых чисел – 5 – также будет простым. По тому же принципу вычеркнем каждое пятое число из следующих за числом 5 и вообще каждое k-ое из следующих за числом k. Все оставшиеся невычеркнутыми числа будут простыми.

Простых чисел бесконечно много.

Предположим, что ряд простых чисел конечен, и обозначим последнее простое число в этом ряду буквой

N. Тогда число x = 1 ċ 2 ċ … ċ (N – 1) ċ N + 1 должно быть составным. Это число при делении на числа 2, 3, …, N – 1, N всякий раз дает в остатке единицу. Таким образом, x не делится без остатка ни на одно из чисел 2, …, N, а простых чисел, бóльших N, по нашему предположению не существует. Но если бы x было составным числом, то оно должно было делиться хотя бы на одно простое число. Мы приходим к противоречию – следовательно, ряд простых чисел бесконечен.

Доказательство этой теоремы принадлежит древнегреческому математику Евклиду и описано в его «Началах».

Приведем список простых чисел в пределах первой сотни: 2357111317192329313741434753596167717379838997

Глядя на эту таблицу, можно убедиться в том, что простые числа распределены в натуральном ряду неравномерно. Существует расположенные рядом простые «числа-близнецы» (2 и 3, 3 и 5, 17 и 19, 41 и 43 и т. д.). С другой стороны, есть бесконечно длинные отрезки натурального ряда, на которых простых чисел нет вообще (так, среди последовательных чисел

x + 2, x + 3, x + 4, …, x + k, где x = 1 ċ 2 ċ … ċ (k – 1) ċ k, нет ни одного простого).

Обозначим через π (n) число простых чисел, меньших n. Немецкий математик Леонард Эйлер доказал, что отношение π (n)n при больших n сколько угодно близко приближается к нулю. Позже математики доказали, что для больших n число π (n)≈nlnn (с понятием логарифма мы познакомимся позже). Также доказано, что для натурального числа n в промежутке [n; 2n] всегда найдется хотя бы одно простое число.

Одно дело – знать, что простых чисел бесконечно много, и совсем другое – доказать, что данное число

n является простым. В 2005 году было доказано, что число (2^30402457 – 1) простое; оно содержит в своей записи более 900 тысяч цифр.

Определить, является ли большое число простым, очень непросто. В настоящее время эта проблема решается при помощи ЭВМ, однако даже на самых быстрых из современных ЭВМ доказательство того, что число, состоящее из нескольких сотен цифр, является простым, может занять месяцы и годы. На сложности определения простоты чисел основаны современные механизмы шифрования данных.

Справедлива фундаментальная теорема о разложении числа на простые множители.

Любое натуральное число, отличное от 1, единственным образом разлагается в произведение простых чисел с точностью до порядка сомножителей.

Если требуется разложить небольшое число на простые множители, то эти простые множители можно угадать. Для того, чтобы разложить большое число на простые множители, используют следующий приём. Применяют признаки делимости и запись в столбик, причём делимое располагается слева от вертикальной черты, а делители – справа.

Разложение на простые множители

Разложить на простые множители число 92820.

Воспользуемся записью в столбик. Значит, 92820 = 2ċ2ċ3ċ5ċ7ċ13ċ17.

Ответ. 92820 = 2ċ2ċ3ċ5ċ7ċ13ċ17.

 

Для того чтобы не писать несколько раз одно и то же число в разложении на простые множители, можно записать коротко 2ċ2ċ2=23,  7ċ7ċ7ċ7ċ7=75. И вообще, если какой-то множитель a встречается n раз, то записывают коротко: an, то есть .

Выражение an называется степенью с натуральным показателем.

Ясно, что a1=a. Число a называется основанием степени, а n – показателем степени. Третья степень числа называется кубом, вторая – квадратом. Первой степенью называется само число a.

Извлечением корня называется нахождение основания степени по степени и её показателю. Данная степень называется подкоренным числом, данный показатель называется показателем корня, искомое основание степени называется корнем. Например, так как 53=125, то пишут: 5=1253. Здесь 5 – корень, 3 – показатель корня, 125 – подкоренное выражение. Корень второй степени называется квадратным корнем, корень третьей степени – кубическим. Принято опускать показатель корня, если корень является квадратным: 25=5, поскольку 52=25.

Общим делителем нескольких чисел называется число, являющееся делителем каждого их этих чисел. Среди всех делителей всегда есть наибольший. Такой делитель называется наибольшим общим делителем (обозначается НОД). Так, например, числа 16, 24, 32 имеют наибольший общий делитель – число 8.

Этот факт коротко записывается так: НОД (16, 24, 32) = 8.

Если данные числа небольшие, то наибольший общий делитель можно легко угадать. Если же даны большие числа, то НОД можно найти разложением чисел на простые множители и выписыванием тех множителей, которые входят во все данные числа. Затем каждый такой множитель следует взять с наименьшим показателем, с которым он входит во все данные числа, после чего нужно произвести умножение.

Наибольший общий делитель

Пусть даны числа 1080 и 8100. Найти НОД (1080, 8100).

Выпишем все простые делители числа 1080: 2, 2, 2, 3, 3, 3, 5. Выпишем теперь все простые делители числа 8100: 2, 2, 3, 3, 3, 3, 5, 5. Таким образом, 1080=23ċ33ċ51, а 8100=22ċ34ċ52. Значит, НОД (1080, 8100)=22ċ33ċ5=540.

Ответ. НОД (1080, 8100)=22ċ33ċ5=540.

Если числа a и b таковы, что НОД (a, b) = 1, то числа a и b называют взаимно простыми. Например, числа 21 и 26 являются взаимно простыми, хотя каждое из них – составное.

 

Общим кратным нескольких чисел называется число, являющееся кратным каждого из них. Например, числа 14, 18, 7 имеют общее кратное число 252, однако число 126 тоже является общим кратным этих чисел. Среди всех общих кратных всегда есть наименьшее, которое называется наименьшим общим кратным (обозначается НОК). В нашем примере наименьшим общим кратным перечисленных чисел будет число 126. Кратко этот факт записывается так: НОК (14, 18, 7) = 126.

Если числа небольшие, то наибольшее общее кратное можно легко угадать. Если же даны большие числа, то НОК можно найти разложением чисел на простые множители и выписыванием тех множителей, которые входят хотя бы в одно из данных чисел. После этого каждый такой множитель нужно взять с наибольшим показателем, с которым он входит во все данные числа. Затем следует произвести умножение.

Наименьшее общее кратное

Пусть даны числа 1080 и 8100. Найти НОК (1080, 8100).

Выпишем все простые делители числа 1080: 2, 2, 2, 3, 3, 3, 5. Выпишем теперь все простые делители числа 8100: 2, 2, 3, 3, 3, 3, 5, 5. Таким образом, 1080=23ċ33ċ5, а 8100=22ċ34ċ52. Значит, НОК (1080, 8100) = 2³ ċ 3⁴ ċ 5² = 16200.

Ответ. НОК (1080, 8100) = 16200.

Перевод паспорта цена там

bnp-potok.ru

Смотрите также: Математика, Английский язык, Химия, Биология, Физика, География, Астрономия.
А также: библиотека ЭОРов и образовательный онлайн-сервис с тысячами интерактивных работ «Облако знаний».

Читать онлайн «Репетитор по математике. Арифметика», М. Л. Фартушняк – ЛитРес, страница 2

Тестовые задания к теме 1

Тест 1

1.  Натуральные числа – это числа вида:

А) 0, 1, 2, 3,… Б) 1/1, 2/2,3/3,… В) 0, ±1, ±2, ±3,… Г) 1, 2, 3,…

2. – Выделить натуральное число:

А) 4/2 Б) 0 В) -3 Г) 1998

3. Какие действия выполняются всегда на множестве

натуральных чисел:

А) извлечение корня Б) сложение В) вычитание

Г) все вышеперечисленные

4. Целые числа – это числа вида:

А) 0, ±1, ±2, ±3,… Б) ± 1/1, ± 2/2, ± 3/3,… В) -2, -1, 1, 2,…

Г) 0, 1, 2, 3,…

5. Какие подмножества включают в себя множество целых чисел:

А) только целые положительные числа

Б) только натуральные и нуль

В) целые отрицательные, натуральные и нуль

Г) только натуральные

6. Указать целые числа:

А) 1/2 Б) -34 В) -0.2 Г) нет таковых

7. Рациональные числа – это числа вида:

А) a/b, где a – целое, b – натуральное

Б) a/b, где a, b – целые неотрицательные числа

В) a/b, где a – натуральное, b – целое

Г) a/b, где a, b – целые числа

8. Укажите целые числа меньше 0, но больше -5:

А) -5, -4, -3, -2, -1 Б) -4, -3, -2, -1 В) -5, -4, -3, -2, -1, 0

Г) -4, -3, -2, -1, 0

9. Укажите целые числа меньше -2, но больше -7:

А) -7, -6, -5, -4, -3 Б) -7, -6, -5, -4, -3, -2 В) -6, -5, -4, -3

Г) -6, -5, -4, -3, -2

10. Укажите целые числа больше -1,но меньше 1:

А) -1, 0, 1 Б) 0 В) -1, 0 Г) 0, 1

11. Укажите целые числа не больше 0, не меньше -1:

А) нет таких Б) 0 В) -1, 0 Г) -1

12. Найдите произведение чисел 11 и 125:

А) 12 625 Б) 11 125 В) 1 375 Г) 1 225

13. Вычислите 984: 8:

А) 150 Б) 125 В) 120 Г) 123

14. Какое действие выполняется последним при

нахождении значения выражения

1500 +800 × 300 – 500: 5

А) сложение Б) умножение В) вычитание Г) деление

15. Найдите частное чисел 84 и 7:

А) 12 Б) 11 В) 13 Г) 14

16. Вычислите 103 × 9:

А) 827 Б) 927 В) 1 027 Г) 977

17. Какое действие выполняется первым при

нахождении значения выражения

850 – 350 + (620 ×3 +50):2

А) вычитание Б) умножение В) сложение Г) деление

18. Сколько тысяч в числе 1 628 255:

А) 628 Б) 162 В) 1 628 Г) 28

19. Сколько сотен тысяч в числе, полученном при сложении

чисел 999 999 и 111 111:

А) 111 Б) 1 В) 11 Г) 1 111

20. Как правильно записать цифрами число:

два миллиарда пятьсот тринадцать миллионов

триста пятьдесят шесть тысяч восемьсот?

