Решение дифференциального уравнения второго порядка неоднородного: Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Содержание

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

y» + py’ +qy = f(x)

Для нахождения общего решения этого уравнения нужно найти общее решение однородного уравнения, как это было показано в предыдущем параграфе, и какое-либо частное решениеу* неоднородного уравнения . Их сумма будет общим решением данного неоднородного уравнения:

у = +у*.

Рассмотрим один из методов нахождения частного решения – метод неопределенных коэффициентов.

Суть метода заключается в следующем: если правая часть уравнения неоднородного уравнения имеет вид

f(x)=e^αx[P_n(x

)cosβx + Q_m(x)sinβх] ,

где α и β – действительные числа, а P_n(x) и Q_m(x) – многочлены соответственно n — й и m – й степени с действительными коэффициентами, то частное решение у* ищется в виде

y* = x^l e^αx[M_s(x)cosβx+N_s(x)sinβx],

где M_s(x) и N_s(x) – многочлены степени s = max(n,m) с неопределенными буквенными коэффициентами, а l – кратность, с которой

α + βi входит в число корней характеристического уравнения .

Следует отметить, что в общем виде многочлены соответствующей степени, имеют вид:

— многочлен 0-ой степени — А

— многочлен 1-ой степени — Ах+В

— многочлен 2-ой степени — Ах²+Вх+С

— многочлен 3-ей степени — Ах³+Вх²+Сх+D и т.д.

А, В, С, D, … — неопределенные коэффициенты.

Для того, чтобы найти неопределенные коэффициенты, частное решение у* , его производные у^*‘и у^*» подставляют в левую часть неоднородного уравнения и производят соответствующие упрощения; затем в полученном тождестве приравнивают коэффициенты при подобных членах в левой и правой частях, что дает систему уравнений относительно искомых неопределенных коэффициентов, решив которую находят эти коэффициенты.

Замечание. Если правая часть неоднородного уравнения есть сумма функций вида

f(x)=f₁(x)+f₂(x)+ … +f_n(x),

нужно предварительно найти частные решения y₁*, y₂*, …,y_n*, соответствующие функциям f₁(x, f₂(x

), … ,f_n(x). Тогда частное решение данного уравнения запишутся в виде

y*= y₁*+ y₂*+, …,+ y_n* .

Более общим методом решения уравнений является метод вариации произвольных постоянных.

Пусть у₁ и у₂ – линейно независимые частные решения однородного уравнения . Тогда общее решение неоднородного уравнения следует искать в виде

у=С₁(х)у₁+С₂(х)у₂

где функции С₁(х) и С₂(х) определяются из системы уравнений

Решая эту систему, получим

где — определитель Вронского.

Интегрируя С^‘₁(х) и С^‘₂(х) получаем

откуда, подставляя найденные функции в функцию решения , найдем общее решение линейного неоднородного уравнения .

Пример 10.12. Найти общее решение дифференциального уравнения

y«+4y‘=-2xe^-4х.

Решение. Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и какого-либо частного решенияу*

неоднородного уравнения:

у = +у*.

Найдем общее решение однородного уравнения

y«+4y‘=0.

Составим характеристическое уравнение и решим его

k² + 4k = 0, k₁=0 , k₂=-4.

Общее решение однородного уравнения имеет вид

= С₁ +C₂e^-4х.

Перейдем к отысканию частного решения у* данного уравнения. Здесь правая часть неоднородного уравнения f(x)=-2xe^-4^x содержит произведение многочлена первой степени и показательной функции, а также коэффициент в показателе степени совпадает с одни из корней характеристического уравнения, следовательно, необходимо в частное решение добавить множитель х и частное решение будт иметь вид

y*= x(Ax+B)e^-4x=(Ax²+Bx)e^-4x.

Вычислим производные функции у*

y*’= 2Axe^-4^x-4e^-4^x(Ax²+Bx) = (-4Ax²+2

Ax-4Bx+B)e^-4^x

y*» = (-8Ax+2A-4B) e^-4x-4e^-4x(-4Ax²+2Ax -4Bx+B)=

= (16Ax²-16Ax +16Bx+2A – 8B)e^-4x.

