Решебник уравнений онлайн линейных: Решение линейных уравнений онлайн

Калькулятор линейных уравнений



Калькулятор линейных уравнений

Этот калькулятор сможет за секунду решить системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) методом Гаусса, методом Крамера или матричным методом. Системы можно исследовать на совместность по теореме Кронекера-Капелли, найти общее, частное и базисные решения, а также определить количество решений.

Наш искусственный интеллект решает сложные математические задания за секунды

Мы решим вам контрольные, домашние задания, олимпиадные задачи с подробными шагами. Останется только переписать в тетрадь!

Пример:

Пример:

Пример:

Переменные: Параметры:

Система линейных алгебраических уравнений

Как решать линейные уравнения

Каждое уравнение в системе является линейным – алгебраическим уравнением первой степени. Также употребляются аббревиатуры СЛАУ, СЛУ.

Коэффициенты при переменных, свободные члены и неизвестные в классическом варианте считаются вещественными числами, но все методы и результаты сохраняются, либо естественным образом обобщаются, на случай любых полей, к примеру, комплексных чисел.

В зависимости от количества уравнений в системе алгебраических уравнений, содержится столько же переменных. Например, если уравнения два, то и в системе уравнений будет две переменные, x и y. Решением такой системы алгебраических уравнений будут всевозможные пары (x, y), при подстановке которых в каждое уравнение системы будет получаться верное равенство.

Системы алгебраических уравнений часто записывают в матричной форме, значения которой будут соответствовать соответствующим коэффициентам уравнений в системе. А значит для решения алгебраических уравнений можно использовать калькулятор.

Решением алгебраических уравнений могут быть пары как целых, так и дробных чисел.

В системе линейных алгебраических уравнений не допускается возведение в степень и извлечение корня, иначе они перестанут быть линейными.

Решение систем линейных алгебраических уравнений входит в число обычных задач линейной алгебры и имеет ряд всевозможных способов для этого. Вы можете решить систему алгебраических уравнений, используя онлайн калькулятор. СЛАУ и методы их решения лежат в основе многих прикладных направлений, в том числе в эконометрике и линейном программировании.

«Решение системы линейных уравнений методом Крамера»

«Решение системы линейных уравнений методом Гаусса»

Также читайте нашу статью «Калькулятор матриц онлайн»

Бесплатный онлайн калькулятор линейных уравнений

Наш бесплатный решатель линейных уравнений и любых функций позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды.

Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в калькуляторе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей группе ВКонтакте: pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Линейные уравнения: онлайн калькулятор, формула, примеры решений

Линейные уравнения – это элементарные уравнения школьной алгебры, при решении которых обычно не возникает никаких проблем. Наш калькулятор позволит вам проверить правильность решения любого линейного уравнения.

Определение

Линейное уравнение – это равенство вида:

ax + b = 0,

где a и b — произвольные числа.

Решением линейного уравнения называется поиск такого значения x, при котором отношение становится тождеством.

В качестве примера таких равенств можно привести уравнения:

• 5x + 6 = 0, где a = 5, b = 6;
• 0,75x − 0,25 = 0, где a = 0,75, b = −0,25;
• 1/4 x + 2/7 = 0, где a = 1/4, b = 2/7.

Важно понимать, что a и b могут принимать нулевые значения, и тогда равенства будут выглядеть довольно странно. При нулевых коэффициентах уравнения превращаются в обыкновенные тождества типа 5 = 5 или 0 = 0, которые и решать не требуется.

Внешний вид и тождественные преобразования

Каждое уравнение имеет свой определенный алгоритм решения, поэтому чтобы понять, каким именно способом развязывать задачу, прежде всего, необходимо определить тип равенства. Помимо линейных уравнений существуют квадратные, кубические, тригонометрические, показательные и многие другие типы отношений. Опознать линейное довольно просто – оно должно выглядеть как ax + b = 0 или приводиться к этому виду. Если неизвестный x находится в знаменателе, в показатели степени или имеет степень, отличную от единицы – это не линейное уравнение.

