Реферат проверка гипотез: Access to this page has been denied.

«Проверка гипотез о дисперсиях», Математика, химия, физика

РефератПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Проверка гипотезы о равенстве заданному числу дисперсии нормально распределенной случайной величины (одновыборочный у2 -критерий). Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух независимых нормально распределенных случайных величин (двухвыборочный F-критерий). Нормально распределенной случайной величины Читать ещё >

Ключевые слова:

• теория вероятностей и математическая статистика. математические модели

• Выдержка
• Другие работы
• Помощь в написании

Проверка гипотезы о равенстве заданному числу дисперсии нормально распределенной случайной величины (одновыборочный у² -критерий)

Для проверки гипотезы Но: о² = Оц о равенстве дисперсии.

0² нормально распределенной случайной величины <; заданному числу о’о рекомендуется использовать статистику.

Можно показать, что эта статистика, при условии, что верна гипотеза Щ, распределена по закону у² с п — 1 степенями свободы. Критическая область уровня а при двусторонней альтернативе Н а² ф Оц состоит из двух промежутков: [0, у² _[ _а/₂].

^и [х»—1,1—а/2′ °°)’ где Хп—1,а/2 ^и Х®-1,1-а/2 «квантили порядка а/2 и 1 — а/2 распределения у² с п — 1 степенями свободы. Для односторонней альтернативы Н: а² > Oq критическая область имеет вид [Xn-i, i-a> °°)’ ^а Д^ля альтернативы Н: a² < ajj — соответственно [0, Хп—1,а1* (17, «https://gugn.ru»).

Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух независимых нормально распределенных случайных величин (двухвыборочный F-критерий)

Ранее было показано, что процедура проверки гипотезы о равенстве двух математических ожиданий двух нормально распределенных случайных величин упрощается, если их дисперсии одинаковы. п-1,т—1,1—а/2 квантили порядка а/2 и 1 — а/2 F-распределения cn — 1 и т — 1 степенями свободы. Для односторонней альтернативы Н: D (?) > D®) критическая область имеет вид [F_n_i_jm_i i__a, оо), а для альтернативы Н: D (?) < D (t)) — соответственно [0,F_n_i_im_i_>a]. Если в качестве статистики использовать отношение большей оценки дисперсии к меньшей, то в качестве критической области (для случая s > Sy) при двусторонней альтернативе следует использовать одностороннюю критическая область [F_n_i_tm_i_}i__a/₂, оо). Это позволяет ограничиться таблицами F-распределения, содержащими значения функции распределения только для аргументов больших единицы.

Замечание. В отличие от^{-критерия} F-критерий чувствителен к отклонениям исходных случайных величин от нормальности. При значительных отклонениях от нормальности, особенно при небольшом числе наблюдений, его применять не следует.

Показать весь текст

Заполнить форму текущей работой

Скачать выдержку (⥥) html

«Проверка гипотез о математических ожиданиях», Математика, химия, физика

• Выдержка
• Другие работы
• Помощь в написании

Итак, пусть 2; ~ N ([i, а²), Но: р = ро и: р = pi и пусть имеется выборка Xi, X2, … , х_п значений случайной величины 2; объема п. Предположим, что Но верна и в качестве статистики критерия выбираем стандартизованное выборочное среднее.

При верной Но статистика и имеет стандартное нормальное распределение и ~ ЛГ (0,1), представленное на рис. 2.4. На этом рисунке также указана критическая область уровня, а = 0,05, состоящая из двух бесконечных полуинтервалов (—оо, —1,96] и [1,96, оо), вероятность попадания в каждый из которых статистики и равна а/2 = 0,025.

Имеются формализованные подходы к выбору статистик критериев и построению критических областей, приводящие к наиболее мощным критериям, но здесь их не рассматриваем. Неформальное же правило состоит в том, чтобы выбирать в качестве статистики величину, характеризующую степень отклонения от нулевой гипотезы. Очевидно, разность х — ро удовлетворяет этому условию, а деление на константу о/ /п, сохраняя это.

Рис. 2.4. Пример критической области.

качество, приводит к величине и с полностью заданным распределением, что позволяет выбрать критическую область с требуемым уровнем значимости. Другое неформальное правило выбора критической области состоит в том, чтобы она включала значения статистики, соответствующие наибольшим отклонениям от нулевой гипотезы (на рис. 2.4 эта рекомендация соблюдена).

