Разложить в степенной ряд функцию: 5.6. Разложение функций в степенные ряды Тейлора

Ряды (Математический анализ)

Ряды (Математический анализ)

Виленкин Н.Я., Куницкая Е.С., Мордкович А.Г. Ряды. Математический анализ. Учебное пособие для студентов-заочников III курса физико-математических факультетов педагогических институтов. — М.: Просвещение, 1982. — 160 с. Оглавление ПРЕДИСЛОВИЕ ВВЕДЕНИЕ ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ, ФОРМУЛА И РЯД ТЕЙЛОРА § 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ. СХОДИМОСТЬ И РАСХОДИМОСТЬ ЧИСЛОВОГО РЯДА 2. Сумма ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды. § 2. СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ 1. Необходимый признак сходимости ряда. Остаток ряда. § 3. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И ИХ ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ § 4. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА § 5. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В РЯД ТЕЙЛОРА 1. а, где |x| 7. Разложение других элементарных функций. ЗАКЛЮЧЕНИЕ ГЛАВА II. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ § 6. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ ЧИСЛОВЫХ РЯДОВ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ 2. Признаки сходимости Даламбера и Коши. 3. Интегральный признак сходимости Коши. 4. Примеры исследования рядов на сходимость. § 7. СВОЙСТВА РЯДОВ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ 1. Перестановка членов ряда с неотрицательными членами. 2. Группировка членов и умножение рядов с неотрицательными членами. § 8. ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ 2. Абсолютно сходящиеся ряды. 3. Свойства абсолютно сходящихся рядов. 4. Свойства условно сходящихся рядов. § 9. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ ГЛАВА III. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ § 10. ОБЛАСТЬ СХОДИМОСТИ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ § 11. РАВНОМЕРНАЯ СХОДИМОСТЬ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ 2. Чебышевское расстояние между функциями. 3. Равномерно сходящиеся функциональные последовательности. 4. Равномерно сходящиеся ряды. Признак Вейерштрасса. 5. Сохранение свойства непрерывности в случае равномерной сходимости. § 12. ПОЧЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РЯДОВ 1. Почленное интегрирование функциональных рядов. 2. Почленное дифференцирование функциональных рядов. § 13. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ 1. Функции комплексного переменного. 2. Дифференцирование функций комплексного переменного. 3. Функциональные последовательности и ряды в комплексной области. ГЛАВА IV. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ § 14. КРУГ СХОДИМОСТИ СТЕПЕННОГО РЯДА 2. Область сходимости степенного ряда. Круг и радиус сходимости. 3. Равномерная сходимость и непрерывность суммы степенного ряда. § 15. ПОЧЛЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ И ПОЧЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ 1. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов в действительной области. 2. Почленное дифференцирование рядов в комплексной области. 3. Единственность разложения функции в степенной ряд. § 16. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ 1. Показательная функция в комплексной области. 2. Тригонометрические функции в комплексной области. Формулы Эйлера. § 17. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ РЯДОВ 1. Вычисление значений функций и интегралов. 2. Вычисление пределов. 3. Метод последовательных приближений. ГЛАВА V. РЯДЫ ФУРЬЕ § 18. ОРТОНОРМИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ 2. Скалярное произведение функций. 3. Ортонормированные системы функций. § 19. КОЭФФИЦИЕНТЫ ФУРЬЕ. РЯД ФУРЬЕ 2. Коэффициенты Фурье для тригонометрических систем функций. § 20. ЛЕММА РИМАНА 1. Кусочно гладкие функции. 2. Лемма Римана. § 21. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ СХОДИМОСТИ РЯДОВ ФУРЬЕ 1. Формула для частичных сумм ряда Фурье. 2. Сходимость разложения кусочно гладких функций в ряды Фурье. 3. Разложение функций, заданных на конечных промежутках, в ряд Фурье. 4. Разложение четных и нечетных функций в ряды Фурье. 5. Примеры разложения функций в ряды Фурье. Ответы к упражнениям

Разложение функции в степенной ряд.

Единственность разложения – В помощь студентам БНТУ – курсовые, рефераты, лабораторные !