Подставим найденные производные в неоднородное уравнение

(16Ax²-16Ax +16Bx+2A – 8B)e^-4x+4(-4Ax²+2Ax-4Bx+B)e^-4x=-2xe^-4x

(16Ax²-16Ax +16Bx+2A – 8B+16Ax²+8Ax-16Bx+4B)e^-4x

=-2xe^-4x.

Приведем подобные члены и сократим равенство на е^-4х

-8Ax+2A -4B =-2x.

Приравняем коэффициенты левой и правой части равенства, стоящие перед х в одинаковой степени, получим систему уравнений, решив которую найдем значения неопределенных коэффициентов А и В:

Получили частное решение неоднородного уравнения

y*=

Теперь можно записать общее решение данного неоднородного уравнения

y = С₁ +C₂e^-4х+.

Пример 10.13. Найти общее решение дифференциального уравнения

y«+4y=3xcosx.

Решение. Общее решение неоднородного уравнения равно сумме общего решения однородного уравнения и какого-либо частного решенияу* неоднородного уравнения:

у = +у*.

Найдем общее решение однородного уравнения

y«+4y=0.

Составим характеристическое уравнение и решим его

k² + 4 = 0, k_1,2=±2i (α=0,

β=2)

Общее решение однородного уравнения имеет вид

= С₁cos2x +C₂sin2x.

Перейдем к отысканию частного решения у* данного уравнения. Здесь правая часть неоднородного уравнения f(x)=3xcosx содержит произведение многочлена первой степени и тригонометрической функции (α =0, β =1), коэффициенты в правой части неоднородного уравнения не совпадают с корнями характеристического уравнения и частное решение будет иметь вид

y*= (Ax+B)cosx+(Cx+D)sinx,

где A,B,C,D – неопределенные коэффициенты.

Вычислим производные функции у*:

y*’=Acosx — (Ax+B)sinx + Csinx + (Cx+D)cosx=(Cx + D + A)cosx +

+(-Ax +C — B)sinx

y*» =Ccosx — (Cx + D +A)sinx – Asinx+(-Ax+C-B)cosx=(-Ax + 2C – B)cosx + +(-Cx – 2A – D)sinx

Подставим найденные производные в неоднородное уравнение, приведем подобные члены и сгруппируем члены при cosx и sinx

(3Ax + 3B + 2C)cosx + (3Cx + 3D — 2A)sinx = 3xcosx

3Axcosx + 3Cxsinx + (3B+2C)cosx + (3D-2A)sinx = 3xcosx

Приравняем коэффициенты левой и правой части равенства, стоящие перед xcosx , xsinx , cosx и sinx получим систему уравнений, решив которую найдем значения неопределенных коэффициентов A,B,C,D:

Таким образом, частное решение имеет вид

y*=xcosx+sinx.

Окончательно получаем общее решение неоднородного дифференциального уравнения

у = С₁cos2x +C₂sin2x+ xcosx+sinx.

Краткий курс высшей математики

Шнейдер В. Е. и др. Краткий курс высшей математики. Учеб. пособие для втузов. М., «Высш. школа», 1972. 640 с.

Данное учебное пособие предназначено для студентов вечерних факультетов втузов и заводов-втузов. Оно в основном охватывает весь материал, предусмотренный обязательной программой. Достаточное количество решенных примеров и задач способствует лучшему усвоению теоретического материала.

МЕТОД КООРДИНАТ. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
§ 1. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА. КООРДИНАТЫ ТОЧКИ НА ПРЯМОЙ
2. Геометрическое изображение действительных чисел. Координаты точки на прямой
3. Абсолютная величина действительного числа
4. Расстояние между двумя точками на прямой
§ 2. КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ И В ПРОСТРАНСТВЕ
2. Расстояние между двумя точками на плоскости
3. Деление отрезка в данном отношении
4. Координаты точки в пространстве
5. Расстояние между двумя точками в пространстве
§ 3. УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ОСЯМИ. ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ
2. Полярные координаты
3. Зависимость между декартовыми и полярными координатами
§ 4. ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ
2. Понятие функции
3. График функции
4. Способы задания функций
5. Основные элементарные функции и их графики
6. Сложные функции. Элементарные функции
7. Целые и дробно-рациональные функции
8. Функции четные и нечетные. Периодические функции
§ 5. УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ
2. Нахождение уравнения линии по ее геометрическим свойствам
§ 6 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ
2.