До сих пор мы рассматривали свойства критерия в предположении, что верна гипотеза Но- А что происходит, когда верна альтернативная гипотеза /Д? В этом случае распределение статистики критерия и изменится. Чтобы его найти, произведем преобразование.

из которого следует, что при гипотезе #х распределение статистики и отличается от стандартного нормального сдвигом на величину , т. е. и ~ N (A, 1) при выполнении /Д.

На рис. 2.5 взаимное расположение плотностей распределения статистики и при гипотезах Но и Hi показано для случая ро = 0, pi = 2, о² = 1, а = 0,05 и п = 1. Вероятности ошибки 2-го рода 8 соответствует площадь под кривой функции плотности при Н на промежутке от —1,96 до 1,96, где не отвергается гипотеза Но, а следовательно, ошибочно не принимается гипотеза Hi. В данном случае вероятность ошибки 2-го рода, р = 0,48, довольно велика. Это произошло главным образом потому, что мал объем выборки — имеется всего одно наблюдение, п = 1. При увеличении п распределение, соответствующее альтернативной гипотезе Н, будет сдвигаться вправо, поскольку величина будет увеличиваться, что приведет к уменьшению (3 (см. рис. 2.5). Очевидно также, что большей величине разности pi — ро соответствует большая величина Д и, следовательно, меньшая вероятность ошибки 2-го рода. Вероятность ошибки 2-го рода уменьшается также при уменьшении дисперсии а² наблюдаемой случайной величины. Кроме того, (3 уменьшается при увеличении а, однако не принято принимать, а больше 0,05. При уменьшении, а вероятность ошибки 2-го рода [3, напротив, растет, поэтому не следует принимать, а слишком малым, если число наблюдений п мало, разность между pi и ро невелика, а дисперсия о² большая.

Содержательно, ошибка 1-го рода — это ошибка ложного обнаружения несуществующего отклонения от нулевой гипотезы (ложного обнаружения несуществующего эффекта). Ошибка 2-го рода — это ошибка ложного необнаружения существующего отклонения от нулевой гипотезы (ложного необнаружения существующего эффекта). Мощность критерия — его способность обнаружить имеющееся отклонение от нулевой гипотезы.

Рис. 2.5. Взаимосвязь между вероятностями ошибок 1-го и 2-го рода при двусторонней альтернативе.

В приведенном примере предполагалось, что альтернативной гипотезе Hi соответствует вполне определенное распределение.

с, ~ N{2,1), что позволило найти конкретное значение вероятности ошибки 2-го рода. Такого рода альтернативные гипотезы называются простыми альтернативами. Однако на практике чаще встречается ситуация, когда конкретной нулевой гипотезе противопоставляется целый спектр альтернатив. Например, Н: Mi; ф ро или Н: Mi; > ро. Такого рода альтернативные гипотезы называются сложными альтернативами. В случае сложной альтернативной гипотезы нельзя определить величину вероятности ошибки 2-го рода. Например, в рассматриваемой ситуации она может быть значительной даже при очень большом числе наблюдений, если различие между pi и ро малб. Поэтому в ситуации, когда статистика критерия не попадает в критическую область, не утверждают категорично, что «нулевая гипотеза принимается», а формулируют вывод более осторожно: «нулевая гипотеза не отвергается». Тем самым подчеркивается, что хотя и не обнаружены отклонения от нулевой гипотезы, при верной Н их можно ошибочно не обнаружить с вероятностью (3, которая нам не известна и которая, возможно, довольно значительна. Если же р действительно велика, то утверждение «нулевая гипотеза принимается» не представляет большой ценности. Например, положив равной нулю вероятность ошибки 1-го рода, независимо от результатов наблюдений, всегда будем принимать гипотезу Но, поскольку критическая область будет включать всю область определения статистики критерия. Однако при этом вероятность ошибки 2-го рода будет равна единице, т. е. если даже отклонение от нулевой гипотезы имеется, то оно с вероятностью «единица» не будет обнаружено.

