Разложить sin3x: sin3x как разложить

Пример разложения функции в ряд Фурье

Примеры разложения функции в ряд Фурье

Пример 1

Спектр сигнала, показанного ниже в виде периодической смены знака перед единицей (+/- 1)

Пример постепенного приближения исходной функции суммой гармонических членов разложения

Пример 2

Вид графика функции У(Х)

Разложение на гармонические составляющие имеет вид:

У(Х) = 4/π [sinx — 1/9 sin(3x) + 1/25 sin(5x) – 1/49 sin(7x) + …]

Спектральное представление примера 2. Из графика спектра и формулы видно, что более высокочастотные составляющие стали меньше по амплитуде по сравнению с примером 1.

Пример 3.Это не синусоида, это функция вида

У(Х) = Х(π – Х) на отрезке 0≤ Х ≤ π

График внешне очень близок к синусоиде, но некоторые отличия ведут к появлению в спектральном разложении дополнительных составляющих.

У(Х) = 8/π [sinx + 1/27 sin(3x) + 1/125 sin(5x) + 1/343 sin(7x) + …]

Амплитуда дополнительных составляющих стала еще меньше по сравнению с примерами 1 и 2, поэтому в спектральном разложении заметно выделяется первая гармоника

Спектральное представление примера 3

Вывод: из примеров 1-3 видно, что чем больше исходный сигнал похож на синусоиду, тем меньше влияние гармоник более высоких частот.

Пример 4 Спектр модулированного сигнала (эта ситуация наиболее часто встречается при диагностике состояния роторных механизмов)

На графике показана синусоида с частотой

ɷ, модулированная другой синусоидой с частотой Ω. При этом ɷ>> Ω.

В аналитическом виде сигнал имеет вид:

S(t) = A(1 – R sin Ωt) sinɷt =

= A sin ɷt + AR/2 cos(ɷ — Ω)t – AR/2 cos(ɷ +Ω)t

Спектр такого разложения кроме основной гармоники на частоте ɷ будет иметь две боковые составляющие на частотах (ɷ — Ω) и (ɷ + Ω)

Спектральное представление примера 4

Замечание: Если модулирующая функция будет не в виде гармонического сигнала, а в виде более сложной зависимости, в спектральном разложении появятся дополнительные боковые составляющие на частотах (ɷ — кΩ) и (ɷ + кΩ), где к=1, 2, … n

. В практике эксплуатации механизмов установлено, что по мере износа и деградации механизмов количество боковых составляющих растет

Функциональные последовательности и ряды. Поточечная и равномерная сходимость, страница 9

Математика \ Математический анализ

Решение.Чтобы воспользоваться известными нам основными разложениями, перейдём  от  ряда  Тейлора   к  ряду  Маклорена.  Для этого рассмотрим новую переменную t = x–7.   Тогда   .  С помощью несложных преобразований и одного из основных разложений, найдём разложение функции  в ряд Маклорена:

.

Теперь возвратимся к старой переменной  х:

.

Так как формула для суммы геометрической прогрессии, которой мы воспользовались, справедлива, если знаменатель , то полученное разложение справедливо при

.

4.   Написать  3  первых  ненулевых  члена  разложения  в  ряд  Маклорена  функции

y = ln(e^x+x).

Решение. Будем последовательно вычислять y(0), y¢(0), y²(0), …. Нам нужно найти 3 первых ненулевых члена этой последовательности.

y(0) = ln(e⁰+0) = ln 1 = 0;

;

;

.

Подставляя в общую формулу ряда Маклорена, получим:

.

5.  Вычислить приближённо   arctg 0,25   с точностью до   0,001.

Решение. Используем полученное в примере 11 разложение арктангенса в ряд Маклорена:

.

Подставим :       .   Полученный ряд удовлетворяет условиям теоремы Лейбница. Поэтому найдём слагаемое, которое меньше 0,001 и отбросим его и следующие за ним:

 .

14.6  Упражнения для самостоятельной работы

1. Найти область сходимости следующих рядов:

а)    ;                             б)   ;

в)   ;                                   г)   .

2. Найти радиус и интервал сходимости, исследовать сходимость в граничных точках для следующих степенных рядов:

а)   ;                                    б)   ;

в)  ;                               г)     ;

д)  ;                        е)     ;

ж)  ;                       з)   .

3.  Найти круг сходимости (без исследования на границе) для степенных рядов в поле комплексных чисел: а)  ;                                           б) ;

в)   ;                     г)   .

