Решать онлайн примеры со степенями: Алгебраический калькулятор | Microsoft Math Solver

Задачи со степенями и радикалами 11 класс онлайн-подготовка на Ростелеком Лицей

Повторение теории

 

Напомним основное определение.

 

Степенью неотрицательного числа а с рациональным положительным показателем  называется число .

Степенью положительного числа а с рациональным отрицательным показателем  называется число .

Для  выполняется равенство:

.

Например:

Напомним свойства степеней с рациональными показателями.

Здесь , , s и r – рациональные числа.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. .

 

Задачи на вычисление и упрощение выражений

 

 

Пример 1 – вычислить:

 

.

Пример 2 – сократить дробь:

.

Чтобы сократить заданную дробь, нужно разложить знаменатель на множители:

.

В результате преобразований получили дробь:          

.

Данный ответ справедлив при условии, что , иначе дробь не имеет смысла.

Сделаем некоторые замечания:

• При  замена  допустима,  (по определению степени с положительным рациональным показателем).

Пример 3 – сократить дробь:

.

ОДЗ:

.

В данном случае для разложения нужно применить другую формулу сокращенного умножения и разложить числитель:

.

В результате преобразования получили дробь:

.

Ответ справедлив в том случае, если m и n одновременно не равны нулю, данный факт часто записывают следующим образом:

.

 

Решение уравнений

 

 

Пример 4 – упростить выражение

:

 

.

Несложно заметить, что произведение второй и третьей скобок можно свернуть по формуле разности квадратов:

В результате преобразования получили произведение двух скобок, которое также можно свернуть по формуле разности квадратов:

.

Отметим, что в данном случае значения а ограничены:  (по определению степени с рациональным положительным показателем).

Пример 5 – решить уравнение:

.

Скобка – это конкретное число, не зависящее от х, имеем право на нее сократить и получить , но только в том случае, если выражение в скобках не равно нулю. Проверим:

.

В результате преобразований получили скобку:

.

Пример 6 – решить уравнение:

а) .

Возводим уравнение в куб:

.

б)

Ответ: .

в)

Ответ: .

Пример 7 – решить уравнение:

.

При решении данного уравнения следует не забыть про область определения и ввести замену переменных:

, .

После введения замены получили уравнение:

.

Решаем полученное квадратное уравнение любым удобным способом, например по теореме Виета:

.

Первый корень не входит в ОДЗ, остается корень , отсюда находим ответ:

.

Пример 8 – решить уравнение:

а)

Ответ: .

б)

.

Ответ: .

в)

.

Ответ: .

Итак, мы рассмотрели различные типовые задачи со степенями и радикалами, на следующем уроке мы перейдем к изучению степенных функций.

 

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа. 
3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

 

Домашнее задание

1. Алгебра и начала анализа, 10–11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990, № 438, 439, 444.
2. Сократить дробь:
   
3. Упростить выражение:

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Математика (Источник).
2. Интернет-портал Nado5.ru (Источник).
3. Интернет-портал Terver. ru (Источник).

 

Обобщение понятия степени и решение примеров со степенями

Здравствуйте. Многие ученики испытывают сложности при решении заданий, в которых встречаются выражения с корнями. В данной статье я попытаюсь обобщить материал по темам «Радикал» и «Степень». Покажу как решать некоторые задания. Если у Вас во время прочтения статьи появятся вопросы, Вы можете записаться ко мне на занятие, я с радостью помогу Вам во всем разобраться, помогу с решением именно Ваших задач! 

1. Свойства степеней и корней

Степенью числа а с натуральным показателем n называется произведение n множителей, каждый из которых равняется а.
Степень числа а с показателем n обозначают aⁿ, например:

В общем случае при n > 1  имеем

Число a называется основой степени, число n — показателем степени.

Приведем основные свойства действий со степенями.

Приведенные свойства обобщаются для любых показателей степени

Часто в вычислениях используются степени с рациональным показателем. При этом удобным оказалось такое обозначение:

Корнем n— ой степени из числа а называется число b, n— я степень которого равняется a:

Корень также называется радикалом.

Корень нечетной степени n всегда существует. Корень четной степени 2n из отрицательного числа не существует. Существуют два противоположных числа, которые являются корнями четной степени из положительного числа а > 0. Положительный корень n— ой степени из положительного числа называют

арифметическим корнем.

Из формул (3), (4) вытекают такие свойства радикалов

Если степень корня n = 2, то показатель корня обычно не пишется.  

Пример 1.1. Найти значение выражения

Подкоренное выражение разложим на простые множители:

Пример 1.2. Упростить выражение

Имеем: 

 

Пример 1.3. Извлечь корень 

Имеем: 

Пример 1.4. Упростить выражение 

Поскольку при

2. Действия с радикалами

1) Преобразование корня по формуле  называется внесением множителя под знак радикала.

Пример 2.1.

