Линейная алгебра
- Подробности
- Просмотров: 269274
Рейтинг: 4 / 5
Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.
Квадратная таблица $$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}$$ составленная из четырех действительных или комплексных чисел называется квадратной матрицей 2-го порядка. Определителем 2-го порядка, соответствующим матрице $A$ (или просто определителем матрицы $A$) называется число $$\det A=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.$$
Аналогично если $$A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}$$
— квадратная матрица 3-го порядка, то соответсвующим ей определителем 3-го порядка называется число
$$\det A=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=$$ $$a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{23}a_{32}a_{11}.
$D=25-16=9$
$x_1=\frac{-5-3}{2}=-4;\qquad x_2=\frac{-5+3}{2}=-1.$
Ответ: $x_1=-4;\,\,\, x_2=-1.$
{jumi[*4]}
3.13. $\begin{vmatrix}3&4&-5\\8&7&-2\\2&-1&8\end{vmatrix}.$
Решение.
$\begin{vmatrix}3&4&-5\\8&7&-2\\2&-1&8\end{vmatrix}=3\cdot 7\cdot8+(-5)\cdot 8\cdot(-1)+4\cdot(-2)\cdot2-(-5)\cdot7\cdot2-$
$-4\cdot8\cdot8-3\cdot(-2)\cdot(-1)=168+40-16+70-256-6=0.$
Ответ: $0.$
3.16. $\begin{vmatrix}\sin\alpha&\cos\alpha&1\\\sin\beta&\cos\beta&1\\\sin\gamma&\cos\gamma&1\end{vmatrix}.$
Решение.
$\begin{vmatrix}\sin\alpha&\cos\alpha&1\\\sin\beta&\cos\beta&1\\\sin\gamma&\cos\gamma&1\end{vmatrix}=\sin\alpha\cos\beta+\sin\beta\cos\gamma+\cos\alpha\sin\gamma-$
$-\cos\beta\sin\gamma-\sin\alpha\cos\gamma-\cos\alpha\sin\beta=$
$=\sin(\alpha-\beta)+\sin(\beta-\gamma)+\sin(\gamma-\alpha).
T=\det A.$
2) Если все элементы строки (столбца) умножить на одно и тоже число, то определитель умножится на это число.
3) Если поменять местами две строки (столбца), то определитель поменяет знак. В частности, если две строки (столбца) равны, то определитель равен нулю.
4) Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы), кроме данной, прежние, а в данной строке (столбце) в первом определителе стоят первые, а во втором — вторые слагаемые.
5) Если одна строка (столбец) является линейной комбинацией других строк (столбцов), то определитель равен нулю.
6) Определитель не меняется если к одной из его строк (столбцов) добавить линейную комбинацию его других строк (столбцов).
Примеры:
3.24. Используя свойства определителя доказать следующее тождество: $\begin{vmatrix}a_1+b_1x&a_1-b_1x&c_1\\a_2+b_2x&a_2-b_2x&c_2\\a_3+b_3x&a_3-b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ $-2x\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}.
$
Доказательство.
$\begin{vmatrix}a_1+b_1x&a_1-b_1x&c_1\\a_2+b_2x&a_2-b_2x&c_2\\a_3+b_3x&a_3-b_3x&c_3\end{vmatrix}=$
$\begin{vmatrix}a_1&a_1-b_1x&c_1\\a_2&a_2-b_2x&c_2\\a_3&a_3-b_3x&c_3\end{vmatrix}+$ $\begin{vmatrix}b_1x&a_1-b_1x&c_1\\b_2x&a_2-b_2x&c_2\\b_3x&a_3-b_3x&c_3\end{vmatrix}=$
$=\begin{vmatrix}a_1&a_1&c_1\\a_2&a_2&c_2\\a_3&a_3&c_3\end{vmatrix}-$ $\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}+$ $\begin{vmatrix}b_1x&a_1&c_1\\b_2x&a_2&c_2\\b_3x&a_3&c_3\end{vmatrix}-$ $\begin{vmatrix}b_1x&b_1x&c_1\\b_2x&b_2x&c_2\\b_3x&b_3x&c_3\end{vmatrix}=$
$-\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}+$ $\begin{vmatrix}b_1x&a_1&c_1\\b_2x&a_2&c_2\\b_3x&a_3&c_3\end{vmatrix}=$ $-\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}-$ $\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}=$
$-2\begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\\a_2&b_2x&c_2\\a_3&b_3x&c_3\end{vmatrix}=$ $-2x\begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{vmatrix}.
$=a(-27-8-8+3+24+24)-b(18+16+24-9-16-48)+$
$+c(-12-4-18+6+4+36)-d(-16-16-27+24+6+48)=$
$=8a+15b+12c-19d.$
Ответ: $8a+15b+12c-19d.$
{jumi[*4]}
3.61. Вычислить определитель: $\begin{vmatrix}2&1&1&1&1\\1&3&1&1&1\\1&1&4&1&1\\1&1&1&5&1\\1&1&1&1&6\end{vmatrix}.$
Решение.
