24 интеграл
24 интегралВы искали 24 интеграл? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и math34 интегралы, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «24 интеграл».
Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей
жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек
использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на
месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который
может решить задачи, такие, как 24 интеграл,math34 интегралы,взятие интеграла онлайн,взять интеграл,взять интеграл онлайн,взять интеграл онлайн с решением,вычисление интеграл,вычисление интеграла,вычисление интегралов,вычисление интегралов онлайн калькулятор,вычисление интегралов онлайн с подробным решением,вычисление неопределенного интеграла онлайн,вычисление первообразной,вычислите интеграл онлайн с решением,вычислить интеграл,вычислить интеграл онлайн калькулятор с подробным решением,вычислить интеграл онлайн с подробным решением,вычислить интеграл онлайн с подробным решением бесплатно,вычислить интеграл онлайн с подробным решением калькулятор,вычислить интегралы онлайн с подробным решением,вычислить криволинейный интеграл онлайн,вычислить неопределенный интеграл онлайн с подробным решением,вычислить несобственный интеграл онлайн с подробным решением,вычислить онлайн с решением,вычислить повторный интеграл онлайн с решением,изменить порядок интегрирования онлайн калькулятор,изменить порядок интегрирования онлайн калькулятор с решением,интеграл 24,интеграл вычисление,интеграл как посчитать,интеграл онлайн калькулятор с подробным,интеграл онлайн с подробным решением,интеграл решение,интеграл частного,интегралов,интегралы калькулятор онлайн,интегралы онлайн с подробным решением,интегралы онлайн с решением,интегралы решать,интегралы решение,интегралы с подробным решением,интегральный калькулятор,интегрирование калькулятор,интегрирование по частям онлайн,интегрирование по частям онлайн калькулятор,интегрирование по частям онлайн с подробным решением,интегрирование рациональных дробей онлайн калькулятор,интегрировать онлайн,інтеграл,інтеграли,как интеграл посчитать,как посчитать интеграл,как решить интеграл,калькулятор вычисление интегралов онлайн,калькулятор интеграла,калькулятор интеграла онлайн,калькулятор интегралов,калькулятор интегралов онлайн,калькулятор интегралов онлайн с подробным,калькулятор интегралов онлайн с решением,калькулятор интегралы,калькулятор интегрирования,калькулятор интервалов,калькулятор онлайн вычисление интегралов,калькулятор онлайн интегралов,калькулятор онлайн интегрирование по частям,калькулятор определенных интегралов онлайн с подробным решением,калькулятор первообразной онлайн,калькулятор первообразных онлайн с решением,калькулятор с интегралами,криволинейные интегралы онлайн,криволинейный интеграл онлайн калькулятор,найти интеграл методом замены переменной онлайн,найти интеграл онлайн калькулятор,найти интегралы онлайн с подробным решением,найти неопределенные интегралы онлайн с полным решением,найти неопределенный интеграл онлайн калькулятор с подробным решением,найти неопределенный интеграл онлайн с подробным решением,найти первообразную онлайн,нахождение интеграла,нахождение интегралов,нахождение первообразной онлайн,неопределенный интеграл онлайн калькулятор с подробным решением,несобственный интеграл онлайн калькулятор,онлайн вычисление неопределенных интегралов,онлайн интегралы с пошаговым решением,онлайн калькулятор вычисление интегралов,онлайн калькулятор интеграл,онлайн калькулятор интеграла,онлайн калькулятор интегралов с подробным,онлайн калькулятор интегралы,онлайн калькулятор интегрирование рациональных дробей,онлайн калькулятор найти интеграл,онлайн калькулятор неопределенный интеграл,онлайн калькулятор решение интегралов с подробным решением,онлайн неопределенные интегралы,онлайн решение интегралов с подробным,онлайн решение интегралов с подробным решением,онлайн решение интегралов с подробным решением бесплатно,онлайн решение неопределенных интегралов с подробным решением,первообразная калькулятор,первообразная калькулятор онлайн,первообразная онлайн калькулятор,первообразная онлайн калькулятор с подробным решением,посчитать интеграл,посчитать интеграл онлайн с подробным решением,посчитать как интеграл,проинтегрировать онлайн,проинтегрировать уравнение онлайн,расчет интегралов,расчет интегралов онлайн,решать интегралы,решение интеграла,решение интеграла онлайн с подробным решением,решение интеграла с подробным решением онлайн,решение интегралов,решение интегралов калькулятор онлайн,решение интегралов онлайн калькулятор с подробным решением,решение интегралов онлайн с подробным решением,решение интегралов онлайн с подробным решением бесплатно,решение интегралов онлайн с подробным решением калькулятор,решение интегралов онлайн с решением,решение интегралов с подробным решением,решение интегралы,решение криволинейных интегралов онлайн,решение неопределенного интеграла онлайн с подробным решением,решение неопределенных интегралов онлайн с подробным решением,решения интегралов,решить интеграл онлайн с подробным,решить интеграл онлайн с подробным решением,решить интеграл онлайн с подробным решением бесплатно,решить интеграл онлайн с решением,решить интегралы онлайн с подробным решением,решить неопределенный интеграл онлайн,решить неопределенный интеграл онлайн с подробным решением,справочник веществ интеграл онлайн,сходимость интегралов онлайн.
Решить задачу 24 интеграл вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.
Методы решения неопределенных интегралов (в картинках)
Приводятся основные сведения о методах вычисления неопределенных интегралов в сжатом виде – в виде изображений. Каждая картинка снабжена заголовком и ссылкой на страницу с подробным изложением метода.