Поворот осей координат
ГЛАВА II. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
§ 1. ПРЯМАЯ
2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
3. Уравнение прямой, параллельной оси ординат
4. Общее уравнение прямой и его частные случаи
5. Точка пересечения прямых. Построение прямой по ее уравнению
6. Вычисление угла между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
7. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в заданном направлении
8. Пучок прямых
9. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
10. Расстояние от точки до прямой
§ 2. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
2. Окружность
3. Эллипс
4. Гипербола
5. Парабола
6. Окружность, эллипс, гипербола и парабола как конические сечения
7. Упрощение уравнения кривой второго порядка. График квадратного трехчлена
8. Уравнение равносторонней гиперболы, асимптоты которой приняты за оси координат
9. График дробно-линейной функции
10. Преобразование уравнения кривой второго порядка, не содержащего члена с произведением координат
ГЛАВА III.

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ И ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
§ 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
2. Определитель третьего порядка
3. Понятие об определителях высших порядков
§ 2. СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
2. Однородная система двух уравнений первой степени с тремя неизвестными
3. Система трех уравнений первой степени с тремя неизвестными
4. Однородная система трех уравнений первой степени с тремя неизвестными
§ 3. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
2. Линейные операции над векторами
4. Проекция вектора на ось и составляются вектора по оси
5. Разложение вектора на составляющие по осям координат
6. Направляющие косинусы вектора
7. Условие коллинеарности двух векторов
8. Скалярное произведение
9. Выражение скалярного произведения через проекции перемножаемых векторов
10. Косинус угла между двумя векторами
11. Векторное произведение
12. Выражение векторного произведения через проекции перемножаемых векторов
13. Смешанное произведение трех векторов
14.

Геометрический смысл смешанного произведения
15. Условие компланарности трех векторов
§ 4. МАТРИЦЫ И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ
2. Равенство матриц. Действия над матрицами
3. Обратная матрица
4. Матричная запись и матричное решение системы уравнений первой степени
§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
2. Преобразование координат
3. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
4. Упрощение общего уравнения кривой второго порядка
ГЛАВА IV. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. ПЛОСКОСТЬ
2. Нормальный вектор плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку
3. Общее уравнение плоскости и его частные случаи
4. Построение плоскости по ее уравнению
5. Угол между плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей
6. Точка пересечения трех плоскостей
§ 2. ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
2. Общие уравнения прямой
3. Векторное уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой
4. Канонические уравнения прямой
5.

Уравнения прямой, проходящей через две точки
6. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
§ 3. Прямая и плоскость в пространстве
2. Точка пересечения прямой с плоскостью
3. Расстояние от точки до плоскости
4. Пучок плоскостей
§ 4. ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
2. Цилиндрические поверхности
3. Конические поверхности
4. Поверхность вращения
6. Гиперболоиды
7. Параболоиды
ГЛАВА V. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
§ 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
2. Предел функции при х -> -оо
3. Предел функции при х->х0
4. Бесконечно малые функции. Ограниченные функции
5. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми функциями
6. Основные теоремы о пределах
7. Предел функции при x -> 0
8. Последовательность. Число e
9. Натуральные логарифмы
10. Сравнение бесконечно малых функций
§ 2. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
2. Операции над непрерывными функциями. Непрерывность элементарных функций
3. Свойства функций, непрерывных на сегменте
4.