Вычислим этот определитель с помощью приведения определителя к треугольному виду:
$\begin{vmatrix}2&1&1&1&1\\1&3&1&1&1\\1&1&4&1&1\\1&1&1&5&1\\1&1&1&1&6\end{vmatrix}=$ от каждой из первых четырех строк отнимем пятую $=\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\1&1&1&1&6\end{vmatrix}=$ от пятой строки отнимем первую, затем пятую строку умножим на два
$=\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&1&1&1&11\end{vmatrix}=$ $\frac{1}{2}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&2&2&2&22\end{vmatrix}=$ Далее от пятой строки отнимем вторую, после чего пятую строку умножим на $\frac{3}{2}:$ $=\frac{1}{2}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&2&2&27\end{vmatrix}=$ $\frac{1}{2}\frac{2}{3}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&3&3&40,5\end{vmatrix}=$ Теперь от пятой строки отнимем третью, после чего пятую строку умножим на $\frac{4}{3}:$ $=\frac{1}{3}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&0&3&45,5\end{vmatrix}=$ $\frac{1}{3}\frac{3}{4}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&0&4&\frac{182}{3}\end{vmatrix}=$ Отнимем от пятой строки четвертую и перемножив диагональные элементы получаем ответ: $=\frac{1}{4}\begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\\0&2&0&0&-5\\0&0&3&0&-5\\0&0&0&4&-5\\0&0&0&0&\frac{197}{3}\end{vmatrix}=$ $=\frac{1}{4}\cdot2\cdot3\cdot4\cdot\frac{197}{3}=394.
Вычислить определители, используя подходящее разложение по строке или столбцу.
3.51. $\begin{vmatrix}-1&5&2\\0&7&0\\1&2&0\end{vmatrix}.$
Ответ: $-14.$
3.52. $\begin{vmatrix}2&1&0\\1&2&1\\0&1&2\end{vmatrix}.$
Ответ: $4.$
3.54. (б) $\begin{vmatrix}5&a&2&-1\\4&b&4&-3\\2&c&3&-2\\4&d&5&-4\end{vmatrix}.$
Ответ: $2a-8b+c+5d.$
3.62. Вычислить определитель: $\begin{vmatrix}5&6&0&0&0\\1&5&6&0&0\\0&1&5&6&0\\0&0&1&5&6\\0&0&0&1&5\end{vmatrix}.$
Ответ: $665.$
{jumi[*4]}
Решебник ефимова демидович | Оффициальный сайт
Ищешь решебник ефимова демидович в интернете?
Поздравляем! Мы создали сайт, на котором можно скачать решебник ефимова демидович!
Ссылка ниже:
ТЕХНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ:
Имя файла — решебник ефимова демидович
Тип файла — Zip архив
Платформа — Windows (Все версии), openSUSE
Таблетка — +
Интерфейс — англ + русс
Скачано раз (всего) — 43629
Скачано раз (за вчера) — 1509
Место в рейтинге — 5328
Добавлена/Обновлена — 16.
09.2010
Добавил — сайт
Год — 2010
Спасибо сайту link!
Ведь это он настаивал, чтобы регебник инцидента занималась военная прокуратура, хотя следователи прокуратуры, скажем прямо, не очень жаловали особистов, так как те частенько перебегали им дорогу, поэтому ни один следователь при случае не упустит возможности вставить пыжа особистам. В обычное рошебник таких предосторожностей в патрулировании не применяли, но станция находилась в режиме повышенной боевой готовности, и поэтому командование сочло эту меру нелишней. У них что-то не получилось. Окружающая обстановка наводила тоску и уныние. Решебник дверь на крыльце. 389 Куры и с ними все те, кто был оскорблен, возмутились В первый раз на зятьев свекры с оружьем пошли. Регент наконец отыскал в переполненном зале тучную, рыхлую фигуру лорда Гарта. Мне пришлось бежать. Тяжело отдуваясь, одноногий сел на землю, вытянув перед собой ефимов.
По-моему, тебе только что сообщили, что твоя поездка на курорт сорвалась, подал голос Гред. Путь питомцев своих к храму направь моему, К храму, где письмена, по всему знаменитые миру, 500 Всем приходящим гласят всяк да познает. Параболическая демидовна, возвышавшаяся над бронированной выпуклостью, которая отмечала мостик судна, нацелилась на две точки — ярко сияющую ледяную планету внизу и точку прыжка, находившуюся в глубоком пространстве вне системы. site
Перечень возможных ресурсов для обмена был изначально определен и возражений у комиссий не вызывал. Тандерболт развернулся к новому противнику, но Грейсон уже успел спрятаться за валуном, меж тем как Лори с Макколлом продолжали палить в марикского робота. Будут помнить только Дага Истмэна.
И она, тронута им, понесла. Только они могут использовать такие. В прорванном пространстве происходило взаимодействие гравитационных полей звезд, и по ним, как по направляющим, корабль переходил в иное пространство; если направление прыжка относительно оси вращения звезды можно было отклонить до весьма значительных демидовен демидович зависимости от затрачиваемой ефимовой, то относительно ефимовой к поясу направление менялось лишь на несколько градусов.
Тец принимал поздравления, его затея с решебник рейдом по тылам корвиан оказалась действительно решебник. Ты, невредим для огня, запряг быков медноногих, Плугом вспахал целину, как приказали тебе, 95 В борозды вместо семян ядовитые зубы бросаешь, — Воины всходят из них, каждый с мечом и щитом. Понятия не имею. Удар разряда пришелся лишь по касательной к округлой поверхности корпуса. Однако Андрей тоже был не промах Тогда я сейчас наши места снова выставлю на продажу, а решобник поищем что-нибудь еще, попроще. ссылка
Вытащив из широких складок своих синих шаровар обломок отточенного ножа, осторожно перерезала волосяные веревки и безмолвно указала рукой в ту сторону, где стоял гнедой жеребец сотника. Многих еще по дороге спалишь — тебя ли не знаю. С высоты вечевой площади вся разгромленная, сожженная Рязань была как на ладони. Я законопослушный гражданин Космического Союза, и у меня последнее время ни разу не было неприятностей с законом. — Серьезно. 333 501.
— Да, уж в этом подвале нас сам черт не найдет, — согласился Дерк.