А) 25 133 568 Б) 250 013 300 568 В) 2 513 356 800

Г) 20 513 035 608

21. Запишите три раза подряд число 87 и три раза подряд

число 13. Сложите полученные числа. В результате будет:

А) один миллион десять тысяч сто

Б) сто одна тысяча сто

В) десять миллионов сто одна тысяча

Г) сто одиннадцать тысяч сто

22. Какое из чисел больше: 20 000 +9 000 +900 +90 +9

или 30 000 +1 000 +100 +10 +1

А) второе Б) первое В) числа равны Г) не знаю

23. Какое из нижеперечисленных чисел самое большое:

А) 1234567890 Б) 9876543210 В) 102030405060 Г) 980780680

24. Какое из нижеперечисленных чисел самое маленькое:

А) 576675765 Б) 574475754 В) 578875785 Г) 557755575

25. На сколько отличается число 30 000 +8 000 +600 +40 +5

от числа 20 000 +7 000 +500 +30 +4?

А) на 11 111 Б) на 1 В) на 11 Г) на 1 111

26. Выполните действие и отметьте правильный результат

124 × 20 +65:

А) 2 550 Б) 2 545 В) 2 445 Г) 2540

27. Выпишите все двузначные числа, которые можно

записать помощью цифр 1, 0, 3, используя каждую цифру

только один раз. Найдите сумму этих чисел.

А) 40 Б) 53 В) 84 Г) 74

28. Скорость автомобиля 80 км/ч, а скорость пешехода

5 км/ч. Во сколько раз скорость автомобиля больше

скорости пешехода?

А) в 12 раз Б) в 24 раза В) в 16 раз Г) в 20 раз

29. Из цифр 2, 4, 6 составляются всевозможные

трёхзначные числа. Найдите разность самого большого

и самого маленького из них.

(каждая цифра используется только один раз):

А) 216 Б) 396 В) 378 Г) 180

30. Из четырёх цифр 1, 2, 3, 4 составьте два

различных двузначных числа (каждая цифра используется

один раз), произведение которых будет наибольшим.

Найдите это произведение.

А) 1300 Б) 1312 В) 903 Г) 1462

31. Из четырёх цифр 1, 2, 4, 5 составьте два

различных двузначных числа (каждая цифра используется

один раз), произведение которых будет наименьшим.

Найдите это произведение.

А) 252 Б) 168 В) 288 Г) 350

32.Укажите такой порядок расположения чисел, чтобы

каждое последующее число было меньше предыдущего

(порядок убывания).

1) 5525 2) 5670 3) 5340 4) 5420

А) 1, 2, 3, 4 Б) 3, 4, 1, 2 В) 2, 1, 3, 4 Г) 2, 1, 4, 3

Тест 2

1.Укажите такой порядок расположения чисел,

чтобы каждое последующее число было больше

предыдущего (порядок возрастания).

1) 2151 2) 2178 3) 2193 4) 2132

А) 1, 2, 3, 4 Б) 4, 1, 2, 3 В) 4, 3, 2, 1 Г) 1, 4, 2, 3

2. Дано 5 чисел: 814, 129, 1235, 756, 307. Наибольшее

значение суммы двух из этих чисел равно:

А) 2049 Б) 1991 В) 2149 Г) 2089

3. Укажите цифры, которые можно поставить вместо звёздочек

так, чтобы были верны неравенства: *428> 4*39> 43*1> *502.

А) (4, 4, 3, 2) Б) (3, 5, 1, 3) В) (5, 9, 2, 6) Г) (5, 5, 9, 3)

4. В четырёх коробках лежат красные, синие и

зелёные карандаши.

В какой из коробок больше всего карандашей?

А) 1 Б) 2 В) 3 Г) 4

5. Исходя из предыдущего условия задачи. В какой из

коробок больше синих и зелёных карандашей?

А) 1 Б) 2 В) 3 Г) 4

6. Исходя из предыдущего условия задачи. В какой из

коробок меньше всего красных и синих карандашей?

А) 1 Б) 2 В) 3 Г) 4

7. Сколько целых чисел удовлетворяют неравенству – 4 <x <8?

А) 12 Б) 10 В) 9 Г) 11

8. Укажите наименьшее число:

А) – 150 Б) -149 В) -151 Г) 0

9. Сколько существует целых чисел, которые

больше -10 и меньше 3?

А) 11 Б) 12 В) 10 Г) 9

10. Укажите наибольшее число:

А) 0 Б) -25 В) 12 Г) -45

11. Выполните действие: -30 +65:

А) 35 Б) -35 В) -95 Г) 95

12. Выполните действие: -30 – 65:

А) 35 Б) -35 В) -95 Г) 95

13.Какое число получается при сумме:

600 000 000 000 +40 000 000 +500 000 +10 000 +6?

А) 6 004 005 106 Б) 6 405 106 В) 6 040 510 006

Г) 600 040 510 006

14. В каком неравенстве знак поставлен неверно?

А) 72 035 122 <72 035 289 Б) 89 012 365 <89 013 365

В) 33 333 142> 33 333 049 Г) 54 235 189> 54 236 189

15. Какое число следует за числом 621 679 899?

А) 621 679 900 Б) 621 680 900 В) 621 679 000 Г) 621 680 899

16. Что отсутствует в числе 231 000 869 192?

А) разряд сотен тысяч Б) класс тысяч В) класс миллионов

Г) разряд сотен

17. Что показывает цифра 3 в числе 21 388 102?

А) единицы миллионов Б) сотни тысяч В) тысячи Г) десятки тысяч

18. В каком числе отсутствует разряд сотен?

А) 12 135 802 Б) 456 650 987 В) 23 156 089 Г) 326 205 122

19. Значение какого выражения самое большое?

А) 250:5 – (2 +10) Б) (250:5 – 2) +10 В) 250:5 – 2 +10

Г) 250: (5 – 2) +10

20. В каком выражении первым действием будет сложение?

А) 32:2 +3 × 7 Б) 32: (2 +3) × 7 В) (32:2 +3) × 7 Г) 32: (2 +3 × 7)

21. В каком числе 55 десятков?

А) 550 Б) 505 В) 515 Г) 55

22. В каком числе отсутствует разряд десятков?

А) 10 Б) 101 В) 110 Г) 11

23. Укажите число, в котором 5 единиц первого

разряда и 7 единиц третьего:

А) 507 Б) 705 В) 570 Г) 750

24. Запишите число пятнадцать тысяч сто шестьдесят два:

А) 150 162 Б) 15 000 162 В) 15 162 000 Г) 15 162

25. Найдите разность чисел 45 132 и 232:

А) 44 999 Б) 44 900 В) 44 990 Г) 44 890

26. Найдите произведение чисел 105 и 215:

А) 225 750 Б) 225 755 В) 275 550 Г) 22 575

27. Дано выражение 232 + (668 – 15 × 5):8.

Какое действие выполняется третьим?

А) умножение Б) деление В) сложение Г) вычитание

28. Найдите частное чисел 3857 и 19:

А) 3838 Б) 3876 В) 73 283 Г) 203

29. На сколько произведение чисел 203 и 69 больше

частного чисел 45 034 и 89?

А) на 234 Б) на 18 011 В) на 1000 Г) на 13 501

30. Запишите выражение: « частное суммы чисел

a и b и произведения чисел 7 и c»:

А) a + b:7×c Б) (a + b): (7×c) В) (a + b):7×c Г) a + (b:7) ×c

31. Укажите пару противоположных чисел:

А) -3 и 3 Б) 0 и -3 В) 0 и 3 Г) -5 и 3

32. Какой из данных примеров решён верно?

А) -2 +7 = -9 Б) -2 +7 = 5 В) -2 +7 =9 Г) -2 +7 = -5

Задачи для самостоятельного решения

1. Запишите цифрами числа:

А) два миллиона пять.

Б) триста двадцать шесть миллионов сто пять тысяч двенадцать.

В) сто два миллиона тридцать две тысячи сто два.

Г) четырнадцать миллионов одна тысяча два.

Д) семнадцать миллионов шестьдесят тысяч сорок три.

Е) один миллиард двадцать шесть миллионов пятнадцать тысяч десять.

2. Найдите значение выражения:

А) 5040: (28×4) – (888+219):27

Б) 29×104:16+ (5059—988):23

В) (8640:8+5250:5—130) ×3

Г) (9810:9—7560:7+290) -4

3. В городской библиотеке имеется 1 256 684 экземпляров книг, что на 39 684 экземпляра больше, чем в университетской библиотеке, но на 159 200 меньше, чем в областной библиотеке. Сколько экземпляров книг имеется в трёх библиотеках?

 

4. В гостинице 209 двуместных номера, 162 трёхместных и 89 четырёхместных. Сколько нужно заказать автобусов для экскурсии, чтобы вывезти всех постояльцев отеля, если в каждом автобусе 45 мест.

5. Груша и апельсин вместе весят 285 гр., апельсин и лимон 250 гр. Определите массу груши, лимона и апельсина, если лимон и груша вместе весят 215гр. (решите задачу арифметическим методом)

6. Из двух сёл одновременно навстречу друг другу выехали два велосипедиста. Их скорости 9 км/ч и 12 км/ч. Через два часа они встретились. Чему равно расстояние между сёлами?

7. От одной пристани до другой можно добраться на теплоходе со скоростью 12 км/ч или моторной лодке со скоростью 13км/ч. Моторная лодка проходит этот путь по течению реки за 4ч., а теплоход против течения реки за 6ч. Определите скорость течения? (решите задачу арифметическим методом).

8. Сравните числа:

А) 3617009 и 3616356

Б) 18532129 и 18532130

В) 198567333 и 198675333

Г) 13325325325 и 1325325325

9. Запишите пятизначное число, которое:

А) меньше 10016 и оканчивается цифрой 7.

Б) больше 9987 и оканчивается цифрой 6.

Тема 2

Арифметические законы, простые и составные числа, признаки делимости, разложение на простые множители, наименьшее общее кратное, наибольший общий делитель

Существует 5 математических законов, справедливых для любых чисел.

