Решение физики онлайн калькулятор: Физика | Онлайн калькулятор

Содержание

Уравнения математической физики, с примерами

Дифференциальные уравнения математической физики

Математические модели естественнонаучных явлений и процессов зачастую представляют собой задачи, содержащие дифференциальные уравнения с частными производными первого и второго порядков. Дифференциальные уравнения существенные для физики, механики техники называют дифференциальными уравнениями математической физики.

Каждое уравнение математической физики описывает бесконечное множество качественно аналогичных явлений или процессов, так как дифференциальные уравнения, которыми занимается математическая физика, имеют бесконечное множество частных решений. Конкретное решение, описывающее рассматриваемое физическое явление, выделяется из множества частных решений с помощью начальных и граничных условий.

Общий вид дифференциального уравнения в частных производных первого порядка относительно неизвестной искомой функции таков:

   

Если F является линейной функцией относительно старших производных, то есть:

   

   

данное уравнение называется квазилинейным дифференциальным уравнением.

Если функции не зависят от u, а зависимость P от u линейна, то есть , тогда уравнение (2) называется линейным. Если , то уравнение (2) называется однородным линейным дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка.

Решений уравнений математической физики

Рассмотрим квазилинейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка:

   

Для получения общего решения уравнения (3) рассматривают характеристическую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

   

Если с=0, то система сводится к одному уравнению .

Если общий интеграл уравнения, тогда – общее решение.

Само дифференциальное уравнение содержит в себе только самую общую информацию об описываемом процессе. Необходимо задание начальных и граничных условий, для конкретизации.

Дифференциальные уравнения математической физики второго порядка

Большое количество процессов и явлений в физике описывается с помощью дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных, это связано с тем, что фундаментальные законы физики – законы сохранения – записываются в терминах вторых производных. Методы решения уравнений математической физики зависят от типа к которому принадлежит рассматриваемое уравнение. Выделяют три основных типа дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка, поиск решения которых имеют качественные различия: уравнения параболического, гиперболического и эллиптического типов.

Рассмотрим линейное уравнение с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными:

   

где a, b, c некоторые функции от x, y, имеющие непрерывные производные до второго порядка включительно.

Уравнение (5) принадлежит в точке (x, y)

  1. параболическому типу, если Канонический вид такого уравнения:

       

    где — независимые переменные. Кроме того — дважды дифференцируемая функция в рассматриваемой области. Уравнение (6) так же как и уравнение теплопроводности имеет только один член высшей производной.

  2. гиперболическому типу, если Канонический вид такого уравнения:

    первая каноническая форма:

       

    где — независимые переменные,

    вторая каноническая форма:

       

    где . Левая часть уравнения (8) полностью совпадает с частью волнового уравнения.

  3. эллиптическому типу, если Канонический вид такого уравнения:

       

    где — независимые переменные. Левая часть этого уравнения совпадает с левой частью уравнения Лапласа.

Для того чтобы привести уравнение (5) к каноническому виду, надо записать так называемое характеристическое уравнение (10):

   

которое распадается на два уравнения:

   

   

и найти их общие интегралы.

В общем случае линейное уравнение с частными производными второго порядка параболического типа с n независимыми переменными можно записать так:

   

где

   

   

Уравнения параболического типа описывают неустановившиеся тепловые, диффузионные процессы, которые зависят от времени.

Уравнение (13) называют однородным, если =0.

Довольно часто при решении уравнения (13) ставят так называемую задачу Коши. В которой, требуется найти функцию w, удовлетворяющую уравнению (13) (при -эвклидово пространство) и начальном условии w=f(x) при t=0 и граничному условию:

   

В общем случае — линейный дифференциальный оператор первого порядка по пространственным переменным, коэффициенты которого зависят от x и t.

Начальное условие называют однородным, если f(x)=0. Граничное условие называют однородным, если .

В общем случае линейное уравнение с частными производными второго порядка гиперболического типа с n независимыми переменными можно записать так:

   

где линейный дифференциальный оператор определен формулам (14). Уравнениями гиперболического типа описываются неустановившиеся волновые процессы, зависящие от времени.

