\(12=3 \cdot 4=3 \cdot 2 \cdot 2\)
Такое разложение — штука полезная, она помогает сокращать дроби, решать уравнения методом расщепления и многое другое.
Примеры:
Важно! Разложить на множители можно далеко не любое выражение. Например, выражение \(3am-6c +x\) не раскладывается в принципе.
Замечание: \(3am-6c +x=3(am-2c)+x\) – не является разложением на множители, так как есть стоящее отдельно прибавление икса.
-
Вынесение общего множителя за скобки
Пример: \(2am+8m=2m(a+4)\)
Важно! В математике принято выносить за скобку все общие множители. Поэтому разложение \(2am+8m=2(am+4m)\) или \(2am+8m=m(2a+8)\) считается неполным. -
Группировка
Смысл метода в том, что мы:
— группируем члены выражения, заключая их в скобки\(3ax+9x+8a+24=(3ax+9x)+(8a+24)=.
{3} ) $$Это и есть разложение на множители, там конечно же если тебе нужно продолжить просто вторую скобку раскрой как разность кубов
- Найдите количество членов и их коэффициенты в n-й строке треугольника Паскаля.
- Начните с первого термина, содержащего a n и не содержащего b терминов.
- Уменьшайте мощность на с каждым членом расширения.
- Увеличивайте мощность b с каждым термином расширения.
- Упростите каждое из условий расширения.
- Разложите бином, если необходимо, чтобы первый член в скобке был равен 1.
- Подставьте значения «n», которое является отрицательной степенью, и «𝑥», которое равно другой член в скобках рядом с 1.
- Упростите каждый член расширения.
- Запишите значения 𝑥, для которых справедливо расширение. «𝑥» должно быть между -1 и 1.
- Расширить ( x 2 + 3) 6
- Расширить (2 x − 5 y ) 7 900 13
- Какой четвертый член в разложении (3 x − 2) 10 ?
- Найдите десятый член разложения ( x + 3) 12 .
- Найдите средний член в разложении (4 х − у ) 8 .
- Экспресс 1296 x 12 − 4320 x 9 y 2 + 5400 90 025 x 6 y 4 − 3000 x 3 y 6 + 625 y 8 в форме ( a + b ) n .
{3} ) $$1 2 > >>
Как выполнить биномиальное расширение – mathsathome.com
Биномиальное расширение Видеоуроки
Как выполнить биномиальное расширение
Биномиальное расширение – Отрицательные степени
Что такое биномиальная теорема?
Биномиальная теорема — это алгебраический метод расширения любого бинома вида (a+b) n без необходимости раскрывать все n скобок по отдельности. Формула биномиальной теоремы утверждает, что .
Бином содержит ровно два члена. Эти два термина должны быть постоянными терминами (сами по себе числами) или степенями 𝑥 (или любой другой переменной).
Бином можно возвести в степень, например (2𝑥+3) 5 , что означает (2𝑥+3)(2𝑥+3)(2𝑥+3)(2𝑥+3)(2𝑥 +3). Однако расширение этого множества скобок — медленный процесс, и чем в большую степень возводится бином, тем легче вместо этого использовать биномиальную теорему.
Вот первые 5 биномиальных разложений, полученных из биномиальной теоремы.
Просто замените ‘a’ на первый член бинома, а ‘b’ на второй член бинома.
Например, расширьте (2𝑥+3)
5 .В этом примере ‘a’ = 2𝑥 и ‘b’ = 3.
Нам нужно разложение, содержащее степень 5:
a 5 + 5a 4 б + 10а 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5
Подстановка значений ‘a’ 9 0026 = 2𝑥 и ‘b’ = 3, получаем :
(2𝑥) 5 + 5 (2𝑥) 4 (3) + 10 (2𝑥) 3 (3) 2 + 10 (2𝑥) 2 (3) 3 + 5 (2𝑥) (3) 4 + (3) 5
Затем упростим условия, чтобы получить:
(2𝑥+3) 5 = 32𝑥 5 + 240𝑥 4 + 720 𝑥 3 + 1080𝑥 2 + 810𝑥 + 243
Как выполнить биномиальное разложение с помощью треугольника Паскаля
Числа в треугольнике Паскаля образуют коэффициенты в биномиальном разложении.
