Решатель систем: Решение систем уравнений · Калькулятор Онлайн

§ 2. Решение систем линейных уравнений

Метод Крамера

П усть система из линейных уравнений с неизвестными записана в матричной форме: , где — матрица системы,

— столбец неизвестных, — столбец свободных членов.

Пусть — определитель матрицы и пусть , т.е.

Правило Крамера. Если определитель системы (1) , то эта система совместна и определённа, т.е. имеет единственное решение, получаемое по формулам: , где — определитель, получаемый из определителя заменой -го столбца на столбец свободных членов.

Пример 2.1.

Решите систему уравнений по формулам Крамера:

Н айдём определитель матрицы системы: .

Т.к. , то решение системы существует и единственно.

Найдём определитель . В определитель вместо первого столбца подставим столбец свободных членов :

.

Определитель получается из подстановкой столбца свободных членов вместо второго столбца :

.

Отсюда получим решение системы уравнений:

; .

О твет:

М атричный метод

Пусть система из линейных уравнений с неизвестными записана в матричной форме: , Тогда, если определитель , то система совместна и определённа, её решение задаётся формулой:

Пример 2.2. Решите систему уравнений примера 2.

1 с помощью обратной матрицы: .

1. Т .к. , то решение системы существует и единственно.

2. Найдём алгебраические дополнения к элементам матрицы : , , , .

3. Найдём присоединённую матрицу: .

4. Найдём матрицу : .

5. Найдём решение системы уравнений:

.

О твет: .

Пример 2.3. Решите систему уравнений по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы:

I способ, метод Крамера.

.

.

.

.

, , .

О твет:

I I способ, метод обратной матрицы.

1) .

2)

Алгебраические дополнения элементов матрицы :

3) Присоединенная матрица:

.

4) Обратная матрица:

.

5) Решение системы:

.

О твет:

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.

П роцесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов.

На первом этапе система (1) приводится к одной из следующих систем:

• (2)

где , .

• (3)

где .

• (4)

г де .

На втором этапе:

• система (2) имеет единственное решение, значение находится из последнего уравнения, значение — из предпоследнего,…,значение — из первого;

• система (3) имеет бесконечное множество решений;

• система (4) несовместна, так как никакие значения неизвестных не могут удовлетворять её последнему уравнению.

Метод Гаусса. применим к любой (!) системе линейных уравнений.

Опишем метод Гаусса подробнее на примере.

Пример 2.4. Исследуйте систему линейных уравнений примера 2.1; и если она совместна, то найдите её решение:

I . Исследуем систему на совместность. Запишем расширенную матрицу системы и приведём её к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований:

~ .

Очевидно, что . Значит, согласно (**) (см. §1), система совместна и определённа, т.е. существует единственное решение.

II. Найдём решение системы. Запишем систему уравнений, соответствующую полученной расширенной матрице: Имеем систему вида (2). Из второго уравнения . Подставляя это значение в первое уравнение, получим: .

О твет:

Пример 2.5. Исследуйте систему линейных уравнений примера 2.3, и если она совместна, то найдите её решение:

I . Исследуем систему на совместность. Запишем расширенную матрицу системы и приведём её к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований:

~ ~

~ .

Очевидно, что . Значит, согласно (**) (см. §1), система совместна и определённа, т.е. существует единственное решение.

II. Найдём решение системы. Запишем систему уравнений, соответствующую полученной расширенной матрице:

Имеем систему вида (2). Из третьего уравнения .

Подставляя это значение во второе уравнение, получим: .

Подставляя найденные значения в первое уравнение, получим: .

О твет:

Пример 2.6. Исследуйте систему линейных уравнений, и если она совместна, то найдите её решение:

I . Исследуем систему на совместность. Запишем расширенную матрицу системы и приведём её к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований:

~ ~~ .

Очевидно, что . Значит, согласно (***) (см. §1), система совместна и неопределённа, т.е. имеет бесконечно много решений.

II. Найдём решение системы. Запишем систему уравнений, соответствующую полученной расширенной матрице:

Имеем систему вида (3). Выразим из второго уравнения и подставим полученное выражение в первое уравнение:

.

Следовательно, исходная система имеет решение где , могут принимать любые действительные значения.

О твет:

Продукт	Сырье
	I	II
	3	1,5
	2	4
Запасы	60	75

Пример 2. 7

. Цех выпускает два вида продукции и , полностью используя для их производства сырье вида I и вида II. В таблице указано число единиц сырья I и II, необходимых для производства одной единицы продукции и , а также имеющиеся запасы сырья.

Может ли цех удовлетворить заказ трёх торговых организаций:

Продукт	Заказ I организации	Заказ II организации	Заказ III организации
	2	3	3
	5	6	4

П усть и — количество единиц продукции и соответственно, которое может выпустить цех при данных условиях производства. Тогда данные первой таблицы можно представить системой уравнений:

Решим её методом Гаусса.

~

Т.е. цех произведёт 10 единиц продукта , 15 единиц — продукта .

Выясним, сможет ли цех выполнить заказ.

