Полином лагранжа онлайн: Интерполяция — полином Лагранжа (онлайн калькулятор)

Интерполяция, полином Лагранжа

3. 1. Общие положения

В вычислительной практике часто приходится иметь дело с функциями , заданными таблицами их значений для некоторого конечного множества значений х: .

В процессе же решения задачи необходимо использовать значения для промежуточных значений аргумента. В этом случае строят функцию Ф(x), достаточно простую для вычислений, которая в заданных точках x₀, x₁,…,x_n, называемых узлами интерполяции, принимает значения , а в остальных точках отрезка (x₀,x_n), принадлежащего области определения , приближенно представляет функцию с той или иной степенью точности.

При решении задачи в этом случае вместо функции оперируют с функцией Ф(x). Задача построения такой функции Ф(x) называется задачей интерполирования.

Чаще всего интерполирующую функцию Ф(x) отыскивают в виде алгебраического полинома.

2. Интерполяционный полином

Для каждой функции , определенной на [a, b], и любого набора узлов x₀, x₁,….,x_n( x_i [a, b], x_ix_j при ij ) среди алгебраических многочленов степени не выше n существует единственный интерполяционный многочлен Ф(x), который может быть записан в форме:

, (19)

где — многочлен n-ой степени, обладающий следующим свойством:

(20)

Для интерполяционного полинома многочлен имеет вид:

(21)

Многочлен (19) и решает задачу интерполирования и называется интерполяционным полиномом Лагранжа.

1. Пример

В качестве примера рассмотрим функцию вида на интервале заданную табличным способом.

X	1	2	3	4
F(x)	1	4	9	16

Необходимо определить значение функции в точке x — 2.5. Воспользуемся для этого полином Лагранжа. Исходя из формул (((19) и (21)) запишем этот полином в явном виде:

(22)

Тогда подставляя в формулу (22) исходные значения из нашей таблицы получим

Полученный результат соответствует теории т. е. .

3. Интерполяционная формула Лагранжа

Интерполяционный полином Лагранжа может быть записан в другой форме:

(23)

Запись полинома в виде (23) более удобна для программирования.

При решении задачи интерполяции величина n называется порядком интерполирующего полинома. При этом, как видно из формул (19) и (23), число узлов интерполирования всегда будет равно n+1 и значение x, для которого определяется величина , должно лежать внутри области определения узлов интерполяции т.е.

. (24)

В некоторых практических случаях общее известное число узлов интерполяции m может быть больше, чем порядок интерполирующего полинома n.

В этом случае, прежде чем реализовывать процедуру интерполяции согласно формуле (4.5), необходимо определить те узлы интерполяции, для которых справедливо условие (24). При этом следует помнить, что наименьшая погрешность достигается при нахождении значения x в центре области интерполяции. Для обеспечения этого предлагается следующая процедура:

1. После ввода в программу значения величины х необходимо проверить условие x₀  x  x_m, где x₀ и x_m – начальное и конечное значение узловых точек интерполяции.

2. При выполнения предыдущего условия начинается поиск области интерполяции, для чего находим

   первое x_i такое, для которого выполняется условие x_i > x, при этом номер i будет соответствовать середине интервала интерполяции. Для определения области интерполяции ее левая граница будет начинаться с номера , а заканчиваться узлом с номером .

3. После выполнения пунктов 1 и 2 программируется формула (23).

Основное назначение интерполяции – это вычисление значений табулированной функции для не узловых (промежуточных) значений аргумента, поэтому интерполяцию часто называют «искусством чтения таблиц между строками».

Лагранжева интерполяция — frwiki.wiki

В численном анализе, то Лагранж полиномы, названные в честь Лагранжа, позволяют интерполировать ряд точек полинома, который проходит именно через эти точки также называются узлами. Этот метод полиномиальной интерполяции был открыт Эдвардом Варингом в 1779 году, а затем переоткрыт Леонардом Эйлером в 1783 году. Это частный случай китайской теоремы об остатках .

