ОглавлениеПРЕДИСЛОВИЕ К ДЕВЯТОМУ ИЗДАНИЮПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ ГЛАВА I.  § 1. Действительные числа. § 2. Абсолютная величина действительного числа § 3. Переменные и постоянные величины § 4. Область изменения переменной величины § 5. Упорядоченная переменная величина. Возрастающая и убывающая переменные величины Ограниченная переменная величина § 6. Функция § 7. Способы задания функции § 8. Основные элементарные функции. Элементарные функции § 9. Алгебраические функции § 10. Полярная система координат Упражнения к главе I ГЛАВА II. ПРЕДЕЛ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ § 1. Предел переменной величины. Бесконечно большая переменная величина § 2. Предел функции § 3. Функция, стремящаяся к бесконечности. Ограниченные функции § 4. Бесконечно малые и их основные свойства § 5. Основные теоремы о пределах § 6. Предел функции (sin x)/x при x->0 § 7. Число e § 8. Натуральные логарифмы § 9. Непрерывность функций § 10. Некоторые свойства непрерывных функций § 11.  n при n целом и положительном§ 6. Производные от функций y = sinx; y = cosx § 7. Производные постоянной, произведения постоянной на функцию, суммы, произведения, частного § 8. Производная логарифмической функции § 9. Производная от сложной функции § 10. Производные функций y = tgx, y = ctgx, y = ln|x| § 11. Неявная функция и ее дифференцирование § 12. Производные степенной функции при любом действительном показателе, показательной функции, сложной показательной функции § 13. Обратная функция и ее дифференцирование § 14. Обратные тригонометрические функции и их дифференцирование § 15. Таблица основных формул дифференцирования § 16. Параметрическое задание функции § 17. Уравнения некоторых кривых в параметрической форме § 18. Производная функции, заданной параметрически § 19. Гиперболические функции § 21. Геометрическое значение дифференциала Рассмотрим функцию § 22. Производные различных порядков § 23.  x, sin x, cos xУпражнения к главе IV ГЛАВА V. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ § 2. Возрастание и убывание функции § 3. Максимум и минимум функций § 4. Схема исследования дифференцируемой функции на максимум и минимум с помощью первой производной § 5. Исследование функции на максимум и минимум с помощью второй производной § 6. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке § 7. Применение теории максимума и минимума функций к решению задач § 8. Исследование функции на максимум и минимум с помощью формулы Тейлора § 9. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба § 10. Асимптоты § 11. Общий план исследования функций и построения графиков § 12. Исследование кривых, заданных параметрически Упражнения к главе V ГЛАВА VI. КРИВИЗНА КРИВОЙ § 1. Длина дуги и ее производная § 2. Кривизна § 3. Вычисление кривизны § 4. Вычисление кривизны линии, заданной параметрически § 5. Вычисление кривизны линии, заданной уравнением в полярных координатах § 6.  Радиус и круг кривизны. Центр кривизны. Эволюта и эвольвента§ 7. Свойства эволюты § 8. Приближенное вычисление действительных корней уравнения Упражнения к главе VI ГЛАВА VII. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА, МНОГОЧЛЕНЫ § 1. Комплексные числа. Исходные определения § 2. Основные действия над комплексными числами § 3. Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня из комплексного числа § 4. Показательная функция с комплексным показателем и ее свойства § 5. Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа § 6. Разложение многочлена на множители § 8. Разложение многочлена на множители в случае комплексных корней § 9. Интерполирование. Интерполяционная формула Лагранжа § 10. Интерполяционная формула Ньютона § 11. Численное дифференцирование § 12. О наилучшем приближении функций многочленами. Теория Чебышева Упражнения к главе VII ГЛАВА VIII. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 1. Определение функции нескольких переменных § 2.  Геометрическое изображение функции двух переменных§ 3. Частное и полное приращение функции § 4. Непрерывность функции нескольких переменных § 5. Частные производные функции нескольких переменных § 6. Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных § 7. Полное приращение и полный дифференциал § 8. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях § 9. Приложение дифференциала к оценке погрешности при вычислениях § 10. Производная сложной функции. Полная производная. Полный дифференциал сложной функции § 11. Производная от функции, заданной неявно § 12. Частные производные различных порядков § 13. Поверхности уровня § 14. Производная по направлению § 15. Градиент § 16. Формула Тейлора для функции двух переменных § 17. Максимум и минимум функции нескольких переменных § 18. Максимум и минимум функции нескольких переменных, связанных данными уравнениями (условные максимумы и минимумы) § 19.  Получение функции на основании экспериментальных данных по методу наименьших квадратов§ 20. Особые точки кривой Упражнения к главе VIII ГЛАВА IX. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ В ПРОСТРАНСТВЕ § 1. Уравнения кривой в пространстве § 2. Предел и производная векторной функции скалярного аргумента. Уравнение касательной к кривой. Уравнение нормальной плоскости § 4. Первая и вторая производные вектора по длине дуги. Кривизна кривой. Главная нормаль. Скорость и ускорение точки в криволинейном движении § 5. Соприкасающаяся плоскость. Бинормаль. Кручение. § 6. Касательная плоскость и нормаль к поверхности Упражнения к главе IX ГЛАВА X. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. Первообразная и неопределенный интеграл § 2. Таблица интегралов § 3. Некоторые свойства неопределенного интеграла § 4. Интегрирование методом замены переменной или способом подстановки § 5. Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен § 6.  Интегрирование по частям§ 7. Рациональные дроби. Простейшие рациональные дроби и их интегрирование § 8. Разложение рациональной дроби на простейшие § 9. Интегрирование рациональных дробей § 10. Интегралы от иррациональных функций § 11. Интегралы вида … § 12. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций § 13. Интегрирование некоторых иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок § 14. О функциях, интегралы от которых не выражаются через элементарные функции Упражнения к главе X ГЛАВА XI. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. Постановка задачи. Нижняя и верхняя интегральные суммы § 2. Определенный интеграл. Теорема о существовании определенного интеграла § 3. Основные свойства определенного интеграла § 4. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона — Лейбница § 5. Замена переменной в определенном интеграле § 6. Интегрирование по частям § 7. Несобственные интегралы § 8. Приближенное вычисление определенных интегралов § 9.  § 10. Интегралы, зависящие от параметра. Гамма-функция § 11. Интегрирование комплексной функции действительной переменной Упражнения кглаве XI ГЛАВА XII. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА § 1. Вычисление площадей в прямоугольных координатах § 2. Площадь криволинейного сектора в полярных координатах § 3. Длина дуги кривой § 4. Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений § 5. Объем тела вращения § 6. Площадь поверхности тела вращения § 7. Вычисление работы с помощью определенного интеграла § 8. Координаты центра масс § 9. Вычисление момента инерции линии, круга и цилиндра с помощью определенного интеграла Упражнения к главе XII |
Факторизация комплексных чисел
Факторизация комплексных чиселТеперь вы увидите математиков за работой: усложняя простые вещи, чтобы сделать их проще!
Дедушка всех примеров.
Рассмотрим многочлен . Его нельзя разложить на действительные числа, так как его график не имеет x -перехватов. (График представляет собой просто стандартную параболу, сдвинутую вверх на единицу!)Как мы можем сказать, что многочлен неприводим, когда мы выполняем заполнение квадрата или используем квадратичную формулу? Давайте попробуем квадратное завершение: Здесь не так много, чтобы завершить, передача постоянного члена — это все, что нам нужно сделать, чтобы увидеть, в чем проблема:
Теперь мы не можем извлекать квадратные корни, так как квадрат каждого действительного числа неотрицательен!
Здесь в дело вступает математик: она (или он) воображает , что существуют корни из -1 (хотя и не настоящие числа), и называет их i и — i . Таким образом, определяющим свойством этого воображаемого числа и является то, что
Теперь полином внезапно стал
Комплексные числа.
Давайте организуем: число вида , где a и b — действительные числа, называется комплексным числом . Вот некоторые примеры:Число a называется действительной частью числа a + bi , число b называется мнимой частью числа a + bi 900 13 .
К счастью, алгебра с комплексными числами работает очень предсказуемо, вот несколько примеров:
В общем, умножение работает с методом FOIL:
Два комплексных числа a + bi и a — bi называются комплексно-сопряженной парой . Замечательным свойством комплексно-сопряженной пары является то, что их произведение всегда является неотрицательным действительным числом:
Используя это свойство, мы можем увидеть, как разделить два комплексных числа. Давайте посмотрим на пример
Фокус в том, чтобы умножить числитель и знаменатель на комплексно-сопряженный спутник знаменателя, в нашем примере мы умножаем на 1+ i :
Так как (1+ i )(1- i )=2 и (2+3 i )(1+ i )=-1+5 i , мы получаем
и готово!
Вы можете найти больше информации в нашем разделе «Комплексные числа».
Квадратичные многочлены с комплексными корнями.
Рассмотрим многочленИспользуя квадратичную формулу, корни вычисляются как
Нетрудно увидеть из формы квадратичной формулы, что если квадратный многочлен имеет комплексные корни, то они всегда будут комплексно-сопряженной парой !
Вот еще один пример. Рассмотрим многочлен
Его корни даны
Дискриминант.
Из графика многочлена видно, имеет ли он действительные корни или неприводим к действительным числам. Как мы можем сказать алгебраически , имеет ли квадратичный многочлен вещественные или комплексные корни? Символ i появляется на картинке именно тогда, когда член под квадратным корнем в квадратной формуле равен отрицательному. Этот терминназывается дискриминантом .
