Развернутая форма числа онлайн: Перевод числа в другие системы счисления

Перед тем, как приступить к решению задач, нам нужно понять несколько несложных моментов.

Рассмотрим десятичное число 875. Последняя цифра числа (5) – это остаток от деления числа 875 на 10. Последние две цифры образуют число 75 – это остаток от деления числа 875 на 100. Аналогичные утверждения справедливы для любой системы счисления:

Последняя цифра числа – это остаток от деления этого числа на основание системы счисления.

Последние две цифры числа – это остаток от деления числа на основание системы счисления в квадрате.

Например, . Разделим 23 на основание системы 3, получим 7 и 2 в остатке (2 – это последняя цифра числа в троичной системе). Разделим 23 на 9 (основание в квадрате), получим 18 и 5 в остатке (5 = ).

Вернемся опять к привычной десятичной системе. Число = 100000. Т.е. 10 в степени k– это единица и k нулей.

Аналогичное утверждение справедливо для любой системы счисления:

Основание системы счисления в степени k в этой системе счисления записывается как единица и k нулей.

Например, .

1. Поиск основания системы счисления

Пример 1.

В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 27 записывается в виде 30. Укажите это основание.

Решение:

Обозначим искомое основание x. Тогда .Т.е. x = 9.

Ответ: 9

Пример 2.

В системе счисления с некоторым основанием десятичное число 13 записывается в виде 111. Укажите это основание.

Решение:

Обозначим искомое основание x. Тогда

Решаем квадратное уравнение, получаем корни 3 и -4. Поскольку основание системы счисления не может быть отрицательным, ответ 3.

Ответ: 3

Пример 3

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 29 оканчивается на 5.

Если в некоторой системе число 29 оканчивается на 5, то уменьшенное на 5 число (29-5=24) оканчивается на 0. Ранее мы уже говорили, что число оканчивается на 0 в том случае, когда оно без остатка делится на основание системы. Т.е. нам нужно найти все такие числа, которые являются делителями числа 24. Эти числа: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Заметим, что в системах счисления с основанием 2, 3, 4 нет числа 5 (а в формулировке задачи число 29 оканчивается на 5), значит остаются системы с основаниями: 6, 8, 12,

Ответ: 6, 8, 12, 24

Пример 4

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 71 оканчивается на 13.

Решение:

Если в некоторой системе число оканчивается на 13, то основание этой системы не меньше 4 (иначе там нет цифры 3).

Уменьшенное на 3 число (71-3=68) оканчивается на 10. Т.е. 68 нацело делится на искомое основание системы, а частное от этого при делении на основание системы дает в остатке 0.

Выпишем все целые делители числа 68: 2, 4, 17, 34, 68.

2 не подходит, т.к. основание не меньше 4. Остальные делители проверим:

68:4 = 17; 17:4 = 4 (ост 1) – подходит

68:17 = 4; 4:17 = 0 (ост 4) – не подходит

68:34 = 2; 2:17 = 0 (ост 2) – не подходит

68:68 = 1; 1:68 = 0 (ост 1) – подходит

Ответ: 4, 68

2. Поиск чисел по условиям

Пример 5

Укажите через запятую в порядке возрастания все десятичные числа, не превосходящие 25, запись которых в системе счисления с основанием четыре оканчивается на 11?

Для начала выясним, как выглядит число 25 в системе счисления с основанием 4.

. Т.е. нам нужно найти все числа, не больше , запись которых оканчивается на 11. По правилу последовательного счета в системе с основанием 4,
получаем числа и . Переводим их в десятичную систему счисления:

Ответ: 5, 21

3. Решение уравнений

Пример 6

Решите уравнение:

Ответ запишите в троичной системе (основание системы счисления в ответе писать не нужно).

Решение:

Переведем все числа в десятичную систему счисления:

Квадратное уравнение имеет корни -8 и 6. (т.к. основание системы не может быть отрицательным). .

Ответ: 20

4. Подсчет количества единиц (нулей) в двоичной записи значения выражения

Для решения этого типа задач нам нужно вспомнить, как происходит сложение и вычитание «в столбик»:

При сложении происходит поразрядное суммирование записанных друг под другом цифр, начиная с младших разрядов. В случае, если полученная сумма двух цифр больше или равна основанию системы счисления, под суммируемыми цифрами записывается остаток от деления этой суммы на основание системы, а целая часть от деления этой суммы на основание системы прибавляется к сумме следующих разрядов.