Для любого биномиального расширения (a+b) n , коэффициенты для каждого члена разложения задаются n-й строкой треугольника Паскаля. Например, если бином возвести в степень 3, то, глядя на 3-ю строку треугольника Паскаля, коэффициенты равны 1, 3, 3 и 1.
Вот первые пять биномиальных разложений с перечисленными коэффициентами. Каждый биномиальный коэффициент находится с помощью треугольника Паскаля.
Эта анимация также сообщает нам расчет n C r , который можно использовать для расчета этих коэффициентов на калькуляторе.
Чтобы использовать треугольник Паскаля для биномиального разложения (a+b) n :
Например, расширьте (𝑥 + 2)
3 .Шаг 1. У нас есть бином в степени 3, поэтому мы смотрим на 3-ю строку треугольника Паскаля. У нас есть 4 слагаемых с коэффициентами 1, 3, 3 и 1.
Шаг 2. a — первое слагаемое внутри скобки, равное 𝑥, а b — второе слагаемое внутри скобки, равное 2. n — это степень в скобках, поэтому n = 3.
Начнем с первого члена как n , который здесь 𝑥 3 .
Шаг 3. Уменьшаем мощность 𝑥 с каждым членом разложения. Итак, 𝑥 3 становится 𝑥 2 , затем 𝑥 и, наконец, полностью исчезает к четвертому члену.
Шаг 4. Мы увеличиваем степень числа 2 с каждым членом расширения. Начнем с нулевых двоек, затем 2 1 , 2 2 и, наконец, получим 2 3 в четвертом члене.
Шаг 5. Теперь упростим каждое слагаемое, перемножив числа, чтобы найти коэффициенты, а затем посмотрим на степень 𝑥 в каждом из слагаемых.
Например, второй член 3(𝑥) 2 (2) становится 6𝑥 2 , поскольку 3 × 2 = 6, а 𝑥 возводится в квадрат.
(𝑥 + 2) 3 = 𝑥 3 + 6𝑥 2 + 12𝑥 + 8
Например, разверните (2𝑥 – 1)
4В этом примере мы должны отметить, что второй член бинома равен -1, а не 1. Следовательно, b = -1. Распространенной ошибкой является забывание этого отрицательного значения в биномах, где в скобках происходит вычитание.
Шаг 1. У нас есть бином, возведенный в степень 4, поэтому мы смотрим на 4-ю строку треугольника Паскаля, чтобы найти 5 коэффициентов 1, 4, 6, 4 и 1.
Шаг 2. Мы начинаем с (2𝑥) 4 . Здесь важно сохранить термин 2𝑥 внутри скобок, так как у нас есть (2𝑥) 4 , а не 2𝑥 4 .
Шаг 3. Мы уменьшаем степень (2𝑥) по мере перехода к следующему члену биномиального разложения. (2𝑥) 4 становится (2𝑥) 3 , (2𝑥) 2 , (2𝑥), а затем полностью исчезает к 5-му члену.
Шаг 4. Увеличиваем член (-1) от нуля до (-1) 4 .
Шаг 5. Упрощаем термины. Здесь нужно сосредоточиться на двух областях.
Во-первых, (2𝑥) 4 означает 2 4 , умноженное на 𝑥 4 . (2𝑥) 4 = 16𝑥 4 .
Во-вторых, отрицательные числа в четной степени дают положительный ответ, а отрицательные числа в нечетной степени дают нечетный ответ. Так что (-1) 4 = 1, потому что 4 четно. Однако (-1) 3 = -1, потому что 3 нечетно.
(2𝑥 – 1) 4 = 16𝑥 4 – 32𝑥 3 + 24𝑥 2 – 8𝑥 + 1 900 14
Мы видим, что когда второй член ‘b’ внутри скобок равен отрицательные, результирующие коэффициенты биномиального разложения чередуются с положительными на отрицательные. Чередуем знаки + и – между условиями нашего ответа.
Что такое формула биномиального расширения?
Формула биномиального расширения: .
Где .
Это проще вычислить на калькуляторе, используя n C r функцию .(nk)=n!k!(n−k)!” роль = «презентация» стиль = «размер шрифта: 113%; позиция: относительная;»>
! Знак называется факториалом. Знак факториала говорит нам начать с целого числа и умножать его на все предыдущие целые числа, пока мы не достигнем 1. Например, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120,
Использование формулы биномиального расширения
Другими словами, формула биномиального расширения говорит нам начать с первого члена a в степени n и нуля b членов. По мере перехода от термина к термину мощность a уменьшается, а мощность b увеличивается.