1. Переместительный закон сложения a + b = b + a, например 5 +4 = 4 +5 = 9

Выражаясь простым языком, можно сказать: от перемены мест слагаемых сумма не меняется.

2. Переместительный закон умножения a × b = b × a, например 6 × 2 = 2 × 6 = 12

Проще говоря, от перемены мест множителей произведение не меняется.

3. Сочетательный закон сложения (a + b) + c = a + (b + c), например (7 +5) +3 = 7 + (5 +3) = 15. Или, значение суммы не зависит от того как сгруппированы слагаемые.

4. Сочетательный закон умножения (а × b) × c = a × (b × c), например (3×2) ×5=3× (2×5) =30. Или, значение произведения не зависит от того как сгруппированы множители.

5. Распределительный закон умножения относительно сложения

(a + b) × c = a × c + b × c, например (5 +4) × 2 = 5 × 2 +4 × 2 = 18. То есть, чтобы сумму умножить на число, можно умножить на это число каждое из слагаемых, а затем сложить полученные произведения.

– Позвольте, – тут же заметит вдумчивый читатель. – Вы в прошлой теме утверждали, что в арифметике скобки раскрывать нельзя, а тут распределительный закон говорит о противоположном.

И тут же приведёте мне пример: 10:2 (4—2). А я рядом с вашим примером напишу такой: 10: [2 (4—2)]. Скажите, между этими примерами есть разница? Оказывается разница есть в порядке действий и соответственно в получаемом результате. Если в первом примере применить распределительный закон, то мы нарушим порядок действий. А вот во втором примере порядок действий не нарушается и мы можем применить распределительный закон. Действительно, результат не изменится, если сделать сначала действие в круглых скобках и результат умножить на 2, или умножить 2 на каждое из слагаемых в скобке, а потом вычесть из первого произведения второе. Как видите, никакого противоречия нет. Добавив квадратные скобки, мы меняем порядок действий и соответственно получаемый результат.

Нетрудно заметить, что арифметические законы позволяют упростить вычисления.

Например:

4 × 93 × 25 = 93 × (25 × 4) = 93 × 100 = 9300. Применён сочетательный закон умножения.

932 +869 +68 = 869 + (932 +68) = 869 +1000 = 1869. Применён сочетательный закон сложения.

158 × 6 +242 × 6 = (158 +242) × 6 = 400 × 6 = 2400. Применён распределительный закон умножения относительно сложения.

Натуральные числа больше единицы называются простыми, если они делятся только на единицу и на самого себя.

Натуральные числа больше единицы называются составными, если они делятся и на другие числа. Число 1 не относится ни к простым, ни к составным.

Например, числа 5, 7, 19, 31, 61, 89 простые. Они не делятся нацело на другие числа.

А вот число 21 и 81 составные. 21 делится не только на единицу и самого себя, но и на цифры 3 и 7. 81 делится на цифры 3, 9, 27.

Числа 1, 3, 7, 21 делители числа 21, числа 1, 3, 9, 27, 81 делители числа 81. Число 21 кратное для чисел 1, 3, 7, 21, т.к. делиться на эти числа без остатка.

Интересная задача.

Нумерация домов на улице от 1 до 11. Каких чисел больше, простых или составных в нумерации домов?

Так просто. Однако многие забывают, что единица не относится ни к простым, ни к составным числам, поэтому дают неправильный ответ. Отбрасываем единицу и начинаем считать: 2, 3, 5, 7, 11 – простые, 4, 6, 8, 9, 10 – составные. Простых и составных чисел оказалось поровну, хотя количество домов на нечётной стороне больше. Можете это проверить.

Часто задают вопрос, каких чисел в математике больше: простых или составных. Вы сами можете ответить на этот вопрос. Все чётные числа – составные, т.к они делятся на 2. А из нечётных чисел не все простые. Даже в первой десятке есть число 9, которое не является простым. В приведённых выше примерах нечётные числа 21 и 81 не являются простыми. Поэтому, простых чисел не так много. В первой тысяче их 168.

Переходим к формулировке основной теоремы арифметики.

Любое составное натуральное число можно представить единственным образом в виде произведения простых чисел. Такое представление называется разложением числа на простые множители.

Рассмотрим пример разложения числа на простые множители

Таким образом, 1421 = 7×7×29 = 7² ×29.

Как научиться правильно делать разложение чисел на простые множители? Обычно такое разложение записывают столбиком в две колонки. В левую колонку записывается исходное число.

1 шаг. Берём самое маленькое простое число 2 и проверяем делится ли исходное число на 2.

2 шаг. Если делится, то в правую колонку выписываем 2, далее делим исходное число на 2 и записываем результат в левую колонку под исходным числом

3 шаг. Если же число не делится на 2, то берём следующее простое число 3. И так далее.

Повторяем эти шаги при работе с последним числом в левой колонке и с текущим простым числом. Разложение заканчивается, когда в левой колонке будет записано простое число.

Чтобы лучше понять этот алгоритм разберём несколько примеров.

Пример 1: Разложить число 298 на простые множители.

Берём число 2 и проверяем делится ли 298 на 2. Делится. В остатке получаем 149. Записываем число 2 в правую колонку, а число 149 в левую. Число 149 простое. Поэтому, 298 = 2×149. Разложение закончено.

Пример 2: Разложить число 1962 на простые множители.

Аналогично, число 1962 делится на 2.

Остаток 981 не делится на 2, но делится на 3. Следующее полученное число 327 тоже делится на 3. Разделив 327 на 3 получим простое число 109.

Таким образом, 1962 = 2×3²×109.

Пример 3: Разложить число 2940 на простые множители.

Первый простой множитель 2. 2940: 2 = 1470. Второй простой множитель тоже 2. 1470: 2 = 735. Третий простой множитель 3. 735: 3 = 245. Четвёртый простой множитель 5. 245: 5 = 49. Пятый простой множитель 7. 49: 7 = 7. Число 7 простое. Разложение закончено.

Таким образом, 2940 = 2²×3×5×7²

Как видите разложение чисел на простые множители не представляет трудности, т.к. происходит по заранее заданному алгоритму. Кстати, множество задач, уравнений и неравенств по математике решается с помощью алгоритмов. Достаточно знать этот алгоритм решения и можно научиться решать практически любые задачи. Об алгоритмах в решении задач мы будем постоянно говорить в дальнейшем. А сейчас продолжим разговор об арифметике.

Чтобы упростить процесс разложения числа на простые множители необходимо знать признаки делимости.

Признаки делимости несложные и их легко запомнить. Гораздо важнее правило делимости суммы. Рассмотрим это правило на примерах.

Например, числа 8 и 24 делятся на 4. Их сумма 8+24 = 32 тоже делится на 4. Аналогично, числа 49 и 42 делятся на 7, их сумма 49+42 = 91 тоже делится на 7. 91: 7 = 13.

Последний вопрос, который мы рассмотрим в данной теме – это наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное. Многие путают эти понятия из-за того, что аббревиатуры их схожи (НОД и НОК), а сами понятия делителя и кратного весьма расплывчаты, да ещё к этому добавляется полная идентичность нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного. Вспомните, в этой теме мы уже упоминали о кратном и делителе. Говорили, что числа 1, 3, 7, 21 являются делителями числа 21, а само число 21 является кратным для чисел 1, 3, 7, 21 так как делится на эти числа без остатка. А теперь представьте мы имеем несколько чисел и должны выбрать наибольшее число из тех, на которое данные числа делятся без остатка. Это это и есть наибольший общий делитель нескольких чисел.

НОД нескольких чисел называется наибольшее число, на которое делятся данные числа без остатка. Это уже математическая формулировка. Отыскание наибольшего общего делителя процесс несложный и происходит по определённому алгоритму.

1. Разлагаем числа на простые множители.

2. Выписываем общие простые множители с наименьшим показателем степени.

3. НОД равен произведению полученных чисел.

Рассмотрим один единственный пример и поймём, что это не так сложно.

Пример: Найти НОД чисел 120, 180 и 240.

Согласно первому пункту разлагаем все числа на простые множители.

120 = 2³×3×5, 180 = 2²×3²×5, 240 = 2⁴×3×5

Выбираем все общие простые множители. Это 2², 3 и 5.Таким образом,

НОД (120,180,240) = 2²×3×5 = 60.

Следует запомнить, что числовое значение НОД нескольких чисел меньше, чем сами числа или, в крайнем случае, равно меньшему из них. Например, НОД (127,254,381) = 127. Можете легко это проверить. Возможен вариант, когда простых множителей, общих для всех данных чисел, не будет вообще. Тогда НОД будет равен 1. Два числа НОД которых равен единице, называются взаимно простыми. Например, 25 и 88 взаимно простые числа. Проверьте это.

Наименьшим общим кратным нескольких чисел (НОК) называется наименьшее число, которое делится без остатка на данные числа. Например НОК чисел 15, 6, 10 есть число 30. Это наименьшее число из всех, которое делится на 15, 6 и 10 без остатка. Алгоритм нахождения НОК нескольких чисел похож нахождение НОД, но имеет одно существенное различие. Обратите на это внимание.

1. Разлагаем числа на простые множители.

2. Выписываем все простые множители с наибольшим показателем степени (главное отличие от нахождения НОД).

3. НОК равен произведению полученных чисел.

Рассмотрим пример. Найти НОК чисел 240, 360, 1080.

Разлагаем числа на простые множители.

240 = 2⁴×3×5, 360 =2 ³×3²×5 1080 = 2³×3³×5

Выбираем числа с наибольшим показателем степени. Это 2⁴, 3³ и 5.

Таким образом, НОК (240, 360, 1080) = 2⁴×3³×5 = 16×27×5 = 2160.

Числовое значение НОК нескольких чисел больше, чем сами числа или, в лучшем случае, равно большему из них. Например, НОК (36,180,900) = 900. Проверьте это.

В отличие от НОД, НОК всегда определён. Даже, если все числа простые, то для нахождения НОК их достаточно перемножить.

Найдите простую факторизацию числа 1080, используя показатели степени

Введите целое число, которое вы хотите получить, его простые делители: Пример: 2, 3, 4, 11, 10225 и т. д.