Понятие об обратной функции
5. Обратные тригонометрические функции
6. Показательная и логарифмическая функции
7. Понятие о гиперболических функциях
ГЛАВА VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1. Приращение аргумента и приращение функции
2. Определение непрерывности функции с помощью понятии приращения аргумента и приращения функции
3. Задачи, приводящие к понятию производной
4. Определение производной и ее механический смысл
5. Дифференцируемость функции
6. Геометрический смысл производной
7. Производные некоторых основных элементарных функций
8. Основные правила дифференцирования
9. Производная обратной функции
10. Производные обратных тригонометрических функций
11. Производная сложной функции
§ 12. Производные гиперболических функций
13. Производная степенной функции с любым показателем
14. Сводная таблица формул дифференцирования
15. Неявные функции и их дифференцирование
16. Уравнения касательной а нормали к кривой
17.

Графическое дифференцирование
§ 2. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
1. Нахождение производных высших порядков
2. Механический смысл второй производной
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
2. Производная как отношение дифференциалов
3. Дифференциал суммы, произведения и частного функций
4. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы дифференциала
5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
6. Дифференциалы высших порядков
§ 4. ФУНКЦИИ, ЗАДАННЫЕ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ, И ИХ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ
2. Дифференцирование функций, заданных параметрически
§ 5. ВЕКТОРНАЯ ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА
2. Векторная функция скалярного аргумента и ее производная
3. Уравнения касательной прямой и нормальной плоскости к пространственной кривой
4. Механический смысл первой и второй производных векторной функции скалярного аргумента
§ 6. НЕКОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ
2. Теорема Ролля
3. Теорема Лагранжа
4. Правило Лопиталя
§ 7.

ПРИЛОЖЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЮ ГРАФИКОВ
2. Максимум и минимум функции
3. Достаточный признак существования экстремума, основанный на знаке второй производной
4. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции
5. Применение теории максимума и минимума к решению задач
6. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба
7. Асимптоты графика функции
8. Общая схема исследования функции и построение ее графика
§ 8. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
2. Уточнение найденных значений корней методом хорд и касательных
§ 9. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА ЛАГРАНЖА
ГЛАВА VII. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО СВОЙСТВА
2. Геометрический смысл неопределенного интеграла
3. Таблица основных интегралов
4. Основные свойства неопределенного интеграла
§ 2. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
2. Интегрирование методом замены переменной
3. Интегрирование по частям
§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
2.

Рациональные дроби. Выделение правильной рациональной дроби
3. Интегрирование простейших рациональных дробей
4. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби
5. Метод неопределенных коэффициентов
6. Интегрирование рациональных дробей
§ 4. Интегрирование тригонометрических функций
2. Рациональные функции двух переменных
3. Интегралы вида
§ 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
2. Интеграл вида
3. Интегралы видов
4. Интегралы вида
§ 6. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ О МЕТОДАХ ИНТЕГРИРОВАНИЯ. ИНТЕГРАЛЫ, НЕ БЕРУЩИЕСЯ В ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ
2. Понятие об интегралах, не берущихся в элементарных функциях
ГЛАВА VIII. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. ЗАДАЧИ, ПРИВОДЯЩИЕ К ОПРЕДЕЛЕННОМУ ИНТЕГРАЛУ
2. Задача о работе переменной силы
§ 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2. Свойства определенного интеграла
3. Производная интеграла по переменной верхней границе
4. Формула Ньютона—Лейбница
5. Замена переменной в определенном интеграле
6.

Интегрирование по частям в определенном интеграле
§ 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
2. Вычисление площади в полярных координатах
3. Вычисление объема тела по известным поперечным сечениям
4. Объем тела вращения
5. Длина дуги кривой
6. Дифференциал дуги
7. Площадь поверхности вращения
8. Общие замечания о решении задач методом интегральных сумм
§ 4. КРИВИЗНА ПЛОСКОЙ КРИВОЙ
2. Вычисление кривизны
3. Радиус кривизны. Круг кривизны. Центр кривизны
4. Эволюта и эвольвента
§ 5. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
2. Интегралы от разрывных функций
3. Признаки сходимости несобственных интегралов
§ 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
2. Метод трапеций
3. Метод параболических трапеций (метод Симпсона)
ГЛАВА IX. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
2. График функции двух переменных
3. Функции трех и большего числа переменных
§ 2.