К примеру, уравнение вида:

x² + 5x + 3 = x² − 2x + 8

на первый взгляд кажется квадратным, так как в нем присутствует неизвестный икс во второй степени. Однако при помощи тождественных преобразований данное уравнение легко привести к виду ax + b = 0. Для работы с любыми типами уравнений используются два тождественных преобразования:

• к каждой части уравнения можно добавить/отнять одно и то же число;
• каждую часть уравнения можно умножить/разделить на одно и то же число.

Правило добавления/отнимания числа, по сути, является переносом через знак равенства с заменой знака. Например, в примере x + 2 = 5 мы просто переносим двойку через знак равенства со знаком минус и получаем ответ x = 5 − 2 или x = 3. Однако данная операция выглядит как вычитание двойки из каждой части уравнения:

x + 2 − 2 = 5 − 2 или x = 3.

Вернемся к исходному уравнению x² + 5x + 3 = x² − 2x + 8. От каждой части без проблем можно отнять x² и в результате получить:

5x + 3 = −2x + 8.

Очевидно, что это линейное уравнение и его можно решить.

Алгоритм решения линейных уравнений

Линейные уравнения – самые простые равенства из всех и для их решения достаточно следовать элементарному правилу: все иксы собираем слева, все числа – справа. Это означает, что для решения любого линейного равенства требуется свободные коэффициенты вынести в правую часть уравнения, а все неизвестные – в левую. При переносе через «равно» знак всегда меняется. В нашем примере 5x + 3 = −2x + 8 потребуется перенести 3 влево и поменять знак, и −2x — вправо и также поменять знак. Мы получим:

• 5x + 2x = −3 + 8,
• 7x = 5.

Ответ интуитивно понятен всем, кто уже знаком с решением уравнений. Но если говорить строгим математическим языком, для поиска неизвестного нам потребуется применить второе тождественное преобразование, то есть левую и правую часть равенства разделить на 7. В ответе получим x = 5/7.

Графическое решение уравнений при помощи калькулятора

Наш калькулятор решает линейные уравнения не аналитическим, а графическим способом. Это необычный на первый взгляд метод. Пусть у нас есть уравнение 2x + 2 = 6. Решая его аналитически, мы бы применили правило «все иксы слева, все числа справа» и получили результат x = 2. Графический метод подразумевает трансформацию уравнения в функцию, при котором правая часть уравнения заменяется второй неизвестной y. Это означает, что наше уравнение превращается в функцию 2x + 2 = y. Такая функция имеет бесконечное количество решений, а данное уравнение описывает линию, которую калькулятор отрисовывает в окне программы.

Для решения нашего уравнения достаточно выбрать одно из решений, когда y = 6. Для этого требуется найти 6 на оси y, провести до уравнения прямой и опустить перпендикуляр на ось x. Как видите, для y = 6 аргумент x = 2. Таким образом, аналитический и графический способ решения уравнений дают один и тот же результат.

Наша программа представляет собой калькулятор решения простых линейных уровней вида ax + b = y. Ответ программа представляет в графическом виде, рисуя прямую, которую описывает заданное уравнение.

Рассмотрим на примере

Покупка пива

Для покупки 8 кружек пива Рихарду не хватает 20 немецких марок, но если он купит всего 5 кружек пива, то у него останется еще 100 марок. Сколько денег у Рихарда? Для решения такой задачи нам потребуется составить уравнение. Мы не знаем, сколько стоит одна кружка пива, поэтому обозначим ее как x. Пусть y — это сумма денег в кошельке Рихарда, следовательно, y = 8x − 20, то есть 8 кружек пива минус 20 марок. Так же мы можем выразить эту же сумму денег как y = 5x + 100, то есть 5 кружек пива и 100 лишних марок. Так как это одна и та же сумма, мы можем составить следующее уравнение:

8x − 20 = 5x + 100.