Здесь приводятся главные картинки раздела «Методы вычисления неопределенных интегралов». На этих изображениях, в кратком виде представлены главные содержания страниц раздела. На многих из них даются методы решения интегралов. Снизу от каждого изображения имеется заголовок и ссылка на страницу, к которой относится картинка. Просматривая эти картинки, можно освежить в памяти методы вычисления неопределенных интегралов.
Методы вычисления неопределенных интегралов
Представлен обзор методов вычисления неопределенных интегралов. Рассмотрены основные методы интегрирования, которые включают в себя интегрирование суммы и разности, вынесение постоянной за знак интеграла, замену переменной, интегрирование по частям. Также рассмотрены специальные методы и приемы интегрирования дробей, корней, тригонометрических и показательных функций.
Примеры решений неопределенных интегралов
Здесь представлено 48 примеров решений неопределенных интегралов.
Основные формулы и методы интегрирования
Основные формулы и методы интегрирования
Основные формулы и методы интегрирования.
Правило интегрирования суммы или разности. Вынесение постоянной за знак интеграла. Метод замены переменной. Формула интегрирования по частям. Пример решения задачи.
Таблица неопределенных интегралов для студентов
Представлена таблица основных неопределенных интегралов для студентов, а также интегралы, связанные с гиперболическими функциями. Приводится таблица интегралов в дифференциальной форме и основные методы интегрирования.
Вычисление неопределенных интегралов от многочленов
Формула интеграла от многочлена в общем виде. Примеры вычисления интегралов от многочленов и степенных функций, применяя основные методы интегрирования.
Интегрирование методом замены переменной
Замена переменной в неопределенном интеграле. Формула преобразования дифференциалов. Примеры интегрирования. Примеры линейных подстановок.
Метод интегрирования неопределенного интеграла по частям
Представлен метод интегрирования неопределенного интеграла по частям. Даны примеры интегралов, вычисляющихся этим методом.
Разобраны примеры решений.
Примеры решений интегралов по частям, содержащих логарифм и обратные тригонометрические функции
Подробно рассмотрены примеры решений интегралов по частям, подынтегральное выражение которых содержит логарифм, арксинус, арктангенс, а также логарифм в целой степени и логарифм от многочлена.
Примеры решений интегралов по частям, содержащих произведение многочлена на sin x, cos x или ex
Подробно рассмотрены примеры решений интегралов по частям, подынтегральное выражение которых является произведением многочлена на экспоненту (е в степени х) или на синус (sin x) или на косинус (cos x).
Методы интегрирования рациональных функций (дробей)
Интегрирование рациональных функций (дробей)
Стандартный метод интегрирования рациональных функций: выделение целой части дроби многочленов, разложение правильной дроби на простейшие, интегрирование простейших дробей. Нестандартные методы интегрирования рациональных функций: применение степенных и дробно-линейных подстановок, интегралы с возвратными многочленами.
Деление и умножение многочленов уголком и столбиком
Приводится доказательство, что неправильную дробь, составленную из многочленов, можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби. Подробно разобраны примеры деления многочленов уголком и умножения столбиком.
Методы разложения многочленов на множители
Доказано, что для разложения многочлена на множители, нужно найти его корни. Формулы корней квадратного многочлена. Метод нахождения целых корней. Метод разложения на множители биквадратного многочлена и приводящихся к квадратным. Возвратные многочлены.
Примеры разложения многочленов на множители
Приводится 8 примеров разложения многочленов на множители. Они включают в себя примеры с решением квадратных и биквадратных уравнений, примеры с возвратными многочленами и примеры с нахождением целых корней у многочленов третьей и четвертой степени.
Методы разложения рациональных дробей на простейшие
Приведены наиболее эффективные методы разложения правильных рациональных дробей, составленных из многочленов, на простейшие.
Рассмотрены характерные примеры разложения дробей.
Интегрирование простейших (элементарных) дробей
Приводится вывод формул для вычисления интегралов от простейших, элементарных, дробей четырех типов. Более сложные интегралы, от дробей четвертого типа, вычисляются с помощью формулы приведения. Рассмотрен пример интегрирования дроби четвертого типа.
Примеры интегрирования рациональных функций (дробей)
Рассмотрены примеры интегрирования рациональных функций (дробей) с подробными решениями.
Методы интегрирования иррациональных функций (корней)
Методы интегрирования иррациональных функций (корней)
Даны основные методы интегрирования иррациональных функций (корней). Они включают в себя: интегрирование дробно-линейной иррациональности, дифференциального бинома, интегралы с квадратным корнем из квадратного трехчлена. Приводятся тригонометрические подстановки и подстановки Эйлера. Рассмотрены некоторые эллиптические интегралы, выражающиеся через элементарные функции.
Интегрирование дробно-линейной иррациональности
Показано, что интегралы с дробно-линейной иррациональностью (то есть содержащие корни от дробно-линейной функции) сводятся к интегрированию рациональных функций. Разобраны примеры вычисления интегралов с корнями из дробно-линейной функции.
Интегрирование дифференциального бинома
Интегралы от дифференциального бинома сводятся к интегралам от рациональных функций в трех случаях, при определенных соотношениях между показателями степеней. Даны три подстановки, которые приводят к интегралу от рациональной функции. Даны формулы приведения, связывающие интегралы с различными значениями показателей степеней. Подробно разобран пример вычисления интеграла от дифференциального бинома.