Предел функции нескольких переменных. Непрерывность функции. Точки разрыва
2. Непрерывность функции нескольких переменных
3. Понятие области
4. Точки разрыва
5. Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области
§ 3. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
2. Геометрический смысл частных производных функции двух переменных
3. Частные производные высших порядков
§ 4. ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
2. Полный дифференциал функции
3. Приложение полного дифференциала к приближенным вычислениям
§ 5. Дифференцирование сложных и неявных функций
2. Инвариантность формы полного дифференциала
3. Дифференцирование неявных функций
§ 6. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
2. Производная по направлению
3. Градиент
4. Касательная плоскость а нормаль к поверхности
5. Геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных
§ 7. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
2. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных
ГЛАВА X.

КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
2. Двойной интеграл. Теорема существования
3. Свойства двойного интеграла
4. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
5. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
6. Приложения двойного интеграла
§ 2. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
2. Тройной интеграл и его свойства
3. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
4. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических координатах
5. Приложения тройного интеграла
§ 3. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ
2. Задача о работе. Криволинейный интеграл
3. Вычисление криволинейного интеграла
4. Формула Остроградского — Грина
5. Независимость криволинейного интеграла от пути интегрирования
6. Отыскание первообразной по полному дифференциалу
7. Криволинейный интеграл по длине дуги
ГЛАВА XI. РЯДЫ
§ 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
2. Геометрическая прогрессия
3. Простейшие свойства числовых рядов
4. Необходимый признак сходимости ряда
5.

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
6. Знакопеременные ряды
7. Остаток ряда и его оценка
§ 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
2. Правильно сходящиеся функциональные ряды и их свойства
§ 3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
2. Свойства степенных рядов
3. Ряды по степеням разности х-а
4. Разложение функций в степенные ряды. Ряд Тейлора
5. Разложение некоторых элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена
§ 4. ПРИЛОЖЕНИЕ РЯДОВ К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ
2. Приближенное вычисление интегралов
§ 5. ПОНЯТИЕ О ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ОБЛАСТИ
2. Числовые ряды с комплексными членами
3. Степенные ряды в комплексной области
§ 6. РЯДЫ ФУРЬЕ
2. Ряд Фурье
3. Сходимость ряда Фурье
4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций
5. Разложение в ряд Фурье функций с периодом 2l
ГЛАВА XII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
2. Дифференциальные уравнения первого порядка
3.

Уравнения с разделяющимися переменными
4. Однородные уравнения
5. Линейные уравнения
6. Уравнение в полных дифференциалах
7. Особые решения
8. Приближенное решение дифференциальных уравнений первого порядка методом Эйлера
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
2. Простейшие уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
3. Понятие о дифференциальных уравнениях высших порядков
§ 3. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка
3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
4. Метод вариации произвольных постоянных
§ 4. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
3. Приложение линейных дифференциальных уравнений второго порядка к изучению механических и электрических колебаний
§ 5. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
2.

Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами
§ 6. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ
§ 7. ПОНЯТИЕ О СИСТЕМАХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
2. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ИНТЕРПОЛЯЦИОННАЯ ФОРМУЛА НЬЮТОНА
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Численность, математика и статистика — Комплект академических навыков

Однородные дифференциальные уравнения второго порядка

ContentsToggle Главное меню 1 Определение 2 Решение однородного ОДУ второго порядка 2.1 1) Различные действительные корни 2.2 2) Повторяющиеся действительные корни 2.3 3) Сложные корни 3 Рабочие примеры 4 Видео примеры 5 Рабочая тетрадь 6 См. также 7 Внешние ресурсы

Определение

Линейное однородное ОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение в форме: 9{\lambda_2x}$.