Внести множитель под знак корня 5√2.

Исходя из формулы (7) получим 

Пример 2.2. Внести множитель под знак радикала x√y  при x< 0.

Имеем равенство 

2) Преобразование корня исходя из формулы  называется вынесением множителя из-под знака радикала.

Пример 2.3. Вынести множитель из-под знака корня в выражении  

Получим: 

Пример 2.4. Вынести множитель из-под знака корня

Имеем: 

Пример 2.5. Вынести множитель из-под знака корня:

Радикалы вида , где a, b — рациональные числа, называются подобными

. Их можно прибавлять и отнимать:

Пример 2.6. Упростить:

Пример 2.7. Сложить радикалы:

Пример 2.8. Выполнить действие:

Заметим, что равенство  не выполняется. В этом можно убедиться на таком примере:

Приведем примеры умножения радикалов.

Пример 2.9.

Аналогично освобождаются от кубических иррациональностей в знаменателе:

Рассмотрим более сложные примеры рационализации знаменателей:

Чтобы перемножить радикалы с разными степенями, их сначала превращают в радикалы с одинаковыми степенями.

Пример 2.10. Перемножим радикалы:

Во время умножения радикалов можно использовать формулы сокращенного умножения. Например:

Если радикалы находятся в знаменателе дроби, то, используя свойства радикалов, можно избавиться от иррациональности. 

Пример 2.11. Рационализируем знаменатели дробей

Выражения  называются сопряженными. Произведение сопряженных выражений не содержит радикалов:

Это свойство используется для рационализации знаменателей.

Пример 2.12. Избавиться от иррациональности в знаменателе:

Избавимся от иррациональности в знаменателе дроби:

3. Вычисление иррациональных выражений

С помощью свойств корней можно упрощать и вычислять иррациональные выражения. 

Пример 3.1. Вычислить

Выполним последовательно действия:

Пример 3.

2. Вычислить:

Выполним действия.

Часто используется формула двойного радикала:

Пример 3.3. Исходя из формулы (8) находим:

Пример 3.4. Вычислить

Исходя из формулы (8) находим:

Окончательно получаем:

Аналогично вычисляются кубические корни. Имеем:

Возводим обе части равенства в куб:

Сравнивая выражения при √с, получаем однородную систему уравнений:

Поделив уравнение почленно, приходим к уравнению для z = y/x:

Пример 3.5. Вычислить значение радикала

После возведения в куб уравнения приходим к системе уравнений:

Поделив почленно первое уравнение на второе, получим уравнение для

z= y/x:

По схеме Горнера находим корень z = — ½

Из системы уравнений и уравнения y/x = — ½ находим x = 2,  y = -1. Итак, 

Пример 3.6. Вычислить .

Возьмем .

Возведя обе части уравнения в куб, получаем откуда вытекает система уравнений

Система уравнений имеет очевидное решение x= 1, y= 1.

Поэтому .

Вычисляем радикал

Окончательно имеем a = — 1.

Пример 3.7. Вычислить

Поскольку 

Дальше имеем:

Итак, a = — 2.

Пример 3.8. Вычислить

Возведем уравнение в куб, воспользовавшись равенством .

Получили для x кубическое уравнение

или x³ – 3x – 18 = 0,

имеет корни 

Во множестве действительных чисел имеем корень x = 3.

4. Оценки для радикалов

Если 

Это неравенство можно использовать для доведения неровностей, которые содержат радикалы.

Пример 4.1. Доказать, что .

Возведя неравенство в шестую степень, получим очевидное неравенство

Можно приводить радикалы к одной и то й же самой степени :

Пример 4.2. Оценим  .

Поскольку

 

При преобразовании неравенств можно использовать символ V, понимая под ним знаки « > », « < », или « ». 

Пример 4.3. Какое число больше 

.

Поскольку 

На этом все. Напоминаю, что Вы можете записываться ко мне на занятия в расписании, я с радостью помогу Вам с любыми вопросами по математике или высшей математике.

© blog.tutoronline.ru, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Калькулятор угла — Калькулятор угла онлайн

Калькулятор угла — очень полезный инструмент, который помогает найти центральный угол, образованный дугой в центре круга. Этот калькулятор дает угол как в радианах, так и в градусах с пошаговым расчетом.

Что такое калькулятор углов?

« Калькулятор угла» — это онлайн-инструмент, который помогает найти угол, образуемый дугой, если радиус и длина дуги известны. Калькулятор угла нахождения Cuemath поможет вам рассчитать угол за несколько секунд. Все, что нам нужно сделать, это указать радиус и длину дуги, а соответствующий стягивающий угол показан с подробным решением.

Еще одним преимуществом этого калькулятора углов является то, что он позволяет вычислять угол как в радианах, так и в градусах.

ПРИМЕЧАНИЕ: Введите значение, состоящее только из 4 цифр.

Как пользоваться калькулятором угла?

