Разложить в степенной ряд функцию онлайн: Разложение функции в ряд Тейлора

Реализация ряда Тейлора на Python / Хабр

Ряд Тейлора для функции представляет собой бесконечную сумму членов, которая использует информацию о производных этой функции для создания полинома, аппроксимирующего эту функцию. Более точные аппроксимации можно вывести, взяв производные более высокого порядка и используя полиномы более высокой степени. В интернете уже есть много статей (и видео на YouTube) о рядах Тейлора, которые помогут вам сформировать хорошее понимание процесса построения бесконечного ряда с упоминанием того, как члены более высоких порядков дают вам более близкие аппроксимации базовой функции (при условии, что ряд сходится). Тем не менее, таких, которые наглядно демонстрируют, почему это может быть так важно для нас, не очень много.

Когда я впервые столкнулся с рядами Тейлора в рамках своего бакалаврского курса, особого впечатления они на меня не произвели — я отнесся к ним как к вполне себе рядовой теме. Но недавно, готовясь к GRE Mathematics Subject Test, я наконец проникся и решил реализовать их на Python.

(n)(x) — для определения коэффициентов полинома. Следовательно, ряд Тейлора может быть определен для f(x), только если она бесконечно дифференцируема. Члены ряда определяются выражением

Где а является центром ряда Тейлора (прим. ред.: этот термин используется англоязычным сообществом, а русскоязычное в основном оперирует окрестностью точки а). Если центр ряда равен 0, т. е. a=0, то ряд называют рядом Маклорена.

Чтобы программно сформировать ряд Тейлора для функции, все, что от нас требуется, это вычислить коэффициенты

для достаточного количества членов. Опять же напомню, что чем больше членов ряда Тейлора мы будем использовать, тем точнее будет аппроксимация. К счастью, в пакете Python scipy уже есть встроенная функция для вычисления производной функции в заданной точке. Именно ее мы и будем использовать для определения коэффициентов искомого полинома.

from scipy.misc import derivative
import math
class TaylorSeries():
    def __init__(self, function, order, center=0):
        self. center = center
        self.f = function 
        self.order = order
        self.d_pts = order*2
        self.coefficients = []
        # количество точек (order) для scipy.misc.derivative
        if self.d_pts % 2 == 0: # must be odd and greater than derivative order
            self.d_pts += 1
        self.__find_coefficients()
    def __find_coefficients(self):
        for i in range(0, self.order+1):
            self.coefficients.append(round(derivative(self.f, self.center, n=i, order=self.d_pts)/math.factorial(i), 5))

Приведенная выше логика начинается с определения класса для хранения информации о ряде Тейлора. Конструктор принимает указатель на функцию (function) для которой мы формируем ряд Тейлора, порядок (order

) ряда Тейлора (то есть количество членов) и центр (center) ряда, который по умолчанию соответствует ряду Маклорена (т.е. равен нулю). Некоторые переменные, которые используются в функции scipy.misc.derivative, вычисляются на лету из уже предоставленных нами данных. {}».format(self.center, i) if i > 0 else «») + » + » eqn_string = eqn_string[:-3] if eqn_string.endswith(» + «) else eqn_string print(eqn_string) def print_coefficients(self): print(self.coefficients) def get_coefficients(self): «»» Возвращает коэффициенты ряда Тейлора «»» return self.coefficients

Первая функция, print_equation(…), выводит ряд Тейлора как уравнение с центром в центре ряда. print_coefficients(…) просто выведет список с коэффициентами, а get_coefficients(…) вернет его.

Приведенный ниже код используется для нахождения коэффициентов ряда Тейлора, представляющего функцию

f(x):

from TaylorSeries import TaylorSeries
def f(x):
    return 2 + x**3 + x**7 + x**2
if __name__ == '__main__':
    terms = 15
    center = 0
    precision = 3
    ts = TaylorSeries(f, terms, center)
    ts.print_coefficients()
    ts.print_equation()

Выполнение этой логики сформирует список размером в 15 элементов, который содержит коэффициенты ряда Тейлора, а также выведет полиномиальное уравнение. x и т. д., также дают правильные результаты в этой реализации. Далее, в приведенных ниже применениях, мы будем использовать именно эти функции.

Применения ряда Тейлора

Поскольку с полиномами обычно легче работать, чем с большинством функций, аппроксимация с помощью ряда Тейлора может помочь определить приблизительные значения для различных операций, связанных с этими функциями.

