Разложить на простые множители 45: Разложите число 45 на простые множители

У вас есть друзья, которым тоже нужна помощь в подготовке к экзаменам? Поделись этой статьей!

Кортни Монтгомери

Об авторе

Кортни набрала 99-й процентиль по SAT в старшей школе и закончила Стэнфордский университет со степенью в области культурной и социальной антропологии. Она увлечена тем, чтобы предоставить образование и инструменты для достижения успеха учащимся из всех слоев общества и слоев общества, поскольку она считает, что открытое образование является одним из величайших социальных уравнителей. Имеет многолетний опыт репетиторства, в свободное время пишет творческие работы.

Факторы 45 | Определение, примеры, деление и умножение числа 45

Представьте, что у вас есть прямоугольный параллелепипед, сделанный из одинаковых кубиков Lego, который вы хотите разделить на равные кубоиды. Сколько способов вы можете сделать это? Можно ли математически описать такую ​​процедуру, чтобы не угадывать решение? В каких случаях будет один результат? Если вам интересно, эта статья даст вам ответы на ваши вопросы.

Множитель числа — это число, на которое данное число делится без остатка. Например, если вы разделите 45 на 3, вы получите 15, поэтому число 3 является делителем 45 (3 делит 45 поровну). Более того, число 15 также является делителем 45, потому что 45 разделить на 15 равно 3 (15 делит 45 без остатка).

ПОМНИТЕ: 45 разделить на коэффициент 45 даст еще один коэффициент 45.

Коэффициенты могут быть положительными или отрицательными. В большинстве случаев мы говорим о положительных факторах, потому что проблемы, связанные с отрицательными факторами, возникают гораздо реже и по ним можно сделать такие же выводы, как и по положительным факторам. Попробуйте подумать, в каком случае может возникнуть потребность в негативных факторах?

Делителями числа являются любые числа, которые делятся на него точно, включая 1 и само число. Число 1 всегда является наименьшим целым делителем числа, само число всегда является наибольшим целым делителем числа. Таким образом, каждое число всегда имеет не менее двух делителей.

Если число имеет только два делителя, 1 и само число, такое число называется простым числом. Число 1 не является простым числом. Наименьшим простым числом является число 2 (делится без остатка и на 1, и на 2). Число, имеющее более двух делителей, называется составным числом.

ПРИМЕР : Определите, являются ли следующие числа простыми или составными.

а) 21;

б) 47;

в) 153.

РЕШЕНИЕ: а) Из таблицы умножения мы знаем, что 21=3×7. Помимо двух тривиальных делителей 1 и самого числа число 21 имеет еще два делителя 3 и 7. Итак, число 21 имеет более 2 делителей и является составным числом.

б) Когда мы пытаемся найти множитель числа, мы делим это число на все последовательные целые числа, которые не превышают половины этого числа. Разделив число 47 на все натуральные числа от 2 до 23, мы увидим, что каждый раз есть ненулевой остаток. Следовательно, число 47 имеет только два делителя, 1 и само число, поэтому это число является простым числом.

c) Применяя правило делимости на 9, мы видим, что сумма цифр 1+5+3=9 числа 153 делится на 9 без остатка, поэтому число 153 имеет множитель 9. Таким образом, число 153 является составным числом, поскольку оно имеет более двух делителей.

Множители любого числа n можно вычислить многими способами:

• метод деления;
• метод умножения;
• Метод простой факторизации.

МЕТОД ДЕЛЕНИЯ: метод деления заключается в делении заданного числа n на все натуральные числа от 1 до n. Все числа, которые дают нулевой остаток от деления на это число, являются делителями данного числа n.

МЕТОД УМНОЖЕНИЯ: метод умножения заключается в записи числа n как произведения двух чисел различными возможными способами.

МЕТОД ПРОСТОЙ ФАКТОРИЗАЦИИ: метод простой факторизации представляет составное число n как произведение его простых множителей.

Число 45 оканчивается на 5, поэтому по правилам делимости это число делится на 5 без остатка. Следовательно, число 45 имеет более двух делителей и является составным числом.

Выполните шаги, чтобы вычислить множители 45:

ШАГ 1: Запишите число, которое нужно разложить, например, 45.