Мы умножаем каждый термин на биномиальный коэффициент, который рассчитывается как (nk)” role=”presentation” style=”font-size: 113%; положение: относительное;»>. Это можно рассчитать напрямую, используя (nk)=n!k!(n−k)!» роль = «презентация» стиль = «размер шрифта: 113%; позиция: относительная;»> n C r функция на вашем калькуляторе.
Найдите функцию n C r на своем калькуляторе, где n будет степенью в скобках, а r будет номером члена в расширении, начиная с 0.
Вот анимация, объясняющая, как n C Функция r может быть использована для расчета коэффициентов. Например, 4C 2 = 6.
(nk)=n!k!(n−k)!» роль = «презентация» стиль = «размер шрифта: 113%; положение: относительное;»> 9.
Вот пример использования формулы биномиального разложения для вычисления (a+b) 4 .
Здесь n = 4, потому что бином возводится в степень 4.
Следовательно, суммируя эти 5 слагаемых вместе, (a+b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6 а 2 б 2 + 4аб 3 + б 4 .
Начнем с первого члена в энной степени. Мы уменьшаем эту мощность по мере перехода от одного члена к другому и увеличиваем мощность второго члена. Коэффициенты рассчитываются, как показано в таблице выше.
Вот список формул для всех биномиальных расширений до 10-й степени.
| Биномиальная | Биномиальная формула разложения |
| (a + b) 1 903 42 | = а + б |
| (а + б) 2 | = а 2 + 2ab + b 2 |
| (a + b) 3 | = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + б 3 |
| (а + б) 4 | = а 4 + 4а 3 б + 6а 2 б 2 + 4аб 3 + б 4 |
| (а + б) 9 0012 5 | = а 5 + 5а 4 б +10а 3 б 2 + 10а 2 б 3 + 5 а б 4 + б 5 |
| (а + б) 6 | = а 6 + 6а 5 б + 15а 4 б 2 + 20а 3 б 3 + 15а 2 б 4 + 6аб 5 + б 6 |
| (а + б) 7 | = а 7 + 7а 6 б + 21а 5 б 2 + 35а 4 б 3 + 35 а 3 б 4 + 21а 2 б 5 + 7аб 6 + б 7 |
| (а + б ) 8 | = а 8 + 8а 7 б + 28а 6 б 2 + 56а 5 б 3 + 70а 4 б 4 + 56а 3 б 5 + 28а 9 0012 2 б 6 + 8аб 7 + б 8 |
| (а + б) 9 | = а 9 + 9а 8 б + 36а 7 б 2 + 84 а 6 б 3 + 126а 5 б 4 + 126а 4 б 5 + 84а 3 б 6 + 36а 2 b 7 + 9ab 8 + b 9 |
| (a + b) 10 | = a 10 + 10а 9 б + 45а 8 б 2 + 120а 7 б 3 + 210а 6 б 4 + 252а 5 б 5 + 210а 4 900 13 б 6 + 120а 3 б 7 + 45а 2 б 8 +10ab 9 + b 10 |
Биномиальное разложение с отрицательной степенью
Если степень, в которую возводится бином, является отрицательной, , то разложение в ряд Тейлора используется для аппроксимации первых нескольких членов для малых значений 𝑥.
Для двучлена с отрицательной степенью , его можно расширить, используя (1+𝑥)n=1+n𝑥+n(n−1)2!𝑥2+n(n−1)(n−1)3! 𝑥3+…» role=«презентация» style=»размер шрифта: 113%; положение: относительное;»>.
Важно отметить, что при разложении двучлена с отрицательной степенью разложение в ряд работает только тогда, когда первый член в скобках равен 1.
Чтобы расширить бином с отрицательной степенью:
Например, найдите биномиальное разложение для (2 + 10𝑥)
-2Здесь у нас отрицательная мощность. п = -2.
Шаг 1. Первое слагаемое в скобках должно быть 1. У нас 2.
Мы должны вынести 2.
Множитель 2 получается так, что внутри скобок у нас 1+5𝑥 вместо 2+10𝑥.
Мы видим, что число 2 по-прежнему возведено в степень -2. Таким образом, 0,14″ роль = «презентация» стиль = «размер шрифта: 113%; position: relative;»>
Важно помнить, что этот множитель также всегда возводится в отрицательную степень.
