Размещение без повторения: Размещение без повторений | matematicus.ru

Содержание

Основные понятия комбинаторики Число отображений одного множества в другое

База данных защищена авторским правом ©dogmon.org 2023
обратиться к администрации

Число отображений одного множества в другое

(Размещения с повторениями)

Определим число всех отображений множества , в множество . Каждое такое отображение можно задать в виде таблицы:

Поскольку верхняя строка фиксирована, то отображение определяется нижней строкой, т.е. кортежем элементов множества размерности .

Каждый элемент кортежа, поскольку допускаются любые повторения элементов, может быть выбран способами; следовательно, число таких кортежей (и, стало быть, число всех отображений множества в множество

) составит . Это число называется в комбинаторике числом размещений с повторениями из элементов по и обозначается .

Содержательно это можно представить действительно как размещение элементов второго множества по «ячейкам», которые являются элементами первого множества.

Размещения без повторений

Чтобы элементы можно было разместить по «ячейкам» без повторений, число «ячеек» должно быть не больше числа размещаемых элементов: .

Определить число -компонентных кортежей без повторений на -элементном множестве можно, исходя из следующих соображений: в кортеже первую компоненту можно выбрать способами, вторую – уже способами, третью — , …, последнюю, -ую – числом способов, равным . Итак, искомое число, обозначаемое в комбинаторике составит

Это и есть число размещений без повторений. Нетрудно понять, что оно равно также числу инъекций из множества в множество .

Выражение для можно преобразовать следующим образом:

Заметим, что при получаем единственный 0-компонентный, т.е. пустой кортеж.

С другой стороны, при получим число биекций из в , равное . Это же число перестановок (биекций на себя) -элементного множества.

Сочетания без повторений

Если в конкретном размещении без повторений, т.е. в -компонентном кортеже без повторений на -элементном множестве игнорировать порядок элементов, принимая во внимание только их состав, то получится не что иное как некоторое подмножество из элементов множества из элементов.

Число таких подмножеств будет в раз меньше числа кортежей (все перестановки элементов кортежа отождествляются!) и составит

Это число называется числом сочетаний без повторений из элементов по . Оно равно числу всех -элементных подмножеств -элементного множества.

Поскольку число всех подмножеств -элементного множества равно , то получим такую формулу:

Очевидно также, что .

Сочетания с повторениями

Пусть дано -элементное множество , элементы которого договоримся называть типами (или сортами). Фиксировав произвольно число , рассмотрим всевозможные неупорядоченные -выборки

Каждая такая выборка содержит элементов сорта , элементов сорта ,…, элементов сорта так, что , и называется сочетанием из элементов по с повторениями. Число таких сочетаний обозначается .

Можно показать, что

Действительно, это будет число способов, которым можно «перегородками» разделить элементы разных сортов, т. е. выбрать место среди мест. Это будет число . Нетрудно понять, что это будет и число способов, которыми число m можно представить в виде суммы положительных слагаемых, т.е. число всех разложений вида при различных m_i (i=1,…,n).

Скачать 29.75 Kb.

Поделитесь с Вашими друзьями:

Перестановки, размещения и сочетания. Формулы

жүктеу/скачать 21.79 Kb.

бет	1/4
Дата	30.12.2022
өлшемі	21.79 Kb.
	#60239

1 2 3 4

Размещения без повторений из n элементов по

Перестановки, размещения и сочетания. Формулы.

В этой теме рассмотрим основные понятия комбинаторики: перестановки, сочетания и размещения. Выясним их суть и формулы, по которым можно найти их количество.

Для работы нам понадобятся кое-какие вспомогательные сведения. Начнём с такого фундаментального математического понятия как множество. Подробно понятие множества было раскрыто в теме «Понятие множества. Способы задания множеств».
Очень краткий рассказ про множества: показать\скрыть
Рассмотрим некое непустое конечное множество U, мощность которого равна n, |U|=n (т.е. в множестве U имеется n элементов). Введём такое понятие, как выборка (некоторые авторы именуют её кортежем). Под выборкой объема k из n элементов (сокращённо (n,k)-выборкой) будем понимать набор элементов (a1,a2,…,ak), где ai∈U. Выборка называется упорядоченной, если в ней задан порядок следования элементов. Две упорядоченные выборки, различающиеся лишь порядком элементов, являются различными.

Если порядок следования элементов выборки не является существенным, то выборку именуют неупорядоченной.
Заметьте, что в определении выборки ничего не сказано про повторения элементов. В отличие от элементов множеств, элементы выборки могут повторяться.
Для примера рассмотрим множество U={a,b,c,d,e}. Множество U содержит 5 элементов, т.е. |U|=5. Выборка без повторений может быть такой: (a,b,c). Данная выборка содержит 3 элемента, т.е. объём этой выборки равен 3. Иными словами, это (5,3)-выборка.