При решении уравнения (15) ставят задачу Коши. В которой, требуется найти функцию w, удовлетворяющую уравнению (15) (при и начальным условиям:

   

   

Граничные условия задаются (14).

Уравнения эллиптического типа

В общем случае линейное уравнение с частными производными второго порядка эллиптического типа с n независимыми переменными можно записать в виде:

   

где

   

   

Уравнения эллиптического типа описывают установившиеся тепловые, диффузионные и другие процессы, которые не зависят от времени. Уравнение (18) называется однородным, если

Граничные условия для эллиптического уравнения записывают так:

   

В общем случае — линейный дифференциальный оператор первого порядка.

Наиболее часто в прикладных примерах при описании различных процессов, происходящих в изотропных средах коэффициенты

   

таковыми и мы будем считать коэффициенты .

Для любых уравнений в частных производных второго порядка в зависимости от вида граничных условий принято выделять четыре типа краевых задач.

Первая краевая задача. На границе области S функция w(x,t) принимает заданные значения:

   

Вторая краевая задача. На границе области S задается производная по (внешней) нормали:

   

Третья краевая задача. На границе области S задана линейная связь между искомой функцией и ее производной по нормали:

   

Чаще всего В задачах массопереноса, где w – концентрация, граничное условие (22) при описывает поверхностную химическую реакцию.

Смешанные краевые задачи. В этом случае на различных участках границы S задают различные граничные условия.

Методы решения уравнений математической физики

Все методы решения уравнений математической физики можно разделить на две большие группы:

  1. аналитические методы решения уравнений, которые основаны на сведении уравнения в частных производных к обыкновенному или системе обыкновенных уравнений;
  2. численные методы решения (с помощью ЭВМ).

Среди аналитических методов решения уравнений следует выделить:

  1. Метод характеристик.
  2. Метод разделения переменных.
  3. Метод Фурье.
  4. Метод Деламбера.
  5. Метод интегральных преобразований.
  6. Преобразование Лапласа.
  7. Представление решений через функцию Грина.

Среди численных методов решения уравнений математической физики следует выделить:

  1. метод сеток;
  2. метод конечных разностей;
  3. методы расщепления: метод переменных направлений, метод дробных шагов;
  4. методы Эйлера;
  5. методы Рунге-Кутта;
  6. метод Адамса;
  7. символьно-численный метод.

Примеры решения задач

Уравнения математической физики | Решатель


У физиков есть шутка с бородой: “Женщина-физик: еще не физик, но уже не женщина!”. С математической физикой примерно та же история. Это уже не чистая математика, а ее приложение к реальным физическим задачам. Однако, от привычной физики с ее экспериментами и рассуждениями, она тоже отличается.
 

Что касается масштабов бедствия, данная дисциплина охватывает почти все разделы физики, изложенные в 10 томах Ландау-Лифшица: электромагнетизм, гидро- и газодинамика, теория теплопереноса, упругости.
 

В рамках курса “уравнения математической физики”, очевидно, вы будете иметь дело с уравнениями, но не далеко не простыми. Забудьте о заданиях с уравнениями типа 2x+5=9. Да здравствуют дифференциальные уравнения с частными производными! А это вам не шутки.
 

В большинстве случаев вы будете рассматривать случай двух независимых переменных и уравнение второго порядка вида (хотя, конечно, для полноценного рассмотрения многих физических задач для реального мира необходимо рассматривать трехмерный случай):
 

 

Но не так страшно уравнение, каким оно кажется на первый вид. На самом деле далеко не каждое уравнение такого общего вида годится для моделирования физического явления, и вы будете сталкиваться с уравнениями одного и того же типа.
 

Итак, начнем наше знакомство с теми уравнениями, которые запишутся в ваш новый список друзей.
 

1) Одномерное волновое уравнение:

 

 

u(x,t) может быть, например, давлением или плотностью для упругих волн в газах, напряженностью электрического или магнитного поля,a a есть скорость распространения волн в рассматриваемой среде. Это уравнение является уравнением гиперболического типа; оно будет с вами, когда вы будете изучать процессы поперечных колебаний струны, электрических колебаний в проводе, колебаний газа и жидкости.
 