Бесполезное

Дифференцирование

Ряд Тейлора функции можно использовать для аппроксимации ее производной в конкретной точке. Члены ряда Тейлора можно дифференцировать по отдельности, тогда они примут форму

которая представляет собой просто производную степенной функции, умноженного на коэффициент ряда Тейлора. Обратите внимание, что в коде это отбросит члены, не представленные в ряде Тейлора, поскольку их коэффициенты будут равны 0.

В нашей Python-логике эти вычисления будут выполняются с помощью функции, приведенной ниже:

def approximate_derivative(self, x):
    """
        Приблизительно вычисляет производную функции f(x) по ее ряду Тейлора. (n-1)
    return value

В этой функции аппроксимация производной функции находится путем перебора коэффициентов, вычисления значений производной, как описано выше, и их суммирования. Подстановка значений в эту функцию обеспечивает точную аппроксимацию производной базовой функции. Ниже приведены результаты для cos(x):

x	f(x)	Approx. f'(x)
0	1.0	0.0
pi/6	0.866	-0.5
pi/4	0.707	-0.707
pi/3	0.5	-0.866
pi/2	0. 0	-1.0
pi	-1	-0.042

Выше приведены значения аппроксимированной функции cos(x) и ее производной (обратите внимание, что фактическая производная равна

-sin(x)) в точках 0, 𝝿/6, 𝝿/4, 𝝿/3, 𝝿/2 и 𝝿. Глядя на значения в нескольких этих точках, мы видим, что в целом получили хорошую аппроксимацию производной cos(x). Например, в точке 𝝿/4 значение функции равно 0,707 = sqrt(2)/2, как и его производная -0,707, что является правильным значением.

К сожалению, это практически бесполезно, так как ряду Тейлора требует информация о производной функции, чтобы определить свои коэффициенты. Зачем нам нужна аппроксимация f'(x), которой требуется сама f'(x) общего вида (а значит, фактическое значение) для получения этой аппроксимации. Кроме того, существует множество различных численных методов, которые могут аппроксимировать производные без аналитического нахождения производной функции (например, методы конечных разностей), которые больше подходят для этой задачи.

Полезные

Аппроксимация значений

Одной из широко используемых целей ряда Тейлора является аппроксимация значений базовой функции. Для того, чтобы получить приблизительное значение функции, в члены ряда Тейлора подставляется x, а затем они складываются вместе. В Python-логике это выглядит следующим образом:

def approximate_value(self, x):
    """
				Аппроксимирует значение f(x) с помощью полинома Тейлора.
        x = точка аппроксимации f(x)
    """
    fx = 0
    for i in range(len(self.coefficients)):
        fx += self.coefficients[i] * ((x - self.center)**i)  # coefficient * nth term 
    return fx

Определенный интеграл

Ряд Тейлора можно использовать для аппроксимации интеграла базовой функции, поскольку члены ряда Тейлора можно интегрировать по отдельности, как мы делали это при дифференцировании. При аппроксимации интеграла члены ряда примут вид

Здесь мы опять сталкиваемся со степенной функцией, но на этот раз интегрируем ее и умножаем на соответствующий коэффициент ряда Тейлора.

Однако численно мы можем рассчитать только определенный интеграл функции, так как в противном случае отсутствие значения для константы интегрирования может привести к неправильным результатам. Рассмотрим ряд Тейлора для f(x) = sin(x) с центром в 0:

интегрирование этого полинома член за членом дает следующий полином

Теперь предположим, что это корректная аппроксимация интеграла sin(x) (для которой мы знаем фактический интеграл -cos(x)) и попытаемся вычислить эту функцию в 0. Значение от этого равно 0. В этом случае это можно скорректировать, установив константу интегрирования C = -1. Но нам нужно определить эту константу для каждого значения в области определения функции только для того, чтобы “исправить” интегралы, что делает бесконечное интегрирование бесполезным.

С другой стороны, определенные интегралы можно легко вычислить, интегрируя ряд Тейлора почленно и подставляя пределы интегрирования, как показано в Python-коде ниже. x*sin(x). В целях сокращения длины этой статьи эти результаты будут опущены. Для тех, кто сомневается, полный код будет приведен ниже. Меняйте def f(x) и проверяйте результаты самостоятельно.

Лимиты

Вместо того, чтобы показывать, как численно аппроксимировать лимиты и реализовывать это в Python, я просто приведу пример лимита, который может быть трудно определить аналитически, но его легко найти в форме ряда Тейлора.

