Решение арифметических прогрессий: Онлайн калькулятор: Арифметическая прогрессия

Содержание

Сумма арифметической прогрессии | Онлайн калькулятор

Все калькуляторы

Учеба и наука

Математика

/ Сумма арифметической прогрессии

Когда речь идет о таком параметре, как сумма арифметической прогрессии, подразумевается всегда сумма первых членов арифметической прогрессии или сумма членов прогрессии с k по n, то есть количество членов, которые берутся для суммы, строго ограничено в заданных условием пределах. В противном случае задание не будет иметь решения, так как вся числовая последовательность именно арифметической прогрессии начинается с конкретного числа — первого члена a₁, и продолжается бесконечно.

В вашем браузере отключен Javascript.

Чтобы произвести расчеты, необходимо разрешить элементы ActiveX!

Бытует мнение, что формула суммы арифметической прогрессии была открыта еще Гауссом, как быстрый и точный способ расчета суммы чисел в определенной последовательности. Он заметил, что такая прогрессия является симметричной, то есть сумма симметрично расположенных с начала и конца членов прогрессии является постоянной для данного ряда.

a₁+a_n=a₂+a_(n-1)=a₃+a_(n-2)=⋯

Соответственно, он нашел данную сумму и умножил ее на половину от общего количества чисел в последовательности, участвующих в расчете суммы. Таким образом, была выведена формула суммы арифметической прогрессии

Пример. Предположим, задано условие: «Найдите сумму первых десяти (10) членов арифметической прогрессии»

. Для этого понадобится следующие данные: разность прогрессии и первый ее член.

Если в задаче дан какой-либо n член арифметической прогрессии вместо первого, тогда сначала нужно воспользоваться разделом, где представлена формула нахождения первого члена прогрессии, и найти его. Затем исходные данные вбиваются в калькулятор и он производит расчеты, складывая первый и десятый члены, и умножая полученную сумму на половину от общего количества складываемых членов – на 5. Аналогично происходит, если нужно найти сумму первых шести членов или любого другого количества.

В случае, когда необходимо найти сумму членов арифметической прогрессии, начинающихся не с первого, а с пятого члена, к примеру, тогда среднее арифметическое остается тем же, а общее количество членов берется как увеличенная на единицу разность между порядковыми номерами взятых членов.

Select rating12345

Рейтинг: 3.1 (Голосов 58)

Сообщить об ошибке

Смотрите также

Калькулятор арифметической прогрессии с формулами и примерами решений

Представим, что подряд выписаны все четные натуральные числа: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 18, 18, 20, 22. .. Это — последовательность четных натуральных чисел. Число 2 — ее первый член, 4 — второй, 6 — третий, 20 — десятый и т. д.

Приведем еще несколько примеров числовых прогрессий:

1, 2, 3, 4, 5… — последовательность натуральных чисел,
1, 3, 5, 7, 9… — последовательность нечетных натуральных чисел,
1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5… – последовательность чисел, обратных к натуральным.

Последовательности бывают конечные и бесконечные. Конечной, например, есть последовательность однозначных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Последовательность всех натуральных чисел — бесконечная. Записывая бесконечную последовательность, после нескольких ее первых членов ставят многоточие. Первый, второй, третий члены последовательности четных натуральных чисел равны соответственно 2, 4, 6. Пишут: a1 = 2, а2 = 4, а3 = 6

А чему равен ее n-й член An? Поскольку каждый член последовательности парных натуральных чисел вдвое больше от своего порядкового номера, то ее n-й член равен 2n, т. е.

An = 2n.

Это формула n-го члена последовательности парных натуральных чисел.

An = 2n − 1

Формула n-го члена последовательности нечетных натуральных чисел.

Если известна формула n-го члена последовательности, то нетрудно вычислить любой ее член. Напишем несколько первых членов последовательности, n-й член которой:

An = n² + 2

Предоставляя переменной п значения 1, 2, 3, 4, 5… получим первые члены последовательности: 6, 11, 18, 27, 38, 51… Тысячный член этой последовательности а1000 = 1000² + 2 = 1000002.

