Разложить на множители 7 класс примеры: Разложение на множители — урок. Алгебра, 7 класс.

Содержание

Применение различных способов для разложения на множители

План урока

Применение различных способов для разложения на множители;
Решение заданий по теме.

Цели урока

Знать различные приемы разложения на множители;
Уметь применять различные комбинации приемов для разложения многочленов на множители.

Разминка

Что значит разложить многочлен на множители?
Какие приемы разложения на множители вы знаете?
Чему равен квадрат суммы двух выражений? Квадрат разности двух выражений?
Чему равна разность квадратов двух выражений?
Чему равна сумма и разность кубов двух выражений?

Применение различных способов для разложения на множители

Мы уже неоднократно говорили о важности и трудности задачи разложения многочлена на множители. Напомним, что разложить многочлен на множители – это значит преобразовать его в произведение двух или нескольких множителей.

Ранее мы уже рассматривали различные приемы, с помощью которых можно разложить многочлен на множители: вынесение общего множителя за скобки, способ группировки, применение формул сокращенного умножения. Но часто встречаются более сложные задачи, где для достижения цели приходится последовательно применять несколько приемов. Чтобы хорошо решать такие примеры, мало знать сами приемы, надо еще уметь выбрать правильную последовательность их применения. Все эти умения развиваются благодаря вашему опыту и наблюдательности. Более того, есть многочлены, разложить которые на множители невозможно. Но все же мы дадим некоторые рекомендации, которые помогут вам при разложении многочленов на множители.

1. Сначала вынесите общий множитель за скобки, если он есть.

2. Попробуйте применить формулы сокращенного умножения. Например, если перед вами двучлен, то проверьте возможность применения формулы разности квадратов или формулы разности (суммы) кубов. Если перед вами трехчлен, то проверьте, можно ли свернуть его в квадрат суммы или квадрат разности двучлена.

3. Если не удалось применить формулы сокращенного умножения, то попробуйте способ группировки.

4. После разложения многочлена на множители, полезно проверить себя с помощью умножения.

В заключение напомним, что не все многочлены можно разложить на множители. Вот примеры таких многочленов: х2+у2, х2+1, 4х2+2х+1 и т.д.

А теперь рассмотрим примеры разложения многочленов на множители с применением нескольких приемов.

Пример 1

Разложите на множители:

64х3у5-96х5у4+36х7у3.

Решение

1 шаг. Сначала попробуем вынести общий множитель за скобки. Рассмотрим числовые коэффициенты: 64, 96, 36. Все они делятся на 4. Это их наибольший общий делитель. Все члены многочлена содержат переменную х. В первом члене многочлена – х3, во втором – х5, в третьем – х7. Значит, за скобки можно вынести х с наименьшим показателем степени – это х3. Также во все члены многочлена входит переменная у (у5, у4, у3).

Тут можно вынести у3. Таким образом, за скобки вынесем 4х3у3 и получим:

64х3у5-96х5у4+36х7у3=4х3у3(16у2-24х2у+9х4).

2 шаг. Теперь рассмотрим многочлен 16у2-24х2у+9х4.

16у2-24х2у+9х4=4у2-2·4у·3х2+3х22.

Очевидно, что этот многочлен можно представить в виде квадрата разности двух выражений.

16у2-24х2у+9х4=(4у)2-2·4у·3х2+3х22=4у-3х22.

Таким образом, мы последовательно использовали два приема – вынесение общего множителя за скобки и применение формул сокращенного умножения. Приведем полное решение:

64х3у5-96х5у4+36х7у3=4х3у316у2-24х2у+9х4=

=4х3у34у2-2·4у·3х2+3х22=4х3у34у-3х22.

Пример 2

Разложите на множители: 4х2-у2+4х+2у.

Решение

1 шаг. Посмотрим внимательно на числовые коэффициенты и на переменные, входящие в состав многочлена. Очевидно, что здесь нет общего множителя, который можно вынести за скобки. Попробуем применить способ группировки.

4х2-у2+4х+2у=4х2-у2+4х+2у.

Может показаться, что группировка не сработала, так как мы не получили общий множитель. Но если присмотреться, то можно заметить в первых скобках разность квадратов двух выражений.