Выборка с повторениями может быть такой: (a,a,a,a,a,c,c,d). Она содержит 8 элементов, т.е. объём её равен 8. Иными словами, это (5,8)-выборка.
Рассмотрим ещё две (5,3)-выборки: (a,b,b) и (b,a,b). Если мы полагаем наши выборки неупорядоченными, то выборка (a,b,b) равна выборке (b,a,b), т.е. (a,b,b)=(b,a,b). Если мы полагаем наши выборки упорядоченными, то (a,b,b)≠(b,a,b).
Рассмотрим ещё один пример, немного менее абстрактный 🙂 Предположим, в корзине лежат шесть конфет, причём все они различны.

Если первой конфете поставить в соответствие цифру 1, второй конфете – цифру 2 и так далее, то с конфетами в корзине можно сопоставить такое множество: U={1,2,3,4,5,6}. Представьте, что мы наугад запускаем руку в корзинку с целью вытащить три конфеты. Вытащенные конфеты – это и есть выборка. Так как мы вытаскиваем 3 конфеты из 6, то получаем (6,3)-выборку. Порядок расположения конфет в ладони совершенно несущественен, поэтому эта выборка является неупорядоченной. Ну, и так как все конфеты различны, то выборка без повторений. Итак, в данной ситуации говорим о неупорядоченной (6,3)-выборке без повторений.

Теперь подойдём с иной стороны. Представим себе, что мы находимся на фабрике по производству конфет, и на этой фабрике производятся конфеты четырёх сортов. Множество U в этой ситуации таково: U={1,2,3,4} (каждая цифра отвечает за свой сорт конфет). Теперь вообразим, что все конфеты ссыпаются в единый жёлоб, около которого мы и стоим. И, подставив ладони, из этого потока отбираем 20 конфет.

Конфеты в горсти – это и есть выборка. Играет ли роль порядок расположения конфет в горсти? Естественно, нет, поэтому выборка неупорядоченная. Всего 4 сорта конфет, а мы отбираем двадцать штук из общего потока – повторения сортов неизбежны. При этом выборки могут быть самыми различными: у нас даже могут оказаться все конфеты одного сорта. Следовательно, в этой ситуации мы имеем дело с неупорядоченной (4,20)-выборкой с повторениями.

Рассмотрим ещё пару примеров. Пусть на кубиках написаны различные 7 букв: к, о, н, ф, е, т, а. Эти буквы образуют множество U={к,о,н,ф,е,т,а}. Допустим, из данных кубиков мы хотим составить «слова» из 5 букв. Буквы этих слов (к примеру, «конфе», «тенко» и так далее) образуют (7,5)-выборки: (к,о,н,ф,е), (т,е,н,к,о) и т.д. Очевидно, что порядок следования букв в такой выборке важен. Например, слова «нокфт» и «кфтон» различны (хотя состоят из одних и тех же букв), ибо в них не совпадает порядок букв. Повторений букв в таких «словах» нет, ибо в наличии только семь кубиков.

Итак, набор букв каждого слова представляет собой упорядоченную (7,5)-выборку без повторений.
Еще один пример: мы составляем всевозможные восьмизначные числа из четырёх цифр 1, 5, 7, 8. Например, 11111111, 15518877, 88881111 и так далее. Множество U таково: U={1,5,7,8}. Цифры каждого составленного числа образуют (4,8)-выборку. Порядок следования цифр в числе важен, т.е. выборка упорядоченная. Повторения допускаются, поэтому здесь мы имеем дело с упорядоченной (4,8)-выборкой с повторениями.
Размещения без повторений из n элементов по k
Размещение без повторений из n элементов по k – упорядоченная (n,k)-выборка без повторений.
Так как элементы в рассматриваемой выборке повторяться не могут, то мы не можем отобрать в выборку больше элементов, чем есть в исходном множестве. Следовательно, для таких выборок верно неравенство: n≥k. Количество размещений без повторений из n элементов по k определяется следующей формулой:

Akn=n!(n−k)!(1)
Что обозначает знак «!»? : показать\скрыть

жүктеу/скачать 21. 79 Kb.

Достарыңызбен бөлісу:

1 2 3 4

©emirsaba.org 2023
әкімшілігінің қараңыз

Басты бет

Lessons

Curriculum vitae

Documents

X — это любые 8-значные числа, образованные из цифр 1,2,3,4,5,6,7,8 без повторения. F) оценивается в соответствии с расположением цифр в X.-Если нечетная цифра поставлена на нечетное место, полученная оценка — это сама цифра, иначе-Если четная цифра поставлена на четное место, полученная оценка — это цифра сам по себе elseF(X) представляет собой сумму оценок, полученных во всех 8 местах X. например, для когда X=568, F(X) = 11 балловСколько из этих X получат в сумме 36 баллов?