ШАГ 2: Найдите числа, на которые можно без остатка разделить 45:

45÷1=45

45÷2=22 р.1

45÷3=15

45÷4=11 р.1

45÷5=9

45÷6=7 р.3

45÷7=6 р.3

45÷8=5 р.5

45 ÷9=5

45÷10=4 р.5

45÷11=4 р.1

45÷12=3 р.9

45÷13=3 р.6

45÷14= 3 р.3

45÷15=3

45÷16=2 р.13

45÷17=2 р.11

45÷18=2 р.9

45÷19=2 р. 7

45÷20=2 р.5

45÷21=2 р. 3

45÷22=2 р.1

45÷23=1 р.22

45÷45=1

ШАГ 3: Есть 6 чисел, которые не оставляют остатка: 1, 3, 5, 9, 15 и 45. Эти числа являются делителями числа 45. Представьте число 45 как произведение двух целых чисел всеми возможными способами:

45= 1 × 45

45 = 3 × 15

45 = 5 × 9

Все числа, которые используются в этих произведениях, множители числа 45. Итак, положительные множители числа 45 — это 1, 3, 5, 9, 15 и 45.

Основная факторизация — это метод представления заданного числа как произведения простых чисел. Например,

45=5×9

не является простой факторизацией числа 45, поскольку число 9 не является простым числом.

Произведение 

45=3×3×5

 — это простая факторизация числа 45, поскольку числа 3 и 5 являются простыми числами.

Если число встречается более одного раза при разложении на простые множители, оно обычно выражается в экспоненциальной форме, чтобы сделать его более компактным. В нашем случае

45=32×5

Есть два возможных способа выразить число как произведение простых множителей:

• метод деления;
• метод факторного дерева.

ФАКТОРИЗАЦИЯ НА ПРОСТЫЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА ДЕЛЕНИЯ 

Метод деления можно использовать для нахождения простых множителей числа путем деления числа на простые числа. Чтобы найти простые множители числа с помощью метода деления, выполните следующие шаги:

   ШАГ 1: Разделите число на наименьшее возможное простое число.

   ШАГ 2. Разделите частное из шага 1 на наименьшее возможное простое число.

   ШАГ 3: Повторяйте шаг 2, пока частное не станет равным 1.

   ПОСЛЕДНИЙ ШАГ: Умножьте все простые множители, являющиеся делителями.

ПРИМЕР: Напишите разложение числа 45 на простые множители, используя метод деления.

РЕШЕНИЕ:  

ШАГ 1. Определите наименьший возможный простой множитель числа 45 и разделите 45 на этот множитель:

45÷3=15

ШАГ 2: Найдите наименьший возможный простой множитель частного 15 и разделите 15 на этот множитель:

15÷3=5

ШАГ 3: Определите наименьший возможный простой множитель частного 5 и разделите 5 на этот множитель:

5÷5=1

ПОСЛЕДНИЙ ШАГ: Умножьте все простые множители:

45=3×3×5

Сверните результат в экспоненту:

45=32 ×5

ЗАМЕЧАНИЕ 1: Очень часто мы пишем столбец «простая факторизация» только для того, чтобы не описывать так долго процесс, а только записать частные и множители.

Prime factorization of 45=3 x 3 x 5

                                          =3 ² × 5 

ЗАМЕЧАНИЕ 2: Еще один быстрый способ найти полную разложение любого заданного числа на простые множители — использовать то, что по сути является «перевернутым» делением и делением только на наименьшее простое число, которое может соответствовать каждому результату. . Продемонстрируем это на примере числа 45. 

ШАГ 1: Разделите число 45 на наименьший возможный простой делитель. В данном случае это 3.

ШАГ 2: Частное равно 15. Теперь разделите 15 на наименьший возможный простой делитель. В данном случае это снова 3.

ШАГ 3: На этот раз частное равно 5. Теперь разделите 5 на наименьший возможный простой множитель. В данном случае это 5.

ШАГ 4: Наконец, частное равно 1, так что мы закончили деление. Простая факторизация будет состоять из перемножения всех чисел «снаружи» (числа, обведенные кружком).

Итак, простая факторизация числа 45 равна 3×3×5.