Рассмотрим дискриминант квадратичного многочлена .
- Если дискриминант положительный, многочлен имеет 2 различных действительных корня.
- Если дискриминант отрицательный, многочлен имеет 2 комплексных корня, которые образуют комплексно-сопряженную пару.
- Если дискриминант равен нулю, многочлен имеет один действительный корень кратности 2.
Основная теорема алгебры, дубль два.
Мы уже знаем, что любой многочлен можно разложить по действительным числам в произведение линейных множителей и неприводимых квадратичных многочленов. Но теперь мы также заметили, что каждый квадратный многочлен можно разложить на 2 линейных множителя, если мы допускаем комплексные числа. Следовательно, комплексная версия Основной теоремы алгебры выглядит следующим образом:
| В комплексных числах любой многочлен (с действительными коэффициентами) можно разложить на множители. |
Мы можем сказать это также на корневом языке:
Над комплексными числами каждый многочлен степени n (с действительными коэффициентами) имеет n корней, считая по их кратности. |
Использование комплексных чисел делает операторы более простыми и «красивыми»!
Упражнение 1.
Найдите все (действительные или комплексные) корни многочлена .Ответ.
Упражнение 2.
Разложите многочлен полностью (a) по действительным числам, (b) по комплексным числам.Ответ.
Упражнение 3.
При каких значениях c многочлен имеет два комплексно-сопряженных корня?Ответ.
Упражнение 4.
При каких значениях и полином имеет два различных действительных корня?Ответ.
Упражнение 5.
Каждый квадратичный многочлен имеет либо 2 различных действительных корня, либо один действительный корень кратности 2, либо 2 комплексных корня. Какие случаи могут иметь место для многочлена степени 3? Приведите пример для каждого из этих случаев.Ответ.
Упражнение 6.
(a) Покажите, что каждый многочлен степени 3 имеет хотя бы один х — перехват.
(b) Приведите пример многочлена степени 4 без каких-либо x -пересечений.
Ответ.
Упражнение 7.
Приведите пример многочлена степени 5, единственными действительными корнями которого являются х = 2 с кратностью 2 и х = -1 с кратностью 1.Ответ.
Вам нужна дополнительная помощь? Пожалуйста, разместите свой вопрос на нашем S.O.S. Математика CyberBoard.
Свяжитесь с нами
Математика Медикс, ООО. — П.О. Box 12395 — Эль-Пасо, Техас 79913 — США
пользователей онлайн за последний час
Многочлены с комплексными корнями
Горячая математика Основная теорема алгебры
уверяет нас, что любой
многочлен
с
настоящий номер
коэффициенты можно полностью разложить по полю
комплексные числа
.
В случае квадратичные многочлены , корни комплексные, когда дискриминант отрицательный.
Пример 1:
Фактор полностью, используя комплексные числа.
Икс 3 + 10 Икс 2 + 169 Икс
Во-первых, Икс .
Икс 3 + 10 Икс 2 + 169Икс «=» Икс ( Икс 2 + 10 Икс + 169 )
Теперь используйте
квадратичная формула
для выражения в скобках, чтобы найти значения
Икс
для которого
Икс
2
+
10
Икс
+
169
«=»
0
.
Здесь а «=» 1 , б «=» 10 и с «=» 169 .
Икс «=» − б ± б 2 − 4 а с 2 а
Икс «=» − 10 ± 10 2 − 4 ( 1 ) ( 169 ) 2 ( 1 ) «=» − 10 ± 100 − 676 2 «=» − 10 ± − 576 2
Запишите квадратный корень, используя мнимые числа.
Икс «=» − 10 ± 24 я 2 «=» − 5 ± 12 я
Теперь мы знаем, что значения Икс для которого выражение
Икс 2 + 10 Икс + 169
равно 0 являются Икс «=» − 5 + 12 я и Икс «=» − 5 − 12 я .
Таким образом, исходный многочлен можно представить как
Икс 3 + 10 Икс 2 + 169Икс «=» Икс ( Икс − [ − 5 + 12 я ] ) ( Икс − [ − 5 − 12 я ] )
Вы можете убедиться в этом, используя
ФОЛЬГА
.
Иногда вы можете разложить многочлен на множители, используя комплексные числа, не используя квадратную формулу. Например, разница квадратов правило:
Икс 2 − а 2 «=» ( Икс + а ) ( Икс − а )
Это также может быть использовано с комплексными числами, когда а 2 отрицательно, следующим образом:
Икс 2 + 25 «=» ( Икс + 5 я ) ( Икс − 5 я )
Пример 2:
Фактор полностью, используя комплексные числа.
9 Икс 2 у + 64 у
Во-первых, исключить
у
.