Вопрос

Пошаговый ответ

X — любые 8-значные числа, образованные из цифр 1,2,3,4,5,6,7,8 без повторения. F) оценивается по расположению цифр в X.

-Если стоит нечетная цифра…

X – любые 8-значные числа, образованные из цифр 1,2,3,4,5,6,7,8 без повторения . F) оценивается в соответствии с расположением цифр в X.-Если нечетная цифра поставлена на нечетное место, полученная оценка — это сама цифра, иначе-Если четная цифра поставлена на четное место, полученная оценка — это цифра сам по себе elseF(X) представляет собой сумму оценок, полученных во всех 8 местах X. например, для когда X=568, F(X) = 11 балловСколько из этих X получат в сумме 36 баллов?

Лучшее совпадение Вопрос:

Подсчитайте, сколько семизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, если нет повторений и нечетные цифры должны стоять в непрерывной последовательности: ( Примеры: 3571264 или 2413576 или 2467531 и т. д., но не 7234615.) комбинации букв A, B, C, D, E, E ( есть ли в них

Как найти разряд слова в словаре (с повторением и без повторения) | Handa Ka Funda

Среда, 27 мая 2020 г.

Очень распространенный тип вопросов, который задают на различных вступительных экзаменах по банковскому делу и менеджменту, основан на концепции определения ранга слова. В этом посте я хотел бы обсудить концепцию того же самого. Давайте посмотрим на два типа.

Ранг слова – без повторения букв

Предположим, что вам дано слово, в котором ни одна из букв не повторяется, и вы попросили узнать место слова в словаре. Например, если слово, которое вам дали, было CAT , то узнать его ранг будет очень просто. Вы запишите все возможные комбинации букв. Это:
CAT, CTA, ATC, TCA, ACT, TAC
Теперь вы расположите их в алфавитном порядке. Это будет примерно так:
ACT, ATC, CAT, CTA, TAC, TCA
CAT занимает третье место в приведенном выше списке. Итак, ранг слова CAT равен 3.
Но, как вы, возможно, уже поняли, задача станет чрезвычайно сложной, если слово будет больше. Допустим, слово СБИПО .
Всего 5 букв, всего 5 возможных комбинаций! или 120. Записать их все и узнать ранг слова СБИПО нецелесообразно.
Чтобы решить подобные вопросы, нам нужно следовать следующему процессу.
Шаг 1: Запишите буквы в алфавитном порядке.
Правильный порядок будет B, I, O, P, S

Шаг 2: Найдите количество слов, начинающихся с старшей буквы
Любое слово, начинающееся с B, будет выше SBIPO. Итак, если мы зафиксируем B в первой позиции, у нас может быть 4! или 24 слова.
Точно так же будет 24 слова, которые начинаются с I, 24 слова, которые начинаются с O, и 24 слова, которые начинаются с P.
Таким образом, общее количество слов, которые не начинаются с S и находятся выше SBIPO, равно 4 *24 = 96

Шаг 3: Решить ту же задачу, не учитывая первую букву
Нам нужно узнать ранг БИПО
Правильный порядок Б, И, О, Р
=> БИПО будет вторым словом после БИОП
=> Общий ранг слова SBIPO равен 96 + 2 = 98.

Это может показаться длинным, но как только вы немного попрактикуетесь, вы сможете решать эти вопросы менее чем за минуту.

Ранг слова – с повторением букв

Рассмотрим слово ИБПСПО. Как видите, слово P встречается в нем дважды. Процесс остается таким же, как описано выше. Однако будет небольшая разница в том, как мы вычисляем ответ.

Шаг 1: Запишите буквы в алфавитном порядке.
Правильный порядок: B, I, O, P, P, S

Шаг 2: Найдите количество слов, начинающихся с старшей буквы
Количество слов, начинающихся с B, будет 5!/2 ! = 60 (делим на 2, потому что P повторяется)

Шаг 3: Решить ту же задачу, не учитывая первую букву
Нам нужно найти ранг БПСПО
Это будет то же самое, что ПСПО
Слова выше PSPO — это три слова, начинающиеся с O (и заканчивающиеся PPS, OPSP, OSPP).
Кроме того, PPOS, PPSO и PSOP будут выше PSPO.
=> PSPO будет 7-м словом в списке
=> BPSPO будет 7-м словом в списке
=> Общий рейтинг слова IBPSPO равен 60 + 7 = 67.

