Дифференциальные уравнения первого порядка
Дифференциальные уравнения.
Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции (или нескольких неизвестных функций). Вместо производных могут содержаться дифференциалы.
Если неизвестные функции зависят от одного аргумента, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если от нескольких, то уравнение называется дифференциальным уравнением с частными производными. Будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения.
Общий вид дифференциального уравнения с одной неизвестной функцией таков:
F(х,
у, у’, у», …, у(n))=0.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей из производных, входящих в это уравнение.
Функция у=(х) называется решением дифференциального уравнения, если последнее обращается в тождество после подстановки у=(х).
Основной задачей теории дифференциальных уравнений является нахождение всех решений данного дифференциального уравнения. В простейших случаях эта задача сводится к вычислению интеграла. Поэтому решение дифференциального уравнения называют также его интегралом, а процесс нахождения всех решений — интегрированием дифференциального уравнения.
Вообще интегралом данного дифференциального уравнения называют всякое уравнение, не содержащее производных, из которого данное дифференциальное уравнение вытекает как следствие.
Уравнение вида F(x, y, y‘)=0,
где х — независимая
переменная; у — искомая
функция; у’ — её производная,
называется дифференциальным уравнением
первого порядка.
Если уравнение можно разрешить относительно у’, то оно принимает вид: y‘=f(x, y) и называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной.
Дифференциальное уравнение удобно записать в виде: , являющемся частным случаем более общего уравнения (в симметрической форме):P(x,y)dx+Q(x, y)dy =0, где Р(x, y) и Q (x, y) — известные функции.
Уравнение в симметричной форме удобно тем, что переменные
Решением
дифференциального уравнения первого
прядка называется функция у=(х),
которая при подстановке в уравнение
обращает его в тождество.
График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.
Ответ на вопрос о том, при каких условиях уравнение имеет решение, дает теорема Коши, которая называется теоремой о существовании и единственности решения дифференциального уравнения и является основной в теории дифференциальных уравнений.
Теорема (теорема Коши). Если функция f(x, у) и ее частная производная f‘y(x
, у) определены и непрерывны в некоторой области G плоскости Оху, то какова бы ни была внутренняя точка (х0; у0) области G, в некоторой окрестности этой точки существует единственное решение уравнения y‘=f(x, у), удовлетворяющее условиям: у=уо при х=х0. Теорема Коши дает
возможность по виду дифференциального
уравнения решать вопрос о существовании
и единственности его решения.
Это
особенно важно в тех случаях, когда
заранее неизвестно, имеет ли данное
уравнение решение.
Геометрически теорема утверждает, что через каждую внутреннюю точку (x0; у0) области G проходит единственная интегральная кривая. Очевидно, что в области
Условия, в силу которых функция у=(х) принимает заданное значение у0 в заданной точке х0, называют начальными условиями решения.
Отыскание решения уравнения, удовлетворяющего начальным условиям, — одна из важнейших задач теории дифференциальных уравнений. Эта задача называется задачей Коши.
С геометрической
точки зрения решить задачу Коши — значит
из множества интегральных кривых
выделить ту, которая проходит через
заданную точку (х0; у0)
плоскости Оху.
Точки плоскости, через которые либо проходит более одной интегральной кривой, либо не проходит ни одной интегральной кривой, называются особыми точками данного уравнения.
Общим решением уравнения в некоторой области G плоскости Оху называется функция у=(х, С), зависящая от х и произвольной постоянной С, если она является решением уравнения при любом значении постоянной С, и если при любых начальных условиях таких, что (х0; у0)G, существует единственное значение постоянной С=С0 такое, что функция у=(х, С0) удовлетворяет данным начальным условиям (х0, С)=С0.
Частным решением уравнения в области G называется функция у=(х, С0), которая получается из общего решения у=(х, С) при определенном значении постоянной С=С
Геометрически общее решение представляет собой семейство интегральных кривых на плоскости Оху, зависящее от одной произвольной постоянной С, а частное решение — одну интегральную кривую этого семейства, проходящую через заданную точку (х0; у0).