Результат разложения на простые множители: Число 1080 является составным числом, поэтому его можно разложить на множители. Другими словами, 1080 можно разделить на 1, само по себе и по крайней мере на 2, 3 и 5. Составное число — это натуральное число, имеющее хотя бы один положительный делитель, отличный от единицы или самого числа. Другими словами, составное число — это любое целое число, большее единицы, которое не является простым числом. Факторизация числа 1080 = 2 3 • 3 3 • 5. Простые делители числа 1080 равны 2, 3 и 5. Факторное дерево или простое разложение для 1080 Поскольку 1080 является составным числом, мы можем нарисовать его факторное дерево:

Вот ответ на такие вопросы, как: Найдите разложение числа 1080 на простые множители с использованием показателей степени или является ли 1080 простым или составным числом?

Используйте указанный выше инструмент факторизации простых чисел, чтобы определить, является ли данное число простым или составным, и в этом случае вычислите его простые множители. См. также на этой веб-странице диаграмму факторизации простых чисел со всеми простыми числами от 1 до 1000.

Что такое первичная факторизация?

Определение простой факторизации

Простой факторизации — это разложение составного числа на произведение простых множителей, которые при умножении воссоздают исходное число. Факторы по определению — это числа, которые умножаются, чтобы создать другое число. Простое число — это целое число больше единицы, которое делится только на единицу и само на себя. Например, единственные делители 7 — это 1 и 7, поэтому 7 — простое число, а число 72 имеет делители, полученные из 2·9.0027 3 •3 ² подобно 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 … и самому 72, что делает 72 не простым числом. Обратите внимание, что единственными «простыми» делителями числа 72 являются 2 и 3, которые являются простыми числами.

Пример 1 простой факторизации

Давайте найдем простую факторизацию числа 72.

Решение 1

Начните с наименьшего простого числа, которое делится на 72, в данном случае 2. Мы можем записать 72 как:
72 = 2 x 36
Теперь найдите наименьшее простое число, которое делится на 36. Снова мы можем использовать 2 и записать 36 как 2 х 18, чтобы дать.
72 = 2 x 2 x 18
18 также делится на 2 (18 = 2 x 9), поэтому мы имеем:
72 = 2 x 2 x 2 x 9
9 делится на 3 (9 = 3 x 3), поэтому у нас есть:
72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3
2, 2, 2, 3 и 3 — все простые числа, поэтому у нас есть ответ.

Короче говоря, решение можно записать так:
72 = 2 x 36
72 = 2 x 2 x 18
72 = 2 x 2 x 2 x 9
72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3
72 = 2 ³ x 3 ² (экспоненциальная форма простой факторизации)

Раствор 2

Использование дерева факторов:

• Процедура:
• Найти 2 множителя числа;
• Посмотрите на 2 множителя и определите, не является ли хотя бы один из них простым;
• Если это не простой множитель это;
• Повторяйте этот процесс, пока все делители не станут простыми.

Посмотрите, как разложить число 72 на множители:

72     /  \    2   36       /  \      2   18         /  \         2    9           /  \          3    3

72 не простое —> разделить на 2  36 не простое —> разделить на 2  18 не простое —> разделить на 2   9 не простое —> разделить на 3   3 и 3 простые —> стоп

Взяв левые числа и крайнее правое число последней строки (делители), умножив их, мы получим

72 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3

72 = 2 ³ x 3 ² (экспоненциальная форма простой факторизации)

Обратите внимание, что эти делители являются простыми множителями. Их также называют листьями факторного дерева.

Пример факторизации простых чисел 2

Посмотрите, как разложить число 588 на множители:

588 /\ 2 294 /\ 2 147 /\ 3 49 /\ 7 7

588 не простое —> разделить на 2  294 не простое —> разделить на 2  147 не простое —> разделить на 3   49 не простое —> разделить на 7    7 и 7 простые —> стоп

Взяв левые числа и крайнее правое число последней строки (делителей), умножив их, мы получим

588 = 2 x 2 x 3 x 7 x 7
588 = 2 ² x 3 x 7 ² (экспоненциальная форма простой факторизации)

Таблица факторизации простых чисел 1-1000

0007 2338 = 9000 38 = = = = 9000 40004 47 = = =7 74 =6699 9000 469 104 =9 3 • 2 • 2 2999 200 = 228 = 228 = 228 =979 = = 242 =.

n	Prime Factorization
2 =	2
3 =	3
4 =	2•2
5 =	5
6 =	2 • 3
7 =	7
8 =	2 • 2 • 2
	3 • 3
10 =	2 • 5
11 =	11
12 =	2 • 2 • 3
13 =	13
1400069	29000 2	• 7
15 =	3 • 5
16 =	2 • 2 • 2 • 2
17 =	17
18 =	2 • 3 • 3 • 3.
19 =	19
20 =	2 • 2 • 5
21 =	3 • 7
22 =	2 • 11
=	23
24 =
24 =					23
24. 2 • 2 • 2 • 3
25 =	5 • 5
26 =	2 • 13
27 =	3 • 3 • 3
=	4 2•2•7
29 =	29
30 =	2 • 3 • 5
31 =	31
32 =	2 • 2 • 2 • 2 • 2
33 =	3 • 11 0006
33 =	3 •	34 =	2 • 17
35 =	5 • 7
36 =	2 • 2 • 3 • 3
37 =	37
37
37
37
=	37
37 =	37
37 =	37
37 =	37
.	2•19
39 =	3•13
40 =	2•2•2•5
41 =	41
42 =	2•3•7
43 =	43
44 =	2 • 2 • 11
45 =	3 • 3 • 5
46 =	2 • 23
47 =	47
48 =	2004 47
48 =
48 =	40004 •2•2•3
49 =	7•7
50 =	2 • 5 • 5
51 =	3 • 17
52 =	2 • 2 • 13
53 =	53
=	53
=	53
=	53
=	53
=	53
53 =	53
53 =	53
	2 • 3 • 3 • 3
55 =	5 • 11
56 =	2 • 2 • 2 • 7
=	3 • 19 0006
58. =	2•29
59 =	59
60 =	2 • 2 • 3 • 5
61 =	61
62 =	2 • 31
63 =	3 • 3 • 7
64 63 =	3 • 3 • 7
63 =	3 • =	2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2
65 =	5 • 13
66 =	2 • 3 • 11 0006
67 =	67
68 =	2•2•17
69 =	3•23
70 =	2 • 5 • 7
71 =	71
72 =	2 • 2 • 2 • 3 • 3
73 =	73
73 =	73
73 =	73
=	73
=	73
=	73
=	73
=	73
2 • 37
75 =	3 • 5 • 5
76 =	2 • 2 • 19
77 =	7 • 11 0006
78 =	7 •	2•3•13
79 =	79
80 =	2 • 2 • 2 • 2 • 5
81 =	3 • 3 • 3 • 3
82 =	2 • 41
=	83.
84 =	2 • 2 • 3 • 7
85 =	5 • 17
86 =	2 • 43
87 =	3 • 43
.
88 =	2•2•2•11
89 =	89
90 =	2 • 3 • 3 • 5
91 =	7 • 13
92 =	2 • 2 • 23
93 =	3 • 31 00067
=	3 • 31 00066
=	3 •
94 =	2 • 47
95 =	5 • 19
96 =	2 • 2 • 2 • 2 • 3
97 =	97
97 =	97
97 =	97
97 =
98 =	2•7•7
99 =	3•3•11
100 =	2 • 2 • 5 • 5
101 =	101
102 =	2 • 17
103 =	103
103 =
103 =
103 =
103 =
103 =
2 • 2 • 2 • 13
105 =	3 • 5 • 7
106 =	2 • 53
107 =	107
08 =	107
.	2•2•3•3•3
109 =	109
110 =	2 • 5 • 11
111 =	3 • 37
112 =	2 • 2 • 2 • 2 • 7
113 = = 2 • 2 • 2 • 7
113 = = 2 • 2 • 2 •	113
114 =	2 • 3 • 19
115 =	5 • 23
116 =	2 • 2 • 29
=		3 • 2 • 29
=
=	3 • 2 • 29 0006
=	3 • 2 3•13
118 =	2•59
119 =	7 • 17
120 =	2 • 2 • 2 • 3 • 5
121 =	11 • 11 0006
122 =	2 • 61
122 =	2 • 61
122 =	2 • 61
123 =	3 • 41
124 =	2 • 2 • 31
125 =	5 • 5 • 5
126 =	2 • 3 • 3 • 70006
127 =	127
128 =	2•2•2•2•2•2•2
129 =	3 • 43
130 =	2 • 5 • 13
131 =	131
132 =	2 • 2 • 3 •
=	2 • 2 • 3 •
=	2 • 2 • 310006
132 =	2 • 2 • 110006
132 =	2 •
133 =	7 • 19
134 =	2 • 67
135 =	3 • 3 • 3 • 5
136 =	2 • 2 • 2 • 17
137 =	137
138 =	2 • 3 • 23
139 =	139
140 =	2 • 2 • 5 • 7
141 =	3 • 47
141 =	3 • 47
11 =	3 • 47
1 =	2 • 71
143 =	11 • 13
144 =	2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 3
.	2•73
147 =	3•7•7
148 =	2•2•37
149 =	149
150 =	2•3•5•5
151 =	151
152 =	2 • 2 • 2 • 19
153 =	3 • 3 • 17
154 =	2 • 7 • 11
155 =	5 • 31
. 156 =	2•2•3•13
157 =	157
158 =	2 • 79
159 =	3 • 53
160 =	2 • 2 • 2 • 2 • 5
161 =	7 7 7 0006
161 =	7 7. • 23
162 =	2 • 3 • 3 • 3 • 3
163 =	163
164 =	2 • 2 • 41
165 =	3. •5•11
166 =	2•83
167 =	167
168 =	2 • 2 • 2 • 3 • 7
169 =	13 • 13
170 =	2 • 5 • 17
171 =	2 • 17
170 =	2 •	3 • 3 • 19
172 =	2 • 2 • 43
173 =	173
174 =	2 • 3 • 29
=	2 • 3 • 29
=	2 • 5•5•7
176 =	2•2•2•2•11
177 =	3 • 59
178 =	2 • 89
179 =	179
180 =	2 • 2 • 3 • • 5
180 =	2 • 2 • 3 • 5
=	2 • 2 • 3 • 5
180 =	2 • 2 • 3 • 5
180 =	2 • 2 • 3 • 5
180 =	2 •	181 =	181
182 =	2 • 7 • 13
183 =	3 • 61
184 =	2 • 2 • 2 • 23
198 18 188 188 18 185 18 185 18 185 18 185 18 185 18 185 18 18564 18 1858 18 185 18 18 185 18 185 18 185 18 185 18 185 18 18 18564 188 18 1866. =	5•37
186 =	2 • 3 • 31
187 =	11 • 17
188 =	2 • 2 • 47
189 =	3 • 3 • 3 • 7
190 1904 =	2 • 5 • 19
191 =	191
192 =	2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 3
193 =	193
193 =	193
194 =	2•97
195 =	3•5•13
196 =	2 • 2 • 7 • 7
197 =	197
198 =	2 • 3 • 3 • 11
199 =	199
199 =	1999
199 =	199
2 • 2 • 2 • 5 • 5
201 =	3 • 67
202 =	2 • 101
203 =	7 • 29 0006
203 =	7 • 29 0006
203 =	7 • 204 =	2•2•3•17
205 =	5•41
206 =	2 • 103
207 =	3 • 3 • 23
208 =	2 • 2 • 2 • 13
209 =	11 11 11 0006
209 =	11 11 • 19
210 =	2 • 3 • 5 • 7
211 =	211
212 =	2 • 2 • 53
213 =	3 • 711966
213 =	3 • 71. 711
213 =	3 •
214 =	2•107
215 =	5 • 43
216 =	2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 3
217 =	7 • 31
218 =	2 • 109
218 =	2 • 109
218 =	2 • 109
218 =	2 • 219 =	3 • 73
220 =	2 • 2 • 5 • 11
221 =	13 • 17
222 =	2 • 37
=	2 • 37
222 =	2 • 223 =	223
224 =	2•2•2•2•2•7
225 =	3 • 3 • 5 • 5
226 =	2 • 113
227 =	227
228 =	2 • 2 • 3 • 19 00067
2 • 2 • 3 • 19 00067
2 • 2 • 1
2 227
229 =	229
230 =	2 • 5 • 23
231 =	3 • 7 • 11 0006
232 =	2 • 2 • 2 • 2
232 =	2 • 2 • 2 • 2
232 =	2 • 2 • 2 2
232 =	2 • 2 •
233 =	233
234 =	2 • 3 • 3 • 13
235 =	5 • 47
236 =	2 • 2 • 59
237 =	3 • 79
238 =	3 • 79
237 =		2 • 7 • 17
239 =	239
240 =	2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 5
241 =	241
242 =	241
242 =	241
241 =	241
241
2•11•11
243 =	3•3•3•3•3
244 =	2 • 2 • 61
245 =	5 • 7 • 7
246 =	2 • 3 • 41
247 =	13 • 19
247 =	13 • 19 0006
248 =	2 • 2 • 2 • 31
249 =	3 • 83
250 =	2 • 5 • 5 • 5