Резюме

• 1 Определение
  • 1.1 Полиномы Лагранжа
  • 1.2 Полином интерполяции
  • 1.3 Пример
  • 1.4 Другое письмо
  • 1.5 Эффективный алгоритм
• 2 База многочленов
• 3 Приложения
• 4 Основная идея
• 5 Интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра
• 6 См. Также
  • 6.1 Связанные статьи
  • 6.2 Внешние ссылки
  • 6.3 Примечания и ссылки

Определение

Это изображение показывает для 4 точек ( (-9, 5), (-4, 2), (-1, -2), (7, 9) ) полиномиальную интерполяцию L (x) (степени 3), который является суммой базовых многочленов y

0. l ₀ (x), y _1. l ₁ (x), y _2. l ₂ (x) и y _3. l ₃ (x) . Полином интерполяции проходит через 4 контрольные точки, и каждый базовый полином проходит через свою соответствующую контрольную точку и равен 0 для x, соответствующего другим контрольным точкам.

Мы ставим себе n + 1 балл (причем x _i отличается два на два). Предлагается построить многочлен минимальной степени, который на абсциссе x _i принимает значения y _i, что позволяет достичь следующий метод. (Икс0,у0),…,(Икснет,унет){\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}), \ dots, (x_ {n}, y_ {n})}

Следующее исследование предлагает показать, что многочлен является единственным многочленом степени не выше n,

который удовлетворяет этому свойству. {n} (x_ {k} -x_ {i})}.

Таким образом, полиномы Лагранжа могут быть определены из N  :

ля(Икс)знак равноНЕТ(Икс)НЕТ′(Икся)(Икс-Икся){\ Displaystyle l_ {я} (Х) = {N (X) \ над N ‘(x_ {i}) (X-x_ {i})}}.

Вы можете использовать N перевести уникальность: если Q проверяет, для всех я, то Q — L обращается в нуль в точках х _I, следовательно, является кратным N . Следовательно, он имеет вид, где P — любой многочлен. Таким образом, у нас есть набор интерполяционных многочленов, связанных с точками ( x _i, y _i ), и L имеет минимальную степень. Q(Икся)знак равноуя{\ displaystyle Q (x_ {i}) = y_ {i}}Q(Икс)знак равноL(Икс)+НЕТ(Икс)⋅п(Икс){\ Displaystyle Q (X) = L (X) + N (X) \ cdot P (X)}

Эффективный алгоритм

Альтернативная запись является основой быстрого алгоритма вычисления полинома интерполяции Лагранжа. {n} y_ {j} l_ {j} (X)}

Учитывая все значения, можно вычислить числитель и знаменатель рациональной дроби, снова используя подход «разделяй и властвуй». Используя алгоритмы быстрого умножения (in), интерполирующий полином Лагранжа может быть вычислен с помощью ряда квазилинейных алгебраических операций. НЕТ′(Иксj){\ displaystyle N ‘(x_ {j})} 

База многочленов

Мы даем себе n + 1 различных скаляров . Для любого многочлена

P, принадлежащего, если мы положим, P является интерполяционным многочленом, соответствующим точкам: он равен многочлену L, определенному выше. Икс0,…,Икснет{\ displaystyle x_ {0}, \ ldots, x_ {n}}

Kнет[Икс]{\ displaystyle K_ {n} [X]}уязнак равноп(Икся){\ Displaystyle у_ {я} = Р (х_ {я})}

Таким образом, мы, следовательно, как семья генератора . Поскольку его мощность (равная

n + 1 ) равна размерности пространства, это его основание. п(Икс)знак равно∑jзнак равно0нетп(Иксj)лj(Икс){\ Displaystyle P (X) = \ сумма _ {j = 0} ^ {n} P (x_ {j}) l_ {j} (X)}(л0,л1,. {(j)} (z)}

Смотрите также

Статьи по Теме

• Ньютоновская интерполяция
• Феномен Рунге
• Постоянная Лебега

Внешние ссылки

• Полиномиальная интерполяция типа Лагранжа (sic) на math-linux.com
• Вычисление полинома Лагранжа путем задания

координат точек на homeomath3.imingo.net

Примечания и ссылки

(fr) Эта статья частично или полностью взята из статьи Википедии на английском языке под названием «  Полином Лагранжа  » ( см. список авторов ) .