Вычисление интегралов от многочлена дробь квадратный корень из квадратного трехчлена
Рассмотрен метод вычисления интеграла от дроби, в числителе которой находится многочлен, а в знаменателе – квадратный корень из трехчлена. Наиболее простым методом вычисления таких интегралов является метод неопределенных коэффициентов.
Приведено доказательство применимости этого метода. Разобран пример вычисления такого интеграла.
Вычисление интегралов от многочлена дробь степень от двучлена квадратный корень из квадратного трехчлена
Представлен метод вычисления интегралов, в числителе дроби которых находится многочлен, а в знаменателе – произведение натуральной степени от линейной функции и квадратный корень из квадратного трехчлена. Разобраны примеры вычислений таких интегралов.
Вычисление интегралов от двучлена дробь степень от трехчлена квадратный корень из квадратного трехчлена
Приводится метод вычисления интегралов, в числителе дроби которых находится линейный двучлен, а в знаменателе – произведение квадратного трехчлена в натуральной степени на квадратный корень из трехчлена. Разобран пример вычисления такого интеграла.
Интегрирование рациональной функции от квадратного корня из квадратного трехчлена
Представлен наиболее эффективный способ интегрирования рациональной функции от квадратного корня из квадратного трехчлена.
Разобран пример вычисления такого интеграла.
Вычисление интегралов тригонометрическими и гиперболическими подстановками
Рассмотрено решение интегралов от рациональной функции с квадратным корнем из квадратного двучлена с помощью тригонометрических и гиперболических подстановок. Даны формулы тригонометрических и гиперболических подстановок и примеры вычисления интегралов.
Подстановки Эйлера
Показано, что интегралы с рациональными функциями от квадратного корня из квадратичного многочлена сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью подстановок Эйлера. Даны три подстановки Эйлера и рекомендации по их применению. Разобран пример вычисления интеграла с помощью подстановки Эйлера.
Методы интегрирования тригонометрических функций
Методы интегрирования тригонометрических функций
Представлены основные тригонометрические формулы и основные подстановки. Изложены методы интегрирования тригонометрических функций – интегрирование рациональных функций, произведение степенных функций от sin x и cos x, произведение многочлена, экспоненты и синуса или косинуса, интегрирование обратных тригонометрических функций.
Затронуты нестандартные методы.
Интегрирование тригонометрических рациональных функций
Представлены методы интегрирования тригонометрических рациональных функций. Подробно рассмотрены три примера интегрирования таких функций.
Интегрирование произведения степенных функций от sin x и cos x
Показано, что интеграл от произведения степенных функций от sin x и cos x можно привести к интегралу от дифференциального бинома. При целых значениях показателей степени, такие интегралы легко вычисляются по частям или с помощью формул приведения. Дан вывод формул приведения. Приводится пример вычисления такого интеграла.
Интегрирование произведения многочлена, экспоненты и синуса или косинуса
Представлен метод вычисления интегралов, содержащих произведение многочлена, экспоненты и синуса или косинуса. Интегрирование осуществляется с применением формулы Эйлера.
Как решать ⚠️ интегралы: формулы, примеры с объяснением
Одно из самых значимых понятий в математике — интеграл.
Термин часто можно встретить при решении задач по математике и физике. С помощью интеграла существенно упрощается поиск площади под кривой, пройденного пути объекта, движущегося неравномерно, массы неоднородного тела, функции по производной.
Что такое интеграл — понятие и определение
Интеграл представляет собой аналог суммы для бесконечного числа бесконечно малых слагаемых.
Интеграл является эффективным инструментом для решения задач из математического анализа. Слово «интеграл» происходит от латинского «integer», то есть «целый». Впервые это понятие ввел Иоганн Бернулли.
Разобраться в определении интеграла можно, если рассмотреть понятный график функции:
Источник: avatars.mds.yandex.netИсходя из графика, можно сделать вывод, что интегралом является сумма малых частей, которые составляют в целом рассматриваемый объект. Компоненты складываются в какую-то геометрическую фигуру. При сложении этих частей можно определить, какова ее площадь.
{b}{f(x)dx}\)
где f(x) является той самой функцией, график которой ограничивает фигуру в верхней части;
a и b представляют собой пределы;
x соответствует направлению, вдоль которого построены столбцы на графике.
Процесс интегрирования является обратным дифференцированию. В том случае, когда требуется определить минимальный промежуток заданной функции, целесообразно взять от нее производную. Это объясняется тем, что производная или дифференциал являются быстрым методом поиска части чего-либо. Можно наглядно определить с помощью рисунка, что минимальная фигура, которая является частью целого, при таком числе составляющих компонентов не повторяет форму кривой функции. Таким образом, требуется уменьшить габариты таких частей, чтобы они максимально точно совпадали с графиком. Площадь наименьшего компонента фигуры будет стремиться к нулевому значению. Точность повышается с уменьшением размеров рассматриваемой части. Площадь геометрической фигуры состоит из суммы таких частей, которые стремятся к нулю.
\(P=\lim_{\Delta x_{i}\rightarrow 0}\sum{y_{i}\Delta x_{i}}\)
Подробно полученное выражение можно рассмотреть на графике:
Источник: avatars.mds.yandex.netПлощадь малой части фигуры определяется так же, как площадь прямоугольника. Значение Y нужно помножить на значение ΔХ. Так как фигура представляет собой совокупность малых частей, то их требуется сложить. Следует учитывать, что каждый компонент фигуры ΔХ стремится к нулевому значению. Поэтому формула, которая представлена выше, включает это условие и позволяет определить результат максимально точно.