Иногда начальные условия называют условиями Коши, а частным решением называют решение какой-нибудь задачи Коши.
Геометрический
смысл уравнения. Пусть дано
дифференциальное уравнение первого
порядка y‘=f(x,
у) и пусть
функция у=(х)
— его решение. График решения представляет
собой непрерывную интегральную кривую,
через каждую точку которой можно провести
касательную. Из уравнения следует, что
угловой коэффициент у’ касательной
к интегральной кривой в каждой ее точке
(х;
у) равен значению
в этой точке правой части уравнения f(x,
у).
Таким образом,
уравнение y‘=f(x,
у) устанавливает
зависимость между координатами точки
(х;
у) и
угловым коэффициентом у’ касательной
к графику интегральной кривой в той же
точке. Зная х и у, можно указать
направление касательной к этой
интегральной кривой в точке (х;
у).
Сопоставим каждой точке (х;
у) интегральной
кривой направленный отрезок, угловой
коэффициент которого равен f(х,
у). Получим так
называемое поле
направлений данного
уравнения, раскрывающее геометрический
смысл дифференциального уравнения
первого порядка.
Итак, с геометрической точки зрения уравнение
Построив на
плоскости поле направлений данного
дифференциального уравнения, можно
приближенно построить интегральные
кривые.
1.3. Уравнения первого порядка и их геометрический смысл
Дифференциальное уравнение первого порядка может быть записано в общем виде, аналогичному уравнению -го порядка (1.3):
. (1.4)
Если это уравнение разрешить относительно производной, то
. (1.5)
Простейший пример такого уравнения
, (1.6)
Из которого неизвестная функция находится интегрированием
,
Где слева стоит неопределенный интеграл. Если функция имеет первообразную , то .
В этом простейшем случае решение содержит произвольную постоянную , которая может быть определена, если задать Начальное условие
или , (1.7)
Где и – некоторые числа, то есть при некотором значении независимой переменной заранее задано значение искомой функции .
Геометрически начальное условие (1.7) означает, что на плоскости задана точка , через которую должна проходить искомая интегральная кривая. При таком начальном условии решение уравнения (1.6) можно представить в виде
.
Рассмотрим уравнение (1.5). Пусть – область определения функции на плоскости . Возьмём некоторую точку и вычислим значение функции в ней . В соответствии с исходным дифференциальным уравнением получим значение производной неизвестной функции в заданной точке, то есть . Поскольку производная функций определяет угловой коэффициент наклона касательной к графику функции, то тем самым определим угловой коэффициент касательной к той интегральной кривой уравнения, которая проходит через точку .
Возьмем теперь другую точку и вычислим для нее величину . Это есть коэффициент наклона касательной к интегральной кривой, проходящей через эту новую точку. Точно так же, беря новые точки в области , получим множество элементарных «кусочков» интегральных кривых этого уравнения, проходящих через взятые точки.
Геометрический смысл дифференциального уравнения (1.5) заключается в том, что оно устанавливает зависимость между координатами точек интегральной кривой и значением производной , то есть в каждой точке определяется направление касательной к искомой интегральной кривой.
Таким образом, уравнение (1.5) определяет поле направлений, и задача интегрирования дифференциального уравнения заключается в том, чтобы найти кривые, направления касательных к которым в каждой точке совпадают с направлением поля. Каждая из интегральных кривых представляет собой график решения исходного дифференциального уравнения. Найти решение уравнения с начальным условием (1.7) геометрически означает выделение из множества интегральных кривых той кривой, которая проходит через точку . Всё множество интегральных кривых представляет общее решение дифференциального уравнения. При графическом представлении решения дифференциального уравнения часто пользуются изоклинами.
Изоклиной Называется геометрическое место точек, для которых производная некоторой функции имеет одно и то же значение. Уравнение изоклины имеет вид . Для дифференциального уравнения (1.5) изоклины представляются равенством . Графический метод решения дифференциального уравнения с помощью изоклин используется в том случае, когда аналитическое решение невозможно.