1. ↑ Scientific Computing: Курсы, исправленные упражнения и иллюстрации в Matlab в Google Книгах .
2. ↑ Алин Бостан, Фредерик Чизак, Марк Джусти, Ромен Лебретон, Грегуар Лесерф, Бруно Сальви и Эрик Шост, Эффективные алгоритмы в формальном исчислении ,2017 г.( ISBN  979-10-699-0947-2, читать онлайн )
3. ↑ Математика L3 — Прикладная математика в Google Книгах .
4. ↑ (ru) Э. Н. Гантмахер  (in), Теория матриц, т.  1, издательство Chelsea Publishing Company,1959 г.( читать онлайн ), стр.  101-102.

Численный анализ
Нулевой поиск	Метод Джозефи-Ньютона Секущий метод Метод Ньютона Фиксированная точка
Матричные преобразования	Матрица Гессенберга LU разложение Факторизация Холецкого
Системные разрешения	Метод Гаусса-Зейделя Метод последовательной избыточной релаксации (SOR) Метод Якоби QR-разложение LU разложение
Цифровая интеграция	Метод средней точки Трапециевидный метод Метод Симпсона Гауссовские квадратурные методы Формула Ньютона-Котеса Метод Ромберга Метод Монте-Карло
Дифференциальные уравнения	Метод Эйлера (и полунеявный ) Методы Рунге-Кутты Интеграция Верле Чехарда Методы многошагового линейного  (в) ( Адамса-Башфорта, формула обратного дифференцирования  (в) )
Цифровая интерполяция	Сплайн Полиномиальная интерполяция Лагранжева интерполяция Интерполяция отшельника Последовательность ортогональных многочленов

<img src=»https://fr. wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1×1″ alt=»» title=»»>

Калькулятор полинома Лагранжа — Taskvio

Что такое полином Лагранжа и для чего он нужен.

Этот инструмент действительно хороший и отличный инструмент, и этот инструмент очень прост в использовании. Мы создали бесплатный веб-инструмент, который поможет многим людям, и это будет действительно хорошо. Мы создали этот инструмент для большинства студентов, которые хотят узнать больше и добиться успеха в жизни.

Как мы знаем, в настоящее время наш мир стал цифровым, и мы делаем много вещей в Интернете, и мы также управляем нашим бизнесом в Интернете, даже в наши дни студенты посещают онлайн-курсы. Поэтому мы подумали, что будет действительно здорово, если мы создадим сотни инструментов только на веб-сайте, и, конечно же, это будет веб-инструмент.

Если наш инструмент будет доступен онлайн, то каждый учащийся сможет использовать его по всему миру, так что будет действительно здорово, если учащийся сможет легко и быстро выполнять свои расчеты с помощью нашего инструмента.

Итак, мы создали множество инструментов, и все студенты и даже любой человек, которому нужен этот инструмент, смогут использовать его бесплатно. Мы не меняем деньги и даже не просим вас зарегистрироваться и предоставить свои электронные письма. Вы можете просто зайти сюда, а затем нажать на любой инструмент, и тогда вы будете готовы его использовать.

Что такое многочлен Лагранжа?

Полином Лагранжа в основном используется для полиномиальной интерполяции. Там, где заданная точка отсутствует, два равных значения и большой многочлен, который является многочленом низшей степени, предполагают соответствие в каждом значении, так что функция совпадает в каждой точке.

 

(кубический) интерполяционный полином L(x) (штриховой, черный), который представляет собой сумму масштабированных базисных полиномов y0–0(x), y1–1(x), y2– «2(х) и у3+3(х). Интерполяционный полином проходит через все четыре контрольные точки, а каждый масштабированный базисный полином проходит через соответствующую контрольную точку и равен 0, где x соответствует трем противоположным контрольным точкам.

Как пользоваться этим калькулятором полиномов Лагранжа от taskvio.com?

Калькулятор полиномов Лагранжа — действительно отличный инструмент для использования, и, как мы знаем, этот инструмент является полностью бесплатным и веб-инструментом, поэтому нам не нужно ни о чем беспокоиться.

Если вы новичок на нашем веб-сайте, то когда вы зайдете на домашнюю страницу нашего сайта, вы увидите множество категорий инструментов, и в этой конкретной категории вы увидите множество инструментов, связанных с этой категорией. Таким образом, вы можете использовать их, если хотите.