Рассмотрим такой лимит:

Этот лимит можно легко определить, применяя правило Лопиталя, так как он имеет форму 0/0, но давайте предположим на минуту, что мы этого не знаем (или что мы ничего не знаем о правиле Лопиталя). Как нам тогда определить этот предел? Оказывается, в этом нам может помочь ряд Тейлора, заменяющий sin(x) в пределе аппроксимацией. В этом примере будет использоваться ряд Тейлора с тремя членами:

Поскольку лимит x²/120 стремится к 0, результат равен -1/6, как и ожидалось, при оценке по правилу Лопиталя.

Заключение

Выше была представлена ​​идея ряда Тейлора, который представляет собой математический инструмент, используемый для аппроксимации любой непрерывно дифференцируемой функции полиномом, используя только информацию о производной этой функции. Была предоставлена ​​реализация на Python и обсуждены применения ряда Тейлора. Полный код с некоторыми примерами использования приведен ниже, и я советую всем, кто заинтересован в работе с этим инструментом, скопировать и потестировать этот код самим, чтобы лучше понять ряд Тейлора.

Листинг кода

usage.py

from TaylorSeries import TaylorSeries
import math
def f(x):
    return math.cos(x) #(math.e**x)*math.sin(x)*math.cos(x)
if __name__ == '__main__':
    pts = [0, math.pi/6, math.pi/4, math.pi/3, math.pi/2, math.pi]
    # pts = [-5, -4, -3, -2, -1, -0.1, 0, 0.1, 1, 2, 3, 4, 5]
    terms = 15
    center = 0
    precision = 3
    ts = TaylorSeries(f, terms, center)
    ts.print_coefficients()
    ts.print_equation()
    
    print("x\tf(x)\tApprox. f(x)\tIntegral f(x)\tDerivative f(x)")
    for x in pts:
        print("{:.3f}\t{:.3f}\t{:.3f}\t{:.3f}\t{:.3f}".format(x, f(x), ts.approximate_value(x), ts.approximate_integral(0, x), ts.approximate_derivative(x)))

TaylorSeries.

{}».format(self.center, i) if i > 0 else «») + » + » eqn_string = eqn_string[:-3] if eqn_string.endswith(» + «) else eqn_string print(eqn_string) def print_coefficients(self): print(self.coefficients) def approximate_value(self, x): «»» Аппроксимирует значение f(x) с помощью полинома Тейлора. x = точка аппроксимации f(x) «»» fx = 0 for i in range(len(self.coefficients)): fx += self.coefficients[i] * ((x — self.center)**i) # coefficient * nth term return fx def approximate_derivative(self, x): «»» Приблизительно вычисляет производную функции f(x) по ее ряду Тейлора. Бесполезно, так как нам нужна производная самой функции, чтобы построить ряд Тейлора. «»» value = 0 for i in range(1, len(self.coefficients)): # skip the first value (constant) as the derivative is 0 value += self.coefficients[i] * i * ((x — self.center)**(i-1)) # differentiate each term: x^n => n*x^(n-1) return value def approximate_integral(self, x0, x1): «»» Вычисляет определенный интеграл функции, используя разложение в ряд Тейлора. (n+1) return value def get_coefficients(self): «»» Возвращает коэффициенты ряда Тейлора «»» return self.coefficients

---

Один из способов сделать вывод из статистического исследования — проверка гипотез. Это помогает нам проверить значения параметров популяции, которые угадываются на основе предварительно собранной информации. Многие области анализа данных включают в себя некоторое количество статистических испытаний, и почти всегда там используется проверка гипотез. Завтра в 16:00 в OTUS состоится открытый урок, на котором мы познакомимся с базовыми понятиями статистики и теории вероятностей, поймём, чем задачи этих областей отличаются друг от друга, концептуально рассмотрим методы проверки гипотез, и как они применяется в науке о данных на простых практических примерах. Регистрация для всех желающих — по ссылке.

2.2. Интервал и радиус сходимости степенного ряда Примеры решения задач

Пример 1. Найти область сходимости степенного ряда:

а) ; б);

в) ; г);

д) .

а) Найдем радиус сходимости R. Так как ,, то

.

Итак, ряд сходится абсолютно для всех x, удовлетворяющих неравенству , то есть интервал сходимости ряда.

Исследуем на сходимость данный ряд на концах интервала сходимости.

При получаем числовой ряд . Этот ряд сходится, так как является обобщенным гармоническим рядомпри.

При получаем числовой ряд . Этот ряд абсолютно сходящийся, так как ряд, составленный из абсолютных величин его членов, сходящийся.

Итак, область сходимости данного ряда .

б) Найдем радиус сходимости R. Так как , то.

Итак, интервал сходимости ряда .

Исследуем на сходимость данный ряд на концах интервала сходимости.

При имеем числовой ряд . Этот ряд расходящийся, так как.