Д ля выполнения заказа нужно единиц продукта и единиц продукта . Следовательно, цех может выполнить заказ.

ЧТО ДОЛЖЕН ЗНАТЬ СТУДЕНТ

1. Понятие системы линейных уравнений с неизвестными.

2. Матричный способ решения системы уравнений (метод обратной матрицы).

3. Метод Крамера решения систем уравнений.

4. Метод Гаусса решения систем уравнений.

5. Понятие однородных систем уравнений.

6. Теорема Кронекера-Капелли.

Тест на решение систем уравнений методом сложения, базовый уровень по алгебре за 7 класс

Зарегистрируйся и получи 7 дней бесплатного доступа к тренажерам и персональный план прокачки знаний до 100%!

Вопросов в тесте: 10

Среднее время прохождения: ~10:00

Зарегистрируйся и получи персональный план прокачки знаний до 100%!

Как работает платформа Skills4u

Тестирование по предмету за класс

Платформа определит, какие темы сформированы слабо и составит индивидуальный план обучения

Персональный план обучения

План обучения и повторений поможет ученику в закреплении всех необходимых тем по предмету

Закрепление темы на 100%

Платформа напомнит и проконтролирует все повторения для закрепления каждой темы на 100%

Проработка слабых тем с предыдущих классов

Чтобы идеально овладеть предметом, рекомендуем закрепить пробелы, начиная с самых простых тем

Почему нужно пройти общее тестирование по алгебре за 7 класс, а не по отдельной теме «Решение систем уравнений методом сложения, базовый уровень»

Пройдя тестирование за класс вы получите ПОЛНУЮ КАРТИНУ ЗНАНИЙ ПО ВСЕМ ТЕМАМ.
Такой подход позволит глубинно проанализировать знания, вывести успеваемость и понимание предмета на качественно новый уровень.

Пройдя тестирование по одной теме вы получите РЕЗУЛЬТАТ ЗНАНИЙ ТОЛЬКО ЭТОЙ ТЕМЫ, которая, возможно, плохо изучена. Такой метод не является комплексным и дает лишь точечное понимание знаний по предмету.

Зарегистрироваться и пройти тестирование

Как растут результаты учеников
после занятий на тренажерах Skills4u

Занятия
на Skills4u

Занятия
с учебником

Успеваемость

Мотивация

Внимательность

Скорость

Самостоятельность

Запоминание

Первичный Тест «Решение систем уравнений методом сложения, базовый уровень» по алгебре за 7 класс онлайн и бесплатно предоставляется всем желающим.

Советуем пройти тестирование за весь 7 класс по алгебре, чтобы узнать пробелы в знаниях по всем темам и получить индивидуальный план обучения.

После регистрации вы получите 7 дней бесплатного доступа, чтобы увидеть первые результаты занятий и оценить эффективность тренажеров.

Зарегистрироваться и пройти тестирование

А для комплексного результата пройдите общее тестирование за
класс! Узнайте пробелы в знаниях по всем темам

Ученик

Занимайся 20 минут в день и прокачай знания по школьной программе за месяц!

Родитель

Наслаждайтесь прогрессом вашего ребенка в школе и на платформе

Учитель/
репетитор

Задавайте и проверяйте домашние задания прямо на платформе

Зарегистрироваться и пройти тестирование

65259

---

учеников уже занимаются с нами

Solver — NumWorks

Чтобы войти в приложение Solver , выделите приложение с помощью клавиш направления. Нажмите клавишу ok , чтобы войти в приложение. Это приложение позволяет решать уравнения и системы уравнений как с точными, так и с численными решениями. Вы также можете решать задачи с простыми и сложными процентами.

Первый экран приложения позволяет выбирать между уравнениями, (для решения уравнений) и Финансы (для решения финансовых расчетов).

Уравнения

Решение уравнения

Ввод уравнения

Вы можете начать вводить уравнение, как только войдете в раздел Уравнения **. Вы также можете использовать один из шаблонов уравнений.

Чтобы ввести уравнение без использования шаблона:

1. Начните вводить уравнение, как только вы войдете в раздел Уравнения .
2. Вы можете использовать любую строчную букву в качестве переменной. Чтобы использовать xxx в качестве неизвестного значения, нажмите клавишу xnt .
3. Чтобы ввести знак равенства, нажмите shift , а затем клавишу pi . Если вы подтвердите без знака равенства в вашем уравнении, =0=0=0 будет добавлено автоматически.
4. Нажмите клавишу ok для подтверждения.

Чтобы использовать шаблон уравнения:

1. Выделить Добавить уравнение .
2. Нажмите клавишу ок . Появится список шаблонов уравнений.
3. Выделите нужный шаблон.
4. Подтвердить клавишей ok . Ваш шаблон уравнения теперь будет расположен в поле редактирования.
5. Используйте клавиши со стрелками и цифровые клавиши, чтобы изменить нужное уравнение по мере необходимости.
6. Подтвердить клавишей ok .

Решения

Чтобы получить решение (я) вашего уравнения:

1. Введите уравнения, которые вы хотите решить.
2. Highlight Решите уравнение в нижней части экрана.
3. Нажмите клавишу ok , чтобы получить решение(я).

