Примеры решения однородных линейных дифференциальных уравнений высших порядков
№ 1.
–характеристическое уравнение
Общее решение:
или
№ 2.
–характеристическое уравнение.
Общее решение: или.
№ 3.
Общее решение:
№ 4.
–характеристическое уравнение.
Положим
Общее решение уравнения:
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка
Линейное
неоднородное уравнение отличается от
однородного функцией в правой части.
а соответствующее ему линейное однородное уравнение –
которое, как известно, решается с помощью характеристического уравнения (16)
Сформулируем теорему о структуре общего решения неоднородного уравнения (13).
Теорема 2. Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения равно сумме какого-либо частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения.
Пусть y – общее решение уравнения (13)
какое-либо частное решение уравнения (13),
общее решение соответствующего однородного уравнения (14)
Тогда
Таким образом,
основная задача при решении неоднородного
линейного д.
у. II
состоит в нахождении какого-либо частного
решения.
Укажем один из методов нахождения частного решения неоднородного уравнения , когда правая часть уравнения имеет специальный вид. К таким функциямотносятся следующие функции: экспонентамногочленыn-й степени относительно переменной х тригонометрические функцииа также их произведения.
Метод неопределенных коэффициентов
Этот метод иначе называется методом подбора частного решения уравне-ния (13) по виду правой части.
имеет вид т. е. представляет собой произведение экспоненты на многочлен, гдемногочленn-й относительно х. Тогда возможны следующие случаи.
Число не является корнем характеристического уравнения (16)
В этом случае частное решение нужно искать в виде
где
многочлен
той же степени, что и данный многочлен,
но с неопределенными коэффициентами.
Число есть простой (однократный) корень характеристического уравнения (т. е.совпадает с одним корнем характеристического уравнения). В этом случае частное решение нужно искать в виде .
Число есть двукратный корень характеристического уравнения (т. е.совпадает с двумя равными корнями характеристического уравнения). В этом случае частное решение нужноискать в виде Неизвестные (неопределенные) коэффициенты многочленанаходим из условия, что функцияявляется решением уравнения (13), т. е. удовлетворяет этому уравнению.
Рассмотрим примеры, на которых покажем не только принцип применения метода, но и порядок оформления решения.
№ 1. Найти общее решение уравнения
1) Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:
2) Запишем общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения:
3) Запишем формулу,
по которой следует искать частное
решение
данного уравнения.
Для этого сравним
правую часть уравнения
с общим видом правой части:
–многочлен второй степени с коэффициентами 24; 16; –15.
В данном случае показательная функция , т. е.Так какне совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения, частное решение нужно искать в виде
многочлен второй степени , неизвестные (неопределенные) коэффициенты А,В,С этого многочлена нужно найти, подставив выражения в данное уравнение.
4) Запишем столбиком:
Слева указаны коэффициенты 12, 7, 1, на которые следует умножить , чтобы получить левую часть уравненияВ левой части получим многочлен второй степени с неопределенными коэффициентами, который должен быть равен данному многочлену второй степени в правой части.
Два многочлена будут равны тогда
и только тогда, когда равны коэффициенты
при одинаковых степенях х. Запишем
столбиком полученные уравнения:.
Получили систему трех уравнений с тремя неизвестными коэффициентами
А, В, С. Решив ее, найдем .
Частное решение:
5). Общее решение данного уравнения:
или
№ 2. Найти общее решение уравнения
1)
2)
4) Запишем
Подставив выражения с указанными коэффициентами в данное дифференциальное уравнение, получим
или
откуда Частное решение:
5) Искомое общее решение данного уравнения:
№ 3.
3) Сравним правую часть данного уравнения с
Отмечаем, что совпадает с одним корнем характеристического уравнения и многочлен х степени Поэтому частное решение следует искать в виде
4) Так как требуется найти удобнее записатьв виде
Запишем столбиком:
Подставим выражения с указанными коэффициентами в данное уравнение. Получим равенство
Разделим уравнение на и упростим:
Частное решение:
Общее решение дифференциального уравнения:
Пусть правая часть уравнения (13)
имеет вид
Тогда вид частного
решенияопределяется следующим образом.а) Если число не есть корень характеристического уравнения (16), то частное решениеимеет вид
где А и В – постоянные неопределенные коэффициенты.