Этот коэффициент одной четверти должен быть перемещен в начало расширения. Остальную часть расширения можно заполнить внутри скобок, следующих за четвертью.
(1+5𝑥) -2 теперь можно использовать с разложением в ряд для формулы (1 + 𝑥) n , поскольку первый член теперь равен 1.
Шаг 2. Подставляем в значения «n» = -2 и «𝑥» = 5𝑥 в разложение ряда.
Шаг 3. Теперь упростим каждое слагаемое.
После упрощения каждого термина в скобках нам также нужно умножить каждый термин на одну четверть.
Шаг 4. Разложение справедливо для -1 < '𝑥' < 1. Наше '𝑥' равно 5𝑥, поэтому мы имеем -1 < 5𝑥 < 1.
Разделив каждое слагаемое на 5, мы видим, что разложение действительно для
Биномиальное разложение с дробной степенью
Биномиальная теорема может быть применена к биномам с дробными степенями. Расширение ряда можно использовать для нахождения первых нескольких членов расширения. n — значение дробной степени, а 𝑥 — член, сопровождающий 1 внутри двучлена.
Например, найдите первые 4 члена числа
Сначала запишите этот двучлен так, чтобы он имел дробную степень. Квадратный корень из 1+ 5𝑥 заменяется степенью половины.
Следовательно, ‘𝑥’ = 5𝑥 и ‘n’ = .
.
Подставляем значения n и 𝑥 в формулу разложения в ряд, как показано.
Затем мы упрощаем каждый термин.
При использовании этого ряда для расширения двучлена с дробной степенью ряд действителен для -1 < 𝑥 < 1. В этом примере значение 𝑥 равно 5𝑥.
Следовательно, ряд действителен для -1 < 5𝑥 < 1. Разделив каждое слагаемое на 5, мы получим −15𝑥15” role=”presentation” style=”font-size: 113%; положение: относительное;»>.
Биномиальное разложение с двумя скобками
Чтобы разложить две скобки, где одна из скобок возведена в большую степень, раскройте скобку в большую степень отдельно, используя биномиальное разложение, а затем умножьте каждое слагаемое на слагаемое в другой скобке. .
Например, раскройте две скобки (1+𝑥)(2𝑥+3)
4 с биномиальным расширениемВ этом примере у нас две скобки: (1 + 𝑥) и (2𝑥 + 3) 4 .
Сначала мы расширяем скобку в большей степени, используя биномиальное расширение.
(2𝑥 + 3) 4 = 16𝑥 4 + 96𝑥 3 + 216𝑥 2 + 216𝑥 + 81
Это расширение эквивалентно (2𝑥 + 3) 4 . Мы хотим найти (1 + 𝑥)(2𝑥 + 3) 4 .
Мы должны умножить все члены на (1 + 𝑥). Мы умножаем члены на 1, а затем на 𝑥, прежде чем складывать их вместе.
Результат: 16𝑥 5 + 112𝑥 4 + 312𝑥 3 + 432𝑥 2 + 297𝑥 + 81 9001 5
Как использовать биномиальную теорему
Формула
Purplemath
Типичные биномиальные Упражнения по теореме нравятся?
Типичные упражнения с использованием биномиальной теоремы требуют, чтобы вы расширили бином до некоторой степени, достаточно большой, чтобы вы вряд ли могли проверить свой ответ, умножая числа вручную.
Или же они попросят вас указать один конкретный термин в расширении, где подключиться к теореме гораздо быстрее, чем расширить все это для этого одного маленького термина.
Содержание продолжается ниже
MathHelp.com
Мало того, что биномиальное выражение возводится в степень, переменная внутри биномиального выражения также возводится в степень. Если я попытаюсь сделать это разложение полностью в уме, я знаю, что с большей вероятностью (чем обычно) испорчу экспоненты.
Так что сейчас не время беспокоиться об этом квадрате на x внутри биномиального выражения. Вместо этого мне нужно начать свой ответ с подстановки двух членов бинома вместе с внешней степенью в биномиальную теорему.
Первый член в биноме равен x 2 , второй член в 3, а степень n для этого разложения равна 6. Итак, считая от 0 до 6, биномиальная теорема дает мне эти семь членов :
Биномиальные коэффициенты (то есть 6 C k выражений) можно вычислить с помощью моего калькулятора.