Решение дано в точном и приближенном виде. Для квадратных и кубических уравнений также указан дискриминант (∆).

Общий случай

Чаще всего решения вычисляются численно, а их значения часто аппроксимируются.

Когда вы нажимаете кнопку Решить уравнение , приложение может потребовать от вас задать интервал для поиска решения.

Установите значения Xmin и Xmax и выделите Решите уравнение . Подтвердите клавишей ok .

Если решений много, калькулятор отобразит только первые десять.

Решение системы уравнений

Ввод системы уравнений

Вы можете ввести более одного уравнения, которое будет решаться как система. Чтобы ввести систему уравнений:

1. Введите первое уравнение в вашей системе вручную или с помощью шаблона.
2. Подсветка Добавить уравнение .
3. Введите второе уравнение в свою систему вручную или с помощью шаблона.
4. Продолжайте по мере необходимости, чтобы завершить вашу систему.

Вы можете добавить до 6 уравнений.

Решения

Приложение решает линейные системы с вещественными или комплексными коэффициентами.

Чтобы получить решения, выделите Решить систему внизу экрана и нажмите клавишу ok .

Приложение выдает решения в точной и десятичной форме. Он также указывает, существует ли бесконечно много решений или нет решения.

Финансы

В разделе «Финансы» вы можете выбрать параметр для расчета в контексте простых или сложных процентов, а затем ввести данные, чтобы калькулятор вычислил искомое значение.

1. Выберите Простые проценты или Сложные проценты
2. Выберите параметр, который вы хотите рассчитать
3. Введите известные значения
4. Выберите Подтвердить, чтобы решить

Программное обеспечение для управления корпоративной эффективностью (CPM)

Измените свою прозрачность, планирование и производительность с помощью облачного программного обеспечения для управления корпоративной эффективностью, которое вы можете начать использовать уже сегодня.

Единое простое решение сложных бизнес-задач

В сегодняшней хаотичной среде облако — это то, что вам нужно. Все может измениться в одно мгновение, что требует гибкости для быстрого изменения курса с уверенными деловыми решениями.

Solver использует облачные технологии для консолидации данных из вашей ERP-системы и других ключевых источников, чтобы предоставлять важную информацию и оптимизировать планирование и отчетность. И наше развертывание QuickStart позволяет вам начать использовать Solver сейчас, а не через несколько месяцев, как другие решения для управления корпоративной эффективностью (CPM).

QuickStart Производительность сегодня и оптимизация для завтрашнего дня

QuickStart обеспечивает немедленный доступ к мощным решениям, соединяя вас с данными и шаблонами, которые оказывают влияние с первого дня, продолжая наращивать возможности и ценность.

Transform Your Organization Сейчас с помощью Quickstart

Learn Upe

1 Day

Развертывание

100+

Готовые отчеты об использовании,
Формы и байды

$ 100K+

Поднимите свою ERP-систему на новый уровень

Благодаря готовым интеграциям QuickStart и обширному внутреннему опыту Solver усиливает возможности этих ERP-систем.

Более простой и интеллектуальный способ управления данными

Независимо от того, управляете ли вы данными в электронных таблицах или извлекаете их из различных источников, Solver объединяет все это в простой в использовании платформе, которая предлагает единый источник достоверной информации.

Готовые интеграции

Автоматизированная интеграция с ведущими бизнес-приложениями и решениями позволяет Solver быстро и беспрепятственно подключаться к нужным вам данным и ресурсам.

Хранилище данных

Объедините все свои источники данных в единую базу данных, которая предлагает единое представление и немедленный доступ к ключевой информации.

Собственный опыт работы с Excel

Для тех, кто чувствует себя в Excel как дома, Solver позволяет создавать отчеты и бюджетные формы в знакомой среде, предлагая расширенные возможности и гибкость.

3 дня

Экономия времени на отчетность

Узнайте, как Solver помог Ducks Unlimited стать более эффективной, информированной и уверенной в финансовой отчетности.

Прочитать пример из практики

Просмотреть все истории успеха

«Нашей устаревшей системе не хватало базовой видимости многих финансовых элементов, в то время как Solver предоставил DU такую ​​​​прозрачность для всех финансовых показателей, что вселило уверенность не только в сотрудников, но и в крупных доноров и крупные компании».

— Гован Хорнор, ИТ-директор, Ducks Unlimited

Расширьте свои знания

Узнайте больше о способах оптимизации организационного планирования, отчетности и производительности с помощью этих рекомендуемых ресурсов.

Программное обеспечение CPM помогает быстрее и лучше принимать бизнес-решения

Узнайте о преимуществах программного обеспечения CPM и о том, как оно может преобразовать ваш бизнес.

Подробнее

Миграция отчетов из других генераторов отчетов

Узнайте, как можно перенести любой отчет из сторонних генераторов отчетов в отчет Solver.

Посмотреть видео

Составление бюджета в условиях неопределенности

Ознакомьтесь с советами экспертов и рекомендациями по эффективному составлению бюджета в условиях неопределенности.