Чтобы использовать калькулятор углов, выполните следующие шаги:

• Шаг 1: Введите длину дуги и радиус в поля ввода
• Шаг 2: Нажмите кнопку «Решить» , чтобы найти угол.
• Шаг 3: Нажмите кнопку «Сброс» , чтобы найти угол с различными радиусами и длинами дуг.

Как найти угол?

Углы измеряются в градусах или радианах, которые можно определить с помощью транспортира или других картографических инструментов. Для обозначения угла используется символ ∠. Два луча, образующие угол, называются плечами угла, а их общая точка называется вершиной.

Дуга представляет собой часть окружности окружности, и при соединении концов дуги с центром окружности в центре образуется угол, который можно рассчитать по формуле:

Угол в радианах = длина дуги / радиус

Хотите найти сложные математические решения за считанные секунды?

Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором, чтобы решить сложные вопросы. С Cuemath находите решения простыми и легкими шагами.

Забронировать бесплатный пробный урок

Решенные примеры на калькуляторе углов

Пример 1: Найдите угол, образуемый дугой, если длина дуги составляет 3,14 единицы, а радиус — 1 единица.

Решение:

Дано: Длина дуги = 3,14

Радиус = 1

Угол = Длина дуги / Радиус = 3,14 / 1 = 3,14 радиан = 180 градусов (Проверьте то же самое с помощью углового калькулятора).

Ответ: 180 градусов

Пример 2: Если радиус окружности равен 5 см и она имеет дугу, длина которой 10,3 см, то найдите угол в радианах, опирающийся на эту дугу.

Решение:

Дано, что радиус = 5 см, а длина дуги = 10,3 см.

Теперь вводим эти значения в «Калькулятор нахождения угла», и тогда получаем, угол в радианах = 2,06.

Ответ: 2,06 радиана.

Попробуйте следующее:

Найдите стягиваемый угол с помощью калькулятора углов:

• длина дуги = 10 и радиус = 25
• длина дуги = 25 и радиус = 20

☛

Связанные темы:

• Калькулятор длины дуги
• Калькулятор радиуса

☛ Математические калькуляторы:

Степень многочлена — MathCracker.

com

Инструкции: Используйте этот калькулятор, чтобы найти степень полинома, который вы предоставляете. Пожалуйста, введите многочлен в форму ниже.

Еще о степени многочленов 92+2ху.

После ввода действительного выражения вы можете нажать «Рассчитать», и вам будут показаны результаты со всеми соответствующими шагами.

Многочлены, особенно квадратичные функции, являются краеугольным камнем многих фундаментальных приложений алгебры.

Как найти степень полинома

Прежде всего, нам нужен полином, тип функции, который содержит сложение и вычитание нескольких членов, состоящих из одной или нескольких переменных (x, y и т. д.). ), что возводятся в степень положительного целого числа и потенциально перемножаются вместе, а также потенциально умножаются на допустимое числовое выражение, возможно добавленная константа. 93+\frac{1}{3}x y + 3 \]

Как найти степень многочлена?

• Шаг 1: Четко определите полином, с которым вы работаете, и убедитесь, что это действительно полином
• Шаг 2. Изучите каждый термин и посмотрите, в какую степень возведена каждая переменная. Если в одном и том же термине встречается более одной переменной, сложите степени каждой из переменных в термине вместе. Это будет степень члена
• Шаг 3: Вычислите максимальную степень для каждого из членов, и степень полинома является максимальной из всех степеней членов

Другими словами, степень является максимальной каждой из индивидуальных степеней каждого из терминов. С технической точки зрения, степень многочлена — максимальная степень мономов, образующих многочлен.

Степень многочлена с двумя переменными

При работе с многочленами от двух переменных используется та же идея: разбить многочлен на его основные члены (или мономы) и вычислить степени каждого из мономов, сложив в нем все степени.

Тогда степень полинома от двух переменных является максимальной из всех степеней мономов. Таким образом, это та же процедура, что и с одной переменной.

Порядок и степень многочлена совпадают?

Существуют различные семантические интерпретации того, совпадает ли степень полинома с порядком полинома. Некоторые люди любят думать что степень относится к конкретному члену многочлена, а порядок относится ко всему многочлену.

В этом калькуляторе мы будем использовать степень и порядок взаимозаменяемо.

Что означает, что степень полинома равна 2?

Это означает, что максимальная степень среди всех отдельных членов, образующих многочлен, имеет не более чем степень 2, и один из них действительно имеет степень 2.

Например, многочлен xy + 2x + 2y + 2 имеет степень 2, потому что максимальная степень любого из его терминов равна 2 (хотя не все его отдельные термины имеют степень 2).

92 + 2sin(x) + 2\) не является полиномом, поскольку член \(2sin(x)\) не удовлетворяет требованию быть переменной, возведенной в некоторую положительную целочисленную степень.