Если обозначить количество частей ΔХ, стремящихся к бесконечности, то можно определить, что существует предел интегральной суммы, которая состоит из таких компонентов, стремящихся к нулю и к бесконечности по числу таких частей. Таким образом, правая граница фигуры, изображенной на графике, является пределом. В этом выражается геометрический смысл определенного интеграла.
Физический смысл интеграла состоит в том, что это сумма бесконечно малых величин на бесконечно большом интервале. Исходя из этого, можно определить любую величину, которая изменяется, согласно функции. К примеру, рассчитать общий путь по закону изменения скорости. Необходимость в интеграле возникла, когда потребовалось рассчитать площади каких-либо фигур и объем любых тел, выбранных произвольно.
В том случае, когда расчеты подразумевают наличие постоянной характеристики, к примеру, скорости, найти путь можно с помощью произведения этой постоянной скорости и времени. Этот же момент можно проверить при вычислении интеграла от такой функции и записи уравнения прямой. Но скорость в процессе движения может меняться. Данное изменение можно представить в виде зависимости. Тогда следует вписать граничные условия, например, в случае пути — это время, в интеграл скорости по времени. Полученное выражение будет равно площади трапеции, которая расположена под функцией скорости, что является физическим смыслом определенного интеграла.
Термин «неопределенный интеграл» применим в ситуациях, когда требует найти площадь криволинейной трапеции, путь в соответствии с известной скоростью тела, которое движется неравномерно, и для решения других подобных задач.
Свойства, которыми характеризуется неопределенный интеграл:
- Константу можно выносить за знак интеграла: \(\int kf(x) dx = k\int f(x) dx\)
- Интеграл разности или суммы функций соответствует разности или сумме интегралов от этих функций: \(\int ( f(x) \pm g(x) ) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx\)
- Производная интеграла определяется как выражение, находящееся под знаком интеграла: \(\bigg (\int f(x) dx \bigg )’ = f(x)\)
- Интеграл от производной функции равен сумме этой функции и постоянной: \(\int F'(x) dx = F(x) + C\)
- Интеграл дифференциала функции равен сумме этой функции и постоянной интегрирования: \(\int df(x) dx = f(x) + C\)
x + C\)Метод замены переменной или метод подстановки
Этот способ нахождения интегралов применим в задачах, где одна функция — это производная второй функции. Допустим, что интеграл записан так:
\(\int f(x) dx\)
Можно заменить \(x=\phi(t)\). При этом функция \(\phi(t)\) является дифференцируемой, поэтому можно найти \(dx = \phi'(t) dt.\)
Далее следует подставить \(\begin{vmatrix} x = \phi(t) \\ dx = \phi'(t) dt \end{vmatrix}\) в интеграл. Таким образом:
\(\int f(x) dx = \int f(\phi(t)) \cdot \phi'(t) dt\)
Полученное выражение является формулой замены переменной в неопределенном интеграле.
При условиях задачи, которая содержит интеграл \(\int f(\phi(x)) \cdot \phi'(x) dx\), целесообразно заменить переменную на новую:
\(t = \phi(x)\)
\(dt = \phi'(t) dt\)
Таким образом, интеграл преобразуется в форму, которую легко рассчитать с помощью основных методов интегрирования:
\(\int f(\phi(x)) \cdot \phi'(x) dx = \int f(t)dt\)
Следует помнить, что по итогам расчетов требуется вернуть замененную переменную назад к x.
2 + x + C\)
Ответ: выражение доказано.
Источник: facematter.comБлагодаря теоретическим знаниям и практическим навыкам решения задач с интегралами, можно с легкостью осваивать самые сложные темы по физике и математическому анализу. Главное — уметь пользоваться таблицей с основными формулами и свойствами определенного и неопределенного интегралов. Если в процессе изучения материала возникают трудности, то в любое время можно открыть сервис Феникс.Хелп.
Замена переменных в множественных интегралах – методика, этапы и примеры
Знание того, как заменять переменные в множественных интегралах , позволяет нам упростить процесс интегрирования сложных функций. Бывают случаи, когда нам нужно переписать интеграл функции в декартовой форме к ее полярной форме, чтобы мы могли легко их вычислить. В этом обсуждении мы расширим это понимание того, как мы можем применить эти знания для изменения переменных в множественных интегралах.
Замена переменных в множественных интегралах наиболее полезна, когда нам нужно найти более простые способы интегрирования выражения по сложной области.
Мы можем обозначить эти изменения в многократных интегралах как преобразования.
В прошлом мы научились переписывать одиночные интегралы, используя метод u-подстановки. Это помогло нам интегрировать сложные функции с одной переменной, переписав их в более простые выражения. Мы распространили эти знания на двойные интегралы и научились переписывать их в полярных формах.
Теперь, когда мы работаем с множественными интегралами, не менее важно расширить наши предыдущие знания и научиться заменять переменные в множественных интегралах для общих областей. К концу этого обсуждения вы поймете, насколько важны во всем процессе планарные преобразования и определители Якоби. А пока давайте разберем ключевые концепции, необходимые для полного понимания процесса.
Мы можем заменять переменные в нескольких интегралах, применяя для использования плоскостные преобразования — это функции, которые мы используем для преобразования одной области в другую, изменяя их переменные.
В качестве примера покажем визуализацию того, как область $H$ в декартовой плоскости $uv$ преобразуется в область $S$, выраженную в плоскости декартовой $xy$.