Лекция 6. Разложение функции в степенной ряд. Единственность разложения. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций. Применение степенных рядов.

 

В предыдущих лекциях рассматривались степенные ряды, для которых в пределах области равномерной сходимости сумма ряда s(x) представляет собой непрерывную и бесконечно дифференцируемую функцию от х. Теперь поставим обратную задачу: найти степенной ряд, суммой которого является данная функция.

Определение 6.1. Представление функции в виде

                            

                                     (6.1)

называется ее разложением в степенной ряд.

 

Теорема 6.1. Если функция  f(x) раскладывается в окрестности точки х0 в степенной ряд (6.1) с радиусом сходимости R, то:

1. функция f имеет на интервале (x0 – R , x0 + R) производные всех порядков, которые можно найти почленным дифференцированием ряда (6. 1):                                                                    (6.2) 
2.                                     (6.3)
3. ряды (6.1), (6.2) и (6.3) имеют одинаковые радиусы сходимости.

Доказательство всех трех утверждений следует из общих свойств степенных рядов (теоремы 5.2 и 5.3).

 

Теорема 6.2. Если функция  f раскладывается в некоторой окрестности точки х0 в сте-пенной ряд (6.1), то 

, и, следовательно, справедлива формула

                                      

                                            (6.4)  

Доказательство.

Дифференцируя т раз равенство (6.1), получим:

 

Примем х = х0 , тогда  f(m)(x0) = m!am , что доказывает формулу (6.4).

 

Следствие. Если в некоторой окрестности заданной точки функция раскладывается в степенной ряд, то это разложение единственно.

Действительно, из теоремы 6.2 следует, что коэффициенты степенного ряда могут иметь только вид, задаваемый формулой (6. 4).

   

Определение 6.2. Пусть функция  f(x) определена в некоторой окрестности точки х0 и имеет в этой точке производные всех порядков. Тогда ряд

               

                                                                        

называется рядом Тейлора.

 

Пример. Найдем разложение в ряд Тейлора при х0 = 0 функции f(x) = 2x.

. Следовательно,

                     

.

Определение 6.3. Если при разложении в ряд Тейлора принимается х0 = 0, то полученный ряд

                                                            (6.5)

называется рядом Маклорена (см. предыдущий пример).

 

Разложение в степенной ряд некоторых элементарных функций.

 

В лекции 21 (1-й семестр) рассматривалось представление функции в виде многочлена Тейлора с остаточным членом. Поскольку коэффициенты ряда Тейлора и многочлена Тейлора вычисляются по одной и той же формуле, мы можем воспользоваться прове-денными в лекции 21 вычислениями для получения разложения в ряд Тейлора некото-рых элементарных функций. При этом обратим особое внимание на определение обла-сти сходимости полученных рядов.

1.

. Сходимость полученного ряда исследовалась в примере 2 лекции 5, где показано, что он абсолютно сходится при любом х.

2.

.

3.

.

Используя формулу Даламбера для определения радиуса сходимости, найдем, что он равен бесконечности, то есть функции y = sin x и y = cos x раскладываются в ряд Тей-лора на всем множестве действительных чисел.

4.

. Запишем остаточный член этой формулы в форме Лагранжа:

, и исследуем его поведение при для | x| < 1,

| x | > 1 и | x | = 1. При | x| < 1

, при | x | > 1 . Поэтому по теоре-ме 1.5 при  | x| < 1 ряд сходится, а при | x | > 1 расходится. При х = -1 ряд расходится, так как представляет собой гармонический ряд, все члены которого имеют знак «-», а при х = 1 получаем знакопеременный ряд, сходящийся условно по признаку Лейбница. Следовательно, областью сходимости полученного ряда является интервал (-1, 1].

5.

. Найдем радиус его сходимости по формуле Даламбера: Следовательно, интервал сходимости – (-1, 1).

 

Формула Эйлера.

 

Используя разложения в ряд Тейлора функций ex, sin x и cos x , получим:

. Таким образом, доказана используемая в теории комплексных чисел формула Эйлера:

                    eiy = cos y + i sin y                                                               (6.6)

(см. лекцию 7, 2-й семестр).