При вычитании происходит поразрядное вычитание записанных друг под другом цифр, начиная с младших разрядов. В случае, если первая цифра меньше второй, мы «занимаем» у соседнего (большего) разряда единицу. Занимаемая единица в текущем разряде равна основанию системы счисления. В десятичной системе это 10, в двоичной 2, в троичной 3 и т.д.

Пример 7

Сколько единиц содержится в двоичной записи значения выражения: ?

Решение:

Представим все числа выражения, как степени двойки:

В двоичной записи двойка в степени n выглядит, как 1 и n нулей. Тогда суммируя и , получим число, содержащее 2 единицы:

Теперь вычтем из получившегося числа 10000. По правилам вычитания занимаем у следующего разряда.

Теперь прибавляем к получившемуся числу 1:

Видим, что у результата 2013+1+1=2015 единиц.

Ответ: 2015.

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Задача №16. Поиск основания системы по окончанию числа, уравнения и различные кодировки, арифметические действия в различных системах.» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 07.05.2023

Перевод из десятичной системы счисления в другие

Пример: Переведем число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

Ответ: 75₁₀ = 1 001 011₂   =  113₈  =  4B₁₆.

Перевод в десятичную систему счисления

Перевод целых чисел из системы счисления с основанием q (недесятичной системы) в десятичную систему счисления выполняется по правилу: если все слагаемые в развернутой форме недесятичного числа представить в десятичной системе и вычислить полученное выражение по правилам десятичной арифметики, то получится число в десятичной системе, равное данному. Рассмотрим примеры:

112₃ = 1 · 3² + 1 · 3¹ + 2 · 3⁰ = 9 + 3 + 2 = 14₁₀

101101₂ = 1 · 2⁵ + 0 · 2⁴ + 1 · 2³ + 1 · 2² + 0 · 2¹ + 1 · 2⁰ = 32 + 0 + 8 + 4 + 1 = 45₁₀

15FС₁₆ = 1 · 16³ + 5 · 16² + 15(F) · 16¹ + 12(С) · 16⁰ = 4096 + 1280 + 240 + 12 = 5628₁₀

Развернутая форма числа

Развернутая форма записи числа – это запись в виде разрядных слагаемых, записанных с помощью степени соответствующего разряда и основания степени=10.

Рассмотрим примеры:

32478₁₀ = 3·10000 + 2·1000 + 4·100 + 7·10 + 8 =

= 3·10⁴ + 2·10³ + 4·10² + 7·10¹ + 8·10⁰

112₃ = 1·10² + 1·10¹ + 2·10⁰

101101₂ = 1·10⁵ + 0·10⁴ + 1·10³ + 1·10² + 0·10¹ + 1·10⁰

15FC₁₆ = 1·10³ + 5·10² + F·10² + C·10⁰

Арифметические операции в позиционных системах счисления

Рассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны — это сложение, вычитание, умножение столбиком   и  деление углом. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Только таблицами сложения и умножения надо пользоваться особыми для каждой системы.

С л о ж е н и е

Таблицы сложения легко составить, используя Правило Счета.  

                 Сложение в шестнадцатеричной системе

При сложении цифры суммируются по разрядам, и если при этом возникает избыток, то он переносится влево.

  Пример 1. Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления.

  Пример 2. Сложим числа 15, 7 и 3.

  Пример 3. Сложим числа 141,5 и 59,75.

  Ответ: 141,5 + 59,75 = 201,25₁₀ = 11001001,01₂ = 311,2₈ = C9,4₁₆

Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:

11001001,01₂ = 2⁷ + 2⁶ + 2³ + 2⁰ + 2^-2 = 201,25;

311,2₈ = 3^. 8² + 1^.8¹ + 1^.8⁰ + 2^.8^-1 = 201,25 ;

C9,4₁₆ = 12^.16¹ + 9^.16⁰ + 4^.16^-1 = 201,25 .

Калькулятор расширенной формы

Базовый калькулятор

Калькулятор расширенной формы

23 958

Расширенные формы могут быть написаны как предложение или сложены для удобства чтения, как здесь.