2 шаг. Применим формулу разности квадратов для выражений в первых скобках, а из вторых скобок вынесем общий множитель 2:

4х2-у2+4х+2у=2х-у2х+у+22х+у.

3 шаг. Теперь мы видим общий множитель, который можно вынести. Это выражение 2х+у. Получим:

(2х-у)(2х+у)+2(2х+у)=(2х+у)(2х-у+2).

Получается, мы использовали комбинацию приемов – группировка, применение формул сокращенного умножения и вынесение общего множителя за скобки.

Полное решение:

4х2-у2+4х+2у=4х2-у2+4х+2у=2х-у2х+у+22х+у=

=(2х+у)(2х-у+2).

Пример 3

Разложите на множители: 4х2-4z2+4ху+у2.

Решение

1 шаг. Очевидно, что все члены этого многочлена не имеют общего множителя. Попробуем провести попарную группировку:

4х2-4z2+4ху+у2=4х2-4z2+4ху+у2=4х2- z2+у(4х+у).

Получили неудачную группировку.

Другие варианты попарных группировок можете попробовать самостоятельно. Все они окажутся неудачными.

Но все-таки в этом примере «спряталась» группировка. Объединим три слагаемых, которые содержат переменные х и у:

4х2-4z2+4ху+у2=4х2+4ху+у2-4z2.

2 шаг. Очевидно, что многочлен в скобках является квадратом суммы двух выражений:

4х2+4ху+у2=2х2+2·2х·у+у2=2х+у2.

3 шаг. Посмотрите, что мы получили:

2х+у2-4z2.

Здесь «спряталась» разность квадратов. Преобразуем ее:

2х+у2-4z2=2х+у-2z2х+у+2z.

Подведем итог. Мы использовали способ группировки, а затем дважды применили формулы сокращенного умножения.

Окончательно решение выглядит так:

4х2-4z2+4ху+у2=4х2+4ху+у2-4z2=2х+у2-4z2=

=2х+у-2z2х+у+2z.

Пример 4

Разложите на множители: ах+ау+х2+2ху+у2.

Решение

1 шаг. Так как невозможно вынести общий множитель, применим способ группировки. Сгруппируем два первых и три последних слагаемых:

ах+ау+х2+2ху+у2= (ах+ау)+х2+2ху+у2.

2 шаг. Из первых скобок вынесем общий множитель а:

ах+ау=ах+у.

Многочлен во вторых скобках можно представить в виде квадрата суммы:

х2+2ху+у2=х+у2.

3 шаг. Вынесем общий множитель х+у за скобки:

ах+у+х+у2=(х+у)(а+х+у).

Использовали способ группировки, применение формул сокращенного умножения и вынесение общего множителя за скобки. Полное решение:

ах+ау+х2+2ху+у2=ах+ау+х2+2ху+у2=ах+у+х+у2 =

=(х+у)(а+х+у).

Пример 5

Разложите на множители: а4+а2b+ab3+2ab2+b3.

Решение

1 шаг. Сгруппируем первый и третий члены многочлена, а также второй, четвертый и пятый:

а4+а2b+ab3+2ab2+b3=а4+ab3+а2b+2ab2+b3.

2 шаг. Вынесем за скобки общие множители:

а4+ab3+а2b+2ab2+b3=аа3+ b3+bа2+2ab+b2.

3 шаг. В первых скобках разложим сумму кубов по формуле, а многочлен из вторых скобок представим в виде квадрата двучлена:

аа3+b3+bа2+2ab+b2=аа+ bа2-аb+b2+bа+b2.

4 шаг. Вынесем общий множитель (а+b) за скобки:

аа+bа2-аb+b2+bа+b2=а+bаа2-аb+b2+bа+b=

=а+bа3-а2b+аb2+ bа+b2.

Полное решение:

а4+а2b+ab3+2ab2+b3=а4+ab3+а2b+2ab2+b3=

=аа3+ b3+bа2+2ab+b2=аа+bа2-аb+b2+bа+b2=

=а+bаа2-аb+b2+ bа+b=а+bа3-а2b+аb2+аb+b2.

Упражнение 1

1. Разложите на множители:

а) 5х2-5;

б) 3х2-12;

в) 3х2+3у2-6ху;

г) 2х2+2+4х.

2. Разложите на множители:

а) (х+у)2-а2;

б) 3х-у2-4у2;

в) 2х+у2-2у-х2;

г) 6х-у+х-у2.