Я могу применить правила экспоненты, чтобы упростить переменные члены. И я также могу ввести числовые значения в свой калькулятор. В результате получится:
Теперь я перемножу различные коэффициенты (опять же, интенсивно используя свой калькулятор). Мой окончательный результат:
x 12 + 18 x 10 + 135 x 8 + 540 x 6
+ 1215 х 4 + 1458 x 2 + 729
Я подставлю «2 x », «−5 y » и «7» в биномиальную теорему, считая от нуля до семи, чтобы получить каждый член. (И я должен быть осторожен, чтобы не забыть знак «минус», который стоит перед вторым членом бинома.)
Тогда упрощение дает мне:
Выполняя умножение в моем калькуляторе и упрощая каждый член, я получаю:
Обратите внимание на знаки «минус» в приведенном выше ответе!
Всякий раз, когда второй член исходного двучлена вычитается (а не прибавляется) к первому члену, вы получите этот чередующийся образец знаков «минус» в вашем окончательном упрощении.
Каждый член разложения, который имеет четную степень второго члена бинома, будет «плюсом», но каждый член разложения с нечетной степенью этого второго члена будет «минусом». Если у вас не получается именно этот чередующийся (то есть «каждый второй») узор со знаками «минус», то вернитесь и проверьте свою работу, потому что где-то ошибка.
В дополнение к расширению биномов вас также могут попросить найти определенный член в расширении, идея состоит в том, что упражнение будет очень простым, если вы запомнили формулу теоремы, но будет трудным или невозможным делать, если вы этого не сделали. Так что да; запомнить формулу теоремы, чтобы вы могли получить легкие точки.
Я уже расширил этот бином на предыдущей странице, так что давайте поднимем этот первый шаг в процессе расширения и посчитаем, чтобы найти четвертый член:
Итак, четвертый член — это не тот, где я досчитал до 4, а тот, где я досчитал только до 3.
(Опять же, это потому, что, как и в Javascript, счет начинается с 0, не с 1.)
Обратите внимание, что в любом разложении на один член больше, чем число в степени. Например:
в степени, поэтому в нем три члена:
.
( x + y ) 2 = x 2 + 2 xy + y 2
третья степень, поэтому у него четыре члена:
( x + y ) 3 = x 3 + 3 x 2 y + 3 9 0025 xy 2 + y 3
четвертая степень, поэтому у него пять членов:
( х + у ) 4 = х 4 + 4 х 3 y + 6 x 2 y 2 + 4 xy 3 + y 4
Возвращаясь к упражнению:
Расширение в этом упражнение, (3 x − 2) 10 , имеет степень n = 10, поэтому разложение будет иметь одиннадцать слагаемых, и слагаемые будут считаться не от 1 до 10 или от 1 до 11, а от 0 до 10.
Вот почему четвертым членом будет не тот, где я использую «4» в качестве счетчика, а тот, где я использую «3».
Чтобы найти десятый член, я подставляю x , 3 и 12 в биномиальную теорему, используя число 10 − 1 = 9 в качестве счетчика:
Поскольку этот бином находится в степени 8, в разложении будет девять членов, что делает пятый член средним. Так что я подключу 4 x , − y и 8 в биномиальную теорему, используя число 5 − 1 = 4 в качестве счетчика.
В редких случаях вас могут попросить перейти от развернутой формы к исходному биномиальному выражению в обратном порядке.
Я знаю, что первый член имеет форму a n , потому что для любого n первый член равен n C 0 (что всегда равно 1) раз а n умножить на b 0 (что также равно 1). Итак, 1296 x 12 = а n . По той же причине последний член равен b n , поэтому 625 y 8 = b n .
А так как знаки «плюс» и «минус» чередуются, я по опыту знаю, что знак в середине должен быть «минус». (Если бы все знаки были «плюсами», то средний знак также был бы «плюсом». Но в этом случае я ищу двучлен в форме ( a − b ) n .)
Я знаю, что для любой степени n разложение имеет n + 1 член. Поскольку здесь 5 членов, это говорит мне, что n = 4. Таким образом, чтобы найти a и b , мне нужно только взять корень четвертой степени из первого и последнего членов расширенного многочлена:
Затем a = 6 x 3 , b = 5 y 2 , посередине знак «минус», и:
Пусть вас не пугает биномиальная теорема.