Гораздо труднее решать обратную задачу — для данной последовательности найти ее n-й член. Например, формула n-го члена последовательности простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13… — неизвестна до сих пор, хотя математики искали ее более 2000 лет.

Несколько первых членов последовательности не задают ее однозначно.

Например, существует множество различных последовательностей, первые члены которых 2, 4, 6, 8. В частности, такие первые члены имеют последовательности, n-е члены которых:

An = 2n
Cn = 2 n + (n − 1) (n − 2) (n − 3) (n − 4)

Из двух соседних членов a1 и a2 последовательности член a2 называют следующим за а1, а а1 — предыдущим по отношению к а2. Последовательность называют растущей, если каждый ее член, начиная со второго, больше предыдущего. Последовательность называется убывающей, если каждый ее член, начиная со второго, меньше предыдущего.

Замечания

Иногда рассматривают также прогрессивности, членами, которых являются различные выражения, функции, фигуры то что. Можно говорить и о последовательности месяцев в году, дней в неделе, букв в слове, фамилий в списке, вагонов в поезде, станций на железной дороге и т. д. Мы дальше будем говорить только о числовых последовательностях, хотя и зовем их коротко последовательностями.

Понятие арифметической прогрессии

Арифметической прогрессией называется прогрессивность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, к которому добавляют одно и то же число. Это постоянное для данной последовательности число d называется разницей арифметической прогрессии.

Первый член и разность арифметической прогрессии могут быть какими угодно числами. Арифметическая прогрессия растущая, если ее разница положительная, или нисходящая, если ее разница отрицательная.

Пример нисходящей арифметической прогрессии: 11, 9, 7, 5, 3, 1, −1, −3…

Чтобы получить любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, надо к предыдущему члена добавить разницу d. Поэтому если первый член и разность арифметической прогрессии равны соответственно а и d, то первые члены этой арифметической прогрессии:

a1, a1 + d, a1 + 2d, a1 + 3d, a1 + 4d…

Обратите внимание: коэффициент при d на 1 меньше порядкового номера члена прогрессии. Так же находим а6 = а1 + 5d, а7 = а1 + 6d и вообще:

An = a1 + (n − 1)d

Это формула n-го члена арифметической прогрессии. Сумма членов конечной арифметической прогрессии равна полусумме крайних ее членов, умноженной на число членов.

Sn = [(a1 + an) / 2] × n

Примеры задач

Пример 1

В арифметической прогрессии a1 = 4, d = 3. Найдите a20.

В калькуляторе задаем:

Первое число: 3
Последнее число: 20
Разница (шаг): 3

Получаем:

Арифметическая прогрессия: 61
Сумма членов прогрессии: 650
Последовательность: 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61

Проверяем самостоятельно по формулам с теории:

a20 = а1 + 19d = 4 + 19 × 3 = 61

Пример 2

Найдите сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии 5, 7, 9…

В калькуляторе задаем:

Первое число: 5
Последнее число: 20
Разница (шаг): 2

Результаты рассчета:

Арифметическая прогрессия: 43
Сумма членов прогрессии: 480
Последовательность: 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37, 39, 41, 43

Проверяем:

Здесь а1 = 5, d = 2. Поэтому а20 = 5 + 19 × 2 = 43
S = [(5 + 43) / 2] × 20 = 480

Онлайн-калькулятор делает вычисления намного проще: он экономит время, избавляя от необходимости делать вычисления вручную по формулам.

Как вычислять и решать арифметическую прогрессию в последовательностях и рядах

Последовательность — это набор чисел, расположенных по определенному образцу. Каждое число называется термином.

Конечная последовательность — это последовательность, у которой есть последний член в списке. Например: 2,4,6,8,…,16. Бесконечная последовательность — это последовательность, которая не имеет последнего члена при перечислении.

Арифметическая прогрессия следует правилу линейной последовательности, которая представляет собой последовательность, в которой каждый член получается путем добавления удаленного числа (положительного или отрицательного) к исходным элементам.

Постоянное число называется общая разность и обозначается как «d», а первый член обозначается как «a».