Теперь давайте посмотрим, как использовать этот инструмент;

Итак, как вы видите на рабочем столе, у вас есть девять (9) полей, в которые вы будете вводить свое значение.

Когда вы вводите свое значение в поле, вы также проверяете его, если вы ввели в него правильное значение. Несмотря на то, что вы можете редактировать его и использовать столько раз, сколько хотите, использование этого инструмента не ограничено.

Итак, после того, как вы введете значение, вы должны нажать на кнопку расчета, которая находится под текстовыми полями.

Теперь вам нужны правильные ответы.

Еще одна важная вещь заключается в том, что вам не нужно указывать здесь формулу. Вы получите число, просто введя в него свое значение.

Советы: вы также можете добавить этот инструмент в закладки для использования в будущем.

 

Калькулятор интерполяции — Лагранж, кубический сплайн, линейный

Список помощи по математике — — Быстрый переход по математике — Научный онлайн-калькулятор — Общая математика — Калькулятор дробейКалькулятор процентовКалькулятор квадратного корняКалькулятор факторингаУпрощение выраженийКалькулятор делителейКалькулятор множителейКалькулятор наибольшего общего множителя (НОК)Калькулятор наименьшего общего кратного (НОК)Калькулятор и проверка простых чиселВалидатор идеальных чиселВалидатор идеальных квадратных чисел-Интерполяция-Интерполяционный калькулятор — Алгебра и комбинаторика -Решатель уравненийРешатель квадратных уравненийРешатель систем уравненийКомбинаторикаПерестановкиПолиномыПолиномы -Сложение и вычитаниеПолиномы -Умножение и делениеПолиномы -Дифференцирование и интегрированиеПолиномы -Калькулятор четности (нечетные, четные, нет)Полиномы -Поиск корняПолиномы -Сгенерировать из корнейМатрицаМатрицаМатрица-детерминантКалькулятор Сложение, вычитание, умножение, исчисление, интегральный калькуляторОпределенный интегральный калькуляторПроизводный калькуляторЧисловая производная КалькуляторLimit CalculatorTaylor Series Expansion CalculatorTaylor Series Expansion Calculator-Plots and Geometry-2D Graphing Calculator3D Graphing Calculator-Complex Numbers and Trigonometry-Complex Number CalculatorTrigonometry Calculator-The Number Theory-Riemann Zeta Function CalculatorHurwitz Zeta Function CalculatorГенератор чисел БернуллиГенератор полиномов Бернулли-Статистика и вероятность -Калькулятор PDF QuantileCDF Calculator Deviation CalculatorVariance CalculatorKurtosis CalculatorSkewness Calculator- Descriptive Statistics Calculators -Matrix Central Moment CalculatorCorrelation Matrix CalculatorCovariance Matrix CalculatorMatrix Geometric Mean CalculatorMatrix Harmonic Mean CalculatorMatrix Interquartile Range CalculatorMatrix Kurtosis CalculatorMatrix Noncentral Moment CalculatorMatrix Mean CalculatorMatrix Maximum CalculatorMatrix Minimum CalculatorMatrix Median CalculatorMatrix Median Deviation CalculatorMatrix Mean Deviation CalculatorMatrix Quantile Calculator Matrix Quartile Skewness CalculatorMatrix Skewness CalculatorMatrix Standard Deviation CalculatorMatrix Variance CalculatorMatrix Variation Coefficient Calculator- Continuous Distributions Calculators -Beta Distribution CalculatorsChi-Square Distribution CalculatorsExponential Distribution CalculatorsGamma Distribution CalculatorsGumbel Distribution CalculatorsLaplace Distribution CalculatorsLognormal Distribution CalculatorsNormal (Gaussian) Distribution CalculatorsPareto Distribution CalculatorsRayleigh Distribution CalculatorsStudent t-Distribution CalculatorsUniform Distribution КалькуляторыКалькуляторы распределения Вейбулла-Калькуляторы дискретных распределений-Калькуляторы биномиального распределенияКалькуляторы геометрического распределенияКалькуляторы распределения ПуассонаКалькуляторы равномерного (дискретного) распределения

Электронная почта     Печать

Калькулятор интерполяции .