3. Разложите на множители:

а) х2-2ху+у2-16;

б) 4-х2-2ху-у2;

в) ху4-у4+ху3-у3;

г) 60+6ху-30у-12х.

Контрольные вопросы

1. Что значит разложить многочлен на множители?

2. Какие приемы используют для разложения многочлена на множители?

3. Какую лучше последовательность приемов соблюдать при разложении на множители?

4. Приведите пример многочлена, который нельзя разложить на множители.

5. Приведите пример многочлена, который можно разложить на множители с помощью вынесения общего множителя за скобки, а затем применением формулы разности квадратов.

Ответы

Упражнение 1

1. а) 5(х-1)(х+1);

б) 3(х-2)(х+2);

в) 3(х-у)2;

г) 2(х+1)2.

2. а) (х+у-а)(х+у+а);

б) 3(х-у)(3х+у);

в) (3х-у)(х+3у);

г) (х-у)(6+х-у).

3. а) (х-у-4)(х-у+4);

б) (2-х-у)(2+х+у);

в) х-1у4+у3=у3х-1у+1;

г) 6(2-у)(5-х)=6(у-2)(х-5). {2}\ –\ 15x = 0\)

\(5x(x\ –\ 3) = 0\)

2. Если произведение равно нулю, то один из множителей должен быть равен нулю, тогда:

\(5x = 0\)

\(x = 0\)

или

\(x\ –\ 3 = 0\)

\(x = 3\)

Ответ: 0; 3.

методов факторинга с решенными примерами — Cuemath

Поэкспериментируйте со следующим моделированием, чтобы увидеть факторы нескольких выражений.

Методы факторизации

Мы обсудим некоторые систематические методы факторизации алгебраических выражений.

Метод общих множителей

Рассмотрим простой пример: \(3x+9\)

Факторизуя каждый член, мы получаем, \((3\times x)+(3\times 3)\)

По дистрибутивному закону \(3x+9=(3\умножить на х)+(3\умножить на 3)=3(х+3)\).

Метод перегруппировки

Перегруппировка позволяет перегруппировать члены выражения, что приводит к факторизации.

Рассмотрим выражение: \(2ab+2b+7a+7\)

Обратите внимание, что нет единого делителя, общего для всех терминов.

Запишем \(2ab+2b\) и \(7a+7\) в факторной форме отдельно.

\[\begin{align}2ab+2b&=2b(a+1)\\7a+7&=7(a+1)\end{align}\] 92+(a+b)x+ab&=0\end{align}\]

Попробуем найти \(a\) и \(b\) такие, что \((a+b)\) отображается в 5 и \(ab\) сопоставляется с 6.

Факторы \(6\) равны \(1\), \(2\), \(3\) и \(6\) . Найдите пары \(a\) и \(b\) из \(1\), \(2\), \(3\) и \(6\) такие, что \(a+b=5\) и \(ab=6\)

Это правильная пара: \(2\) и \(3\), потому что \(2+3 = 5\) и \(2 \times 3=6\)

Таким образом, квадратное уравнение можно разложить на множители как \((x+2)(x+3)=0\).

Калькулятор факторинга

Вот калькулятор для факторинга различных выражений.

Важные примечания

Процесс нахождения факторов называется факторингом.
Факторинг помогает найти решение любого алгебраического выражения.
Факторинг позволяет выразить выражение в более простой форме.

Он говорит: «Длина фермы в два раза больше ширины».

Можно ли использовать эту информацию для записи факторизованной формы числа 528?

Решение

Пусть ширина фермы будет \(х\) футов.

Итак, длина фермы будет \(2x+1\) футов.

Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину.

Согласно вопросу,

\[\begin{align}\text{Площадь фермы}&=\text{Ширина} \times \text{Длина}\\528&=x\times (2x+1)\ конец{выравнивание}\]

Итак, факторизованная форма числа 528 равна \(x(2x+1)\)

Пример 2

Дженни попросила Джолли разложить на множители \(6xy-4y+6-9x\)

Джолли хочет разложить его на множители методом перегруппировки.

Вы можете им помочь?