Сложные альтернативы могут быть двусторонними {Ну. М (5) ф ро) и односторонними {Hi: М (?) > ро или Hi: М (?) < < ро). Если имеется достоверная информация о направлении отклонения от нулевой гипотезы, то использование односторонней альтернативы предпочтительнее, поскольку повышает мощность критерия. Например, если известно, что отклонение математического ожидания р от гипотетического значения ро может произойти только в большую сторону, то в качестве альтернативы следует взять гипотезу Hi: М (2;) > ро. Критическая область уровня, а в этом случае будет состоять не из двух бесконечных полуинтервалов (—оо, м_а//₂] и [«]__а/2, ос), а из одного [аг —», оо).

На рис. 2.6 ситуация с односторонней альтернативой представлена для случая ро = 0, pi = 2, о² = 1, а = 0,05 и п = 1.

Рис. 2.6. Взаимосвязь между вероятностями ошибок 1-го и 2-го рода при односторонней альтернативе.

Вероятности ошибки 2-го рода (3 при условии, что верна гипотеза #i, соответствует площадь под кривой плотности статистики критерия д. На промежутке от —оо до 1,64 [3 = 0,36, что меньше величины (3 = 0,48 для аналогичной двусторонней альтернативы, представленной на рис. 2.5.

Пример 2.3. Известно, что датчик генерирует случайные числа, нормально распределенные с дисперсией 1, но есть сомнения в том, что математическое ожидание равно 0. Требуется проверить гипотезу о равенстве математического ожидания нулю при двусторонней альтернативе по следующей случайной выборке объема п = 25:

Выборочное среднее равно х = 0,358, следовательно, для статистики критерия получаем.

Значение 1,79 не выходит за двусторонние 5%-е критические пределы ±ио, 975 — ±1,96, поэтому гипотеза не отвергается.

На самом деле математическое ожидание датчика было равным 0,25, т. е. отклонение ошибочно не было обнаружено — при проверке гипотезы была сделана ошибка 2-го рода. Очевидно, мощность критерия при данном числе наблюдений п = 25, данной разности между гипотетическим и истинным математическими ожиданиями pi — ро = 0,25 и данной дисперсии а² = 1 недостаточна. (В другом эксперименте с этим же датчиком была получена выборка значений объема п = 100. Выборочное среднее оказалось равным х = 0,218, а выборочное значение статистики — равным 2,18, что дало основание отвергнуть нулевую гипотезу.) [https://westud.ru, 25].

Замечание. В современных пакетах статистических программ кроме вычисленного значения статистики критерия г/_набл (в данном случае г*_набл = 1,79) выдается и так называемое p-значение (от англ. а, то Но должна быть отвергнута. В рассмотренном примере 0,073 > 0,05, следовательно, Но не должна быть отвергнута.

Проверка гипотезы о равенстве заданному числу математического ожидания нормально

распределенной случайной величины с неизвестной дисперсией (одновыборочный t-критерий)

Аналогично случаю построения доверительного интервала для неизвестного математического ожидания нормально распределенной случайной величины, в случае неизвестной дисперсии в качестве статистики критерия проверки гипотезы о равенстве математического ожидания заданному числу возьмем ту же статистику, что и в случае с известной дисперсией, но с заменой неизвестного среднеквадратического отклонения, а его выборочной оценкой s

При верной Но статистика t имеет^{-распределение} сп-1 степенями свободы. Соответственно критическая область для проверки гипотезы Но: р = р₀ против двусторонней альтернативы tf 1: р ф ро будет состоять из двух бесконечных полуинтервалов (—oo, t_n-i, a/2] и [t_n_i i_. _a/2,оо) против односторонней альтернативы Н: р > ро — из одного полуинтервала [tn-i.i-a, оо) и против односторонней альтернативы Н: р ^гД^е <_a/2> *i-_a/2> ti—в) t_a обозначают квантили^{распределения} с п — 1 степенями свободы соответствующего уровня значимости (в силу симметричности^{распределения} справедливы равенства t_a/2 = —* 1 —»/2 и t_a = —t]__a).

Пример 2−4? Рассмотрим пример 2.3 в предположении, что дисперсия неизвестна. В этом случае необходимо вычислить оценку среднеквадратического отклонения, которая оказываются равной s = 0,830. Выборочное значение статистики критерия соответственно равно.