Расширенная форма записи:

23 958

=

20 000

+

3,000

23 958

=

2 ×

10 000

+

3 ×

1 000

+ 9 0003

9 ×

100

+

5 ×

10

+

1

23 958 =

2 × 10 ⁴

+

3 × 10 ³

+

9 × 10 ²

+

5 × 10 ¹

+

8 × 10 ⁰

23 958 =
двадцать три тысячи девятьсот пятьдесят -восемь

Поделитесь этой ссылкой для ответа: help
Вставьте эту ссылку в электронное письмо, текст или социальные сети.

Получить виджет для этого калькулятора

© Calculator Soup

Поделись этим калькулятором и Страница

Использование калькулятора

Калькулятор расширенной формы показывает расширенные формы числа, включая расширенную форму записи, расширенную форму множителя, расширенную экспоненциальную форму и форму слова.

Расширенная форма или расширенная нотация — это способ записи чисел, позволяющий увидеть математическое значение отдельных цифр. Когда числа разделены на отдельные разряды и десятичные разряды, они также могут формировать математическое выражение. 5 325 в расширенной записи равно 5 000 + 300 + 20 + 5 = 5 325.

Вы можете записывать числа в расширенной форме несколькими способами.

Напишите 5,325 в форме расширенного номера

Стандартная форма :
5 325

Расширенная форма:
5000 + 300 + 20 + 5 = 5325

Форма расширенных факторов:
(5 × 1000) + (3 × 100) + (2 × 10) + (5 × 1) = 5325

Расширенная экспоненциальная форма:
(5 × 10 ³ ) + (3 × 10 ² ) + (2 × 10 ¹ ) + (5 × 10 ⁰ ) = 5,325

Форма слова:
пять тысяч триста двадцать пять

Обратите внимание, что в Англии и Великобритании фраза «стандартная форма» относится к обозначению научных чисел, которое в США называется «научное обозначение». Стандартная форма в Великобритании и научная запись в США означают по существу одно и то же, когда речь идет о записи, используемой для представления очень больших или очень маленьких чисел, таких как 4,9.59 × 10 ¹² или 1,66 × 10 ^-24 .

Связанные калькуляторы

См. наши Конвертер чисел в слова для получения словесных форм имен чисел. Этот калькулятор особенно полезен для нахождения словоформы очень маленьких десятичных знаков.

Калькулятор развернутой формы

Создано Мацеем Ковальски, кандидатом наук

Отзыв Стивена Вудинга

Последнее обновление: 10 февраля 2023 г.

• Что такое развернутая форма?
• Как записывать числа в расширенной форме
• Как записывать десятичные дроби в расширенной форме
• Расширенная форма с показателями степени
• Использование калькулятора расширенной формы

Добро пожаловать в калькулятор расширенной формы Omni — ваш выбор чтобы узнать, как писать числа в развернутом виде. По сути, расширенная форма в математике (также называемая расширенное обозначение ) — это способ разложить значение на слагаемые, соответствующие его цифрам . Тема похожа на научную нотацию, хотя здесь мы разделяем ее на еще большее количество терминов. Чтобы сделать связь еще более наглядной, у нас есть три разных варианта записи чисел в развернутом виде в калькуляторе, например, в развернутом виде с показателями степени.

Расширенная форма имеет решающее значение в различных областях математики, например, в алгоритме частичного произведения. Так что же такое расширенная форма? Ну, давайте сразу перейдем к статье и выясним!

Что такое расширенная форма?

Определение расширенной формы выглядит следующим образом:

💡 Запись чисел в развернутой форме означает отображение значения каждой цифры. Для точности выражаем число в виде суммы слагаемых, соответствующих цифрам единиц, десятков, сотен и т. д., а также цифрам десятых, сотых и т. д. для развернутой формы с десятичными знаками.

Как упоминалось выше, расширенное обозначение, скажем, 154 должно быть суммой членов, каждое из которых связано с одной из цифр . Очевидно, что мы не можем просто написать 1 + 5 + 4 , так как это далеко от того, что у нас было. Так как же написать число в развернутой форме? Ну, вы добавляете нули .