264 =99 2844 283 =9 = = 312 = 700077 • 5 369 =999 9.9 9. 9000 9. 9000

n	Простое число Факторизация
251 =	251
252 =	2 • 2 • 3 • 3 • 7
253 =	11 • 23
254 =	2 • 127
255 =	3 • 57
255. • 17
256 =	2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2
257 =	257
=	2 • 3 • 43
=	2 •	259 =	7•37
260 =	2•2•5•13
261 =	3 • 3 • 29
262 =	2 • 131
263 =	263
2 • 2 • 2 • 3 • 110006
.	265 =	5 • 53
266 =	2 • 7 • 19
267 =	3 • 89
4 268 =	2 • 2 • 67
268 268 =	2 • 2 • 67
268 268 =	2 • 2 • 67
268 =	2 • 2 • 67
268 =	2 • =	269
270 =	2•3•3•3•5
271 =	271
272 =	2 • 2 • 2 • 2 • 17
273 =	3 • 7 • 13
274 =	2 •
275 =	5 • 5 • 11
276 =	2 • 2 • 3 • 23
277 =	277
278 =	2 • 1397
278 =	2 • 1397
278 =	2 • 1397
278 =	2 277
279 =	3•3•31
280 =	2 • 2 • 2 • 5 • 7
281 =	281
282 =	2 • 3 • 47
283 =	283
=	283
4444444443 =	283
4444404 283 =	283
283
283 283 =	283
283 =	283
283 =	283
2 • 2 • 71
285 =	3 • 5 • 19
286 =	2 • 11 • 13
287 =	7 • 41
288 =		7 • 41
287 =	2•2•2•2•2•3•3
289 =	17•17
290 =	2•5•29
291 =	3•97
292 =	2•2•73
293 =	293
294 =	2 • 3 • 7 • 7
295 =	5 • 59
296 =	2 • 2 • 2 • 37
297 =	3 • 3 • 3 • • 11
298 =	2•149
299 =	13 • 23
300 =	2 • 2 • 3 • 5 • 5
301 =	7 • 43
302 =	2 • 151
303 =	2 • 151
3 =		3 • 101
304 =	2 • 2 • 2 • 2 • 19
305 =	5 • 61
=	2 • 3 • 17
2 • 3 • 17
2 • 3 •	307 =	307
308 =	2•2•7•11
309 =	3 • 103
310 =	2 • 5 • 31
311 =	311
312 =	2 • 2 • 2 • 3 • 13
2 • 2 • 2 • 13
312 =	2 • 2 • 2 • 13 00069
312 =	2 • 2 • 2 •
313 =	313
314 =	2 • 157
315 =	3 • 3 • 5 • 7
316 =	2 • 2 • 79
316 =	2 • 2 • 79
316 =	2 • 2 • 79
316 =	2 • 2 • 7
316 =	2 • 2 • 317 =	317
318 =	2•3•53
319 =	11 • 29
320 =	2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 5
321 =	3 • 107
322 =	3 • 107
322 =		2 • 7 • 23
323 =	17 • 19
324 =	2 • 2 • 3 • 3 • 3 • 3
325 =	5 • 5
325 =	5 •
326 =	2•163
327 =	3•109
328 =	2 • 2 • 2 • 41
329 =	7 • 47
330 =	2 • 3 • 5 • 11
331 =	331
331 =	3319
331 =	331
331 =	331
331 =	331
331 =
331 =
332 =	2•2•83
333 =	3•3•37
334 =	2•167
335 =	5•67
336 =	2•2•2•2•3•7
337 =	337
338 =	2 • 13 • 13
339 =	3 • 113
340 =	2 • 2 • 5 • 17
341 =		11 • 5 • 17
341 =		11 • 31 • 3 31.
342 =	2 • 3 • 3 • 19
343 =	7 • 7 • 7
344 =	2 • 2 • 2 • 43
345 =	2 • 2 • 2 • 43
=		3•5•23
346 =	2•173
347 =	347
348 =	2 • 2 • 3 • 29
349 =	349
350 =	2 • 5 • 5 •
																							9 350 =	2 • 549
350 =	2 • =	3 • 3 • 3 • 13
352 =	2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 11
353 =	353
354 =	2 • 3 • 59
355 =	5•71
356 =	2•2•89
357 =	3 • 7 • 17
358 =	2 • 179
359 =	359
360 =	2 • 3 • 3 359
360 =	2 • 359
360 =	2 • 359
361 =	19 • 19
362 =	2 • 181
363 =	3 • 11 • 11
364 =	2 • 2 • 110006
364 =	2 • 2 • •13
365 =	5•73
366 =	2 • 3 • 61
367 =	367
368 =	2 • 2 • 2 • 2 • 23
3 • 3 • 41
=	3 • 3 • 41
369 =	3 • 370 =	2 • 5 • 37
371 =	7 • 53
372 =	2 • 2 • 3 • 31
373 =	373
373 =	373
373 =	373
373 =	373
373 =	373
2•11•17
375 =	3•5•5•5
376 =	2 • 2 • 2 • 47
377 =	13 • 29
378 =	2 • 3 • 3 • 7
379 =												379
380 =	2•2•5•19
381 =	3•127
382 =	2•191
383 =	383
384 =	2•2•2•2•2•2•2•3
385 =	5 • 7 • 11
386 =	2 • 193
387 =	3 • 3 • 43
388 =	2 • 2 • 97
388 388 389 389 389 389 389 389 389 389 389 389 389 389 389 389 389 389 389 389 389 389 389 389 389 389 389 389 389 389 389 389 389 =	2 • 2 • 97
388 388 =	2 • 2 • 97
388 =	2 • 2 • 43
388 =	2 •	389
390 =	2 • 3 • 5 • 13
391 =	17 • 23
392 =	2 • 2 • 2 • 7 0006
													2 • 2 • 393 =	3•131
394 =	2•197
395 =	5 • 79
396 =	2 • 2 • 3 • 3 • 11
397 =	397
398 =	297
398 =	297
398 =
398 =		399 =	3 • 7 • 19
400 =	2 • 2 • 2 • 2 • 5 • 5
401 =	401
402 =	2 • 3 • 67
403 =	13•31
404 =	2 • 2 • 101
405 =	3 • 3 • 3 • 3 • 5
406 =	2 • 7 • 29
407 =	11 • 37
407 =	11 • 37
407 =
408 =	2 • 2 • 2 • 3 • 17
409 =	409
410 =	2 • 5 • 41
411 =	3 • 137
411 =	3 • 137
412 =	2•2•103
413 =	7•59
414 =	2 • 3 • 3 • 23
415 =	5 • 83
416 =	2 • 2 • 2 • 2 • 13
417 =.	3 • 139
418 =	2 • 11 • 19
419 =	419
420 =	2 • 2 • 5 • 7
421 = 2 • 2 • 5 • 7
421 =	2 •	421
422 =	2•211
423 =	3 • 3 • 47
424 =	2 • 2 • 2 • 53
425 =	5 • 5 • 17
426 =	2 • 3 • 71
426 =	2 • 3 • 71
426 =	2 • 3 • 71
426 =	2 • 3 • 71
427 =	7 • 61
428 =	2 • 2 • 107
429 =	3 • 11 • 13
430 =	2 • 5 3
430 =	2 • 5
430 =	2 • 5
430 =	2 •
431 =	431
432 =	2•2•2•2•3•3•3
433 =	433
434 =	2 • 7 • 31
435 =	3 • 5 • 29
436 =	2 • 29 0006
436 =	2 • 29 0006
436 =	2 • 29 0006
436 =	2 • 29
436 =	2 • 29
436 =	2 •
437 =	19 • 23
438 =	2 • 3 • 73
439 =	439
440 =	2 • 2 • 2 • • 110006
440 =	2 • 2 • 2 • • 110006
440 =	2 • 2 • 2 • 110006
440 =	2 • 2 • 2 • 110006
440 =	2 • 2 • 50006
440 =	2
441 =	3•3•7•7
442 =	2 • 13 • 17
443 =	443
444 =	2 • 2 • 37
4 445 =	5 • 89
4 445 =	5 • 89
4 445 =	5 • 89
445 =	5 • 89
445 =	5 • 2 • 223
447 =	3 • 149
448 =	2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 7
449 =	449
449 =	449
449 =	449
449 =	449
449 =	449
449 =	449
449 =	449
449 =	449
2•3•3•5•5
451 =	11•41
452 =	2•2•113
453 =	3•151
454 =	2•227
455 =	5•7•13
456 =	2 • 2 • 2 • 3 • 19
457 =	457
458 =	2 • 229
459 =	3 • 3 • 17	459 =	3 • 3 • 17
460 =	2•2•5•23
461 =	461
462 =	2•3•7•11
463 =	463
464 =	2•2•2•2•29
465 =	3•5•31
466 =	2•233
467 =	467
468 =	2•2•3•3•13
469 =	7•67
470 =	2•5•47
471 =	3 • 157
472 =	2 • 2 • 2 • 59
473 =	11 • 43
474 =	2 • 3
474 =	2 • 3
474 =	2 • 3
474 =	2 • 3
474 =	.
475 =	5 • 5 • 19
476 =	2 • 2 • 7 • 17
477 =	3 • 3 • 53
478 =	2 • 239
479 =	479
480 =	2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 5
481 =	13 • 37
482 =	2 • 241
483 =	3 • 7 •
484 =	2 • 2 • 11 • 11
485 =	5 • 97
486 =	2 • 3 • 3 • 3 • 3
4877. =	487
488 =	2•2•2•61
489 =	3•163
490 =	2 • 5 • 7 • 7
491 =	491
492 =	2 • 2 • 3 • 41
493 =	17 7. • 3 • 41
493 =	7 7. • 3 • 41
=	7.
494 =	2 • 13 • 19
495 =	3 • 3 • 5 • 11
496 =	2 • 2 • 2 • 2 • 31
4977. =	7•71
498 =	2•3•83
499 =	499
500 =	2•2•5•5•5