4. Построив  мажорирующие ряды, доказать равномерную сходимость на указанных промежутках следующих степенных рядов:

а) ;           б)   ;

в)                           г)     .

5.  Разложить функции в ряд Тейлора в окрестности точки х₀. Указать интервалы, на которых справедливы полученные разложения.

а)   ;                        б)   f(x) = ln x ,        x₀ = 4 ;

в)   f(x) = sin 3x ,      x₀ = p ;                       г)    .

6.  Разложить функции в ряд Маклорена. Указать интервалы,  которых справедливы полученные разложения.

а)   f(x) = (1+x)ln(1+x) ;                      б)   f(x)

= (e^x+3)² ;

в)    ;                      г)     ;

д)   f(x) = sh x ;                                        е)   f(x) = ln(15–2x–x²) ;

ж)  f(x) = arcsin x ;                                з)   .

7. Написать 3 первых ненулевых члена разложения в ряд Маклорена следующих функций:

а)    ;                               б)   f(x) = e^x cos x ;

в)    ;                       г)    f(x) = tg x.

8.  Вычислить приближённо (с погрешностью, не превышающей e) значения функций:

а)  sin 3°,   e= 0,0001;                            б)   ln 1,3 ,     e= 0,001 ;

в)    ;                              г)  

cos 1,e= 0,001 ;

д)    ;                               д)   .

9.  Вычислить приближённо (с погрешностью, не превышающей 0,001)  следующие интегралы:  а)        ;                            б)        ;

в)       ;                              г)     ;

14.7   Образец теста

(для дистанционной формы обучения).

1.  Найти область сходимости ряда  . В ответе указать целое число, не лежащее в области сходимости.

2.  Найти радиус сходимости ряда    .

3.  Ряд    на промежутке  [2, 3]   1) сходится равномерно;   2) сходится поточечно, но не равномерно;   3) сходится не во всех точках.   Указать номер правильного ответа.

4.  Найти коэффициент при  x⁴ в разложении функции  в ряд Маклорена.

5.  Сколько членов в разложении косинуса в ряд Маклорена нужно взять, чтобы вычислить

cos 10° с ошибкой, не превышающей  0,0001 ?

6.  Вычислить  приближённо с точностью до  0,1 .

Скачать файл

Reddit — Погрузитесь во что угодно

Прежде чем дать ответ, пожалуйста, выслушайте меня.

Представьте, что две волны коррелированы (где волна является компонентом другой). Если наложить эти две волны в системе координат (https://imgur.com/a/mlce1sG): их знаки в среднем совпадут. Зеленая волна является составной частью красной волны в ссылке.

Например, если красная волна положительна (область под ней по сравнению с осью X), зеленая волна также в среднем положительна. То же самое касается отрицательных областей/значений.

Итак, скажем, у нас есть f(x) в руке (это сложная функция), и мы хотим проверить, является ли sin(3x) компонентом f(x) . Теперь нам нужно определить, имеют ли f(x) и sin(3x) одни и те же знаки (относительно значений y) в среднем по оси x.

1. Отличный способ сделать это — умножить эти две волны. Поскольку (-).(-) = (+) и (+).(+) = (+) .

2. Таким образом, нам не нужно отдельно проверять, являются ли две волны одновременно отрицательными и положительными. Умножая эти две волны, мы получаем компактный способ определить, имеют ли они один и тот же знак. + означает, что их знак одинаков, - означает, что их знак не совпадает.

3. Затем возьмите интеграл этого произведения, который мы вычислили выше интеграла от f(x)sin(x) .

4. Если результат этого интеграла положителен, это означает, что эти две волны коррелированы (одна из них является составляющей другой)

Итак, я думаю, что я получил 100% интуицию за эту формулу: F(w) = интеграл f(x). sin(wx)

И я могу объяснить это любому, даже если они не иметь полное представление о линейной алгебре или теореме Эйлера. Я могу ответить на каждый вопрос почему на уровне ELI5.

Теперь, перефразируя мой вопрос выше:

• Если БПФ разлагает сложную волну на ее синус компонентов, почему приведенной выше формулы недостаточно?

• Или формулы, которую я дал выше, достаточно, и мы используем cosx - isinx вместо только sinx , просто чтобы сделать вещи более удобными для математики и вычислений? (используя корни из единицы, обнаруживая повторяющиеся вычисления и превращая FT в FFT)

Я также опубликовал это пару дней назад: https://www.reddit.com/r/AskPhysics/comments/ 10kv35a/what_is_the_intuition_behind_cosx_isinx/

(и все ответы были великолепны! Я честно поражен усилиями, потраченными на ответы, какое замечательное сообщество!)