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка: аналитические — WeTheStudy
Автор Edgar Исчисление, дифференциальные уравнения, математика
Новое в математике
Одной из наиболее распространенных форм дифференциальных уравнений (ДУ) являются линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Аналитическое решение использует другой подход по сравнению с разделением переменных и однородными ДУ.
Обычный способ решения этих ДУ состоит в том, чтобы запомнить два выражения; тогда проблема становится вопросом применения указанных формул. Здесь мы узнаем больше о том, как они были сформулированы.
Линейное уравнение первого порядка DE
Уравнение вида y’ + a(x)y = b(x) является линейным дифференциальным уравнением первого порядка (также известным как стандартная форма).
- dy/dx (y’) — первая производная
- a(x) и b(x) — функции
- y — переменная
Ключом к нахождению общего решения этого ДУ является введение того, что мы называем интегрирующим фактором μ . Чтобы его вычислить, возьмем интеграл от a(x) и пусть значение будет показателем степени e (см. выражение на рисунке). После этого находим решение: y = (1/µ)(∫µb(x)dx).
Общее решение
Коэффициент интегрирования μ и общее решение для линейного дифференциального уравнения первого порядка получаются путем параллелизма с правилом произведения . Сейчас мы сосредоточимся на получении последнего. Если мы умножим стандартную форму на μ, то получим: μy’ + yμa(x) = μb(x)
Математически правило произведения гласит, что d/dx(uv) = u(dv/dx) + v(du/dx) . Если вы сравните с ней левую часть уравнения, то обнаружите, что два выражения параллельны друг другу:
- µ = u
- y’ = dv/dx
- y = v
- µa(x) = du/dx
Поскольку оно соответствует формату правила произведения, мы можем переписать уравнение как d/ dx(yµ) = µb(x).
Затем мы интегрируем обе части уравнения и изолируем y, чтобы получить общее решение.
Для вывода интегрирующего множителя нам также потребуется исследовать параллелизм ДУ с правилом произведения, что можно показать здесь.
Аналитический пример: линейная ОДУ первого порядка
Рассмотрим дифференциальное уравнение: y’ + xy = x. Во-первых, мы хотели бы выяснить, соблюдает ли это ДУ форму: y’ + a(x)y = b(x). В этом случае a(x) = x (левая часть) и b(x) = x (правая часть).
Далее находим интегрирующий множитель µ: берем a(x) и интегрируем его; Результатом будет показатель степени константы e. Наконец, используя выражение, изображенное на рисунке, получаем общее решение. Проблема теперь сведена к проблеме интеграции; Каким бы ни был результат, это решение.
Вместо того, чтобы запоминать формулу общего решения, проще найти ее, используя переписанное выражение d/dx(yμ) = μb(x) . Вспоминая ранее, все, что вам нужно сделать, это умножить стандартную форму на интегрирующий коэффициент μ.
Тогда из-за правила произведения левая часть уравнения является производной yµ .
Что нужно знать для изучения исчисления
Дифференциальные уравнения первого порядка — это уравнения, содержащие некоторую неизвестную функцию и ее первую производную. Основная цель этой обзорной статьи по Calculus III — обсудить свойства решений дифференциальных уравнений первого порядка и описать некоторые эффективные методы нахождения решений.
Стандартная форма
Стандартная форма дифференциального уравнения первого порядка для неизвестной функции y(t):
\dfrac{dy}{dt} = f(t,y)
Здесь f — некоторая функция двух переменных. Многие, но не все, дифференциальные уравнения первого порядка можно записать в стандартной форме, решив алгебраически относительно \dfrac{dy}{dt}, а затем приравняв f(t,y) к правой части полученного уравнения.
Любая дифференцируемая функция y = y(t), которая удовлетворяет этому уравнению для всех t в некотором интервале, называется решением. Некоторые дифференциальные уравнения не имеют решений, тогда как другие дифференциальные уравнения имеют бесконечно много решений. Также возможно, что дифференциальное уравнение имеет ровно одно решение. Общее решение дифференциального уравнения – это множество всех решений. Дифференциальное уравнение вместе с дополнительным условием y(t_0) = y_0 , заданным при некотором значении независимой переменной t = t_0 , составляет задачу с начальным значением. Решением задачи с начальным значением является функция y(t), которая одновременно решает дифференциальное уравнение и удовлетворяет заданному вспомогательному условию y(t_0) = y_0 .