2) Ваш друг номер два:

 
 

Это уравнение параболического типа, известное в народе также как уравнение теплопроводности, где u(x,t)представляет собой температуру. С этим уравнением вы будете сталкиваться каждый раз, когда заинтересуетесь вопросом распространения тепла, фильтрации газа и жидкости.
 

3) Двумерное уравнение Лапласа:

 

 

Это уравнение эллиптического типа, которое необходимо при рассмотрении задач об электрических и магнитных полях (например, таким уравнением описывается потенциал электростатического поля при отсутствии зарядов), а также задач гидродинамики и диффузии.
 

Испугались? В действительности, не все так плохо. Уравнения такого типа можно научиться очень быстро решать, даже если вы перед этим не штудировали учебники по дифференциальным уравнениям.
 

Мы покажем на примере первого уравнения (2), как можно с ними дружить.
 

Мы можем заметить, что правая часть зависит только от t, а левая часть — только от x. Равенство между ними возможно только при условии, что обе части равны константе, это значит, что решение уравнения есть произведение одной функции от t и другой функции от x:
 

 

Подставив это выражение в исходное уравнение, получаем систему двух простых дифференциальных уравнений:
 

 

А для того, чтобы решить такие уравнения, достаточно знать, как решать квадратное уравнение (это под силу даже школьнику), ведь для решения подобного уравнения (дифференциального однородного уравнения второго порядка)
 

 

необходимо всего лишь решить квадратное уравнение
 

 

и тогда решение уравнения (7) есть:
 

 

В зависимости от условий конкретной физической задачи, вы будете иметь дело с определенными граничными условиями, например, f(x=0)=0, применяя которые, легко можно найти постоянную λ в системе уравнений (6) и постоянные A1 и A2 в каждом решении вида (9).
 

Хотите знать больше?

Тогда бегом в библиотеку за следующими учебниками:

  • А.Н.Тихонов, А.А.Самарский, “Уравнения математической физики”. М. “Наука”, 1972.
  • В.С. Владимиров “Уравнения математической физики”. М. “Наука”, 1988.
  • Смирнов М.М. “Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка”. М. “Наука”, 1964.
  • Полянин А.Д. “Справочник по линейным уравнениям математической физики”. М.: Физматлит, 2001.
  • Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. “Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: Точные решения”. М.: Физматлит, 2002.

 
 

Хотите заказать решение у нас?

Автор данной статьи также берется за решение уравнений математической физики на заказ.
Узнать цену работы можно на странице заказа. Для этого нужно всего лишь прикрепить файл с заданием и указать сроки.

Расчет кинематических уравнений для постоянного ускорения

Как вы, возможно, знаете, существуют два основных кинематических уравнения движения для равномерного или постоянного ускорения.

Таким образом, у нас есть пять параметров движения: начальная скорость V₀ , конечная скорость V , ускорение a , время t и перемещение, или расстояние, S , и два уравнения. Следовательно, чтобы использовать эти уравнения, нам нужны три известных параметра и два неизвестных параметра. Кроме того, как говорит нам Комбинаторика — комбинации, расположения и перестановки, количество комбинаций 3 из 5 равно 10, так что всего существует десять типов задач кинематических уравнений; каждый имеет различный набор известных параметров.

Этот калькулятор позволяет ввести любые три известных параметра и очистить параметры, которые должны быть найдены, и он их любезно находит. Кинематические уравнения для каждого набора параметров приведены под калькулятором. Кстати, по умолчанию ускорение имеет значение постоянной силы тяжести g , что создает проблему свободного падения.

Калькулятор кинематических уравнений

Начальная скорость, Vo

м/с

Конечная скорость, V

м/с

Ускорение,

м/с²

, T

SET

, S

M 9003

. 2

Начальная скорость, VO

M/S

Окончательная скорость, V

м/с

Указывание,

M/S с. 8888899 9 9 9 9 9 9 9 9.