532 = 542 =66.96 9000 199 19 9000 199 1 9.99. 5•131 9000 6666666666 6666 6666 666 6666 6666 =77797777 9000 699 = 9000 699 = 9000 699 =.4 2 • 2 • 539 2 9000 746 = 9000 746 = 9000 7506 = 9000 7506 =

n	Prime Factorization
501 =	3•167
502 =	2•251
503 =	503
504 =	2 •2•2•3•3•7
505 =	5•101
506 =	2•11•23
507 =	3 • 13 • 13
508 =	2 • 2 • 127
509 =	509
510 =	2 • 3 • 5 • 170006
510 =	2 • 3 • 5 • 170006
510 =	2 • 3 • 170006
510 =	2
511 =	7 • 73
512 =	2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2
513 =	3 • 3 • 3 • 3 • 19
514 =	2•257
515 =	5•103
516 =	2•2•3•43
517 =	11•47
518 =	2•7•37
519 =	3•173
520 =	2•2•2•5•13
521 =	521
522 =	2•3•3•29
523 =	523
524 =	2•2•131
525 =	3 • 5 • 5 • 7
526 =	2 • 263
527 =	17 • 31
528 =	2 • 2 • 2 • 3 • 11 000666
529 =	23 • 23
530 =	2 • 5 • 53
531 =	3 • 3 • 59
532 =	2 • 7 • 70006
2 • 70006
532 =	2 • 19
533 =	13•41
534 =	2•3•89
535 =	5•107
536 =	2•2•2•67
537 =	3•179
538 =	2•269
539 =	7 • 7 • 11
540 =	2 • 2 • 3 • 3 • 3 • 5
541 =	541
542 =	2 • 2711
2 27110006
543 =	3•181
544 =	2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 17
545 =	5 • 109
546 =	2 • 3 • 7 • 13
547 =	547
547 =	547
547 =	547
548 =	2 • 2 • 137
549 =	3 • 3 • 61
550 =	2 • 5 • 11
551 =	19 191 •
552 =	2•2•2•3•23
553 =	7•79
554 =	2•277
555 =	3•5•37
556 =	2•2•139
557 =	557
558 =	2 • 3 • 3 • 31
559 =	13 • 43
560 =	2 • 2 • 2 • 5 • 7
561 =	3 •11•17
562 =	2•281
563 =	563
564 =	2•2•3•47
565 =	5•113
566 =	2•283
567 =	3 • 3 • 3 • 3 • 7
568 =	2 • 2 • 2 • 71
569 =	569
570 =	2 • 3 • 5 • 1
571 =	571
572 =	2•2•11•13
573 =	3 • 191
574 =	2 • 7 • 41
575 =	5 • 5 • 23
576 =	2 • 2 • 2 • 2 23
576 =	200. • 2 • 2 • 2 • 3 • 3
577 =	577
578 =	2 • 17 • 17
579 =	3 • 193
580 =	3 • 193
0 =	3 • 193
0 =	3 •	2•2•5•29
581 =	7•83
582 =	2 • 3 • 97
583 =	11 • 53
584 =	2 • 2 • 2 • 73
585 =	3 • 3 • 5 • 13
586 =	2 • 293
587 =	587
588 =	2 • 2 • 3 • 7 • 7
589 =	197 1
589 =
=
589 =
590 =	2•5•59
591 =	3•197
592 =	2 • 2 • 2 • 2 • 37
593 =	593
594 =	2 • 3 • 3 • 3 • 11 0006
595 = = 3 • 3 •	5 • 7 • 17
596 =	2 • 2 • 149
597 =	3 • 199
598 =	2 • 13 • 23
99 =	2 •	599
600 =	2•2•2•3•5•5
601 =	601
602 =	2 • 7 • 43
603 =	3 • 3 • 67
604 =	2 • 2 • 151
		604 =	2 • 2 • 151
		604 =	2 • 2 • 151
604 =	2 • 605 =	5 • 11 • 11
606 =	2 • 3 • 101
607 =	607
608 =	2 • 2 • 2 • 2 • 1
608 =	2 • 2 • 2 • 2 •
609 =	3•7•29
610 =	2•5•61
611 =	13•47
612 =	2•2•3•3•17
613 =	613
614 =	2•307
615 =	3•5•41
616 =	2•2•2•7•11
617 =	617
618 =	2•3•103
619 =	619
620 =	2 • 2 • 5 • 31
621 =	3 • 3 • 3 • 23
622 =	2 • 311
623 =	7. 89966
623 =	7 • 89966
623 =	7. 89966
623 =	7.
624 =	2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 13
625 =	5 • 5 • 5 • 5
626 =	2 • 313
627. =	3•11•19
628 =	2•2•157
629=	17 • 37
630 =	2 • 3 • 3 • 5 • 7
631 =	631
632 =	2 • 2 • 2 • 7
.	633 =	3•211
634 =	2•317
635 =	5•127
636 =	2•2•3•53
637 =	7•7•13
638 =	2•11•29
639 =	3 • 3 • 71
640 =	2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 5
641 =	641
641 =	641
641. =	2 • 3 • 107
643 =	643
644 =	2 • 2 • 7 • 23
645 =	3 • 5 • 43
		964 646 646 =	3 • 5 • 43
		9000 3 9000 3 9000 3 9000 3 9000 3 9000 3	96 645 =	3 • 5. 43
9000 645 =	3 • =	2•17•19
647 =	647
648 =	2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 3 • 3
649 =	11 • 59
650 =	2 • 5 • 13 • 13
651 =	3 • 7 • 31
652 =	2 • 2 • 163
653 =	653
654 =	2 • 3 • 109
654 6556 =
656 =	2•2•2•2•41
657 =	3 • 3 • 73
658 =	2 • 7 • 47
659 =	659
660 =	2 • 2 • 3 • 5 • 11 0006
6666 6666 6664 2 • 2 • 5 • 5 • 110006
6666 666 6666 6664 2 • 2 • =	661
662 =	2 • 331
663 =	3 • 13 • 17
664 =	2 • 2 • 2 • 83
2 • 2 • 2 • 83
664 666 6666	2 •	5•7•19
666 =	2•3•3•37
667 =	23 • 29
668 =	2 • 2 • 167
669 =	3 • 223
670 =	2 • 5. • 67
			670 =	2 • 53
	670 =	2 • 53
	670 =	2 • 223
	. 671 =	11 • 61
672 =	2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 7
673 =	673
674 =	2 • 337
674 =	2 • 337
674 =	2 • 337
674 =	2 • 337
674 =	.
675 =	3•3•3•5•5
676 =	2•2•13•13
677 =	677
678 =	2•3•113
679 =	7•97
680 =	2 •2•2•5•17
681 =	3•227
682 =	2•11•31
683 =	683
684 =	2 •2•3•3•19
685 =	5•137
686 =	2 • 7 • 7 • 7
687 =	3 • 229
688 =	2 • 2 • 2 • 43
689 =	13 13 13 13 13 • 53
690 =	2 • 3 • 5 • 23
691 =	691
692 =	2 • 2 • 173
693 =																																						3 • 2 • 173
=	2 • •7•11
694 =	2•347
695 =	5 • 139
696 =	2 • 2 • 2 • 3 • 29
697 =	17 • 41
698 =	2 • 349
2 • 349
2 • 349
2 •	3 • 233
700 =	2 • 2 • 5 • 5 • 7
701 =	701
702 =	2 • 3 • 3 • 13
703 =	19•37
704 =	2•2•2•2•2•2•11
705 =	3 • 5 • 47
706 =	2 • 353
707 =	7 • 101
708 =	7 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 39,9 0006
708 =	7 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 3
708 =	7 •
709 =	709
710 =	2 • 5 • 71
711 =	3 • 3 • 79
712 =	2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2
712 =	2 • 79
712 =	2 •
713 =	23•31
714 =	2 • 3 • 7 • 17
715 =	5 • 11 • 13
716 =	2 • 2 • 179
717 =	3 • 239
	717 =	3 • 239
		=	3 • 718 =	2 • 359
719 =	719
720 =	2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 5
721 =	7 • 103
721 =	7 • 1000069
721 =	7 •
721 =	7.
722 =	2•19•19
723 =	3•241
724 =	2•2•181
725 =	5•5•29
726 =	2•3•11•11
727 =	727
728 =	2 • 2 • 2 • 7 • 13
729 =	3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3
=	2 • 5. 73
731 =	17•43
732 =	2•2•3•61
733 =	733
734 =	2 • 367
735 =	3 • 5 • 7 • 7
736 =	2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 23
737 =	11 • 67
738 =	2 • 3 • 3 • 41
739 =	739
740 =
740 =		2 • 539
740 =	2. 2,739
740 =
	2. 739
9000 =	739
739. •37
741 =	3•13•19
742 =	2 • 7 • 53
743 =	743
744 =	2 • 2 • 3 • 31
745 =	5 • 149
5 • 149
5 • 149
745 =	5 •	2 • 373
747 =	3 • 3 • 83
748 =	2 • 2 • 11 • 17
749 =	7 • 107
7 • 107
7.	2•3•5•5•5