– Современная математика

Теория множеств – максимальные и минимальные значения
Как решать вопросы, основанные на не менее n в теории множеств для экзамена CAT?
Перестановка и комбинация — фундаментальный принцип счета
Перестановка и комбинация — распределение объектов
Основные концепции вероятностей для подготовки к экзамену CAT
Последовательности и серии задач и концепции для подготовки к экзамену CAT

Вопросы CAT, связанные с количественными способностями — современная математика

Все вопросы из экзамена CAT Количественные способности – Современная математика
Количественные способности – Современная математика – Прогрессии – Q1: Если a1 = 1/(2*5), a2 = 1/(5*8), a3 = 1/(8*11), ……, тогда a1 + a2 +……..+ a100 равно
Количественные способности — Современная математика — Прогрессии — Q2: Бесконечная геометрическая прогрессия a1, a2, a3,… обладает тем свойством, что an = 3(a(n+ l) + a(n+2) +….) для каждого n ≥ 1. Если сумма a1 + a2 + a3 +……. = 32, тогда a5 равно
. Количественные способности — Современная математика — Прогрессии — Q3: Пусть a1, a2, a3, a4, a5 — последовательность из пяти последовательных нечетных чисел. Рассмотрим новую последовательность из пяти последовательных четных чисел, оканчивающуюся на 2a3.
Количественные способности – Современная математика – Прогрессии – Q4: Пусть a1, a2,……..a3n будет арифметической прогрессией с a1 = 3 и a2 = 7. Если a1 + a2 + ….+a3n = 1830, то какова наименьшее натуральное число m такое, что m (a1 + a2 + …. + an ) > 1830?
Количественные способности – Современная математика – Прогрессии – Q5: Если квадрат 7-го члена арифметической прогрессии с положительной общей разностью равен произведению 3-го и 17-го членов, то отношение первого члена к общей разности равно
Количественный Способности – Современная математика – P&C – Q1: Сколько четырехзначных чисел, которые делятся на 6, можно составить из цифр 0, 2, 3, 4, 6 так, чтобы ни одна цифра не использовалась более одного раза, а 0 не происходят в крайнем левом положении?
Количественные способности — Современная математика — P&C — Q2: Сколькими способами можно распределить 8 одинаковых ручек между Амалем, Бималом и Камалем так, чтобы Амал получил не менее 1 ручки, Бимал — не менее 2 ручек, а Камаль — не менее 3 ручки?
Quantitative Aptitude – Modern Maths – P&C – Q3: Сколькими способами можно распределить 7 одинаковых ластиков между 4 детьми так, чтобы каждый ребенок получил хотя бы один ластик, но никто не получил более 3 ластиков?
Количественные способности — Современная математика — P&C — Q4: Пусть AB, CD, EF, GH и JK — пять диаметров окружности с центром в O. Сколькими способами можно выбрать три точки из A, B, C, D, E, F, G, H, J, K и O так, чтобы образовался треугольник?
Количественные способности – Современная математика – Теория множеств – Q.1 Если среди 200 студентов 105 любят пиццу и 134 любят гамбургеры, то количество студентов, которые любят только гамбургеры, может быть равным?
Количественные способности — Современная математика — Прогрессии — Q.2 Пусть x, y, z — три положительных действительных числа в геометрической прогрессии, так что x Количественные способности — Современная математика — Теория множеств — Q.3 Каждый из 74 учащихся в классе занимается по крайней мере один из трех предметов H, E и P. Десять студентов изучают все три предмета, а двадцать изучают H и E, но не P. Каждый учащийся, изучающий P, также изучает H или E или оба. Если количество студентов, изучающих H, равно количеству студентов, изучающих E, то количество студентов, изучающих H, равно?
Количественные способности – Современная математика – P&C – В. 4 Сколько двух- или более цифр можно составить из цифр 1,2,3,4,5,6,7,8,9, чтобы в каждом таком числе , каждая цифра используется не более одного раза и цифры расположены в порядке возрастания?
Количественные способности — Современная математика — P&C — Q.5 В турнире участвуют 43 юниора и 51 старший. Каждая пара юниоров играет по одному матчу. Каждая пара старших играет по одному матчу. Матча между юниорами и взрослыми не бывает. Количество матчей между девочками и девочками на юниорском уровне составляет 153, а количество матчей между мальчиками и мальчиками на старшем уровне составляет 276. Сколько матчей мальчик играет против девочки?
Количественные способности – Современная математика – Прогрессии – Q.6 Среднее арифметическое x, y и z равно 80, а среднее арифметическое x, y, z, u и v равно 75, где u=(x+y)/2 и v=(y+z)/2. Если x ≥ z, то минимально возможное значение x равно?
Количественные способности – Современная математика – Теория множеств – Q.7 Для двух множеств A и B пусть AΔB обозначает множество элементов, принадлежащих A или B, но не обоим.