Время, T

СЕД

Смещение, S

M

Кинематические уравнения

Ниже приведены десять типов проблем с формами решения.

Случай 1. Найдите неизвестные, зная начальную скорость, ускорение и время

Пример задачи: Самолет движется по взлетно-посадочной полосе с ускорением n м/с² в течение м секунд, пока наконец не оторвется от земли. Определить конечную скорость и расстояние, пройденное до взлета.
Решение: Хотя в задаче указаны только ускорение и время, третий параметр известен неявно. В задаче предполагается, что самолет стартует с места, следовательно, его начальная скорость равна нулю. Таким образом, мы можем использовать наши кинематические уравнения следующим образом:

Случай 2. Найдите неизвестные, зная начальную скорость, конечную скорость и время

Пример задачи. Земля со скоростью м м/с. Определить ускорение и расстояние, пройденное до взлета.
Решение: Мы снова знаем, что начальная скорость равна нулю. Чтобы решить эту задачу, нам нужно изменить наши кинематические уравнения следующим образом:

Случай 3. Найдите неизвестные, зная начальную скорость, конечную скорость и ускорение

Пример задачи: Самолет ускоряется на взлетно-посадочной полосе на высоте n м. /с², пока наконец не оторвется от земли со скоростью м м/с. Определить время и расстояние, пройденное до взлета.
Решение: Тот же случай с нулевой начальной скоростью. Итак, наши кинематические уравнения будут такими:

Случай 4. Найдите неизвестные, зная начальную скорость, конечную скорость и расстояние

Пример задачи: Самолет летит по взлетно-посадочной полосе с ускорением до тех пор, пока, наконец, не оторвется от земли со скоростью n м/с после прохождения расстояния м метров. Определить время и ускорение.
Решение: Как обычно, мы знаем, что начальная скорость равна нулю. И мы используем кинематические уравнения так:

Здесь проще сначала найти время, а затем подставить его во второе уравнение.

Случай 5. Найдите неизвестные, зная начальную скорость, время и расстояние

Пример задачи: Самолет ускоряется вниз по взлетно-посадочной полосе в течение n секунд, пока, наконец, не оторвется от земли, преодолев расстояние м метров. Определить скорость отрыва и ускорение.
Решение: В этой задаче начальная скорость также равна нулю. Кинематические уравнения для этого случая:

Обратите внимание, что здесь проще сначала найти конечную скорость, а затем подставить ее во второе уравнение.

Случай 6. Найдите неизвестные, зная начальную скорость, ускорение и расстояние

Пример задачи: Самолет движется вниз по взлетно-посадочной полосе с ускорением n м/с², пока, наконец, не оторвется от земли, преодолев расстояние м метров . Определить скорость отрыва и время.
Решение: снова начальная скорость равна нулю. Однако этот случай достаточно сложен, поскольку единственный способ найти время — это решить квадратное уравнение:

Конечно, чтобы найти время нужно подобрать положительный корень. После этого вы можете подставить время в следующее уравнение, чтобы найти конечную скорость:

Случай 7. Найти неизвестные, зная конечную скорость, время и расстояние

Пример задачи: Автомобиль замедляется в течение n секунд, пока он, наконец, останавливается, преодолев расстояние м метров. Определить начальную скорость и замедление.
Решение: теперь начальная скорость неизвестна, а конечная скорость равна нулю. Кроме того, мы получим отрицательное значение ускорения, что означает, что автомобиль замедляется. Для решения задачи необходимо использовать следующий вид кинематических уравнений:

Здесь проще сначала найти начальную скорость, а потом подставить ее во второе уравнение.