Если Т ₁ , Т ₂ , Т ₃ , Т ₄ , Т ₅ , … является линейной последовательностью, то общая разность получается как: 1 = T ₃ – T ₂ = T ₄ – T ₃ = T ₅ – T ₄
Следовательно, d = T _n – T _{(n – 1)}
где
T _n = n ^th член последовательности, а T _{(n – 1)} – это (n – 51) термин

Возьмем простой пример:
Найдем общую разность в следующей арифметической прогрессии:
а) 0,5,10,15,20
б) 3 ^{1 6 5 5 1 9001 ¹ ⁄ ₂ , 7 ³ ⁄ ₄ , 10, 12 ¹ ⁄ ₄}

Решение

A), чтобы найти Общее различие Мы используем формулу, T _N — T _{(N — 1)}
D = T ₂ — T _{19006
D = T ₂ — T ₁ D = T ₂ — T ₁ D = T ₂ — T}
T ₂ = 5 и T ₁ = 0
d = 5 – 0
d = 5
Следовательно, общая разность для первого ряда (a) равна 5.

b) Применяя тот же принцип,
d = T ₂ – T ₁
T ₂ = 5 ^{1 d = 5 ¹ ⁄ ₂ — 3 ¹ ⁄ ₄
D = 2 ¹ ⁄ ₄}

N ^TH Стоимость арифметической прогнозированной прогрессии OR 444444444444444444444. _{или _{. U _n ,
если T ₁ T ₂ = T ₁ + d = a + d
T ₃ = a + d + 6 2 9 d = a + 2d}}

Это означает, что
T _n = a + (n – 1)d
Эта формула выше является общей формулой, используемой для решения арифметической прогрессии

Возьмем несколько примеров:
a) Найдите n ^th член в числах 34, 40, 46
b) Второй, третий и четвертый члены арифметической прогрессии равны x – 2, 5 и x + 2 соответственно рассчитать значение x.
c) Найдите количество членов арифметической прогрессии, если первый и последний члены равны x и 31x, а общая разность равна 5x.
г) Найдите количество слагаемых и выражение для n ^й член следующей арифметической прогрессии 32, 29, 26, …, -118
д) 8 ^й член арифметической прогрессии равен 18 и 12 ^й член равен 26. Найдите первый член, обычный разница и 20 ^й срок.
f) Первый член арифметической прогрессии равен 10, отношение 7 ^-го-го члена к 9-^-му-му члену равно 3:5. Вычислите общую разность прогрессии.
г) Цифры 11, х, у, 21 ¹ ⁄ ₂ из арифметической прогрессии. Найдите значения x и y.

Решение
а) У нас есть формула как T _n = a + (n – 1)d
a = 34
d = T ₂ – T ₁ = 40 – 304 = 3 6 9 ,
T _n = 34 + (n – 1)6
T _n = 34 + 6n – 6
T _n = 34 – 6 + 6n
T _n = 290 + 6n)
2 ^nd член = x – 2
3 ^rd член = 5
4 ^th член = x + 2

Так как нет первого члена, мы будем использовать общую разность для вычисления значения x ₃
d = 5 – (х – 2) = (х + 2) – 5
5 – х + 2 = х + 2 – 5
5 + 2 – 2 + 5 = х + х
10 = 2х
5 = x
Следовательно, значение x равно 5.

c)
a (первый член) = x
T _n = l (последний член) = 31x
d (общая разность) = 5x

T _n = a + (n – 1)d
31x = x + (n – 1)5x
31x = x + 5nx – 5x
31x = -4x + 5nx
31x + 4x = 5nx
35x = 5nx
7 = n
Следовательно, количество слагаемых равно 7.

г)
A.P. => 32, 29, 26, …, -118
Прежде всего найдем количество слагаемых
Общая формула: T _n = a + (n – 1)d
a = 32
d = T ₂ – T ₁
d = 29 – 32 = -3
l = -118

-118 = 32 + (n – 1)-3
-118 = 32 -3n + 3
-118 = 35 – 3n
3n = 35 + 118
3n = 153
n = 51
Следовательно, число слагаемых равно 51.
Далее находим выражение n ^th терма
T _{n 9001 + (n – 1)-3
T _n = 32 + 3 – 3n
T _n = 35 – 3n}

д)
T ₈ = 18, n = 8 0 6
T 1 , n = 12

Сначала найдем выражения T ₈ и T ₁₂
T ₈ = a + (8 – 1)d
T ₈ = a + 7d … (I)

T ₁₂ = a + (12 – 1)d
T ₁₂ = a + 11d … (II)

Далее получаем значения a и d, используя одновременное уравнение для уравнения (I) и (II)
Используя метод исключения
18 = a + 7d
-26 = a + 11d

Это оставляет нам это уравнение
-8 = -4d
d = -8 / -4 = 2
Общая разность равна 2

Использование уравнения (II) для нахождения значения a (первого члена)
26 = a + 11d
26 = a + 11(2)
26 = a + 22
a = 26 – 22
a = 4
Первое слагаемое равно 4

Далее вычисляем значение 20 ^-го слагаемого
T ₂₀ = 4 + (20 – 1)2
T ₂₀ = 4 + 19 (2)
T ₂₀ = 4 + 38
T ₂₀ = 42

F)
Первый термин (A) = 10
T ₇: T = 3:5 = ³ ⁄ ₅
Используя общую формулу: T _n = a + (n – 1)d

T ₇ = 10 + (7 – 1)d
T ₇ = 10 + 6D

T ₉ = 10 + (9 — 1) D
T ₉ = 10 + 8D

, так как T ₇: T = 3: 5
Отсюда следует, что 5T ₇ = 3T ₉

5(10 + 6d) = 3(10 + 8d)
50 + 30d = 30 + 24d
30d – 24d = 30 – 50 3 -0 60 = -3,3333

Следовательно, общая разность равна -3,3333

g)
A. P. => 11, x, y, 21 ¹ ⁄ ₂
Общая формула: T _N = A + (N — 1) D
T ₄ = 21 ¹ ⁄ ₂, n = 4, A = 11

21 ¹ ⁄ ₂ = 11502 ( 4 — 1) D
21 ¹ ⁄ ₂ = 11 + 3d
⁴³ ⁄ ₂ = 11 + 3d
Умножение на 2
43 = 22 + 6d
43 — 22 = 6d
21 = 22 = 22 + 6d
43 — 22 = 6d
21 = 22 = 22 + 6d
43 — 22 = 6d
21. 6d
d = 21/6
d = 3,5
Далее, найдем x

T ₂ = x = 11 + (2 – 1)3,5
x = 11 + (1)3,5
x = 11 + 3,5
x = 14,5

Далее, найдем y

T ₃ = y = 11 + (3 – 1)3,5
y = 11 + (2)3,5
y = 11 + 7

5 Серия
Серия получается при добавлении членов последовательности.
Например:
а) 9 + 12 + 15 + 18 + … + 51
б) 4 + 8 + 12 + .. + 48
в) 1 + 2 + 3 + 4 + …
г) 5 + 10 + 15 + 20 + …
Примеры а) и б) называются конечными рядами , потому что они имеют определенное число членов и всегда можно найти сумма конечного ряда .
Примеры c) и d) называются бесконечными рядами . Сумму бесконечных рядов часто невозможно найти.
Давайте решим что-нибудь
Найдите сумму этого A.P.
2 + 4 + 6 + … + 98 + 100
Решение
a (Первый член) = 2, l (1Последний член) = 0403d90 (Общая разность) = T ₂ – T ₁
d (Общая разность) = 4 – 2 = 2
T _n = a + (n – 1)d
100 = 2 + (n – 1)2
100 = 2 + 2n – 2
100 = 2n
n = 100/2
n = 50
Следовательно, количество членов в арифметической прогрессии равно 50
Присмотритесь к этому
S (Сумма) = 2 + 4 + 6 + … + 98 + 100 Складывая два ряда по вертикали, получаем:
2S = 102 + 102 + … + 102 + 102 + 102
2S = 102 x 50
2S = 5100
S = ⁵¹⁰⁰ ⁄ ₂
S = 2550
Таким образом, сумма арифметического ряда равна 2550
Следующее выражение представляет собой общий арифметический ряд, где сложены члены.
S = а + (а + d) + (а + 2d) + … + l … (III)
S = l + (l – d) + (l – 2d) + … + a … (IV)
Сложение уравнений (III) и (IV)
2S = (a + l) + (a + l) + … + (a + l)
2S = (a + l)n
S = ^{n(a + л)} ⁄ ₂ … (V)
Приведенная выше формула используется, когда заданы первый и последний члены
Существует другая формула
Так как l = a + (n – 1)d
Подставляя l = a + (n – 1)d в уравнение (V)
S _n = ^{n(a + l)} ⁄ ₂
S _n = ^{n(a + a + (n – 1)d)} ⁄ 2
S _n = ^{n(2a + (n – 1)d)} ⁄ ₂ … (VI)
Приведенное выше уравнение или уравнение (VI) используется, когда дается первый член и общая разность.
Возьмем еще один пример
а) Первый член и последний член арифметической прогрессии равны 2 и 256 соответственно. Сколько членов в последовательности и в чем общее отличие ряда, если его сумма равна 1548?
Решение
а)
Сначала найдем количество слагаемых, n
а (первый член) = 2
l (последний член) = 256
S _n (сумма ряда) = 1548
2 С
_п = ^{N (A + L)} ⁄ ₂
1548 = ^{N (2 + 256)} ⁄ ₂
Умножение на 2
3096 = N (2 + 256)
3096 = 258N
N = ^{3066666)
3096 = 258N
N = ^{306666666666666)} ⁄ ₂₅₈
n = 12
Следовательно, количество членов ряда равно 12
Далее, найдем общую разность, d
S _{(n –n}
1)d) ⁄ ₂
1548 = ^{12(2(2) + (12 – 1)d)} ⁄ ₂
Multiplying throughout by 2
3096 = 12(4 + (11)d)
3096 = 48 + 132d
3096 – 48 = 132d
3048 = 132d
d = ³⁰⁴⁸ ⁄ ₁₃₂
d = 23. 0909
Therefore , общая разница 23.0909 .
Калькулятор Nickzom способен вычислить все параметры A рифметической P прогрессии.
Загрузите наше бесплатное приложение для Android
Арифметическая прогрессия — Формула 9 арифметической прогрессии0001
Введение Арифметическая прогрессия или арифметическая последовательность — это последовательность, в которой константа добавляется к каждому члену, чтобы получить следующий член последовательности. Постоянный член называется общей разностью АП. a ₁ +d, a ₃ = a ₂ +d , где a ₁ — первый член, а d — общая разность, постоянная для арифметической прогрессии
Предлагаемое действие
БЕСПЛАТНЫЕ живые мастер-классы от нашего звездного факультета с более чем 20-летним опытом. Зарегистрируйтесь сейчас
В общем, a _n+1 = a _n+d , где n — любое натуральное число.

Например, ,
2, 5, 8, 11……… является AP с общей разностью 3.
3, 9, 15, 20…… не является AP, потому что ₄ –a ₃ = 5, что не равно (a ₂ –a ₁ ).
5, 1, -3, -7……..это арифметическая прогрессия с общей разностью -4.
Свойства арифметических прогрессий Если константа прибавляется или вычитается из каждого члена арифметической прогрессии, то результирующая последовательность также является арифметической прогрессией с той же общей разницей.
Каждый член арифметической прогрессии умножается на константу или делится на «ненулевую» константу, тогда полученная последовательность также является арифметической прогрессией.
А.П. a + (n – 1) d, где a – первое слагаемое, n – количество слагаемых, а d – общая разность.
Формула прогрессии + (n−1) d]
Формула арифметической прогрессии : n [2a + (n–1) d]/2 = n [a+ a + (n–1) d]/2 = n [a + a
n ]/2
Иллюстрация 1: 11-й член AP равен 5, а 5-й член AP равен 11, тогда что такое 16-й член?
Дано, а ₁₁ =5, а ₅ = 11
а + 10d =5——(1)
а + 4d= 1——(2)
Вычесть (2) из (1) ) от дает,
6d =−6
d= −1
Положив d = -1 в ——(1), a – 10 = 5
a= 10+5= 15
a ₁₆ = a+15d
a ₁₆ = 15+5(−1) =0
общая разность арифметической прогрессии равна -1, а (m+n)-й член равен нулю.
No related posts.}