Это значение необходимо сравнить с 5%-ми двусторонними критическими пределами, равными ±t24;0,025 = ±2,06. Выборочное значение статистики выходит за эти пределы, следовательно, гипотеза о равенстве математического ожидания нулю должна быть отвергнута на уровне значимости 5%. М (г)) будет состоять из двух бесконечных полуинтервалов (-00, /»_+щ-2,а/2] И [Z»+m-2,l-0t/2>°o) ПрОТИВ односторонней альтернативы Н: М (?) > М (г)) — из полуинтервала [Z»_+m_2д—», оо) и против альтернативы Н: М (?) < М (т)) — ИЗ полуинтервала (оо, /л+m—2,а]) Zn+m—2&/2′> Zri+m—2,1— a/2i.

t_n+TO_2,i-_a, t_n+m-2,a обозначают соответствующие квантили /-распределения сп + га-2 степенями свободы.

2. Если нет оснований считать, что дисперсии случайных величин 5 и т) равны, то для каждой из дисперсий D (?) и D®) вычисляется своя оценка.

и соответственно модифицируется статистика критерия.

которая, как можно показать, имеет /-распределение с числом степеней свободы, равным целой части от 1 /к, где к выражается следующей формулой

Связанные выборки. Пусть теперь Х, Х2,? ??, х» и у, У2, ? ?., у_п — связанные случайные выборки из нормальных распределений ~ /V (M (?), D (i;)) и г) ~ (M®), D®)). Например, Х{ и гл — результаты измерения давления до и после приема лекарства соответственно, или длина и ширина цветка ириса. Для проверки гипотезы Но: М (?) = М (т)) при двусторонней альтернативе Н1: М (?) ф М (т)) используется статистика.

При условии, что верна гипотеза Но, статистика критерия имеет /-распределение с п — 1 степенями свободы. Критическая область уровня, а состоит из двух интервалов (—оо, -?»-1,1−01/2) ^и (?»—1,1—о/2> оо), где ?»_1д—а/2 — квантиль /-распределения порядка 1 — а/2 с числом степеней свободы п — 1. Так построенный критерий называется парным /-критерием или /-критерием для связанных выборок.

Замечание. Для связанных выборок t-критерий совпадает с одновыборочным t-критерием для выборки Zj, Z2, …, z», где г, = Xi — yi,

1 = 1, …, п, для проверки нулевой гипотезы Яц: М (г) = 0 против двусторонней альтернативы Hi: М (г) ф 0.

Показать весь текст

Заполнить форму текущей работой

Аннотация

Аннотация

Абстрактная структура обычно соответствует структуре более широкая статья или диссертация с разделами, соответствующими аспектам введения, методов, результатов и обсуждения. Как по сути микро-тезисы, рефераты короткие, но писать их — дело обманчиво трудно, так как они должны быть упакованы с большим количеством информация. Кроме того, многие люди думают, что они просты и оставь их на ночь, чтобы написать. Это ошибка. Аннотация – это первое, что читает человек ваше предложение или тезис — плохой реферат отпугнет читателя, не предоставлять достаточно информации о вашем исследовании и, как правило, давать у читателя плохое впечатление. Хороший реферат настраивает вас на успех. Мы предоставляем руководство по предложению ниже и затем рассмотрит два тезисов. Удачи и начать скоро!

Раздел 1.

 (1 предложение) Обзор проблемы, ссылка на более широкий вопрос расследовано. Должно быть коротким и относительно интересным/напористым.

Раздел 2.  (1 предложение) Сосредоточенный обзор того, что неизвестно, обеспечивая контекст для исследования и потенциально включая цели или цели. В некоторых тезисах будет указана цель или гипотеза внутри этого предложения.

Раздел 3. (1-3 предложения). Методы, которые вы предприняли для решения проблема. Этот раздел должен включать обзор используемые методы, достаточно подробно, чтобы дать читателю общее представление того, что вы сделали, но не настолько подробно, чтобы аннотация становится длинным и громоздким. Включая объем(ы) выборки и виды используемых анализов уместны в некоторых случаях, но это обычно неуместно цитировать числовые значения из статистических тесты, напр. значения р.

Раздел 4.  (2-4 предложения). Общие итоги и итоги с указанием основных, значительные результаты.

Раздел 5. (1-2 предложения). Самый важный пункт обсуждения.

Раздел 6. (1 последний предложение). Более широкие последствия и важность
результаты — это должно быть связано с исходным вопросом в начало реферата.