 

Применение степенных рядов.

 

Возможность разложения функции в степенной ряд позволяет существенно упростить многие математические операции: вычисление приближенных значений данной функции, дифференцирование, интегрирование, поскольку степенной ряд можно заменить многочленом (с учетом того, что оценка остатка ряда не превысит заданного значения погрешности). В частности, можно приближенно вычислять «неберущиеся» интегралы, находить приближенные решения дифференциальных уравнений и т. д.

Рассмотрим вычисление интегралов с помощью рядов.

Примеры.

1. Для вычисления интеграла

разложим подынтегральную функцию в ряд Тейлора, используя разложение функции ех:

Тогда

=

С помощью этого равенства можно вычислить рассматриваемый интеграл при любом а с любой заданной точностью.

1. Вычислим интеграл , для чего разложим функцию в ряд:

– ряд, сходящийся при любом х. Интегрируя почленно, получим:

Приближенное решение дифференциального уравнения второго порядка  

, удовлетворяющее начальным условиям .

Если предположить, что решение имеет вид:

, то требуется найти значения производных от частного решения при х = х0 . Из начальных условий следует, что . Тогда из исходного уравнения получаем, что . Дифференцируя обе части исходного уравнения по х, найдем: откуда можно определить и т. д.

Пример. Найти решение уравнения

при

Решение:

и т.д.

Можно получить общую формулу для производных любого порядка:

. При х = 0 эта формула дает

                 

.

Так как

то в нуль обращаются все производные, порядок которых не кратен четырем. В конечном счете решение имеет вид:

 

Нахождение представления в степенном ряду для функции $f(x) = \frac{2}{3-x}$

Задавать вопрос

спросил 6 лет, 4 месяца назад

Изменено 6 лет, 4 месяца назад

Просмотрено 17 тысяч раз

$\begingroup$ 9н \end{aligned}$$

---

Но верно только $(2)$, а $(1)$ неверно, но я не понимаю, почему.

То, что я сделал в $(1)$, казалось совершенно правильным алгебраическим манипулированием, так почему же $(1)$ приводит к ошибочному ответу?

• последовательности и серии
• функции
• силовые серии

$\endgroup$

1

$\begingroup$

9n=\frac2{1-1/2}=\frac2{1/2}=\frac2{3-(2.5)}=f(2.5)$$

Здесь все в порядке.

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Оба метода вполне приемлемы и действительны, и есть еще много возможностей расширить функцию до степенного ряда.

Чтобы лучше понять, что происходит, мы должны сначала рассмотреть функцию $f$ поближе. Мы рассматриваем полная спецификация $f$ и выбор в качестве домена и кодового домена

\начать{выровнять*} &f:\mathbb{R}\setminus\{3\}\longrightarrow\mathbb{R}\\ &f(x)=\frac{2}{3-x} \конец{выравнивание*} Обратите внимание, что у нас есть сингулярность , простой полюс в точке $x=3$. n=\frac{a}{1-x}\qquad\qquad |x|<1 \end{выравнивание*} 9{n}=\frac{\frac{2}{3}}{1-\frac{x}{3}}\qquad\qquad \left|\frac{x}{3}\right|<1\tag {2} \конец{выравнивание*}

Внимание: Мы должны явно указать в (1) и (2) диапазон достоверности, поскольку степенной ряд не определен вне этого диапазона. С другой стороны, $f$ можно определить в гораздо большей области $\mathbb{R}\setminus\{3\}$.

Вот рисунок, иллюстрирующий оба метода. Мы видим график $f$ с асимптотой при $x=3$.

                  

• Метод 1: Точка $A=(2,2)$ является центром интервала длиной $2$, показывающего справедливость степенного разложения. Мы ясно видим, что интервал ограничен асимптотой.

• Метод 2: Точка $B=\left(0,\frac{2}{3}\right)$ является центром интервала длины $6$, показывающего справедливость степенного разложения.

Дополнительные расширения:

9n$ и вернуть оба метода как частные случаи.

No related posts.