779 =.97 9000 781 = 9000 781 = 781 =666. 9000 851. =9 9000 867. =74 2 • 2 293 700037 9333 =4.. 9000 951 = = 9000 23 23 • 43

нет	Prime Факторизация
751 =	751
752 =	2 • 2 • 2 • 47
753 =	3 • 251
753 =	3. • 251
753 =	3 200	=	=	=	=	=	=	=	=	=	=	=	=	=	=	=	=	=	=	=	. • 13 • 29
755 =	5 • 151
756 =	2 • 2 • 3 • 3 • 3 • 7
=	757
83 =	757
8 =	757
8 =	757
757
=	757
=	757
=	757
=	757
2•379
759 =	3•11•23
760 =	2 • 2 • 2 • 5 • 19
761 =	761
762 =	2 • 3 • 127
963 =	7 7. • 3 • 127
	7. 7,11997 7. 10000 7. 10000	7. 7,11997 7. 10000 7. 10000	7. 10000 7. 10000	7. 10000 7. 10000	7.
764 =	2•2•191
765 =	3•3•5•17
766 =	2•383
767 =	13•59
768 =	2•2•2•2•2•2•2•2•3
769 =	769
770 =	2 • 5 • 7 • 11
771 =	3 • 257
772 =	2 • 2 • 193
		772 =	2 • 2 • 1
772 =	2 • 257
772. 773 =	773
774 =	2 • 3 • 3 • 43
775 =	5 • 5 • 31
776 =	2 • 2 • 2 • 97
.
777 =	3•7•37
778 =	2 • 389
779 =	19 • 41
780 =	2 • 2 • 5 • 13
781 =	11 • 71
11 • 71
11 • 71
11 • 71
781 =	11.	2 • 17 • 23
783 =	3 • 3 • 3 • 29
784 =	2 • 2 • 2 • 7 • 7
785 =	5 • 157
786 =	2•3•131
787 =	787
788 =	2•2•197
789 =	3•263
790 =	2•5•79
791 =	7•113
792 =	2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 11
793 =	13 • 61
794 =	2 • 397
795 =	3 • 5 • 5 • 53
796 =	2•2•199
797 =	797
798 =	2 • 3 • 7 • 19
799 =	17 • 47
800 =	2 • 2 • 2 • 2 • 5. • 5
801 =	3 • 3 • 89
802 =	2 • 401
803 =	11 • 73
804 =	2 • 2 • 2 • 3. •67
805 =	5•7•23
806 =	2•13•31
807 =	3 • 269
808 =	2 • 2 • 2 • 101
809 =	809
810 =	2 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3 • • 3 • 5
811 =	811
812 =	2 • 2 • 7 • 29
813 =	3 • 271
814 =	2 • 271
814 =	2 • 271
. •37
815 =	5•163
816 =	2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 17
817 =	19 • 43
818 =	2 • 409
819 =	3 • 3 • 7 • 13
820 =	2•2•5•41
821 =	821
822 =	2•3•137
823 =	823
824 =	2•2•2•103
825 =	3•5•5•11
826 =	2•7•59
827 =	827
828 =	2•2•3•3•23
829 =	829
830 =	2 • 5 • 83
831 =	3 • 277
832 =	2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 13
833 =	7•7•17
834 =	2•3•139
835 =	5 • 167
836 =	2 • 2 • 11 • 19
837 =	3 • 3 • 3 • 31
838 =	2 • 41
=	2 •
839 =	839
840 =	2 • 2 • 2 • 3 • 5 • 7
841 =	29 • 29
842 =	29,41
842 =	29,41
842 =	29.
843 =	3•281
844 =	2•2•211
845 =	5 • 13 • 13
846 =	2 • 3 • 3 • 47
847 =	7 • • 2 • 2 • 2 • 53
849 =	3 • 283
850 =	2 • 5 • 5 • 17
851 =	23 • 37
2•2•3•71
853 =	853
854 =	2 • 7 • 61
855 =	3 • 3 • 5 • 19
856 =	2 • 2 • 107
857 =	857
857 =
858 =	2 • 3 • 11 • 13
859 =	859
860 =	2 • 2 • 5 • 43
861 =	3 • 7 • 7 • 7 • 7 • 7 • 7 • 7,7 41
862 =	2•431
863 =	863
864 =	2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 3
865 =	5 • 173
866 =	2 • 433
3 • 17 • 17
868 =	2 • 2 • 7 • 31
869 =	11 • 79
870 =	2 • 3 • 5 • 29 0007
870 =	2 • 3 • 5 • 2	870 =	2 • 3 •
871 =	13•67
872 =	2•2•2•109
873 =	3 • 3 • 97
874 =	2 • 19 • 23
875 =	5 • 5 • 7
876 =	2 • 2 • • 3 • 73
877 =	877
878 =	2 • 439
879 =	3 • 293
880 =		2 • 2 293
880 =
. •5•11
881 =	881
882 =	2 • 3 • 3 • 7 • 7
883 =	883
884 =	2 • 2 • 13 • 17
885 =	3 • 59
885 =	3 • 59
885 =	3 • 59
885 =	3 •	886 =	2•443
887 =	887
888 =	2•2•2•3•37
889 =	7•127
890 =	2•5•89
891 =	3•3•3•3•11
892 =	2•2•223
893 =	19•47
894 =	2•3•149
895 =	5•179
896 =	2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 7
897 =	3 • 13 • 23
898 =	2 • 449
.	29•31
900 =	2•2•3•3•5•5
901 =	17 • 53
902 =	2 • 11 • 41
903 =	3 • 7 • 43
904 =	2 • 2 • 2 •
905 =	5•181
906 =	2•3•151
907 =	907
908 =	2•2•227
909 =	3•3•101
910 =	2•5•7•13
911 =	911
912 =	2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 19
913 =	11 • 83
914 =	2 • 43777967
914 =	2 • 43777
914 =		2 • 43
914 =		2 • 43
914 =
915 =	3 • 5 • 61
916 =	2 • 2 • 229
917 =	7 • 131
918 =		7 • 31,31
918 =	7 • 31,31
918 =		7 • •3•17
919 =	919
920 =	2 • 2 • 2 • 5 • 23
921 =	3 • 307
922 =	2 • 461
923 =	13 • 71
923 =	13 • 71
923 =	13 • 71
	923 =	13 • 71
923 =	13 • 71
923 =	13 • 924 =	2 • 2 • 3 • 7 • 11
925 =	5 • 5 • 37
926 =	2 • 463
927 =	3 • 3 • 103.
928 =	2•2•2•2•2•29
929 =	929
930 =	2 • 3 • 5 • 31
931 =	7 • 7 • 19
932 =	2 • 2 • 233
3 • 311
934 =	2 • 467
935 =	5 • 11 • 17
936 =	2 • 2 • 3 • 3 • 13
937 =	937
938 =	2•7•67
939 =	3•313
940 =	2•2•5•47
941 =	941
942 =	2•3•157
943 =	23 • 41
944 =	2 • 2 • 2 • 2 • 59
945 =	3 • 3 • 5 • 7
96 =	2. •11•43
947 =	947
948 =	2 • 2 • 3 • 79
949 =	13 • 73
950 =	2 • 5 • 5 • 19
951 =	3 • 317
3 • 317
951 =	3 • =	2 • 2 • 2 • 7 • 17
953 =	953
954 =	2 • 3 • 3 • 53
955 =	5. 191
9000 =	5. 91
	5. 91,0007
=	5.
=	53
956 =	2•2•239
957 =	3•11•29
958 =	2 • 479
959 =	7 • 137
960 =	2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 3 • 5
961 =.	31 • 31
962 =	2 • 13 • 37
963 =	3 • 3 • 107
964 =	2 • 2 • 241
964 964 =	2 • 2 • 241
964 964 =	2 • 2 • 241
964 =	2 • 2 • 241
964 =	2 • 2 • 241
964 =	2 •	5•193
966 =	2•3•7•23
967 =	967
968 =	2 • 2 • 2 • 11 • 11
969 =	3 • 17 •
970 =	2 • 5 •
=	2 • 5.
971 =	971
972 =	2 • 2 • 3 • 3 • 3 • 3 • 3
973 =	7 • 139
974 =		2 • 487
975 =	3•5•5•13
976 =	2 • 2 • 2 • 2 • 61
977 =	977
978 =	2 • 3 • 163
979 =	11 • 89
979 =	11 • 89
979 =	11.	2•2•5•7•7
981 =	3•3•109
982 =	2•491
983 =	983
984 =	2•2•2•3•41
985 =	5•197
986 =	2 • 17 • 29
987 =	3 • 7 • 47
988 =	2 • 13 • 13 • 1
989 =
990 =	2 • 3 • 3 • 5 • 11 0006
991 =	991
992 =	2 • 2 • 2 • 2 • 31
4 2 • 2 • 2 • 2 • 31
444 993 =	3•331
994 =	2•7•71
995 =	5•199
996 =	2•2•3•83
997 =	997
998 =	2•499
999 =	3•3•3•37
1000 =	2•2•2•5•5•5

Калькулятор факторизации простых чисел

Пожалуйста, дайте ссылку на эту страницу! Просто щелкните правой кнопкой мыши на изображении выше, выберите «Скопировать адрес ссылки», а затем вставьте его в HTML-код.