Чтобы сформировать общее решение, обратите внимание, что линейность ОДУ означает, что любая линейная комбинация решений также является решением. Кроме того, задача дифференциального уравнения второго порядка будет включать два граничных условия, поэтому общее решение дифференциального уравнения второго порядка должно содержать две произвольные константы.

Таким образом, общее решение получается путем умножения каждого решения $y_1$ и $y_2$ на произвольную константу, а затем их сложения: 92}-2\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}-3y=0$, а затем находит частное решение, удовлетворяющее $y(0)=0$ и $y'(0) =1$. Пример 2 = 0$, $y(2) = e$.

Решение

Прежде всего обратите внимание, что уравнение было выражено с использованием простых чисел и эквивалентно:

9{\large{ \frac{x}{2} } }.\]
Video Example 2
Maths-Aid Университета Ньюкасла находит общее решение дифференциального уравнения $4y»-4y’+y=0$, а затем находит частное решение, удовлетворяющее условиям $y(0)=0$ и $y(2)= e$. Пример 3 ) = 1$ и $y'(0) = — \frac{1}{2}$. 92}-6\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+13y=0$.

Рабочая тетрадь
Эта рабочая тетрадь, созданная HELM, является хорошим пособием по повторению, содержащим ключевые моменты для исправления и множество рабочих примеров.
Дифференциальные уравнения второго порядка
См. также
Вынужденные дифференциальные уравнения второго порядка
Внешние ресурсы
Видео о линейных однородных ОДУ второго порядка в Академии Хана.
9Видео 0369 «Сложные и повторяющиеся корни характеристического уравнения» в Академии Хана.
College Park Tutors — Блог — Дифференциальные уравнения
Или, точнее, линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с комплексными корнями. Yeesh, это всегда полный рот с diff eq. 2\), $y’$ на $r$ и $y$ на 1. Достаточно просто:
На шаге 2 мы решаем это квадратное уравнение, чтобы получить два корня. Корни будут комплексными числами, но это нормально:
Шаг 3 говорит нам записать полученные базисные решения, используя наши два корня:
Когда мы дойдем до шага 4, у нас возникнет проблема. Мы должны найти решение с действительным знаком . Ясно, что все, что содержит $i$, не имеет действительного значения. Итак, мы SOL на этом? Возможно, нет. Получается, что мы можем сделать вещественное решение из двух невещественных базисных решений, используя два трюка (и разве дифференциальное уравнение не связано с трюками)?
Наш первый фокус приходит к нам из Швейцарии через некоего Леонарда Эйлера (произносится как «Маслянка»). Естественно, она называется формулой Эйлера и говорит нам, как мы можем превратить сложную экспоненциальную функцию в сложную тригонометрическую функцию. Не беспокойтесь о том, почему это работает, просто знайте, что формула такова:
Довольно круто, да? Другой трюк, который мы собираемся использовать, заключается в том, что любая линейная комбинация решений данного линейного дифференциального уравнения равна также раствор. Другими словами, мы можем нарезать и нарезать наши решения (умножая их на константы и складывая их вместе), чтобы получить больше решений.
Очевидно, мы хотим нарезать и нарезать кубиками таким образом, чтобы в итоге получить решение с действительным значением. Но, какой именно путь, не столь очевидно. Так что я покажу вам, и вы можете более или менее полагаться на эту технику для подобных проблем. Мы собираемся определить два новых решения, одно путем добавления наших базовых решений, а другое путем их вычитания:
Используя формулу Эйлера, мы можем переписать эти экспоненциальные базисные решения в терминах тригонометрических функций. Напомним, что косинус — четная функция, а синус — нечетная, поэтому мы можем немного упростить отрицательный корень:
Подставив это в уравнения для $y_{3}$ и $y_{ 4}$, мы можем упростить их и получить два хороших, чистых, красивых новых решения:
Теперь мы можем составить линейную комбинацию из этих решений, чтобы получить наше общее решение:
Ах, вы могли бы сказать, но как насчет этого $i$ во втором члене? Обратите внимание, что теперь, когда он благополучно переместился в начало термина, мы можем просто определить новые постоянные коэффициенты для термов.
No related posts.