б) Если число есть корень характеристического уравнения (16), то
Сделаем важное замечание. Даже тогда, когда в правой части уравнения стоит выражение, содержащее только или толькоследует искать частное решение в том виде, в каком оно было указано, т. е. с синусом и косинусом. Иными словами, из того, что правая часть не содержитилине следует, что частное решение уравнения не содержит этих функций.
Пример № 1. Решить уравнение
1)
2)
3) Сравним правую
часть уравнения
с.
ЗдесьТак как числане являются корнями характеристического
уравнения, частное решение следует
искать в виде
4) Найдем и запишем столбиком
Подставив эти выражения в данное дифференциальное уравнение, получим
или
Приравниваем коэффициенты при в левой и правой частях уравнения, получим систему уравнений:
Частное решение:
Общее решение данного дифференциального уравнения:
Пример № 2. Решить уравнение
1)
2)
3) Cравним правую часть уравнения с
Здесь
Числане являются корнями характеристического
уравнения.
Частное решение следует
искать в виде
4) Запишем
Подставив в уравнение, получим
или
.
Частное решение:
5) Общее решение данного дифференциального уравнения:
Пусть правая часть неоднородного линейного д.у.II представляет собой сумму функций вида или
Частное решение этого уравнения следует искать в виде суммычастных решений двух уравнений:
и
№ 3. Решить уравнение
Здесь
1)
2)
3) При
.
4) При
5) Общее решение данного дифференциального уравнения:
или
Вариация постоянных Лагранжа — примеры решения ДУ второго порядка
Здесь мы применим метод вариации постоянных Лагранжа для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка. Подробное описание этого метода для решения уравнений произвольного порядка изложено на странице
Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков методом Лагранжа >>>.
Пример 1
Решить дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами методом вариации постоянных Лагранжа:
(1)
Решение
Шаг 1. Решение однородного уравнения
Вначале мы решаем однородное дифференциальное уравнение:
(2)
Ищем решение в виде .
Составляем характеристическое уравнение:
Это уравнение второго порядка.
Решаем квадратное уравнение:
.
Корни кратные: . Фундаментальная система решений уравнения (2) имеет вид:
(3) .
Отсюда получаем общее решение однородного уравнения (2):
(4) .
Шаг 2. Вариация постоянных – замена постоянных функциями
Варьируем постоянные C1 и C2. То есть заменим в (4) постоянные и на функции:
.
Ищем решение исходного уравнения (1) в виде:
(5) .
Находим производную:
.
Свяжем функции и уравнением:
(6) .
Тогда
.
Находим вторую производную:
.
Подставляем в исходное уравнение (1):
(1) ;
.
Поскольку и удовлетворяют однородному уравнению (2), то сумма членов в каждом столбце последних трех строк дает нуль и предыдущее уравнение приобретает вид:
(7) .
Здесь .
Вместе с уравнением (6) мы получаем систему уравнений для определения функций и :
(6) :
(7) .
Решение системы уравнений
Решаем систему уравнений (6-7). Выпишем выражения для функций и :
.
Находим их производные:
;
.
Решаем систему уравнений (6-7) методом Крамера. Вычисляем определитель матрицы системы:
.
По формулам Крамера находим:
;
.
Итак, мы нашли производные функций:
;
.
Интегрируем (см. Методы интегрирования корней). Делаем подстановку
; ; ; .
.
.
Общее решение исходного уравнения:
;
.
Ответ
.
Пример 2
Решить дифференциальное уравнение методом вариации постоянных Лагранжа:
(8)
Решение
Шаг 1. Решение однородного уравнения
Решаем однородное дифференциальное уравнение:
(9)
Ищем решение в виде . Составляем характеристическое уравнение:
Это уравнение имеет комплексные корни:
.
Фундаментальная система решений, соответствующая этим корням, имеет вид:
(10) .
Общее решение однородного уравнения (9):
(11) .
Шаг 2. Вариация постоянных – замена постоянных функциями
Теперь варьируем постоянные C1 и C2. То есть заменим в (11) постоянные на функции:
.
Ищем решение исходного уравнения (8) в виде:
(12) .
Далее ход решения получается таким же, как в примере 1. Мы приходим к следующей системе уравнений для определения функций и :
(13) :
(14) .
Здесь .
Решение системы уравнений
Решаем эту систему. Выпишем выражения функций и :
.
Из таблицы производных находим:
;
.
Решаем систему уравнений (13-14) методом Крамера. Определитель матрицы системы:
.
По формулам Крамера находим:
;
.
Итак, мы нашли производные функций:
;
.
Интегрируем (см. Методы интегрирования тригонометрических функций).
Второй интеграл табличный (см. Таблица неопределенных интегралов).
.
{-t} $$ 9{5/2}$$
$\endgroup$
Зарегистрируйтесь или войдите в систему
Зарегистрируйтесь с помощью Google
Зарегистрироваться через Facebook
Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но никогда не отображается
Опубликовать как гость
Электронная почта
Требуется, но не отображается
Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания, политикой конфиденциальности и политикой использования файлов cookie
.
однородных уравнений второго порядка
Существует два определения термина «однородное дифференциальное уравнение». Одно определение называет уравнением первого порядка формы
.
однородные, если M и N являются однородными функциями одной и той же степени. Второе определение — и то, которое вы будете встречать гораздо чаще — гласит, что дифференциальное уравнение ( любого порядка ) является однородным , если все члены, включающие неизвестную функцию, собраны вместе на одной стороне уравнения. , другая сторона тождественно равна нулю. Например,
но
Неоднородное уравнение
можно превратить в однородную, просто заменив правую часть на 0:
Уравнение (**) называется однородным уравнением, соответствующим неоднородному уравнению , (*). Существует важная связь между решением неоднородного линейного уравнения и решением соответствующего ему однородного уравнения.
Два основных результата этой связи таковы:
Теорема A. Если y 1 ( x ) и y 2 ( x ) являются линейно независимыми решениями линейного однородного уравнения (**), то 0 является решением любого линейная комбинация y 1 и y 2 . То есть общее решение линейного однородного уравнения равно
Теорема B. Если y( x ) любое частное решение линейного неоднородного уравнения (*), и если y h ( x ) является общим решением соответствующего однородного уравнения, то общее решение линейного неоднородного уравнения равно
То есть
[Примечание: общее решение соответствующего однородного уравнения, которое здесь обозначено как y h , иногда называют дополнительной функцией неоднородного уравнения (*).
] Теорема А может быть обобщена к однородным линейным уравнениям любого порядка, а теорема B в том виде, как написано, верно для линейных уравнений любого порядка. Теоремы A и B, пожалуй, самые важные теоретические факты о линейных дифференциальных уравнениях, которые определенно стоит запомнить.
Пример 1 : Дифференциальное уравнение
удовлетворяет функциям
Убедитесь, что любая линейная комбинация y 1 и y 2 также является решением этого уравнения. Каково его общее решение?
Каждая линейная комбинация Y 1 = E x и Y 2 = XE X
для некоторых констант c 1 и c 2 . Чтобы убедиться, что это удовлетворяет дифференциальному уравнению, просто подставьте. Если y = c 1 e x + c 2 xe x , затем
Подстановка этих выражений в левую часть данного дифференциального уравнения дает
Таким образом, любая линейная комбинация Y 1 = E x и Y 2 = XE X Теперь с Y 1 = E x и Y 2 = XE x .
Пример 2 : Убедитесь, что y = 4 x – 5 удовлетворяет уравнению
Тогда, учитывая, что y 1 = e − x и y 2 = e − 4x являются решениями соответствующего однородного уравнения, запишите общее решение данного неоднородного уравнения.
Во-первых, чтобы убедиться, что y = 4 x – 5 является частным решением неоднородного уравнения, просто подставьте. Если y = 4 x – 5, то y ′ = 4 и y ″ = 0, так что левая часть уравнения становится
Теперь, так как функции Y 1 = E — x и Y 2 = E — 4X 0202020202020202. другое), теорема А утверждает, что общее решение соответствующего однородного уравнения равно
Теорема B затем говорит
— общее решение данного неоднородного уравнения.