Факторизация числа образцов.

• Prime factorization of 58630
• Prime factorization of 15770
• Prime factorization of 7460

• Prime factorization of 9236
• Prime factorization of 87
• Prime factorization of 4

• Prime factorization of 2
• Prime Факторизация 7
• Простая факторизация 138

1080 (Число)

1,080 ( одна тысяча восемьдесят ) — четное четырехзначное составное число, расположенное между числами 1079 и 1081. В экспоненциальной записи оно записывается как 1,08 × 10 ³ . Сумма его цифр равна 9. Всего 7 простых множителей и 32 положительных делителя. Существует 288 положительных целых чисел (до 1080), взаимно простых с 1080.

• Прайм? №
• Числовая четность Четный
• Длина номера 4
• Сумма цифр 9
• Цифровой корень 9

Краткое наименование	1 тыс. 80
Полное имя	одна тысяча восемьдесят

Научное обозначение	1,08 × 10 3
Техническое обозначение	1,08 × 10 3

Простые множители 2 ³ × 3 ³ × 5

Составное число

ω(n)	Отличительные факторы	3	Общее количество различных простых множителей
Ом(n)	Всего факторов	7	Общее количество простых множителей
рад(н)	Радикальный	30	Произведение различных простых чисел
λ(n)	Лиувилль Лямбда	-1	Возвращает четность Ω(n), такую, что λ(n) = (-1) Ω(n)
мк(н)	Мебиус Мю	0	Возвращает: 1, если n имеет четное число простых множителей (и не содержит квадратов) −1, если n имеет нечетное число простых множителей (и не содержит квадратов) 0, если n имеет квадрат простого делителя
Л(н)	Функция Мангольдта	0	Возвращает log(p), если n является степенью p k любого простого числа p (для любого k >= 1), в противном случае возвращает 0

Разложение числа 1080 на простые множители равно 2 ³ × 3 ³ × 5. Поскольку всего 7 простых делителей, 1080 — составное число.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 27, 30, 36, 40, 45, 54, 60, 72, 90, 108, 120, 135, 180, 216, 270, 360, 540, 1080

32 делителя

Четный делитель	24
Нечетные делители	8
4k+1 делитель	4
4k+3 делителя	4

τ(n)	Всего делителей	32	Общее количество положительных делителей n
σ(n)	Сумма делителей	3600	Сумма всех положительных делителей n
с(н)	Аликвотная сумма	2520	Сумма собственных положительных делителей n
А(н)	Среднее арифметическое	112,5	Возвращает сумму делителей (σ(n)), деленную на общее количество делителей (τ(n))
Г(н)	Среднее геометрическое	32. 86335345031	Возвращает корень n из произведения n делителей
Н(н)	Среднее гармоническое	9,6	Возвращает общее количество делителей (τ(n)), деленное на сумму обратной величины каждого делителя

Число 1080 можно разделить на 32 положительных делителя (из них 24 четных и 8 нечетных). Сумма этих делителей (считая 1080) равна 3600, среднее значение равно 11,2,5.

1 ф (п) п

φ(n)	Эйлер Тотиент	288	Общее количество положительных целых чисел, не превышающих n, взаимно простых с n
λ(n)	Кармайкл Лямбда	36	Наименьшее положительное число такое, что λ(n) ≡ 1 (mod n) для всех чисел, взаимно простых с n
п(н)	Прайм Пи	≈ 182	Общее количество простых чисел меньше или равно n
р 2 (н)	Сумма 2 квадратов	0	Количество способов n представить в виде суммы двух квадратов

Существует 288 натуральных чисел (меньше 1080), взаимно простых с 1080. И есть примерно 182 простых числа, меньших или равных 1080.

м	2	3	4	5	6	7	8	9
п мод м	0	0	0	0	0	2	0	0

Число 1080 делится на 2, 3, 4, 5, 6, 8 и 9.

Арифметическими функциями

• Изобилие

Выражается через конкретные суммы

• Вежливый
• Практический

По форме (2D, не по центру)

• Пятиугольный

Другие номера

• Скромный
• Обычный

Основание	Система	Значение
2	Двоичный	10000111000
3	Тернарный	1111000
4	Четвертичный	100320
5	Квинарий	13310
6	Сенар	5000
8	Восьмеричный	2070
10	Десятичный	1080
12	Двенадцатеричный	760
16	Шестнадцатеричный	438
20	Десятичное число	2e0
36	База36	и0

Умножение

п × у

n×2	2160
n×3	3240
n×4	4320
n×5	5400

Отдел

n÷y

н÷2	540. 000
н÷3	360.000
н÷4	270.000
н÷5	216.000

Возведение в степень

п ^г 76800000

п 2	1166400
п 3	125 00
нет 4	1360488	0
п 5	146

N-й корень

^г √n

2 √n	32. 86335345031
3 √n	10.25985568006
4 √n	5,7326567532262
5 √n	4.0428232170799

Круг

Радиус = n

Диаметр	2160
Окружность	6785.840131754
Зона	3664353.6711471

Сфера

Радиус = n

Том	5276669286. 4519
Площадь поверхности	14657414.684589
Окружность	6785.840131754

Квадрат

Длина = n

Периметр	4320
Зона	1166400
Диагональ	1527.3506473629

Куб

Длина = n

Площадь поверхности	6998400
Том	125 00
Космическая диагональ	1870. 6148721744

Равносторонний треугольник

Длина = n

Периметр	3240
Зона	505066.01548708
Высота	935.30743608719

Треугольная пирамида

Длина = n

Площадь поверхности	2020264.0619483
Том	148458482.
Высота	881.81630740194

мд5	731c83db8d2ff01bdc000083fd3c3740
ша1	0cf950b5e4d2ebd7c978c76091ddce6176845697
ша256	32eb1a8dafeb0873c8d00b0e9058c8c77ff6c6d9235b3236989c50ef63d8f9ba
ша512	dd311ee23253a6a93c761942e8506e032e39dcec8eacff71ef934c2e064f33db8dd79d35df1596b25ac1481dd3775b059abd6bfafc42e46ea72d669f0b6
римед-160	47abd40d5e2c176d8e76346fb6eaff78e8273e7a

ватт — это простая факторизация 1080

Методом деления в длину,

• простые множители

спросил 8 июня 2014 г. в других математических темах по рехамм Пользователь 1-го уровня (120 баллов)

Ваш ответ

1 Ответ

простых фактов(1080)=2, 2, 2, 3, 3, 3,5  (7 фактов)

но простых фактов(1081)=23, 47

ответили 8 июня 2014 г. по muneepenee

Связанные вопросы

1 ответ

какова lcm числа 150 198 375 методом простой факторизации

спросил 10 июня 2013 г. в Pre-алгебра ответы по анонимный | 627 просмотров

• простые множители

1 ответ

Общее количество множителей числа нет. равно 24, а произведение простых множителей того же числа. Является ли 30 квадратным корнем из отношения такого наименьшего и наибольшего возможного числа?

спросил 20 июля 2019 г. в других математических темах по анонимный | 1 ответ 10 февраля 2019 г. в других математических темах по Лилита Сали | 594 просмотра

• простые множители

2 ответа

напишите 350 как произведение своих простых множителей

спросил 7 февраля 2017 г. в других математических темах по анонимный | 2.0k просмотров

• простые делители

1 ответ

найти число, у которого первые шесть простых чисел являются единственными делителями 8 августа 2014 г. в других математических темах по дживан | 1,3 тыс. просмотров

• простых делителей
• простых чисел

1 ответ

какие простые числа при умножении равны 57

спросил 4 января 2014 г. в других математических темах по анонимный | 994 просмотра

• простые числа
• простые множители

1 ответ

выразить 1729 как произведение простых множителей.

спросил 5 августа 2014 г. по алгебре 1 ответы по анонимный | 447 просмотров

• простые множители

1 ответ

чему равно 312 в квадрате как произведение его простых множителей

спросил 18 июня 2014 г. в Word ответы на задачи по мегабайты460квн Пользователь 1-го уровня (120 баллов) | 339 просмотров

• простые множители

1 ответ

уменьшить дробь методом простых множителей 7/35

спросил 25 марта 2014 г. в Pre-алгебра ответы по Ваня | 286 просмотров

• простые множители

2 ответа

какие два числа являются простыми множителями числа 30

задан вопрос 21 января 2014 г. в Pre-алгебра ответы по анонимный | 332 просмотра

• простые множители

1 ответ

каковы простые множители числа 27?

спросил 21 января 2014 г. в Pre-алгебра ответы по анонимный | 299 просмотров

• простые множители

2 ответа

запишите 56 как произведение простых множителей.

спросил 14 ноября 2013 г. в Факторы числа по анонимный | 3,6 тыс. просмотров

• простые множители

1 ответ

Как написать число 169как произведение простых множителей?

спросил 6 октября 2013 г. в Факторы числа по анонимный | 588 просмотров

• простые множители

1 ответ

Запишите число 129 как произведение простых множителей.

спросил 10 сентября 2013 г. в Факторы числа по анонимный | 706 просмотров

• простые множители
• произведение

2 ответа

выразить 14400 как произведение простого множителя, Отсюда найти его квадратный корень

спросил 7 июня 2013 г. по алгебре 1 ответы по анонимный | 2.6k просмотров

• выразить 14
• 400 как произведение простого множителя
• отсюда найти его квадратный корень
• простых множителей

1 ответ

2

каковы простые множители 72 3

6 мая 2013 г.