На протяжении всего обсуждения мы предполагаем, что частные производные непрерывны для обеих областей. Это означает, что для наших двух графиков существуют и непрерывны частные производные от $g$ и $h$ как по $u$, так и по $v$. Мы узнаем больше об этом процессе позже! 9{\prime}(u) \phantom{x}du\end{aligned}
Фактически, мы применяем аналогичный процесс при переписывании двойных интегралов в полярных координатах. На этот раз мы работаем с двумя переменными и функциями.
\begin{align} x &\rightarrow f(r, \theta) = r \cos \theta\\y &\rightarrow g(r, \theta) = r \sin \theta \\dxdy &\rightarrow dA = r drd\theta\end{aligned}
Эти выражения приведут нас к общей форме двойных интегралов в полярных координатах, как показано ниже.
\begin{aligned}\int \int_{R} f(x, y) \phantom{x}dA &= \int \int_{S} (r \cos\theta, r\sin\theta) \phantom {x}rdrd\theta\end{aligned}
Плоское преобразование для множественных интегралов
Теперь, когда мы кратко повторили наши методы подстановки в прошлом, давайте вернемся к плоскостным преобразованиям.
Как мы показали в наших предыдущих примерах, мы можем переписать выражение функций от одной переменной к другой, учитывая трансформацию их области.
Чтобы лучше понять, как работает планарное преобразование, взгляните на преобразование, показанное выше. Допустим, мы работаем с плоским преобразованием, $T(r, \theta) = (x = r\cos \theta, y = r\sin \theta)$. Область слева показывает полярный прямоугольник в плоскости $r\theta$, где любая подобласть будет содержаться в следующих границах: $ 0 \leq r \leq 1$ и $0 \leq \theta \leq \dfrac{\ пи{2}$. Мы можем определить $T$ в $xy$-плоскости как квадрант полной окружности, удовлетворяющий следующим уравнениям: 92\\\tan \theta = \dfrac{y}{x}\end{aligned}
Как мы обсуждали ранее, это планарное преобразование важно при записи двойных интегралов в полярных координатах. Мы можем распространить эту идею на учет преобразований, определяемых другими функциями.
Использование якобианов при замене переменных в кратном интеграле
Якобианы различных преобразований позволяют обобщить процесс замены переменных в двух и более интегралах.
2 \end{выровнено} 92) \phantom{x}du dV$.
Мы можем расширить определение определителей Якоби для трех переменных: на этот раз нам нужно найти $J(u, v, w)$.
\begin{align}J(u, v, w) &= \left|\dfrac{\partial (x, y, z)}{\ partial (u, v, w)} \right |\\&=\begin{vmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial u} &\dfrac{\partial y}{\partial u} &\dfrac{\partial z}{\partial u}\\ \dfrac{\partial x}{\partial v}& \dfrac{\partial y}{\partial v}& \dfrac{\partial z}{\partial v}\\\dfrac{\partial x}{\partial w} &\dfrac{\partial y}{\partial w} & \dfrac{\partial z}{\partial w}&\end{vmatrix}\end{align} | \begin{align}J(u, v, w) &= \left|\dfrac{\partial (x, y, z)}{\ partial (u, v, w)} \right|\ \&=\begin{vmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial u} &\dfrac{\partial x}{\partial v} &\dfrac{\partial x}{\partial w}\\ \dfrac {\ парциальное у} {\ парциальное и} & \ dfrac {\ парциальное у} {\ парциальное v} & \ dfrac {\ парциальное у} {\ парциальное ш} \\\ dfrac {\ парциальное г} {\ парциальное и} &\dfrac{\partial z}{\partial v} & \dfrac{\partial z}{\partial w}&\end{vmatrix}\end{align} |
Оба определителя Якоби эквивалентны друг другу, и мы можем вычислить любой из них, чтобы найти значение $J(u, v,w )$.
Теперь установим правила замены переменных для двойных и тройных интегралов с помощью определителей Якоби.
Изменение переменных с использованием якобианских детерминантов | |
$ j (u, v) $ 9005 | Предположим, что $ t (u, v) = (x, y) преобразования и $J(u, v)$ — ненулевой якобиан области, имеем следующее: \begin{aligned}\int \int_{R} \phantom{x} dA &= \int \int_S f(g(u, v), h(u, v)) J(u, v) \phantom {x} dudv\end{align} |
$J(u, v, w)$ | Предположим, что $T(u, v, w) = (x, y, z)$ представляет преобразования и $J(u, v)$ — ненулевой якобиан области, имеем следующее: \begin{aligned}\int \int \int_{R} F(x, y,z) \phantom {x} dV &= \int \int \int_E f(g(u, v, w), h(u, v, w), m(u, v, w)) J(u, v, w) \ фантом{x} dudvdw\end{выровнено} |
Давайте теперь разберем шага, необходимых для замены переменных в множественных интегралах .
- Нарисуйте область функции и определите уравнения, образующие границу.
- Установите соответствующие выражения для преобразований: $\{x = g(u, v), y = h(u, v)\}$ или $\{x = g(u, v, w), y = h(u, v, w), z = m(u, v, w)\}$ .
- Установите ограничения для $uv$-плоскости.