Уравнения с разделяющимися переменными
Не существует универсально применимой процедуры для решения дифференциальных уравнений первого порядка в стандартной форме с произвольным f(t,y) . Здесь мы рассматриваем подмножество уравнений первого порядка, которые можно интегрировать напрямую.
Это возможно, если функция
f(t,y)
можно представить в виде
f(t,y) = g(t) h(y)
Здесь g является функцией только t , а h является функцией только y . Дифференциальное уравнение
\dfrac{dy}{dt} = g(t) h(y)
называется отделимым. Мы можем записать это в дифференциальной форме
\dfrac{dy}{h(y)} — g(t) dt = 0
Общее решение этого уравнения дается следующим интегралом:
\int \dfrac{dy}{h(y)} — \int g(t) dt = C
Здесь C представляет произвольную постоянную интегрирования. Интегралы, полученные в этом выражении, может быть невозможно вычислить. В таком случае можно использовать численные методы для получения приближенного решения. Даже если указанные интегрирования могут быть выполнены, может быть алгебраически невозможно решить для y явно через t . В этом случае решение остается в неявной форме. 92 = грех т + 1
Однородные уравнения
Дифференциальное уравнение в стандартной форме
\dfrac{dy}{dt} = f(t,y)
является однородным, если
f(\alpha t,\alpha y) = f(t,y)
для любого действительного числа \alpha .
Такое уравнение всегда можно преобразовать в разделимое уравнение заменой независимой переменной
y = t,z
вместе с соответствующей производной:
\dfrac{dy}{dt} = t ,\dfrac{dz}{dt} + z
Полученное уравнение с переменными z и t
можно решить как разделимое дифференциальное уравнение, поскольку функция f
после такой замены оказывается функцией с одной переменной z .
Проиллюстрируем этот метод на примерах.
Пример 1
Рассмотрим уравнение:
\dfrac{dy}{dt} = \dfrac{y+t}{t}
Сначала проверим условие однородности:
f(\alpha t,\alpha y) = \dfrac{\alpha y+\alpha t}{\alpha t} = \dfrac{y+t}{t} = f(t, y)
Во-вторых, мы ввести новую зависимую переменную
z , так что z=y/t :
\dfrac{dy}{dt} = t ,\dfrac{dz}{dt} + z = z+1
Уравнение
t,\dfrac{dz}{dt} = 1
— дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными, которое можно интегрировать напрямую:
z = ln|Kt|
Здесь мы установили постоянную интегрирования 92
Линейные уравнения с переменными коэффициентами
Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка в стандартной форме:
\dfrac{dy}{dt} = f(t,y) .
Дифференциальное уравнение является линейным, если f(t,y)
можно записать как функцию t, умноженную на y,
плюс еще одну функцию от
t : f(t,y) = — ,p(t) y + q(t) .
Следовательно, линейное дифференциальное уравнение всегда может быть выражено как:
\dfrac{dy}{dt} + p(t) y = q(t)
Здесь p и q
заданы функции независимой переменной t .
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка не могут быть решены прямыми методами интегрирования, так как переменные неразделимы. В результате нам нужно использовать другой метод решения. Первым шагом является умножение линейного дифференциального уравнения на неопределенную функцию \mu(t) :
\mu(t) ,\dfrac{dy}{dt} + \mu(t) p(t) y = \ мю (т) д (т)
Теперь вопрос состоит в том, можем ли мы выбрать \mu(t) так, чтобы левая часть этого уравнения была распознаваема как производная некоторого конкретного выражения. Отметим следующие равенства:
\dfrac{d}{dt} [\mu(t)y] = \mu(t) \dfrac{dy}{dt} + \dfrac{d\mu(t)}{dt},y = \ mu(t) ,\dfrac{dy}{dt} + \mu(t) p(t) y
Здесь второе равенство справедливо при условии, что \mu(t) удовлетворяет уравнению:
\dfrac {d\mu(t)}{dt} = p(t) \mu(t)
Это дифференциальное уравнение первого порядка с разделяемыми переменными, которое можно напрямую интегрировать:
\int \dfrac{d\mu}{\mu} — \int p(t) dt = 0
Если временно предположить, что \mu(t) положителен, то мы имеем:
ln\mu(t) = \int p(t) dt + K
Выбирая произвольную константу K равной нулю, мы получаем простейшую возможную функцию для \mu .
