Разложить по степеням с помощью схемы горнера: Разложить многочлен f(x) по степеням x- x0… — Математика

Деление многочлена на двучлен по схеме Горнера

Деление многочлена на двучлен по схеме Горнера

Рассмотрим частный случай деления многочленов – деление многочлена на двучлен вида x — b₀. Алгоритм деления для этого случая называется схемой Горнера или методом сокращенного деления многочлена на двучлен.

Пусть требуется поделить многочлен

a(x)= a_n*xⁿ + a_n-1*x^n-1 + a_n-2*x^n-2 + … + a₁*x + a₀

на двучлен b(x)= x — b₀, то есть требуется представить многочлен a(x) в виде

a(x)=b(x)*c(x) + r(x), где степень частного c(x) равна n-1, а степень остатка r(x) равна 0. Пусть

c(x)= c_n-1*x^n-1 + c_n-2*x^n-2 +  … + c₁*x + c₀,

r(x)=r₀.

То есть a(x) = (x — b₀)*(c_n-1*x^n-1 + c_n-2*x^n-2 +  . .. + c₁*x + c₀) + r₀

.

Перемножим x — b₀ и c(x), сложим с r₀ и приравняем коэффициенты многочленов при одинаковых степенях x в левой и правой частях равенства. Получим рекуррентные формулы для определения значений c_i и остатка r₀.

c_n-1=a₀,

c_n-2=a₁ + c_n-1*b₀,

…

c₁=a_n-2 + c₂*b₀,

c₀=a_n-1 + c₁*b₀,

r₀=a_n + c₀*b₀. Для удобства вычислений по этим формулам создается таблица, заполняемая слева направо.

В первой строке записываются коэффициенты делимого в порядке убывания степеней x и число b₀.

Во второй строке — соответствующие значения выражений с_i*b₀ (первое число 0, так как c_n=0).

Числа в первой строке складываются с числами во второй и записываются в третью строку.

В результате в третьей строке мы получаем коэффициенты частного, а последнее число – это остаток.

Заполняют эту таблицу в таком порядке:

Сначала заполняют первую строку. Под первым числом первой строки пишем 0.

Складываем числа в первом столбце, и результат будет первым числом третьей строки.

Затем первое число третьей строки c_n-1 умножаем на последнее число первой строки b₀, результат записываем на второе место второй строки.

Складываем числа второго столбца и получаем второе число третьей строки c_n-2.

Это число опять умножаем на последнее число первой строки b₀, результат записываем на третье место во второй строке.

Складываем числа третьего столбца, и получаем третье число третьей строки и т.д.

Хотя объяснение выглядит довольно громоздким, но выполнять деление с помощью схемы Горнера очень просто и удобно. Рассмотрим применение схемы Горнера на примерах.

Калькуляторы для решение примеров и задач по математике

Лучшие математические приложения для школьников и их родителей, студентов и учителей. Подробнее …

Пример 1. Разделить многочлен x⁴ — 3x³ — 3x² + 7x + 6 на двучлен x-3 используя схему Горнера.

Решение.

Делимое a(x)=x⁴ — 3x³ — 3x² + 7x + 6, b₀=3. В соответствии со схемой Горнера заполняем таблицу

Таким образом, остаток r (это последнее число в третьей строке) равен нулю. Значит, многочлен x⁴ — 3x³ — 3x² + 7x + 6 разделился на x — 3 нацело. Частное с(x)=1*x³ + 0*x² — 3x — 2.

Ответ: x⁴ — 3x³ — 3x² + 7x + 6=(x³ — 3x — 2)*(x — 3).

Пример 2. Разделить многочлен 2x⁵ + 5x⁴ — 4x³ + 612 на двучлен x + 4 используя схему Горнера.

Решение.

Делимое a(x)= 2x⁵ + 5x⁴ — 4x³ + 612, b₀=-4. В соответствии со схемой Горнера заполняем таблицу

Остаток r = 100 — это последнее число в третьей строке. Частное с(x)=2*x⁴ — 3*x³ — 8*x² — 32*x + 128.

Ответ: 2x⁵ + 5x⁴ — 4x³ + 612 = (2x⁴ — 3x³ — 8x² — 32x + 128)*(x + 4) + 100.

Деление многочлена a(x) на двучлен вида b₁ x — b₀ легко сводится к случаю деления на x — b₀.