- Используйте частные производные $x$, $y$, $z$ или других переменных и запишите определитель Якоби. 92 &= 4\end{aligned}
Это подтверждает, что наша область интегрирования представляет собой полуокружность, ограниченную следующими пределами: $0 \leq r \leq 2$ и $0 \leq \theta \leq \dfrac{\pi}{ 2}$. Теперь давайте поработаем с определителем Якоби — возьмем частные производные от $x = r\cos\theta$ и $y = r\sin\theta$ по $r$ и $\theta$.
\begin{align}\dfrac{\partial x}{\partial r} &= \cos \theta\\\dfrac{\partial x}{\partial \theta} &= -r \sin \theta\\\dfrac{\partial y}{\partial r} &= \sin \theta\\\dfrac{\partial y}{\partial \theta} &=r \cos \theta \end{align} 92 \theta)]\\&= r\end{aligned}
Теперь используйте определитель Якоби для определения $dA$ через $r$ и $\theta$.
{\pi/2} 4 \phantom{x}d\theta\\&= 2\pi\end{align} 9{y/2 + 2} \left(x + \dfrac{z}{4}\right) \phantom{x} dxdydz$, используя следующие преобразования:\begin{aligned}u &= \dfrac{ x -y}{2} \\v &= \dfrac{y}{2}\\w&= \dfrac{z}{4}\end{aligned}
Решение
Вот грубый набросок преобразования, происходящие между плоскостями $uvw$ и $xyz$.
Используйте три уравнения и перепишите их с $x$, $y$ и $z$, как в левой части уравнений: $x =2(u + v)$, $y =2v$, и $z=4w$. Это означает, что $f(x, y, z)$ можно переписать через $u$, $v$ и $w$:
\begin{aligned}f(x, y,z) &= x + \dfrac{z}{4}\\&= 2u + 2v + w \end{aligned}
Теперь найдем пределы интегрирования когда мы преобразуем область в терминах $u$, $w$ и $z$.
\begin{выровнено}\boldsymbol{x \rightarrow u}\end{выровнено}
\begin{выровнено}\boldsymbol{y \rightarrow v}\end{выровнено}
\begin{выровнено}\boldsymbol{z \rightarrow w}\end{выровнено} \begin{align}x &= \dfrac{y}{2}\\ 2(u + v) &= \dfrac{2v}{2}\\4u + 4v&= 2v\\u&= -\dfrac {v}{2}\end{выровнено}
\begin{выровнено}y &= 0\\ 2v&= 0\\ v&= 0\end{выровнено}
\begin{выровнено}z & = 0\\ 4w&= 0\\ w&= 0\end{выровнено}
\begin{выровнено}x &= \dfrac{y}{2} + 2\\ 2(u + v) & = \dfrac{2v}{2} + 2\\4u + 4v&= 2v + 4\\u&= -\dfrac{v}{2} + 2\end{aligned}
\begin{выровнено}y &= 4\\ 2v&= 4\\ v&= 2\end{выровнено}
\begin{выровнено}z &= 2\\ 4w&= 2\\ w&= \ dfrac{1}{2}\end{aligned}
Теперь, когда у нас есть пределы интегрирования, пришло время найти определитель Якоби для интеграла рубца.
\begin{align}J(u, v, w) &=\begin{vmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial u} &\dfrac{\partial x}{\partial v} &\dfrac {\ парциальное х} {\ парциальное ш} \\ \dfrac {\ парциальное у} {\ парциальное и} & \ dfrac {\ парциальное у} {\ парциальное v} & \ dfrac {\ парциальное у} {\ парциальное ш} \\\dfrac{\partial z}{\partial u} &\dfrac{\partial z}{\partial v} & \dfrac{\partial z}{\partial w}&\end{vmatrix}\\&= \begin{vmatrix}2 & 2 & 0\\ 0& 2& 0\\0 & 0 & 4&\end{vmatrix} \\&= 16\end{aligned} 9{z +3} \left(-4y +5 \right) \phantom{x} dxdydz = -144$
Изображения/математические рисунки создаются с помощью GeoGebra.
Использование основной теоремы для вычисления определенных интегралов
Все ресурсы AP Calculus AB
3 диагностических теста 164 практических теста Вопрос дня Карточки Learn by Concept
← Предыдущая 1 2 3 Следующая →
AP Calculus AB Помощь » Интегралы » Основная теорема исчисления » Использование основной теоремы для вычисления определенных интегралов
Используйте основную теорему математического анализа, чтобы вычислить определенный интеграл Объяснение:
Здесь мы используем основную теорему исчисления:
Здесь мы не беспокоимся о добавлении константы c, потому что мы вычисляем определенный интеграл.
Сообщить об ошибке
Оценить .
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Мы можем интегрировать это без особых проблем
. Старт
. Перепишите мощность
. Интегрировать
. Оценить
. Упростить
Обратите внимание, что нас не просили оценивать, поэтому вам не следует пытаться использовать первую часть Фундаментальной теоремы исчисления. Это дало бы нам неправильный ответ .
Сообщить об ошибке
Используя Фундаментальную теорему исчисления и полностью упростив решение интеграла.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы решить интеграл, мы сначала должны знать, что фундаментальная теорема исчисления
.
Так как обозначает первообразную, мы должны вычислить первообразную в двух пределах интегрирования, 3 и 6.
Чтобы найти первообразную, мы должны знать, что в интеграле то же самое, что .
Антипроизводная функции равна , поэтому мы должны вычислить .
Согласно правилам логарифмирования, вычитание двух логарифмов равносильно получению логарифма дроби этих двух значений:
.
Затем мы можем упростить до окончательного ответа
Сообщить об ошибке
Используя основную теорему исчисления, решить интеграл.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы решить интеграл с помощью основной теоремы, мы должны сначала взять первообразную функции. Антипроизводная от это . Поскольку пределы интегрирования равны 1 и 3, мы должны вычислить первообразную при этих двух значениях.