А именно:
\mu(t) = exp\left(\int p(t) dt\right)
Обратите внимание, что коэффициент интегрирования \mu(t)
положительно для всех t ,
как мы и предполагали. Возвращаясь к линейному дифференциальному уравнению, имеем:
\dfrac{d}{dt} [\mu(t)y] = \mu(t) q(t)
Следовательно, общее решение: 95}}
Точные уравнения и интегрирующие коэффициенты
Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение первого порядка:
m(t,y) + n(t,y) ,\dfrac{dy}{dt} = 0
Мы предполагаем, что оно не является ни линейным, ни сепарабельным, поэтому методы, подходящие для таких типов уравнений, здесь неприменимы. Но предположим, что мы можем определить функцию Psi(t,y) такую, что: \частное у} = п(т,у)
Тогда дифференциальное уравнение принимает следующий вид: частичное Psi}{\partial y},\dfrac{dy}{dt} = \dfrac{d}{dt} ,Psi[t, y(t)] = 0
Такое дифференциальное уравнение называется точным уравнением. Решение точного уравнения задается неявно как
Psi(t,y) = C ,
, где, как обычно, C
представляет произвольную константу.
Систематический способ определения точности заданного дифференциального уравнения обеспечивается с помощью следующего теста. Если m(t,y) и n(t,y) — непрерывные функции, то дифференциальное уравнение первого порядка вида:
m(t,y) + n(t,y) ,\dfrac{dy}{dt} = 0
является точным тогда и только тогда, когда:
В некоторых случаях неточное дифференциальное уравнение может быть преобразовано в точное уравнение. Такое преобразование возможно, если умножить уравнение на подходящий интегрирующий множитель. Чтобы исследовать возможность реализации этой идеи в более общем виде, давайте умножим уравнение на функцию \mu , затем попробуем выбрать \mu так, чтобы результирующее уравнение:
\mu(t,y) m(t,y) + \mu(t,y) n(t,y) ,\dfrac{dy}{dt} = 0
проходит тест на точность:
\dfrac{\partial}{\partial y}[\mu m] = \dfrac{\partial}{\partial t}[\mu n]
Хотя в принципе интегрирующие коэффициенты являются мощным средством решения дифференциальных уравнений, на практике их можно найти только в особых случаях.
Самая важная ситуация, в которой можно найти интегрирующие множители, возникает, когда \mu является функцией только одной из переменных t или y , а не обеих. Предполагая, что \mu является функцией только от t, мы имеем:
\dfrac{d\mu}{dt} = g \mu , \qquad g = \dfrac{1}{n}\left( \dfrac{\partial m}{\partial y} — \dfrac{\ частичное n}{\partial t} \right)
Если g является функцией только t , то интегрирующий коэффициент \mu можно определить как:
\mu(t) = exp\left(\int g(t) dt\right)
Аналогичную процедуру можно использовать для определения условия, при котором дифференциальное уравнение имеет интегрирующий коэффициент, зависящий только от y . В этом случае находим:
\mu(t) = exp\left(-,\int h(t) dt\right), \qquad \text{где} \qquad \dfrac{1}{m} \left( \dfrac{\partial m}{\partial y} — \dfrac{\partial n}{\partial t} \right) = h(y) 92 = С
Подведение итогов
В этой обзорной статье по исчислению III мы исследовали различные типы дифференциальных уравнений первого порядка, которые можно использовать.