Пусть a(x) = (b₁x — b₀)* c(x) + r₀, можно преобразовать это выражение

Анализ последнего выражения показывает, что остаток от деления a(x) на b₁x — b₀ тот же самый, что и остаток от деления a(x) на x — b₀/b₁, а коэффициенты частного c(x) получаются из коэффициентов частного от деления на x — b₀/b₁ делением их на b₁.

Пример 3. Разделить многочлен x³ — 6x² + 5x + 2 на двучлен 2x + 1 используя схему Горнера.

Решение.

Так как 2x + 1=2(x + 1/2), с помощью схемы Горнера будем делить исходный многочлен на x + 1/2, затем полученные коэффициенты частного разделим на 2.

Остаток r₀ = -17/8. Коэффициенты частного получим, разделив коэффициенты в третьей строке таблицы на 2. Таким образом, частное от деления исходного многочлена на 2x + 1

Ответ:

Пример 4. Разделить многочлен x⁵ — x³ + 2x — 1 на двучлен 3 — 2x.

Решение.

Так как 3 — 2x = — 2(x — 3/2), с помощью схемы Горнера будем делить исходный многочлен на x — 3/2, затем полученные коэффициенты частного разделим на -2.

Остаток r₀ = 199/32. Коэффициенты частного получим, разделив коэффициенты в третьей строке таблицы на -2. Таким образом, частное от деления исходного многочлена на 3 — 2x

Ответ:

Использование схемы Горнера для разложения многочлена по степеням двучлена

Рассмотрим еще одно применение схемы Горнера – разложение многочлена по степеням двучлена. Для любого многочлена

где и для любого числа b₀ можно написать разложение a(x) по степеням x — b₀:

Как видно из этой формулы, чтобы вычислить p₀, необходимо разделить многочлен a(x) на x — b₀ и найти остаток r = p₀ . В частном мы получим многочлен

Теперь, чтобы вычислить p₁, необходимо разделить многочлен d₁ (x) на x — b₀ и найти остаток r=p₁. В частном получим многочлен

Далее продолжаем деление до тех пор, пока в частном не получится число. Полученный на последнем шаге остаток будет равен p_n-1, а частное d

n=p_n.

На каждом шаге деление на x — b₀ будем проводить с помощью схемы Горнера. При этом очень удобно результаты вычислений записывать в одну общую таблицу. Рассмотрим соответствующие примеры.

Пример 5. Разложить многочлен 2x⁴ + x³ — 5x + 3 по степеням двучлена x + 1.

Решение.

Все вычисления проведем, последовательно заполняя таблицу в соответствии с алгоритмом.

Таким образом, получаем, что остаток от деления исходного многочлена на x+1 равен 9, коэффициенты частного 2,-7,9,-10.

Ответ: 2x⁴ + x³ — 5x + 3 = 2(x + 1)⁴ — 7(x + 1)³ + 9(x + 1)² — 10(x + 1) + 9.

Вычисление значения многочлена в заданной точке с помощью схемы Горнера

Еще одна задача, которую можно решать с помощью схемы Горнера – вычисление значения многочлена в заданной точке. Пусть многочлен a(x) делится на двучлен x — b

0 с остатком r₀. То есть

Если в это равенство подставить значение x=b₀, получим a(b₀)=r₀. Таким образом, мы доказали теорему Безу.

Теорема Безу. Если x₀ — произвольное число, то при делении многочлена a(x) на двучлен x-x₀ получается остаток, равный значению многочлена при x=x₀, то есть r₀= a(x₀).

Таким образом, с помощью схемы Горнера можно находить значение многочлена при заданном значении x=x₀ как остаток от деления этого многочлена на двучлен x-x₀. Иногда это сделать гораздо проще, чем подставлять x₀ в исходный многочлен.

У теоремы Безу есть очень важное следствие.

Следствие. Число x₀ является корнем многочлена a(x) тогда и только тогда, когда многочлен a(x) делится нацело на двучлен x-x

0.

Это следствие позволяет проверять, является ли число x₀ корнем многочлена, вычисляя остаток от деления многочлена на двучлен x-x₀.

Пример 6. Вычислить значение многочлена 2x⁶ + 6x⁵ + x⁴ — 4x³ + 3x² — x — 1 при x=-3.

Решение.

Вычислить значение многочлена при x=-3 равносильно найти остаток при делении этого многочлена на x+3. Для этого воспользуемся схемой Горнера

Остаток r (это последнее число в третьей строке) равен 218.