Пример 1   

Статья Мартина Стьюта была опубликована в журнале Water. Исследование ресурсов. Давайте прочитаем реферат Мартина, а затем проанализируем, как он делал по правилам выше. Всего 5 предложений и 156 слов. Прочтите аннотацию сами, а затем откройте наши комментарии и посмотрите, согласны ли вы. PDF имеет разметку. В целом очень красивая абстракция. Несколько областей могли быть расширенная, но красивая аннотация, соответствующая правилам!

Пример 2

Во-вторых, мы рассмотрим реферат Боуна и Кио, из статьи, опубликованной в журнале Marine Ecology. Аннотация состоит из 9 предложений и состоит из 291 слова (чуть меньше 300 слов).

для журнала!) Я разбил аннотацию на 7 разделов – определите основное сообщение или цель каждого раздела и посмотрите, вы можете собрать реферат обратно в его первоначальную форму. Показывает ли законченный реферат четкую логическую последовательность? Делает дает достаточную информацию о предпосылках, методах и Результаты?

Картинка стоит тысячи p значений: О неактуальности проверки гипотез в эпоху микрокомпьютеров

Картинка стоит тысячи p значений: О неактуальности проверки гипотез в эпоху микрокомпьютеров

Скачать PDF

Скачать PDF

• 9. Симпозиум по визуализации данных
• Опубликовано: Июнь 1993 г.

• Джеффри Р. Лофтус ¹  

Методы исследования поведения, инструменты и компьютеры том 25 , страницы 250–256 (1993 г.)Процитировать эту статью

• 1194 доступа

• 107 цитирований

• 1 Альтметрика

• Сведения о показателях

Abstract

Проверка гипотез, хотя и является наиболее распространенным статистическим методом для получения выводов из данных, тем не менее не очень информативна. Он подчеркивает банальный и сбивающий с толку вопрос («Правда ли, что некоторые средние значения совокупности не идентичны друг другу?»), ответ на который в математическом смысле почти неизбежно известен («Нет»). Проверка гипотез в том виде, в каком она обычно осуществляется, игнорирует два вопроса, которые обычно являются гораздо более интересными, важными и актуальными: что такое

образец средних значений популяции в зависимости от условий, и каковы величины различных показателей изменчивости (например, стандартные ошибки среднего, оценки стандартных отклонений популяции)? Простой способ построения соответствующих статистических данных выборки с соответствующими столбцами изменчивости является значительно лучшим способом передачи результатов эксперимента. В современной микрокомпьютерной среде существует множество относительно дешевых и легкодоступных приложений, позволяющих это делать. Я делаю несколько кратких неофициальных замечаний по поводу некоторых из этих применений.

Скачайте, чтобы прочитать полный текст статьи

Ссылки

• Бакан, Д.

  (1966). Тест значимости в психологических исследованиях. Психологический бюллетень , 66 , 423–437.

  Артикул пабмед Google Scholar

• Коэн, Дж. (1990). Чему я научился (на данный момент). Американский психолог , 45 , 1304–1312.

  Артикул Google Scholar

• Глгеренцер Г., Сутинк З., Портер Т., Дастон Л., Битти Дж. и Кьюругер Л. (1989). Империя случая: как вероятность изменила науку и повседневную жизнь . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета.

  Google Scholar

• Лофтус, Г. Р. (1991). О тирании проверки гипотез в социальных науках. Современная психология , 36 , 102–105.

  Google Scholar

• Лофтус, Г. Р. (1993). Редакционный комментарий.

  Память и познание , 21 , 1–3.

  Google Scholar

• Мелтон, А. В. (1962). Редакция. Журнал экспериментальной психологии , 64 , 553–557.

  Артикул Google Scholar

• Нанналли, Дж. (1960). Место статистики в психологии. Образовательные и психологические измерения , 20 , 641–650.

  Артикул Google Scholar

• Тафте, Э. Р. (1983). Визуальное отображение количественной информации . Чешир, Коннектикут: Graphics Press.

  Google Scholar

• Тафте, Э. Р. (1990). Представление информации . Чешир, Коннектикут: Graphics Press.

  Google Scholar

• Тьюки, Дж. В. (1977). Исследовательский анализ данных . Чтение, Массачусетс: Аддисон-Уэсли.

  Google Scholar

Скачать ссылки

Информация об авторе

Авторы и организации

1. Факультет психологии, Вашингтонский университет, Факультет психологии, 98195, Seattle, WA

   Джеффри Р.

   No related posts.