ФАКТОРИЗАЦИЯ ПРЕМЬЕРА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МЕТОДА ДЕРЕВА ФАКТОРОВ 

Дерево множителей — это специальная диаграмма, на которой мы рисуем множители числа, затем множители этих множителей и так далее, пока не получим только простые множители.

ПРИМЕР : Нарисуйте произвольное дерево множителей для числа 45.

РЕШЕНИЕ : Из таблицы умножения мы знаем, что 45=5×9. Следовательно,

Одно из этих чисел мы можем представить как произведение простых чисел:

9=3×3

Таким образом, конечное дерево множителей равно

, а простая факторизация числа 45 равна 3×3×5 или 32×5.

ПОМНИТЕ : При определении простой факторизации методом факторного дерева каждый может начать с разных пар множителей. Например, вместо 5 и 9 можно взять 3 и 15. 

Окончательная факторизация всегда должна быть одинаковой, так как простая факторизация уникальна . Это обеспечивается Фундаментальной теоремой арифметики, которая утверждает, что

каждое натуральное число больше 1 можно записать в виде произведения простых чисел, и с точностью до перестановки множителей это произведение единственно.

Чтобы найти простые множители числа с помощью метода дерева множителей, выполните следующие шаги:

   ШАГ 1: Нарисуйте дерево множителей, начиная с произвольных множителей, произведение которых равно заданному числу, и заканчивая только простыми множителями.

   ШАГ 2. Перемножьте все простые множители, встречающиеся в этом дереве множителей.

Метод нахождения множителей числа с помощью разложения числа на простые множители заключается в умножении произвольных комбинаций простых множителей.

ПРИМЕР : Разложение числа 45 на простые множители равно 3 ² × 5. Запишите все положительные множители числа 18, используя метод простой факторизации.

РЕШЕНИЕ : Чтобы записать все множители и не потерять ни одного, воспользуйтесь следующим руководством по написанию комбинаций:

• сначала запишите все возможные степени первого простого множителя (начиная с показателя степени 0 и заканчивая максимально возможный показатель, определенный при простой факторизации числа):

3 ⁰ =1, 3 ¹ =3, 3 ² =9

• затем запишите все возможные степени второго простого множителя (начиная с показателя степени 0 и заканчивая максимально возможным показателем степени

5 ⁰ =1, 5 ¹ =5

• и затем все возможные произведения степеней обоих множителей

3 0 ^{3 905} =15, 3 ² x 5 ¹ =45

Таким образом, список всех 6 положительных множителей числа 45, записанный в порядке возрастания, выглядит следующим образом:

1, 3, 5, 9, 15, 45

Обратите внимание, что только 3 и 5 являются простыми множителями. числа 45.

Следующий алгоритм помогает определить количество положительных делителей числа 45:

ШАГ 1: Запишите простую факторизацию числа в виде экспоненты.

ШАГ 2: Добавьте по единице к каждому показателю степени.

ШАГ 3: Перемножьте все полученные числа. Это произведение обозначает количество множителей числа.

ПРИМЕР : Найдите количество множителей числа 45.

РЕШЕНИЕ : Из предыдущей темы разложение числа 45 на простые множители в виде экспоненты равно 3 ² x 5.

Прибавьте 1 к каждому показатель степени:

2+1=3

1+1=2

и умножить полученные суммы:

3 x 2=6

Таким образом, число множителей 45 равно 6,

Пара множителей числа — это пара двух множителей, произведение которых дает это число. Например, множители 7 и 6 образуют пару множителей 42, потому что

42=7×6

ПРИМЕР: Перечислите все положительные пары множителей числа 45.

РЕШЕНИЕ: Начните с 1. Так как 45=1× 45, поставить 1 в начало списка и 45 в конец списка. Множители 1 и 45 образуют первую пару множителей числа 45.

Теперь попробуйте 3. Поскольку 45=315, поместите 3 в начало списка (после 1) и 15 в конец списка (перед 45). Факторы 3 и 15 формируют вторую пару факторов 45.

45

, Trak 5. список (после 3) и 9 в конце списка (до 15). Множители 5 и 9 образуют третью пару множителей числа 45.

Больше нет целых множителей 45 между 5 и 9!

Мы можем графически представить пары положительных факторов, как показано ниже.