Случай 8. Найдите неизвестные, зная конечную скорость, время и ускорение

Пример задачи: Автомобиль ускоряется с n м/с² за t секунд, пока не достигнет м м/с. Определить начальную скорость и пройденный путь.
Решение: Мы снова не знаем начальную скорость. Нам нужно использовать кинематические уравнения следующим образом:

Случай 9. Найдите неизвестные, зная конечную скорость, ускорение и расстояние

Пример задачи: Автомобиль движется с ускорением n м/с² на протяжении м метров, пока не достигнет м м/с. Определить начальную скорость и время.
Решение: Это тоже сложный случай, здесь нам снова нужно решить квадратное уравнение, чтобы найти время. Наше уравнение будет таким:

Затем находим время, находим начальную скорость:

Случай 10. Найдите неизвестные, зная время, ускорение и расстояние

Пример задачи: Автомобиль ускоряется со скоростью н м/с² за м секунд и проехал с метров. Определить начальную скорость и конечную скорость.
Решение: используйте следующие уравнения кинематики:

 постоянная ускорения уравнения кинематики кинематика движение физика равномерная скорость

Калькулятор массы

Это базовый калькулятор массы, основанный на плотности и объеме. Этот калькулятор принимает и генерирует результаты многих общих единиц.


Что такое масса?

Масса обычно определяется как количество материи внутри объекта. Чаще всего его измеряют как инерционную массу, включающую сопротивление объекта ускорению при заданной некоторой результирующей силе. Однако материя определяется в науке довольно свободно и не может быть точно измерена. В классической физике материя — это любое вещество, имеющее массу и объем.

Количество массы объекта часто коррелирует с его размером, но объекты большего объема не всегда имеют большую массу. Например, надутый воздушный шар будет иметь значительно меньшую массу, чем мяч для гольфа, сделанный из серебра. Хотя во всем мире для описания массы используется множество различных единиц, стандартной единицей массы в Международной системе единиц (СИ) является килограмм (кг).

Существуют и другие общие определения массы, включая активную гравитационную массу и пассивную гравитационную массу. Активная гравитационная масса — это мера того, насколько сильно гравитационная сила действует на объект, а пассивная гравитационная масса — это мера гравитационной силы, действующей на объект в пределах известного гравитационного поля. Хотя они концептуально различны, не было проведено убедительных и однозначных экспериментов, которые продемонстрировали бы существенные различия между гравитационной и инертной массой.

Масса и вес

Слова «масса» и «вес» часто используются взаимозаменяемо, но хотя масса часто выражается путем измерения веса объекта с помощью пружинных весов, они не эквивалентны. Масса объекта остается постоянной независимо от того, где находится объект, и, следовательно, является внутренним свойством объекта. С другой стороны, вес изменяется в зависимости от гравитации, поскольку он является мерой сопротивления объекта его естественному состоянию свободного падения. Сила тяжести на Луне, например, примерно в шесть раз меньше, чем на Земле, из-за ее меньшей массы. Это означает, что человек с массой 70 кг на Земле будет весить примерно одну шестую своего веса на Земле, находясь на Луне. Однако их масса на Луне все равно составляла бы 70 кг. Это соответствует уравнению:

Ф =
Гм 1 м 2
р 2

В приведенном выше уравнении F — сила, G — гравитационная постоянная, m 1 и m 2 — масса Луны и объекта, на который она действует.

r — радиус Луны. В обстоятельствах, когда гравитационное поле постоянно, вес объекта пропорционален его массе, и нет проблем с использованием одних и тех же единиц для выражения обоих.

В метрической системе вес измеряется в ньютонах по уравнению W = mg , где W — вес, m — масса, а g — ускорение, вызванное гравитационным полем. На Земле это значение составляет примерно 9,8 м/с 2 . Важно отметить, что независимо от того, насколько сильным может быть гравитационное поле, объект, находящийся в свободном падении, невесом. В случаях, когда объекты подвергаются ускорению за счет других сил (например, центрифуга), вес определяется путем умножения массы объекта на общее ускорение от свободного падения (известное как собственное ускорение).

В то время как масса определяется как F = ma, в ситуациях, когда известны плотность и объем объекта, масса также обычно рассчитывается с использованием следующего уравнения, как в предоставленном калькуляторе:

m = ρ × V

В В приведенном выше уравнении м — масса, ρ — плотность и V — объем.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

© 2015 - 2019 Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение «Таловская средняя школа»

Карта сайта