При имеем числовой ряд . Этот ряд расходящийся, так как не существует.

Итак, область сходимости данного ряда .

в) Найдем радиус сходимости R. Так как ,то.

Итак, интервал сходимости . Область сходимости данного ряда совпадает с интервалом сходимости, то есть ряд сходится при любом значении переменнойx.

г) Найдем радиус сходимости R. Так как ,то.

Так как , то ряд сходится только в точке. Значит, область сходимости данного ряда представляет собой одну точку.

д) Найдем радиус сходимости R.

Так как ,, то

.

Итак, ряд сходится абсолютно для всех x, удовлетворяющих неравенству , то есть.

Отсюда − интервал сходимости,− радиус сходимости.

Исследуем данный ряд на сходимость на концах интервала сходимости.

При получаем числовой ряд

,

который расходится (гармонический ряд).

При получаем числовой ряд, который сходится условно (ряд сходится по признаку Лейбница, а ряд, составленный их абсолютных величин его членов, расходится, так как является гармоническим).

Итак, область сходимости ряда .

2.3. Ряды Тейлора и Маклорена.

Разложение функций в степенной ряд.

Приложение степенных рядов к приближенным вычислениям

Примеры решения задач

Пример 1. Разложить в степенной ряд функции:

а) ; б);

в) ; г).

а) Заменив в формуле x на , получим искомое разложение:

, где

или

.

б) Заменяя в равенстве

, где x на , получим искомое разложение:

.

в) Данную функцию можно записать так: . Чтобы найти искомый ряд, достаточно в разложение

., где подставить . Тогда получим:

или

.

г) Данную функцию можно переписать так: .

Функцию можно разложить в степенной ряд, положив в биномиальном ряде , получим .

, где .

Чтобы получить искомое разложение, достаточно перемножить полученные ряды (ввиду абсолютной сходимости этих рядов).

Следовательно,

, где .

Пример 2. Найти приближенные значения данных функций:

а) с точностью до 0,0001;

б) с точностью до 0,00001.

а) Так как , то в разложение функции , где подставим :

или

Так как , то требуемая точность будет обеспечена, если ограничиться только первыми двумя членами полученного разложения.

Итак,

.

б) .

Используем биномиальный ряд

., где .

Полагая и , получим следующее разложение:

или

.

Если в последнем знакочередующемся ряде учитывать только первые два члена, а остальные отбросить, то погрешность при вычислении не превысит по абсолютной величине 0,000006. Тогда погрешность при вычислении не превысит числа . Следовательно,

.

Пример 3. Вычислить с точностью до 0,001:

а) ; б) .

а) .

Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд. Для этого подставим в биномиальный ряд и заменим x на :

.

Так как отрезок интегрирования принадлежит области сходимости полученного ряда , то будем интегрировать почленно в указанных пределах:

.

В полученном знакочередующемся ряде четвертый член по абсолютной величине меньше 0,001. Следовательно, требуемая точность будет обеспечена, если учитывать только первые три члена ряда.

.

Так как первый из отброшенных членов имеет знак минус, то полученное приближенное значение будет с избытком. Поэтому ответ с точностью до 0,001 равен 0,487.

б) Предварительно представим подынтегральную функцию в виде степенного ряда. Заменим в разложении функции

, где

x на , получим:

Тогда .

.

Полученный знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница. Четвертый член ряда по абсолютной величине меньше 0,001. Чтобы обеспечить требуемую точность, достаточно найти сумму первых трех членов.

Следовательно, .

chegg-find-a-степенной ряд-представление-для-функции — Googlesuche

AlleBilderVideosBücherMapsNewsShopping

suchoptionen

Решенный Найдите представление степенного ряда для функции. — Chegg

www.chegg.com › вопросы и ответы › find-po…

Вопрос: Найдите представление функции в степенном ряду. f(x) = 1/7 + x f(x) = бесконечность сигма n = 0. Определить интервал сходимости. (Введите ваш …

chegg discord — IndipenDance

indipendance.it › chegg-discord

Полностью автоматизированный бот Chegg Discord для «помощи с домашним заданием». пригласить более 1 человека = роль @ генерал будет получать 3 очка разблокировки в неделю. Высшая школа.

Подтверждение личности Чегга — Para Erboristeria Ruocco

paraerboristeria.it › chegg-human-verification

Пожалуйста, примите это письмо как подтверждение того, что Саманта работает в ABC Inc. Существует два способа получения дохода от Чегга. Разделение обязанностей.

Решение математических задач — Mathway

www.mathway.com › Исчисление

Бесплатное решение математических задач ответит на ваши домашние вопросы по математическому анализу с пошаговыми объяснениями.

[PDF] Загрузить бесплатно Chegg Essential Calculus 2nd Edition Solutions [PDF]

www.meet.uninter.edu.py › redir_esc

Это чрезвычайно простой способ получить лидерство в режиме онлайн. Это онлайн-выступление Chegg Essential Calculus 2nd Edition Solutions может.

4.5.2 Визуализация диаграммы «ящик и ус» — Statistique Canada

www150.statcan.gc.ca › edu › 5214889-eng

02.09.2021 · Статистика: сила из данных! это веб-ресурс, созданный в 2001 году в помощь учащимся средних школ и учителям математики и . .. -of-a-graph-g-chegg

Найти MST в графе с весами ребер из {1,2} Для данного связного неориентированного графа G = ( V, E) и весовой функции w: E → { 1, 2 }, предложите …

[RTF] CHEGG, INC (форма — cloudfront.net

d18rn0p25nwr6d.cloudfront.net › CIK-0001364954

В дополнение к другим нашим учебным инструментам, студенты могут найти помощь человека на нашем … мы сделали серию стратегические приобретения для расширения наших услуг Chegg, …

калькулятор jacobian — La Voce della Radio

lavocedellaradio.it › jacobian-calculator

Что такое матрица Якоби? функций является матрицей всех ее частичных 1-го порядка …

[PDF] Можете ли вы распечатать электронные учебники от Chegg — CareerLabs

lxp-v01.thecareerlabs.com › fulldisplay › FileName=Can You Print Et…

Book Design Made Simple. Открытая квантовая физика и преобразование тепла окружающей среды в полезную энергию. Шекспир. ЭЛЕКТРОННАЯ КНИГА: ПРОСТОЙ АНГЛИЙСКИЙ. Библиотеки свободы.

Damit du nur die relatedesten Ergebnisse erhältst, wurden einige Einträge ausgelassen, die den den 10 angezeigten Treffern sehr ähnlich sind. Du kannst bei Bedarf diesuche unter Einbeziehung der übersprungenen Ergebnisse wiederholen.

Ähnlichesuchanfragen

Калькулятор представления степенного ряда

Найти представление степенного ряда для функции symbolab рядовое представление функции и определение интервала сходимости

Найти степенное представление функции f(x 3 1 − x5)

Найдите радиус сходимости степенного ряда

Найдите представление степенного ряда для функции. f(x) = x8 tan−1(x3)

Разложение в ряд Тейлора — онлайн калькулятор

Вычисление функции (f) ряда Тейлора порядка n в точке x ₀ .

Основная переменная

введите одну букву

f

Чтобы умножить: напишите a*b, а не ab

Порядок (n)

1 max 2 40003

Расчет доли и страница на

---

Этот инструмент вычисляет разложение функции в ряд Тейлора.

Принимаются обычные функции: синус, косинус, тангенс, логарифм (log), экспонента, квадратный корень и т. д. (см. таблицу ниже).

Для x ₀ можно вводить числа (4, 0,2), дроби (3/4) или константы (пи, е).

Как пользоваться этим калькулятором?

Переменные	Функция может иметь одну или несколько переменных, но только одну основную переменную. Переменная представляет собой одну строчную или прописную букву. Примеры: Функция f с одной главной переменной: f(x) = 4*x Функция g с одной главной переменной x и дополнительным параметром m, g(x) = 4*x*m + x + 1 , В этом случае введите x в поле «основная переменная»
Номера	Используйте точку в качестве десятичного разделителя
Операторы	+ (дополнение), — (подложка), 9 (мощность), Для оператора умножения введите a*b, а не a. b или ab. Пример: 2*х.
Константы	Вы можете использовать следующие константы: pi (прибл. 3,14), e (прибл. 2,72) Примеры: f(x) = pi * x или f(x) = e * (x+ 1+2*д) 2
Общие функции	Вы можете использовать эти функции в выражении f(x) sqrt(x) (квадратный корень), exp(x) (экспоненциальная функция), log(x) или ln (натуральный логарифм),
Тригонометрические функции	Вы можете использовать эти функции в выражении f(x) sin (синус), cos (косинус), tan (тангенс), cot (котангенс), сек. секанс), csc (косеканс),
Обратные тригонометрические функции	Вы можете использовать эти функции в выражении f(x) arcsin (арксинус), arccos (арккосинус), arctg (арктангенс), arccot ​​ (аркотангенс),	2 сек. No related posts. Добавить комментарий Отменить ответ Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены * Комментарий * Имя * Email * Сайт