154 = 100 + 50 + 4

Так что же означает развернутая форма? Интуитивно мы связываем каждую цифру числа с чем-то, что имеет ту же цифру, , за которой следует достаточное количество нулей , чтобы оказаться в правильной позиции, когда мы суммируем все это. Чтобы сделать это более точным, давайте аккуратно опишем это в отдельном разделе.

Как записывать числа в развернутом виде

Возьмем число вида aₙ…a₄a₃a₂a₁a₀ , т. е. aₖ -s обозначают последовательные цифры числа где a₀ — цифра единиц , a₁ цифра десятков и так далее. В соответствии с определением расширенной формы из предыдущего раздела мы хотели бы написать:

aₙ…a₄a₃a₂a₁a₀ = bₙ + … + b₄ + b₃ + b₂ + b₁ + b₀ ,

с числом (не цифра!) bₖ каким-то образом соответствует aₖ .

Объясним, как записывать такие числа в расширенной форме начиная с правой стороны , т. е. с a₀ . Поскольку это цифра единиц, она должна стоять в конце нашего числа. Мы создаем b₀ , написав столько нулей справа от a₀ , сколько цифр после a₀ в нашем номере. Другими словами, мы ничего не прибавляем и получаем b₀ = a₀ .

Затем у нас есть цифра десятков a₁ . Опять же, мы образуем b₁ , помещая столько нулей справа от a₁ , сколько цифр после a₁ в исходном числе. В этом случае есть один такой (а именно, a₀ ), поэтому мы имеем b₁ = a₁0 (помните, что здесь мы используем запись цифры за цифрой). Точно так же к b₂ добавим два нуля (поскольку a₂ имеет a₁ и a₀ справа), что означает, что b₂ = a₂00 и так далее до bₙ = aₙ00…000 с n-1 нулями.

Итак, мы увидели, как записывать числа в расширенной форме в особом случае — , когда они целые . Но что, если у нас есть десятичные дроби? А если это какое-то длинное выражение с несколькими цифрами до и после точки? Что такое расширенная форма такого чудовища?

Ну что, посмотрим?

Как записать десятичные дроби в развернутом виде

По сути делаем то же самое что и в предыдущем разделе. Короче говоря, мы снова добавляем подходящее количество нулей к цифре, но для тех, что после десятичной точки, мы пишем их слева, а не справа . Очевидно, что точка должна быть размещена в правильном месте, чтобы все имело смысл (в конце концов, у нас не может быть целого числа, начинающегося с нуля). Так как же записать число в развернутом виде, если оно имеет дробную часть?

Структура из первого раздела не меняется: расширенная форма с десятичными знаками должна по-прежнему давать нам сумму вида :

aₙ…a₄a₃a₂a₁a₀.c₁c₂c₃…cₘ = bₙ + … + b₄ + b₃ + b₂ + b₁ + b₀ + d₁ + d₂ + d₃ + … + dₘ ,

(напоминаем, что aₖ -s и cₖ -s равны цифры , а bₖ — s и dₖ -s являются числами ). К счастью, мы получаем bₖ -s так же, как и раньше; мы просто должны помнить учитывать точку . Чтобы быть точным, мы добавляем столько нулей, сколько цифр справа, , но перед десятичной точкой (т. е. мы считаем только за -s).

С другой стороны, мы находим dₖ -s, помещая столько нулей слева от от cₖ -s, сколько цифр между десятичной точкой и рассматриваемой цифрой .

Например, чтобы найти d₁ , мы берем c₁ и добавляем столько нулей, сколько есть между десятичной точкой и c₁ (которых в данном случае нет). Затем к добавляем символы 0. в самом начале , что дает d₁ = 0.c₁ . Аналогично ставим один ноль слева от c₂ (поскольку у нас одна цифра между десятичной точкой и c₂ , а именно c₁ ), и получаем d₂ = 0,0c₂ . Мы повторяем это для всех d -s до dₘ = 0,000…cₘ , который имеет m-1 нулей после запятой.

Пусть будет пример расширенной формы с номером 154,102 :

154,102 = 100 + 50 + 4 + 0,1 + 0,002 .

(Обратите внимание, что у нас нет ничего, соответствующего сотой цифре. Это потому, что оно равно 0 , так что в расширенной нотации это будет 0.00 , или просто 0 , т.е. ничего.)