(Частное с(x)=2x⁵ + x³ — 7x² + 24x — 73;
2x⁶ + 6x⁵ + x⁴ — 4x³ + 3x² — x — 1=(2x⁵ + x³ — 7x² + 24x — 73)*(x+3)+218).

Ответ: 218.

Разложение полинома по степеням : Чулан (М)

Сообщения без ответов | Активные темы | Избранное

Правила форума

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

guranvir	Разложение полинома по степеням 18.04.2011, 19:52
27/01/10 20	Что такое разложение многочлена на степени. В задании было сказано разложить полином по степеням x-1. Это просто надо делить многочлен на x-1,пока не получим в частном 1 или остатка? Или что? Гугл и справочники просто говорят о разложении на множители

Joker_vD	Re: Разложение полинома по степеням 18. 04.2011, 20:09
Заслуженный участник 09/09/10 3729	Это примерно вот так: . Лично мне известен только один способ произвести такое разложение — воспользоваться формулой Тейлора для многочлена:

мат-ламер	Re: Разложение полинома по степеням 18. 04.2011, 20:16
Заслуженный участник 30/01/09 5262	Можно сделать замену .

svv	Re: Разложение полинома по степеням 18. 04.2011, 20:19
Заслуженный участник 23/07/08 9576 Crna Gora	Или можно, обозначив , вместо подставить :

nnosipov	Re: Разложение полинома по степеням 18. 04.2011, 20:45
Заслуженный участник 20/12/10 8862	svv в сообщении #436425 писал(а): Или можно, обозначив , вместо подставить : Нет, ну это перебор. Вы думаете, объяснить, что такое бином Ньютона, будет проще, чем научить переразлагать многочлен по сдвинутой переменной? Здесь самое простое и естественное средство — это схема Горнера, она на ура идёт, просекают все почти с первого раза.

VAL	Re: Разложение полинома по степеням 18. 04.2011, 20:55
Заслуженный участник 27/06/08 4040 Волгоград	Joker_vD в сообщении #436419 писал(а): Это примерно вот так: . Лично мне известен только один способ произвести такое разложение — воспользоваться формулой Тейлора для многочлена: Стандартный прием — с помощью схемы Горнера.

Mitrius_Math	Re: Разложение полинома по степеням 18. 04.2011, 21:01
22/05/09 ∞ 685	VAL в сообщении #436433 писал(а): Стандартный прием — с помощью схемы Горнера. Проще несколько раз поделить в столбик. Guranvir, посмотрите в Сети книги «Алгебра многочленов» Винберга и «Задачник-практикум по алгебре» Солодовникова и Родиной. Там есть решённые задачи такого типа.

Joker_vD	Re: Разложение полинома по степеням 18. 04.2011, 21:12
Заслуженный участник 09/09/10 3729	Вот что значит урезанный курс алгебры Позорнейшим образом забыл про теорему Безу и вытекающую из нее схему Горнера. guranvir Действительно, воспользуйтесь схемой Горнера и проделите на до победного конца — это самый быстрый способ.

VAL	Re: Разложение полинома по степеням 18. 04.2011, 21:38
Заслуженный участник 27/06/08 4040 Волгоград	Mitrius_Math в сообщении #436434 писал(а): VAL в сообщении #436433 писал(а): Стандартный прием — с помощью схемы Горнера. Проще несколько раз поделить в столбик. А что есть схема Горнера, как не экономный метод деления «в столбик» (несколько раз) на двучлен ?

Mitrius_Math	Re: Разложение полинома по степеням 18. 04.2011, 21:40
22/05/09 ∞ 685	VAL в сообщении #436452 писал(а): А что есть схема Горнера, как не экономный метод деления «в столбик» (несколько раз) на двучлен ? Лично мне проще делить в столбик.

Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию

Страница 1 из 1

[ Сообщений: 10 ]

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения

Найти:

2+а_1(х+1)+а_0$. Повторно примените метод для $x=-1$. Последнее число в каждой строке даст вам следующий коэффициент, начиная с наименьшей степени. \begin{массив}{|с|с|с|с|с|с|} \hline & 1 & 2 & -3 & -4 & 1 \\\hline -1 и 1& 1& -4 & 0 & 1 \стрелка вправо a_0\\ \hline -1 и 1 и 0& -4 и 4 \стрелка вправо a_1\\ \hline -1 & 1 & -1& -3 \rightarrow a_2\\ \hline \конец{массив} и так далее.

$\endgroup$

1 92+\цвет{синий}{4}(x+1)+\цвет{синий}{1}$$

$\endgroup$

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie

.