В предыдущей теме показано, что существует 3 пары положительных множителей числа 45. Если мы возьмем одну такую ​​пару положительных множителей, заменим их соответствующими отрицательными числами и перемножим эти отрицательные числа, мы получим отрицательная пара факторов тоже. Например, пара (3, 15) является положительной парой множителей, поэтому пара (-3, -15) является отрицательной парой множителей.

Таким образом, пары отрицательных факторов:

-1 и -45

-3 и -15

-5 и -9

, а список пар отрицательных факторов:

Здесь два числа, окрашенные в один цвет, образуют одну отрицательную пару множителей.

Кроме того, мы можем графически представить отрицательные пары факторов так же, как графическое представление положительных пар факторов.

1. Друзья сорвали с дерева 45 апельсинов и распределили их между собой поровну. Если число друзей однозначное число больше 6, то сколько апельсинов получил каждый друг?

РЕШЕНИЕ : Пары положительных множителей 45: (1, 45), (3, 15) и (5, 9).

Существует только один однозначный множитель больше 1 – это число 9.

Итак, количество друзей, собирающих апельсины, равно 9и каждый из них получает

45÷9=5 апельсинов

ОТВЕТ: 5 апельсинов

2. Сколько множителей 18 также являются множителями 45?

РЕШЕНИЕ : Число 18 имеет 6 положительных факторов:

1, 2, 3, 6, 9, 18

Список общих факторов:

1, 3, 9

Но мы учитываем только положительные факторы. Числа -1, -3 и -9 являются общими множителями два. Итак, есть 6 общих факторов.

ОТВЕТ: 6 факторов (3 положительных и 3 отрицательных)

3. Какое из следующих утверждений верно?

a) Каждый множитель 15 является множителем 45.

b) Каждый множитель 45 является множителем 15.

c) Каждый множитель 5a является множителем 45a, где a — натуральное число.

РЕШЕНИЕ : а) Число 15 имеет делители 1, 3, 5, 15. Число 45 имеет делители 1, 3, 5, 9, 15, 45. Как видите, все делители числа 15 являются делителями 45, поэтому утверждение а) верно.

б) Число 45 имеет делители 1, 3, 5, 9, 15, 45. Число 15 имеет делители 1, 3, 5, 15. Как видите, не все делители числа 45 являются делителями 15, поэтому утверждение б) является ложным.

c) Предположим, что число n является делителем 5a. Это означает, что существует такое число x, что

n×x=5a

Теперь представим число 45 следующим образом:

45a=9×5a

Подставим n×x вместо 5a:

45a=9× (n×x)

45a=9x×n

Следовательно, число n делит число 45a нацело и является его множителем по определению множителя.

ОТВЕТ : а) Верно

б) Ложно

в) Верно

4. Произведение трех целых чисел равно 45. Какой может быть сумма этих чисел? Какая сумма наибольшая? Какая сумма наименьшая?

РЕШЕНИЕ: Из этой статьи мы знаем, что число 45 имеет следующие делители:

1, 3, 5, 9, 15, 45

Заполните следующую таблицу:

Наибольшая сумма 45, наименьшая сумма 11.   

ОТВЕТ: Возможные суммы: 11, 15, 19, 47. Наибольшая сумма 45, наименьшая сумма 11.

5. ВОПРОС ЗАДАЧА : Число А является коэффициентом 45, а число В кратно 5. Когда А=В?

РЕШЕНИЕ: Коэффициенты 45:

1, 3, 5, 9, 15, 45 …

(нас не интересуют кратные больше 45, потому что число А не может быть больше 45).

Перечислите все общие числа в обоих наборах:

5, 15, 45

Следовательно, есть три возможности, когда A=B:

A=B=5

A=B=15

A=B= 45

ОТВЕТ: Три варианта: A=B=5, A=B=15, A=B=45

1. Число 45 составное (у него 12 делителей).
2. Число 45 имеет 6 положительных факторов: 1, 3, 5, 9, 15, 45 и 6 отрицательных факторов: -1, -3, -5, -9, -15, -45.
3. 6 положительных факторов из 45 образуют 3 пары факторов, а также 6 отрицательных факторов.
4. Количество множителей можно найти, используя показатель степени простой факторизации.

   No related posts.