А это стандартное линейное уравнение. Мы можем решить его как аналитически, так и графически при помощи нашего калькулятора. Для начала приведем его к стандартному виду, проведя первое тождественное преобразование.

• 8x − 5 x = 100 + 20
• 3x = 120
• x = 40.

Для графического решения мы можем в строке 3x = 120 прибавить к левой и правой части произвольное число, чтобы заполнить все ячейки калькулятора. Прибавим с каждой стороны +10 и получим уравнение вида 3x + 10 = 130. Введем это уравнение в форму онлайн-калькулятора и получим прямую, которую описывает это уравнение. Значение y = 130 соответствует аргументу x = 40.

Таким образом, 1 кружка пива стоит 40 марок. Подставим это значение в уравнение и получим тождество:

• 80 × 40 − 20 = 5 × 40 + 100
• 300 = 300

Следовательно, в кошельке у Рихарда 300 немецких марок.

Заключение

Линейные уравнения – это не только раздел школьной математики. Такие равенства широко применяются для решения самых разных бытовых задач. Пользуйтесь калькуляторами из нашего каталога для проверки своих решений.

Linear Equations Пошаговое решение математических задач

6.2  Решение линейных уравнений

   Уравнения вида ax+b=0 называются линейными уравнениями относительно переменной x. В этом разделе мы будем заниматься проблемой решения линейных уравнений и уравнений, сводящихся к линейным уравнениям.

  Мы определяем два уравнения как эквивалентные, если они имеют одно и то же множество решений. Следующие две операции над уравнением всегда приводят к новому уравнению, эквивалентному исходному. Этими операциями, иногда называемыми элементарными преобразованиями, являются:

   T.1  Одно и то же выражение, представляющее действительное число, может быть добавлено к обеим частям уравнения.

   T.2 Одно и то же выражение, представляющее ненулевое действительное число, может быть умножено на обе части уравнения.

  Используя эти операции, мы можем преобразовать уравнение, множество решений которого неочевидно, через ряд эквивалентных уравнений в уравнение, имеющее очевидное множество решений.

Пример 1.   Решить уравнение

  (a) 2x-3=4+x

  Добавьте -x к обеим сторонам, чтобы получить

       -x+2x-3=-x+4+x  (T.1)=-3 4 или   

  Добавьте 3 к обеим сторонам, чтобы получить что, в свою очередь, эквивалентно x=7, набор решений которого, очевидно, равен {7}, мы знаем, что набор решений (a) равен {7}.

Давайте посмотрим, как наш решатель линейных уравнений решает эту и подобные задачи. Нажмите кнопку «Решить подобное», чтобы увидеть больше примеров.

Решить похожую задачуВведите свою задачу

Пример 2.   Решить уравнение

  (b) 1/2x+2/3=5/2x-1 Получите

2/3 = 5/2x-1/2x-1 (T.1)

или 2/3 = 2x-1

Добавить 1 к обеим сторонам, чтобы получить

1+2/3 = 2x ( T.1)

  или  5/3=2x

  Умножьте обе части на 1/2, чтобы получить 6}.

  Каждое линейное уравнение можно решить так же, как и в приведенных выше примерах. В самом деле, давайте рассмотрим общее линейное уравнение б/а)

  если а а!=0. Таким образом, общее линейное уравнение имеет в качестве решения множество {b/a}, если a!=0. Таким образом, каждое линейное уравнение имеет не более одного решения.

  Следующие два примера представляют собой уравнения, которые сводятся к линейным уравнениям. 92 в обе стороны, чтобы получить

  23+16y=9+30y

   Теперь решим, как в предыдущих примерах.

  23+16y=9+30y

  23-9=30y-16y

  14=14y

  y=1

  решение есть {набор}.

Давайте посмотрим, как наш пошаговый математический решатель решает эту и подобные задачи. Нажмите кнопку «Решить подобное», чтобы увидеть больше примеров.