Решение

Заметим, что у нас нет общего делителя среди всех слагаемых в выражении \(6xy-4y+6-9x\)

Разберемся с \(6xy-4y\) и \(6-9x\) отдельно.

\[\begin{align}6xy-4y&=2y(3x-2)\\6-9x&=-3(3x-2)\end{align}\]

Итак, данное выражение можно записать в виде

\[\begin{align}6xy-4y+6-9x&=2y(3x-2)-3(3x-2)\\&=(2y-3)(3x-2)\end{align}\ ]

Итак, множители \(6xy-4y+6-9x\) равны \((2y-3)\) и \((3x-2)\)

Пример 3

Миа занимается фитнесом и бегает каждое утро.

Парк, в котором она бегает, имеет прямоугольную форму и имеет размеры 12 на 8 футов.

Группа защитников окружающей среды планирует обновить парк и решает построить дорожку вокруг парка.

Это увеличит общую площадь до 140 кв. футов.

Какова будет ширина дорожки?

Решение

Обозначим ширину пути как \(x\). 92+11x-x-11&=0\\x(x+11)-(x+11)&=0\\(x+11)(x-1)&=0\\x&=1,-11\ end{align}\]

Так как длина не может быть отрицательной, мы берем \(x=1\)

Итак, ширина пути будет 1 фут.

Иногда сложно работать с жесткими выражениями. Но не волнуйтесь!

Вот несколько советов и рекомендаций, которым вы можете следовать при факторинге.

Советы и подсказки

Проверьте наличие общих членов в выражении и возьмите наибольший общий множитель.
Проверить, применимы ли в выражении какие-либо алгебраические тождества.
Продолжайте разлагать выражение на множители, пока не получите простейшую форму, то есть форму, которая далее не делится.

Интерактивные вопросы

Вот несколько заданий для практики.

Выберите/введите свой ответ и нажмите кнопку «Проверить ответ», чтобы увидеть результат.

Подведем итоги

Мини-урок был посвящен увлекательной концепции методов факторинга. Математическое путешествие по методам факторинга начинается с того, что студент уже знает, и продолжается творческим созданием новой концепции в юных умах. Сделано таким образом, что это не только понятно и легко для понимания, но и останется с ними навсегда. В этом заключается магия Cuemath.

О Куэмате

В Cuemath наша команда экспертов по математике стремится сделать обучение интересным для наших любимых читателей, студентов!

Благодаря интерактивному и увлекательному подходу «обучение-преподавание-обучение» учителя изучают тему со всех сторон.

Будь то рабочие листы, онлайн-классы, сеансы сомнений или любая другая форма отношений, мы в Cuemath верим в логическое мышление и разумный подход к обучению.

Часто задаваемые вопросы (FAQ)

1. Как разложить на множители трехчлены со старшим коэффициентом?

Следующие шаги показывают, как разложить на множители трехчлены со старшим коэффициентом.

Запишите трехчлен в стандартной форме.
Вычесть наибольший общий делитель, если он существует.
Найдите произведение старшего коэффициента и постоянного члена.
Определите множители произведения, найденного на шаге 3, и проверьте, какая пара множителей даст коэффициент при \(x\).
Выбрав подходящую пару множителей, сохраните знак в каждом числе таким образом, чтобы при работе с ними мы получали результат в виде коэффициента при \(x\), а при нахождении их произведения число равнялось числу, найденному на шаге 3.
Теперь у вас есть 4 члена в выражении, поэтому мы используем метод перегруппировки для разложения на множители.

2. Как разложить на множители совершенные квадратные трехчлены?

Используйте приведенные ниже алгебраические тождества, чтобы разложить на множители совершенные квадратные трехчлены. 92-2аб\)

Факторизируйте каждое из следующих алгебраических выражений a 7 a 10 16…

Перейти к

Упражнение по факторизации 7.1
Упражнение по факторизации 7.2
Упражнение по факторизации 7.3
Упражнение по факторизации 7.4
Упражнение по факторизации 7.5
Упражнение по факторизации 7. 6
Упражнение по факторизации 7.7
Упражнение по факторизации 7.8
Упражнение по факторизации 7.9