Итак, я знаю, что синус недостаточно для описания ЛЮБОЙ функции. синус и косинус ортонормированы друг к другу, их комбинации достаточно для описания ЛЮБОЙ функции. Это мне ясно.

Также мне понятно, почему мы ввели мнимое число i . Но давайте пока не будем углубляться в это. Короче, вы можете считать, что я понимаю, что это удобно для осмотра двух баз ( 9

Отредактировано для опечаток и форматирования

Исчисление 2 Справка

Студенты, нуждающиеся в помощи по исчислению 2, получат большую пользу от нашей интерактивной программы. Мы разбираем все ключевые элементы, чтобы вы могли получить адекватную помощь по исчислению 2. Имея под рукой обязательные концепции обучения и актуальные практические вопросы, вы быстро получите много помощи по Calculus 2. Получите помощь сегодня с нашей обширной коллекцией необходимой информации по исчислению 2.

Исчисление 2 продолжается математическим исследованием изменений, впервые представленным учащимся во время Исчисления 1.

Курс охватывает интеграцию, применение интегрирования и ряды, а также рассматривает и расширяет понятия, введенные в Исчислении 1, такие как пределы и производные. Это преимущественно курс математики на уровне колледжа, и большинство студентов, которые проходят этот курс, делают это либо на первом, либо на втором курсе. Поскольку «Исчисление 2» является продолжением «Исчисления 1», рекомендуется, чтобы учащиеся проходили два курса последовательно. Хотя Calculus 2 обычно не является обязательным курсом в колледже, он настоятельно рекомендуется студентам, изучающим математику или любую другую область, требующую продвинутых математических понятий, таких как инженерное дело, физика или экономика. Нужен ли вам репетитор по математике в Атланте, репетитор по математике в Хьюстоне или в Сан-Франциско, работа один на один с экспертом может быть именно тем, что вам нужно для учебы.

Бесплатный инструмент обучения Learn by Concept от The Varsity Tutors предлагает учебные материалы для студентов, которым нужна помощь в изучении Calculus 2 или которые просто хотят повторить предмет.

Инструмент обучения построен как интерактивная учебная программа с рядом разделов и тем, подробно описывающих исчисление 2. Нажав на любую тему, вы перейдете к серии примеров вопросов с несколькими вариантами ответов. Затем вы можете просмотреть образец вопроса и возможные ответы, решить проблему и выбрать ответ, который вы считаете правильным. Правильный ответ указан под вариантами ответов, что позволяет вам проверить правильность своего ответа. Varsity Tutors предлагает ресурсы, такие как бесплатные практические тесты по исчислению II, которые помогут вам в самостоятельном обучении, или вы можете подумать о репетиторах по исчислению II.

Было бы полезно просто задавать вопросы и ответы, но инструмент «Узнай по концепции» делает больше. Подробное пошаговое описание того, как прийти к правильному ответу, прилагается к каждому примерному вопросу, что помогает упростить задачу. Эти описания показывают каждое уравнение, концепцию и теорию, которые применимы к проблеме, будь то получение производной функции или просто переписывание уравнения. Если вы дали неправильный ответ, вы можете выяснить, где вы ошиблись, и что вам нужно сделать, чтобы в будущем задать правильный вопрос. Если вы дали правильный ответ с первой попытки, вы можете проверить свою работу, чтобы убедиться, что понимаете, почему ваш ответ был правильным.

Если вы только начали изучать Calculus 2 или готовитесь к выпускному экзамену, вы можете использовать инструмент «Учиться по концепции» в качестве учебного пособия. Инструмент охватывает широкие единицы деривативов; интегралы; лимиты; параметрический, полярный и векторный; и серии в исчислении. Это также входит в особенности в каждой категории. Вы можете пройти весь блок сразу или сосредоточиться на одной теме или подтеме. Благодаря тысячам примеров вопросов по Calculus 2 в базе данных средств обучения охвачены все возможные темы. В дополнение к справочному разделу по исчислению II и репетиторству по исчислению II вы также можете рассмотреть некоторые из наших карточек с исчислением II.

Инструмент «Обучение по концепции» лучше всего использовать вместе с другими инструментами обучения.