Внимательный глаз мог заметить общую черту при написании чисел в расширенной форме (даже в развернутой форме с десятичными знаками): все дело в добавлении нулей в нужных местах. Кроме того, нули, естественно, соответствуют 10 , 100 , 1000 , 0,1 , 0,01 , 0,001 , и так далее. Еще более зоркий глаз может заметить, что все эти числа являются степенями 10 :

10¹ = 10 , 10² = 100 , 10³ = 1000 900 12 , 10⁻¹ = 0,1 , 10⁻ ² = 0,01 , 10⁻³ = 0,001 .

Это подводит нас к новому взгляду на расширенную форму в математике: с показателями степени .

Расширенная форма с показателями

Показатели 10 очень простые . Всякий раз, когда мы берем некоторую степень целого числа 10 (здесь мы не рассматриваем дробные степени), результатом будет цифра 1 с несколькими нулями, которые соответствуют этой степени . Как мы видели в конце предыдущего раздела, первыми тремя положительными степенями являются:

10¹ = 10 , 10² = 100 , 10³ = 1000 ,

поэтому результатом является цифра 1 с единицей, двумя и тремя нулей соответственно. С другой стороны, первые три отрицательные степени таковы:

10⁻¹ = 0,1 , 10⁻² = 0,01 , 10⁻³ = 0,001 ,

итак, снова, цифра 1 с единицей , два и три нуля соответственно, с небольшим изменением, что нули появляются слева вместо правого (это результат минуса в показателе степени).

Еще одно замечательное свойство степеней 10 заключается в том, что если мы умножим любую из них на однозначное число, получится то же самое, но с заменой 1 на число . Например:

10 × 5 = 50 , 1000 × 3 = 3000 , 0,001 × 6 = 0,006 ,

и они выглядят так же, как сумма мы видели в расширенной записи . Другими словами, мы могли бы заменить каждое слагаемое при записи чисел в расширенной форме на [умножение чего-то, что состоит из цифры 1 и некоторых нулей, на однозначное число. И это объясняет, как записывать числа с десятичными знаками в расширенной форме с множителями (обратите внимание, как мы можем выбрать такую ​​опцию в калькуляторе расширенной формы).

Так что же в данном случае означает развернутая форма? Он снова говорит нам разложить наши числа на слагаемые, соответствующие цифрам, но на этот раз слагаемые имеют вид « цифра, умноженная на число с 1 и некоторыми нулями ».

Давайте рассмотрим пример , чтобы ясно это увидеть. Вспомним из предыдущего раздела, что:

154,102 = 100 + 50 + 4 + 0. 1 + 0,002

Используя приведенный выше аргумент, мы можем эквивалентно записать этот пример расширенной формы как: можно пойти еще дальше!0011 10 ? Ну давайте их так и напишем! Таким образом, мы получаем еще одну расширенную запись: расширенную форму с показателями степени (обратите внимание, как мы можем выбрать эту опцию в калькуляторе расширенной формы).

Так что же такое развернутая форма с показателями? Как и прежде, он разлагает наше число на слагаемые, соответствующие цифрам, но теперь слагаемые принимают форму « цифр, умноженных на 10 в некоторой степени ». В этом новом варианте приведенный выше пример развернутой формы выглядит так:

154,102 = 1×10² + 5×10¹ + 4×10⁰ + 1×10⁻¹ + 2×10⁻³ .

Обратите внимание, как степени, представленные здесь , согласуются с нижними индексами, которые мы использовали во втором разделе. Также обратите внимание, что 1 также является степенью 10 , т. е. нулем. На самом деле любое число, возведенное в степень 0 , равно 1 .

В общем, нам удалось научиться записывать числа с десятичной дробью в расширенной форме тремя разными способами : с числами, с множителями и с показателями.

По сути, осталось сделать только одно: давайте закончим описанием того, как пользоваться калькулятором расширенной формы .

Использование калькулятора расширенной формы

Правила использования калькулятора расширенной формы просты. Вам просто нужно выполнить следующие три шага :

1. Введите число, которое вы хотели бы иметь в расширенной нотации, в поле « Номер ».
2. Выберите нужную форму: числа, множители или показатели степени, выбрав нужное слово в » Показать ответ в .

   No related posts.