Рациональное число
Полномочия
Квадраты и квадратные корни
Куб и кубические корни
Игра с числами
Алгебраические выражения и тождества
Факторизация
Отдел алгебраических выражений
Линейное уравнение с одной переменной
Прямые и обратные варианты
Время и работа
Процент
Скидка на убыток и налог на добавленную стоимость
Сложные проценты
Понимание многоугольников фигур
Понимание фигур Четырехугольники
Понимание фигур Специальные типы четырехугольников
Практическая геометрия
Визуализация фигур
Площадь трапеции и многоугольника
Объем Площадь Прямоугольный Куб
Площадь поверхности и объем правого кругового цилиндра
Классификация и табулирование данных
Классификация и табулирование данных Графическое представление данных в виде гистограмм
Графическое представление данных в виде круговых диаграмм или круговых диаграмм
Вероятность обработки данных
Введение в графики

Главная > РД Шарма Решения Класс 8 Математика > Глава 7 — Факторизация > Упражнение по факторизации 7. 7 > Вопрос 13

Вопрос 13 Упражнение по факторизации 7.7

Факторизации каждого из следующих алгебраических выражений:

(A + 7) (A — 10) + 16

Ответ:

Мы имеем

(A A + 7) (а – 10) + 16

а ² – 10a + 7a – 70 + 16

a ² – 3a – 54

Учитывая, что p+q = -3 и pq = -54

Таким образом, мы можем заменить -3a на 6a – 9a

-54 на 6 × -9

а ² – 3а – 54 = а ² + 6а – 9а – 54

= а (а + 6) -9 (а + 6)

= (а – 9) (а + 6)

Стенограмма видео

привет ученики я Рита ваш учитель математики и сегодня вопрос состоит в том, чтобы разложить каждое из следующих алгебраических выражений и выражение плюс 7 на минус 10 плюс 16 прежде всего мы применим распределительное свойство и умножаем их прежде всего умножаем а на минус 10 и плюс 7 умножаем на минус 10 и тогда получается плюс 16. теперь умножаем а на а квадрат минус 10 а плюс 7 а минус 7 на 10 17 плюс 16 теперь квадрат 10 а мой минус плюс минус получается минус 3а 10 минус 7 3 и минус плюс минус 70 минус 16 мы получили минус 10 минус 6 равно 4 и 6 минус 1 равно 5 так что мы получили квадратное уравнение квадрат минус 3а минус 54. теперь мы факторизуем это, мы разделяем средний член, и мы можем написать первый и последний члены, как они есть, затем между ними мы берем знак минус, потому что 54 является минусом, теперь мы должны найти два числа, когда мы их перемножаем, тогда мы получили 54 и когда мы вычтем их, мы получим три, так что у нас есть t o найдите два числа, чтобы эти два числа были шесть э-э девять и шесть шесть девяток равно 54 девять шесть вверх 54 и девять минус шесть равно три теперь мы получили два числа, то есть девять минус шесть а теперь мы решаем это уравнение квадрат минус 9а и минус минус становится плюс 6 минус 54 теперь из первых двух слагаемых выносим общее теперь в скобках получаем минус девять а из последних двух слагаемых выносим шесть общих и в скобках получаем минус девятку теперь в скобках все то же самое, поэтому мы убираем минус девять, а в скобках у нас теперь плюс шесть, так что это наш ответ, я надеюсь, вам понравится это видео, поэтому, пожалуйста, подпишитесь на leto для получения дополнительных обновлений и комментируйте свои вопросы, спасибо

Связанные вопросы

**Разложите на множители каждое из следующих алгебраических выражений:****x²** **+ 12x – 45**

**Разложите на множители каждое из следующих алгебраических выражений:** **40 + 3x – x²**

**Разложите на множители каждое из следующих алгебраических выражений:** **a² + 3a – 88**

**Разложите на множители каждое из следующих алгебраических выражений:** **a² – 14a – 51**

**Разложите на множители каждое из следующих алгебраических выражений:** **x² + 14x + 45**

**Разложите на множители каждое из следующих алгебраических выражений:** **x² – 22x + 120**

Фейсбук WhatsApp

Копировать ссылку

Было ли это полезно?

Упражнения

Упражнения по факторизации 7.

Применение различных способов для разложения на множители

методов факторинга с решенными примерами — Cuemath

1. Как разложить на множители трехчлены со старшим коэффициентом?

2. Как разложить на множители совершенные квадратные трехчлены?

Факторизируйте каждое из следующих алгебраических выражений a 7 a 10 16…

Добавить комментарий Отменить ответ