обозначает антипроизводную.
Когда мы это сделаем,
и .
Следующим шагом является нахождение разницы между значениями на каждом пределе интегрирования, поскольку Основная теорема утверждает
.
Таким образом, мы вычитаем, чтобы получить окончательный ответ .
Сообщить об ошибке
Решить с помощью основной теоремы исчисления.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы решить интеграл, мы сначала должны знать, что основная теорема исчисления
.
Поскольку обозначает первообразную, мы должны оценить первообразную в двух пределах интегрирования, 0 и 3.
Первообразная функции равна, поэтому мы должны оценить
Когда мы подставляем 3 в первообразную, решение равно , а когда мы подставляем 0 в первообразную, решение равно 0.
Чтобы найти окончательный ответ, мы должны взять разность этих двух решений, так что окончательный ответ.
Сообщить об ошибке
Решите, используя Фундаментальную теорему исчисления.
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Чтобы решить интеграл, мы сначала должны знать, что фундаментальная теорема исчисления
.
Так как обозначает первообразную, мы должны вычислить первообразную в двух пределах интегрирования, 0 и 2.
Первообразная функции
— это
,
, поэтому мы должны оценить .
Когда мы подставляем 3 в первообразную, решение равно , а когда мы подставляем 0 в первообразную, решение равно 0.
Чтобы найти окончательный ответ, мы должны взять разность этих двух решений, так что окончательный ответ.
Сообщить об ошибке
Вычислить неопределенный интеграл:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Объяснение:
Сначала вычислите неопределенный интеграл:
Обратите внимание, что является производной от . Итак, приступим к определению новой переменной:
Теперь интеграл можно записать в терминах
Следовательно: быть вычтено, когда мы оцениваем.
Мы можем либо вернуться к исходной переменной и оценить исходные пределы интегрирования, либо найти новые пределы интегрирования, соответствующие новой переменной. Рассмотрим оба эквивалентных метода:
Решение 1)
последний член равен нулю. Первый член сводится к , поскольку функция тангенса равна .
Решение 2)
Мы могли бы решить и без преобразования обратно в исходную переменную. Вместо этого мы могли бы просто изменить пределы интегрирования. Используйте определение, присвоенное переменной , которое было , а затем используйте его, чтобы определить, какое значение принимается, когда (нижний предел) и когда (верхний предел).
Сообщить об ошибке
Возможные ответы:
002
Объяснение:
Это фундаментальная теорема задачи исчисления. Поскольку производная и антипроизводная компенсируют друг друга, нам просто нужно вставить пределы в нашу функцию (с внешней переменной). Затем умножаем каждое на производную от границы:
Сообщить об ошибке
Возможные ответы:
Правильный ответ:
9
5
5 Объяснение:
Используя основную теорему исчисления, производная антипроизводной просто дает нам функцию с подставленными пределами, умноженную на производную соответствующих границ:
На последнем шаге мы использовали следующее тригонометрическое тождество:
Сообщить об ошибке
Вычислить следующий неопределенный интеграл:
Возможные ответы:
Правильный ответ:
Пояснение:
Вычислите следующий неопределенный интеграл:
Вспомните, что мы можем разделить вычитание и сложение внутри интегралов на отдельные интегралы.
Это означает, что мы можем рассмотреть нашу проблему в два этапа.Напомним, что мы можем интегрировать любой экспоненциальный член, добавляя 1 к показателю степени и разделив на новый показатель степени.
Итак,
Далее напомним, что интеграл синуса есть отрицательный косинус. Однако у нас уже есть отрицательный синус, поэтому должен получиться положительный косинус.
Теперь мы можем объединить наши две половины, чтобы получить окончательный ответ.
Обратите внимание, что у нас есть только одна буква «с», потому что с — это просто константа, а не переменная.
Сообщить об ошибке
← Назад 1 2 3 Далее →
Уведомление об авторских правах
Все ресурсы AP Calculus AB
3 Диагностические тесты 164 практических теста Вопрос дня Карточки Учитесь по концепции
Интегралы — Обзор
Марко Табога, PhD
Эта страница обзора содержит сводку правил интеграции, т.
е. правил
для вычисления определенных и неопределенных интегралов функции.СОДЕРЖАНИЕ
Неопределенные интегралы
Неопределенный интеграл интеграции Power Function
91616165
Indefinite Integral of A Power Function
616699991616165
9000.699
9000.69
6169
6161699999999999999999161616165
9169
- .0005
Indefinite integral of an exponential function
Indefinite integral of a linear combination of functions
Indefinite integrals of trigonometric functions
Definite integrals
Fundamental theorem of calculus
Определенный интеграл линейной комбинации функций
Изменение переменной
Integration by parts
Exchanging the bounds of integration
Subdividing the integral
Leibniz integral rule
Solved exercises
Exercise 1
Exercise 2
Упражнение 3
Неопределенные интегралы
Если есть функция одной переменной, неопределенный интеграл из это функция первая производная которого равна :Ан неопределенный интеграл обозначается на неопределенный интегралы также называются первообразными или примитивов .
Пример Позволять функция неопределенный интеграл от потому чтоТакже в функция неопределенный интеграл от потому что
Обратите внимание, что если функция представляет собой неопределенный интеграл от тогда также функция неопределенный интеграл от для любой константы потому что это также причина, по которой используется прилагательное неопределенный: потому что неопределенный интегралы определены только с точностью до константы.