Решите похожую задачуВведите свою задачу

Пример 4.  Решите уравнение

  (c) (2x)/(x-1)=2/(x-1)+1

  Замещающий набор (c) состоит из всех действительных чисел, кроме 1. Предполагая, что x!=1, мы умножаем оба стороны (c) на x-1, чтобы получить

  (d) 2x=2+x-1,x!=1

  Решая уравнение 2x =2+x- 1, мы получаем 1 как единственное решение Поскольку 1 не находится в замене (d), (d) не имеет решения. Кроме того, (c) эквивалентно (d), поэтому (c) не имеет решения.

6.3  Решение буквенных уравнений

  Уравнение, содержащее более одной переменной или содержащее символы, представляющие константы, такие как a, b и c, может быть решено для одного из символов в терминах остальных символов с помощью применения операции T.1 и T.2 в предыдущем разделе. Студент столкнется с такими проблемами в других курсах.

Пример 1.   Решите cx-3a=b для x.

  Добавьте 3a с обеих сторон.

  cx=b+3a

  Умножьте обе части на 1/c.

  x=(b+3a)/c

  Последнее уравнение выражает x через другие символы.

Пример 2.   Решите 3ay-2b=2cy для y.

  Добавьте 2b с обеих сторон.

  3ay=2cy+2b

  Добавьте -2cy к обеим сторонам.

  3ay-2cy=2b

  Вычтите y.

  (3a-2c)y=2b

  Умножьте обе части на 1/((3a-2c))

  y=(2b)/(3a-2c)

Пример 3.   Решите a/x+b/(2x)=c относительно x.

  Умножьте обе стороны на 2x.

  2a+b=2cx

  2cx=2a+b

  Умножить на 1/(2c).

  x=(2a+b)/(2c)

   В заключение этого раздела мы включим еще два примера, подобных тем, с которыми учащийся может столкнуться в других областях.

Давайте посмотрим, как наш математический решатель решает эту и подобные задачи. Нажмите кнопку «Решить подобное», чтобы увидеть больше примеров.

Решите похожую задачуВведите свою задачу

Пример 4.   Решите A=P(1+rt) для r.

  Применить распределительный закон.

  A=P+Prt

  Добавить -P к обеим сторонам.

  A-P=Prt

  Умножьте обе части на 1/(Pt).

  (A-P)/(Pt)=r

Пример 5.   Решить 1/R=1/r_1+1/r_2 для r_1.

  Добавьте два члена справа.

  1/(R)=(r_2+r_1)/(r_1r_2)

  Умножить на Rr_1r_2.

  r_1r_2=R(r_2+r_1)

  r_1r_2=Rr_2+Rr_1

  Добавить -Rr_1 к обеим сторонам.

  r_1r_2-Rr_1=Rr_2

  Вычтите r_1.

  r_1(r_2-R)=Rr_2

  Умножить на 1/(r_2-R).

  r_1=(Rr_2)/(r_2-R)

6.4  Решение задач с формулировками

  Одним из фундаментальных приложений алгебры является решение задач, сформулированных словами. Задача-постановка — это словесное описание ситуации, в которой участвуют как известные, так и неизвестные величины. В этом разделе каждая задача будет решена с помощью одного уравнения с одним неизвестным.

  Наша задача состоит в том, чтобы выбрать неизвестное и определить уравнение, которому оно должно удовлетворять. Хотя единого подхода ко всем проблемам не существует, иногда могут оказаться полезными следующие рекомендации:

   1. Внимательно прочитайте задачу, пока не поймете ситуацию полностью.

   2. Определите, какие количества запрашиваются, затем выберите то, которое лучше всего использовать в качестве неизвестного.

   3. Установить связь между неизвестной и другими величинами в задаче.

   4. Найдите информацию, которая говорит, какие две величины равны.

   5. Используйте информацию в (4), чтобы написать уравнение.

   6. Решите уравнение и проверьте решение, чтобы убедиться, что оно удовлетворяет исходной задаче.

  На этом этапе основное внимание будет уделяться переводу задач-постановок в уравнения. Хотя некоторые задачи могут быть решены почти путем проверки, практика, которую мы приобретаем при составлении уравнений, окажется полезной при решении более сложных задач.

Пример 1.   Если 2 раза прибавить определенное целое число к следующему последовательному целому числу, получится 34. Найдите целые числа.
Шаг 1. Перечитайте!
Шаг 2. Пусть x будет первым целым числом.
Шаг 3. Тогда x+ 1 — следующее последовательное целое число.
Шаг 4.  2 раза определенное целое число плюс следующее последовательное целое число равно 34.
Шаг 5.  2x+(x+1)=34

Шаг 6.  Решить.

  2x+(x+1)=34

  3x+1=34

  3x=33

  x=11

  Проверить. 2*11+(11+1)=34

Пример 2.   Боб и Джо вместе заработали 60 долларов. Оба получали одинаковую ставку, но Боб работал в три раза дольше, чем Джо. Сколько получил каждый?

Шаг 1. Перечитайте!

Шаг 2. Пусть x будет количеством долларов, которые получил Джо.

Шаг 3. Тогда умножьте на 3 количество долларов, которое получил Боб

Шаг 4. Боб и Джо вместе заработали 60 долларов.
Шаг 5. 3x+x=60

Шаг 6.  Решить.

3x+x = 60

4x = 60

x = 15

3x = 45

Проверка 3*15+15 = 60

Пример 3. Сумма цифров двухзначного числа — это 12. Если переставить цифры местами, число уменьшится на 36. Что это за число?

Шаг 1. Перечитайте!

Шаг 2. Пусть x — цифра десятков.

Шаг 3. Тогда 12 — x — это цифра единиц.

Шаг 4. Если цифры поменять местами, то число уменьшается на 36. Решать.

  10(12-х)+х = 10х+ (12-х) -36

  =120-10х+х=10х+12-х-36

  =120-9х=4х-4=4 -24

18x

  =x=8

  =12-x=4

  Поэтому число равно 84.

  Проверьте. 84-36=48

Пример 4.   Сколько фунтов конфет стоимостью 48 центов за фунт нужно добавить к 50 фунтам конфет стоимостью 80 центов за фунт, чтобы владелец магазина мог продавать конфеты по 60 центов за фунт ?
Шаг 1. Перечитайте!
Шаг 2. Пусть x будет количеством фунтов конфет по 48 центов за фунт.
Шаг 3. Тогда 50+x будет фунтами конфет, которые он получит по 60 центов за фунт.
Шаг 4. Количество конфет по 48 центов за фунт, умноженное на 48 центов, плюс количество конфет по 80 центов за фунт, умноженное на 80 центов, должно быть равно количеству конфет по 60 центов за фунт, умноженному на 60 центов.
Шаг 5. (48 центов/фунт)(x фунтов) + (80 центов/фунт) (50 фунтов) = (60 центов/фунт) [(50+x)фунт]

Шаг 6.  Решить.

48x+80*50 = 60 (50+x)

48x+4000 = 3000+60x

1000 = 12x

x = (83 (1)/3) LBS

Проверка. (83+1/3)48+80*50=60(50+83+1/3)

  Задачи, связанные со скоростями (или скоростями), будут использовать формулу

  d=rt

  где d — пройденное расстояние, r — скорость, t — время. При использовании формулы d и r должны быть выражены в одних и тех же единицах расстояния, а r и t должны быть выражены в одних и тех же единицах времени.

Пример 5.   Группа студентов поехала на озеро в северном лесу ловить рыбу. Они преодолели 380 миль за 7 часов, из них 4 часа по асфальтированной дороге, а остальное время по грунтовой дороге. Если средняя скорость по грунтовой дороге была на 25 миль в час меньше средней скорости по шоссе, то найти для каждого участка пути среднюю скорость и пройденное расстояние.

Шаг 1 . Перечитай!

Шаг 2. Пусть x будет скоростью на грунтовой дороге.

Шаг 3. Тогда х+25 — это скорость на шоссе.

Шаг 4. Расстояние, пройденное по шоссе, плюс расстояние, пройденное по грунтовой дороге, равно 380 милям. Шаг 5

Шаг 6.  Решить.

  (x+25)4+3x=380

  4x+100+3x=380

  7x=280

  x=40 миль в час

  x+25=65 миль в час

  Проверить. (40+25)4+40*3=380

   Рабочие задачи, связанные со скоростью выполнения, часто можно решить, сначала найдя дробную часть задачи, выполняемой каждым человеком или машиной за единицу времени, а затем найдя уравнение, которое связывает эти различные дробные части.

Пример 6.   Мальчик может подстричь газон за 4 часа, а отец за 3 часа. Сколько времени им понадобится, чтобы подстричь один и тот же газон, работая вместе?

Шаг 1. Перечитайте!

Шаг 2. Пусть x будет количеством часов, которые им потребуется, чтобы подстричь газон Работая вместе.

Шаг 3 . Выберите один час в качестве нашей единицы времени. Теперь мальчик может скосить 1/4 газона за один час, отец может скосить 1/3 газона за один час, а вместе они могут скосить 1/x газона за один час.

Шаг 4. Сумма, срезанная мальчиком за один час, плюс сумма, срезанная отцом за один час, равна количеству, которое они могут срезать вместе за один час.

Шаг 5. 1/3+1/4=1/x

Шаг 6.  Решить.

1/3+1/4 = 1/x

7/12 = 1/x

x = 12/7 часов

Уравнение линии, указанной в двух пунктах

  Исследование 

Этот онлайн-калькулятор находит уравнение прямой по двум точкам на этой прямой, в формах наклон-пересечение и в параметрической форме.

Вы можете найти уравнение прямой по двум точкам, лежащим на этой прямой. Однако существуют разные формы линейного уравнения. Здесь вы можете найти два калькулятора уравнения прямой:

Также текст и формулы под калькуляторами описывают, как найти уравнение прямой по двум точкам вручную.

Уравнение линии с наклоном из двух точек

Первая точка

Вторая точка

Уравнение линии

Наклон

15. Расчет

15151515

. Уравнение параметрической линии из двух точек

Первая точка

Вторая точка

Уравнение для x

Уравнение для Y

Вектор направления

ПРОТИВАЦИЯ ПРОТИВОСТИ

DIGIT линия в форме пересечения наклона

Найдем форму пересечения наклона уравнения прямой по двум известным точкам и .
Нам нужно найти наклон a и точку пересечения b .
Для двух известных точек имеем два уравнения относительно a и b

Вычтем первое из второго

Отсюда

Обратите внимание, что b можно выразить так 53 902 , когда у нас есть a , легко вычислить b , просто подставив или к приведенному выше выражению.

Наконец, мы используем рассчитанные a и b , чтобы записать результат как

Уравнение вертикальной линии

Обратите внимание, что в случае вертикальной линии наклон и точка пересечения не определены, поскольку линия проходит параллельно оси Y. Уравнение линии в этом случае принимает вид

Уравнение горизонтальной линии

Обратите внимание, что в случае горизонтальной линии наклон равен нулю, а точка пересечения равна y-координате точек, поскольку линия проходит параллельно ось х. Уравнение линии в этом случае принимает вид

Как найти уравнение пересечения наклона линии пример

Задача: Найти уравнение прямой в форме пересечения наклона с заданными точками (-1, 1) и (2, 4)
Решение:

1. Вычислить наклон a :
   
2. Вычислите точку пересечения и , используя координаты любой точки. Здесь мы используем координаты (-1, 1):
   
3. Напишите окончательное уравнение прямой (мы опускаем наклон, потому что он равен единице):
   

А вот как вы должны ввести эту задачу в калькулятор выше: Пример уравнения линии пересечения наклона

Параметрические уравнения прямой

Найдем параметрическую форму уравнения прямой по двум известным точкам и .