Следующие подразделы содержат некоторые правила для вычисления неопределенного интегралы функций, часто встречающиеся в теории вероятностей и статистика. Во всех этих подразделах будет обозначать константу, а правила интегрирования будут сообщаться без доказательство. Доказательства тривиальны и могут быть легко выполнены читателем: достаточно вычислить первую производную от и убедитесь, что он равен .
Неопределенный интеграл постоянной функции
Если является константой функциягде , то неопределенный интеграл от is
Неопределенный интеграл степенной функции
Если это сила функциятогда неопределенный интеграл от когда . Когда , то есть, когда интеграл is
Неопределенный интеграл логарифмической функции
Если является натуральным логарифмом , что затем его неопределенный интеграл это
Если это логарифм по основанию из , что затем его неопределенный интеграл (помните что ).
Неопределенный интеграл показательной функции
Если является экспоненциальным функциятогда его неопределенный интеграл это
Если экспоненциальная функция не имеет естественной основы , но еще одна положительная база , что затем его неопределенный интеграл (помните что ).
Неопределенный интеграл линейной комбинации функций
Если а также две функции и две константы, затем
Другими словами, интеграл линейной комбинации равен линейному комбинации интегралов. Это свойство называется «линейностью интеграл».
Два частных случая этого правила
Неопределенные интегралы тригонометрических функций
Тригонометрические функции имеют следующие неопределенные интегралы:
Определенные интегралы
Позволять быть функцией одной переменной и интервал действительных чисел. определенный интеграл (или, просто, интеграл ) из к из это площадь региона в -самолет ограниченный графиком , в -ось и вертикальные линии а также , где регионы ниже -ось имеют отрицательный знак и области выше -ось имеют положительный знак.
Интеграл от к из обозначается по
называется подынтегральной функцией и а также называются верхними и нижними граница интегрирования .
Следующие пункты содержат некоторые свойства определенных интегралов, которые также часто используются для фактического вычисления определенных интегралов.
Основная теорема исчисления
Основная теорема исчисления обеспечивает связь между определенным и неопределенные интегралы. Он состоит из двух частей.
С одной стороны, если вы определитьтогда, первая производная от равно , что в Другими словами, если вы продифференцируете определенный интеграл по его верхняя граница интегрирования, то вы получаете подынтегральную функцию.
Пример ОпределитьЗатем,
С другой стороны, если есть неопределенный интеграл (первообразная) от , затем
Другими словами, вы можете использовать неопределенный интеграл для вычисления определенного интеграл.
Следующие обозначения часто используется:где
Иногда переменная интегрирования указано явно, и мы напишите
Пример Рассмотрим определенное интеграл подынтегральная функция является неопределенный интеграл от следовательно является, определенный интеграл от к можно вычислить как следует.
Определенный интеграл линейной комбинации функций
Как и неопределенные интегралы, определенные интегралы линейны. Если а также две функции и две константы, затем
с двумя спец. ящики
Пример За например,
Изменение переменной
Если а также две функции, то интегралкан быть вычислено заменой переменной, с переменная
Замена переменной выполняется в следующих шагах:
Дифференцировать замену переменной формулаи получить
Пересчитать границы интеграция:
Заменять а также в интеграл:
Пример интегралкан быть вычислено путем замены переменнаяBy дифференцируя формулу замены переменной, мы получить новые границы интегрирования естьПоэтому интеграл можно записать как следует:
Интеграция по частям
Позволять а также быть две функции и а также их неопределенные интегралы.
Следующая формула интегрирования по частям
содержит:Пример интегралкан интегрироваться по частям, по настройкаAn неопределенный интеграл от остров неопределенный интеграл офор, сказал иначе, является производной от . Следовательно,
Обмен границами интегрирования
Учитывая интеграл обмен его границы интегрирования эквивалентны изменению его знак:
Разделение интеграла
Учитывая две границы интегрирования а также , с , и третий пункт такой, что , тогда
Интегральное правило Лейбница
Дана функция двух переменных и интегралгде нижняя граница интегрирования и верхняя граница интегрирования может зависеть от , при соответствующих технических условиях (здесь не обсуждается) первый производная функции в отношении можно вычислить как следует: где является первой частной производной от в отношении .
Пример Производная от integris
Решенные упражнения
Ниже вы можете найти несколько упражнений с поясненными решениями.
Упражнение 1
Вычислить следующее интеграл:
Подсказка: выполните два интегрирования по частям.
Решение
Выполнив два интегрирования по частям, мы получитьПоэтому, какой можно переставить на yieldor
Упражнение 2
Используйте интегральное правило Лейбница, чтобы вычислить производную относительно из следующих интеграл:
Решение
Интегральное правило Лейбница Мы можно применить как следующим образом:
Упражнение 3
Вычислить следующее интеграл:
Решение
Этот интеграл можно решить с помощью изменение переменной техника:
Как цитировать
Пожалуйста, указывайте как:
Taboga, Marco (2021). «Интегралы — Обзор», Лекции по теории вероятностей и математической статистике.
{\pi/2} 4 \phantom{x}d\theta\\&= 2\pi\end{align} 9{y/2 + 2} \left(x + \dfrac{z}{4}\right) \phantom{x} dxdydz$, используя следующие преобразования:
Это означает, что мы можем рассмотреть нашу проблему в два этапа.
е. правил
для вычисления определенных и неопределенных интегралов функции.
Следующая формула интегрирования по частям
содержит:
